Full text of "Electronique Des Solides"

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ELECTRONIQUE
DES SOLIDES

Éditions Mir Moscou

Tr. H. ETNHODAHOB, 10. A. MOMA

TBEPJHOTEJIRHAA 3JIEKTPOHHKA

HSAHATETECTBO « BBICIIAA LKOJIA »
MOCKHKBA

G. ÉPIFANOV ET Y. MOMA

ÉLECTRONIQUE
DES SOLIDES

ÉDITIONS MIR MOSCOU

Traduit du russæ par
V. KOLIMÉEV

Ha fpanyyscrom asuxe

Imprimé en Union Soviétique

ISBN 5-03-002167-1 © rt « Bucmañ mKroua».
1

AVANT-PROPOS

Le présent manuel est écrit sur la base d’un cours de conférences
que les auteurs ont lues pendant plusieurs années à l’Institut des
constructions électroniques de Moscou aux étudiants qui se spéciali-
sent dans le domaine de la construction des machines électroniques,
des matériaux utilisés dans la technique électronique, de la construc-
tion et de la technologie des appareils radio-électroniques et de
calcul électronique, des appareils d'automatisation et de calcul
automatique, de la technologie des appareils à semiconducteurs et des
circuits intégrés.

Le présent cours est un cours d'introduction qui est professé aux
premiers semestres et suit directement le cours de physique générale
dans lequel les étudiants reçoivent des connaissances élémentaires
sur la mécanique quantique et la statistique physique qui sont
nécessaires pour l'assimilation de ce cours.

Le cours se propose d’atteindre un double but. Premièrement, il
décrit d’une façon systématique, bien que succincte, les phénomènes
physiques qui sont nécessaires pour la compréhension des principes
de fonctionnement des principaux types d’appareils à solides: il
donne des idées générales sur la structure des cristaux parfaits et
réels, les propriétés thermiques des solides, la théorie des bandes, la
statistique des porteurs de charges en équilibre et en non-équilibre
dans les métaux et les semiconducteurs, la conductibilité électrique
des métaux et des semiconducteurs, les phénomènes galvanomagné-
tiques, thermomagnétiques et thermoëélectriques, les phénomènes
plasmiques et optiques dans les semiconducteurs, les propriétés
magnétiques des solides.

Deuxièmement, pour satisfaire aux besoins des disciplines spécia-
les ultérieures, le cours contient une étude sommaire de la physique
des phénomènes de contact, une théorie élémentaire de la jonction
p-n et les principes physiques, découlant de cette étude, de fonc-
tionnement des principaux types d'appareils à semiconducteurs: des
diodes (redresseuses, impulsionnelles, à haute fréquence, à effet
tunnel, à avalanche et autres), des appareils photoélectriques, des
transistors bipolaires et à effet de champ, des appareils à caractéristi-
que courant-tension en S, ainsi que les idées les plus générales sur les
circuits intégrés et l’utilisation des appareils à semiconducteurs com-
me éléments de ces circuits.

6 AVANT-PROPOS

Dans l'exposé, une place primordiale est accordée à la mise en
évidence de la physique des phénomènes et des processus, souvent
sans donner de justifications et de démonstrations mathématiques
rigoureuses. Comme l’a montré la pratique de plusieurs années de
lecture d’un tel cours complété par la résolution des problèmes et
l'exécution de calculs personnels qui fait connaître les principales
idées physiques et les principes de l'électronique des solides, ce cours
est utile et a fait ses preuves dans les écoles d'enseignement supérieur
soviétiques.

Les auteurs sont reconnaissants au rectorat de l'Institut des
constructions électroniques de Moscou qui a recommandé d'éditer le
manuscrit en russe ; aux collaborateurs de la chaire de bases physi-
ques de la technique électronique pour une discussion utile du contenu
du manuscrit et de la méthode de son exposé; aux critiques scienti-
fiques de l’édition russe de l'ouvrage — à la chaire de physique du
solide de l’Université d'Etat de la Biélorussie et au docteur ès sciences
physiques et mathématiques, le professeur T. Chermergor qui a bien
voulu relire le manuscrit et faire des remarques critiques précieuses
améliorant le contenu et le style de l’exposé de certaines parties du
livre; à Z. Epifanova et A. Katounina pour leur travail non facile
relatif à la présentation du manuscrit; aux éditions « Vyschaïia
chkola » pour l'édition du livre en russe ; aux éditions « Mir » qui ont
bien voulu se charger de l'édition du livre en français.

CHAPITRE PREMIER

STRUCTURE DES CRISTAUX

La majorité absolue des appareils à solides sont construits à base de corps
monocristallins aussi purs que possible et, en premier lieu, de monocristaux
semiconducteurs localement dopés en impuretés déterminées. Aussi, pour com-

rendre la physique de fonctionnement de tels appareils est-il nécessaire d’avoir

es idées précises sur la structure des cristaux, les méthodes de sa description et de
son étude expérimentale, ainsi que sur les forces de liaison qui déterminent cette
ia as C’est à une étude sommaire de ces questions qu'est consacré le chapitre
actuel.

$ 1.1. Réseau cristallin

Lorsque les atomes et les molécules se rapprochent, il se crée entre
eux des forces d'interaction. Leur caractère général est montré sur la
fig. 1.1, a: à des distances relativement grandes, il y a apparition
des forces d'attraction F,:, qui croissent lorsque la distance r entre
les particules diminue (courbe 7); à de petites distances apparaissent
des forces de répulsion F,:, qui croissent, lorsque r diminue, beau-
coup plus rapidement que Fe:r (courbe 2). A une distance r = r,,
les forces de répulsion équilibrent les forces d'attraction et la force
résultante F (courbe 3) s’annule tandis que l'énergie d'interaction U
des particules prend sa valeur minimale égale à —U, (fig. 1.1, b).
C'est pourquoi l’état des particules séparées par la distance r, est un
état d'équilibre stable; de ce fait, les particules doivent s'arranger
sous l’action des forces d'interaction dans un ordre rigoureux, en
constituant un corps de structure interne régulière — un cristal.
Pour décrire une telle structure il est commode d'utiliser la notion
de réseau cristallin. On distingue les réseaux de translation de Bravais
et les réseaux à base.

Réseaux de Bravais. Au point de vue géométrique l’arrangement
ordonné et périodique des particules dans le cristal peut être décrit
à l’aide de l'opération de translation. La fig. 1.2, a montre un réseau
obtenu par translation d’une particule le long de trois axes: le long
de l’axe OX de segments a, 2a, 3a, ..., ma, le long de l'axe OY de seg-
ments b, 2b, 3b,..., nb et le long de l'axe OZ de segments c, 2c,
3c,..., pc, où m, n, p sont des nombres entiers. La position de
toute particule dans un tel réseau est définie par le vecteur

r = ma + nb + pc. (1.1)

Les vecteurs a, b, c sont les vecteurs principaux de translation et
leurs modules sont les périodes de translation.

8 STRUCTURE DES CRISTAUX (CH. 1

Le réseau construit par translation d’un nœud quelconque suivant
les directions de translation est appelé réseau de translation ou
réseau de Bravais. On appelle maille élémentaire le parallélépipède le
plus petit construit sur les vecteurs a, b, ce (fig. 1.2, b). Toutes les
mailles élémentaires constituant
le réseau ont une même forme et
un même volume; à tous les
sommets des mailles se situent
des atomes ou des groupes d’ato-
mes identiques. Aussi, tous les
sommets des mailles sont-ils
équivalents l’un à l’autre. On
les appelle nœuds du réseau.

Pour caractériser une maille
élémentaire il faut, dans le cas
général, donner six quantités:
trois arêtes de maille a, b, cet
trois angles &, f, y que ces
arêtes font entre elles. Ces quan-
tités sont dites paramètres du
réseau. Souvent on prend pour
unité de longueur dans les réseaux
les segments a, b, c; on les
appelle unités azxiales.

Les mailles élémentaires con-
tenant un seul nœud sont dites
simples ou primitives. Leur choix
Fig. 1.1. Variation de la force (a) et à est PES. DRIVOANE La digure
de l'énergie U d'interaction (b) des 1.3 illustre à titre d exemple
particules en fonction de la distance r les divers procédés de choix d'une

qui les sépare. telle maille. A chaque nœud du

réseau correspond un même volu-

me. Ï]] est égal au volume de la maille élémentaire primitive et ne
dépend pas du procédé de son choix.

Dans certains cas, pour obtenir une expression plus complète de
la symétrie du réseau, les mailles élémentaires sont construites de
telle sorte qu'elles contiennent des nœuds non seulement aux sommets
mais aussi en d’autres points. De telles mailles sont dites complexes.
Les plus répandues sont des mailles centrées (C), des mailles à faces
centrées (FC) et des mailles à base centrée (BC). La figure 1.4 montre
en pointillé les mailles à faces centrées (FC), centrée (C) et à base
centrée (BC) et en traits pleins, les mailles primitives de ces réseaux.
On voit que tous ces réseaux sont des réseaux de Bravais bien que
pour la description de la symétrie du cristal il soit plus commode
d'utiliser des mailles complexes et non pas simples.

& 1.1] RÉSEAU CRISTALLIN 9

On peut démontrer rigoureusement qu'il existe 14 et seulement
14 réseaux de Bravais différents qui se divisent suivant le degré de
symétrie en 7 systèmes ou syngonies: triclinique dont la maille
élémentaire est un parallélépipède oblique avec les côtés a bd ec
et les angles &« f y; monoclinique qui est un parallélépipède

Fig. 1.2. Réseau de translation simple (a) et maille élémentaire de ce réseau (b):
a, b, c — principaux vecteurs de translation; a, b, c, &, B, y — paramètres de la maille élé-
mentairce.

dont a Æb Æ#c, a = y — 90°, B 90°; orthorhombique qui est un
parallélépipède dont a <b ce, « = B — y = 90°; tétragonal (ou
quadratique) qui est un parallélépipède dont a = b Æc, a = —
— y = 90°; trigonal qui est un parallélépipède dont a — b = c,

Fig. 1.3. Divers procédés de choix d’une maille élémentaire primitive.

a = B — 90°, y 90° ; heragonal qui est un parallélépipède dont
a= bc, a = BP — 90°; y = 120° ; cubique qui est un parallélépi-
pède dont a—b—c, x = B — y — 90°.

La figure 1.4 montre les mailles élémentaires de ces réseaux et
leurs paramètres. Les vecteurs principaux sont figurés en traits
pleins et les lignes auxiliaires en pointillé. Les mailles le moins symé-
triques sont celles du système triclinique et les mailles le plus sy-
métriques sont celles du système cubique.

*S091}U99 6998] R 19 S991}U09
‘991009 0$Eq y :sapdnqnu no sXaqdu09 sojjieut 39 saaAyjnutid no sojduuis sopjtuur U9 ‘od{) 2j JueAINS ‘99 soJuoAUÂS no sou
-Q18ÂS L U9 ‘OUAULÉS OP 941H0P of JUVAINS ‘SOSIAID SIVAUIG 0p Xnvrjuds Xnvosoi oz1ojunb s2p Sorte)uof9 SOITIUNN ‘SE AU

(CH. 1

S22J}U33 S22D/ D 24)}1UI140 3]]20}Y 06=L£=Yÿ=20
p=2
S3p1JU29
S920) Y
é
mé z=Z
(a ÿ1}u39
u}
pa
A ,
=
6 z=Z
=) Sa9.1}U99
°250q "
[=Z
J171U134d

& 1.1] RÉSEAU CRISTALLIN 11

Réseaux à base. Tout réseau ne peut pas être obtenu par la trans-
lation d'un seul nœud. La figure 1.5, a montre à titre d'exemple un
réseau bidimensionnel de type général. Il est facile de voir qu’en
construisant un tel réseau à l’aide des vecteurs de translation a, b,
il est impossible d'obtenir une maille ne contenant qu’un seul nœud.

Fig. 1.5. Réseaux à base:

«2 — réseau plan à basc (00° — base du réseau) : b — réseau tridimensionnel à base — réseau

du type diamant à disposition tétraédrique des atomes (le tétraèdre cst figuré en pointillé);

c — un réseau du type diamant peut être constitué de deux réseaux cubiques à faces centrées

-cmboîtés l’un dans l’autre et déplacés, suivant la diagonale spatiale, de 1/4 de la longueur

de la diagonale; d — chaque atome de carbone cest entouré par quatre voisins les plus pro-
ches situés aux sommets du tétraëèdre.

Un tel réseau peut être représenté sous forme de deux réseaux de
Bravais qui s’emboîtent l’un dans l’autre et dont chacun se détermine
par les vecteurs de translation a et b. Le décalage des réseaux l’un
par rapport à l’autre est décrit par un vecteur supplémentaire A qu’on
appelle vecteur de base. Dans le cas général, le nombre de tels vec-
teurs peut être quelconque. Toutefois, on les prend d'ordinaire en
nombre minimal nécessaire pour la construction du réseau.

Un réseau du type général est appelé réseau à base. Il peut être
construit au moyen des mêmes translations qu’on utilise pour chacun
des réseaux de Bravais constitutifs mais en effectuant la translation

42 STRUCTURE DES CRISTAUX (CH. 1

non d’un nœud mais d’une base donnée par l’ensemble des vecteurs
de base. C’est ainsi que le réseau montré sur la figure 1.5, a peut
être obtenu par la translation de la base constituée par les nœuds ©
et O0’. Comme exemple de réseau à base tridimensionnel, la figu-
re 4.5, b montre le réseau de diamant. Il peut être formé par deux
réseaux cubiques à faces centrées emboîtés l’un dans l’autre et décalés.
suivant la diagonale spatiale de 1/4 de longueur de la diagonale
(fig. 1.5, c). Chaque atome de carbone est entouré par quatre voisins
les plus proches situés aux sommets d’un tétraèdre montré en pointillé
sur la figure 1.5, b et représenté sur la figure 1.5, d.

$ 1.2. Désignation des nœuds, des directions et des plans
dans le cristal. Indices de Miller

Proposons-nous d'étudier sommairement les notations commu-
nément admises pour les nœuds, les directions et les plans dans le
réseau cristallin.

Indices des nœuds. La position de tout nœud du réseau est détermi-
née par la donnée de trois coordonnées (fig. 1.6, a): x, y, z. Pour un
réseau simple ces coordonnées peuvent être exprimées comme suit:

z=ma, y = nb, z = pc, (1.2)

où a, b, c sont les paramètres du réseau ; m, n, p des nombres entiers.
Si l’on prend pour unité de longueur les paramètres du réseau, les.
coordonnées du nœud seront représentées par les nombres m, n, p.
Ces nombres sont appelés indices du nœud et écrits sous la forme
suivante : {{mnpl]. Pour des mailles à plusieurs nœuds les nom-
bres m, n, p ne sont pas nécessairement entiers.

Indices de la direction. Pour la description d’une direction dans
le cristal, on choisit une droite passant par l’origine des coordon-
nées. Sa direction se détermine univoquement par les indices [[mnpl}
du premier nœud par lequel elle passe (fig. 1.6, a). Aussi, les indices
du nœud sont-ils à la fois les indices de la direction. Les indices de la
direction sont notés {mnp]. La figure 1.6, b indique à titre d'exem-
ple les indices des principales directions dans un cristal cubique.
Les indices négatifs sont munis de signe « — » surmontant l'indice.

Si les nombres m, nr, p ne sont pas des entiers, on les arrondit
à des entiers les plus proches qu'on prend pour indices de la direction.
Par exemple dans un réseau à faces centrées le premier nœud dans:
la direction de la diagonale de la face a pour coordonnées O0, 1/2, 1/2.
En arrondissant ces nombres, on obtient les indices de la direc-
tion [011].

Indices des plans. Supposons qu’un plan cristallographique coupe:
sur les’ axes de coordonnées des segments m, n, p. L'équation d’un.

$ 1.9 DÉSIGNATION DES NŒUDS, DES DIRECTIONS ET DES PLANS 13
tel plan en segments est de la forme

z y 2

sn Sr Sr (1.3)

où z, y, z sont les coordonnées d’un point situé dans ce plan. Si l’on
réduit tous les termes de l’équation au même dénominateur D, on

ten (El

Fig. 1.6. Désignation des nœuds, des directions et des plans dans les cristaux :

c — indices des nœuds [[mnp]] et des directions {mnp] ; b — indices des directions principales
dans un cristal cubique; c — indices de Miller de certains plans d'un cristal cubique.

trouve
hz + ky + lz= D, (1.4)

D :
h=2,r-2, 122 (1.5)

D y22
n P

4:4 . ‘’. 7: STRUCTURE DES CRISTAUX ee (GE. 1

sont des entiers qu’on prend précisément pour indices .du plan: Ils
portent le nom d'indices de Miller. Le plan défini par ces indices est
noté (hkl). Par exemple, si un plan. coupe sur les axes : cHOReQ

nées les segments 3, 2, 1 son équation a la forme ++ ++ = 1.

Après la réduction au même dénominateur on obtient dx L 3y +
+ 6z — 6. On en déduit que k = 2, k = 3, 1 — 6. Un tel plan est
noté (2 3 6). :

Des plans, parallèles l'un à l’autre, pour lesquels les segments
coupés sont égaux par exemple-à 1, 2, 3; 2, 4, 6; 3,6, 9, etc., sont
désignés par les mêmes indices de Miller (4 2 3). Dans cet ensemble
des plans parallèles on range aussi des plans à indices négatifs (1 2 3).
Ainsi, les indices de Miller (kkl) déterminent non pas un seul plan
mais une famille de plans parallèles. Une telle famille de plans
cristallographiquement et physiquement équivalents est notée {hkl}
et une famille de directions physiquement équivalentes (mnp).

Des relations (1.5) il résulte que
D D D

M = — n = —

Fo =, p= (1.6)
Aussi, pour pouvoir déterminer par les indices (kkl) d'un plan les
segments qu'il coupe sur les axes du réseau, est-il nécessaire de
connaître les inverses des indices (1/h, 1/k, 1/D et de trouver leur
dénominateur commun D. Alors m — D/h, n = D/k, p = D/l. Par
exemple, pour un plan d'indices (1 2 3) les inverses des indices sont
égaux à 1/1, 1/2, 1/3. Le dénominateur commun est égal à 6, les seg-
ments découpés sur les axes sont m = 6, nr —= 3, p = 2.

Pour des plans parallèles aux axes de coordonnées, l'indice corres-
pondant est nul. C’est ainsi que le plan (110) est parallèle à l'axe
OZ, le plan (011) à l’axe OX, etc.

Indiquons à titre d'exemple les indices des plans principaux
d’un réseau cubique (fig. 4.6, c). Les indices des faces du cube : (100),
(010), (001); les indices des plans passant par les diagonales des
faces (plans du dodécaèdre rhombique) : (110), (101), (011), etc. ; les
indices des plans découpant sur les axes des segments unités (plans de
l'octaèdre) : (111), (111), (111), (111), etc.

Indiquons certaines relations cristallographiques qui seront uti-
les pour l'exposé qui suit.

Période d'identité I. C’est la distance entre les atomes identiques
le long d'une direction donnée qui se détermine comme la distance
de l’origine des coordonnées au point considéré [[mnp}]. Dans le cas
général cette période se détermine par les paramètres a, b, c, &, B, y
et par les nombres m, n, p.

Pour un réseau cubique simple

I=V m+n2+ pt. (1.7)

$ 1:34: DIFFRACTION DANS LES CRISTAUX. RESEAU RÉCIPROQUE 15

Comme le montre (1.7), plus petits sont les indices. d'une direction:
plus serrés sont les atomes le long de cette direction.

Distance (intervalle) réticulaire. Dans le cas général elle se
détermine par les indices des plans (*kl) et les paramètres de la maille
élémentaire. Pour les cristaux du système cubique

Pme 2

La relation (1.8) montre que plus grands sont les indices des plans,
plus près l’un de l’autre sont disposés ces plans.

$ 1.3. Diffraction dans les cristaux.
Réseau réciproque

Loi de Bragg- Wulff. Les méthodes les plus employées pour l'étude
de la structure interne des cristaux sont des méthodes de diffraction.
Elles sont fondées sur le fait que pour des ondes de longueur d'onde
À < a, où a est la constante du réseau, un cristal dont les particules
constitutives se caractérisent par des arrangements hautement ordon-
nés constitue un réseau spatial de diffraction de qualité suffisam-
ment bonne. Le passage d’un faisceau de telles ondes à travers le
cristal a pour effet de provoquer l’apparition des figures de diffrac-
tion qui reflètent la structure interne du cristal. Comme les para-
mètres des réseaux des cristaux sont de l’ordre de 10-12 m, la lon-
gueur d'onde À doit être du même ordre de grandeur ou moindre. Une
telle longueur d'onde peuvent avoir les rayons X, les ondes de de
Broglie des électrons accélérés et des neutrons lents. Ce sont eux qu’on
utilise dans l'analyse radiocristallographique.

La théorie de la diffusion des rayons X par les cristaux a été cons-
truite en 1912 par Laue. Elle a joué un grand rôle aussi bien dans
l'étude des propriétés des rayons X eux-mêmes que dans l'étude de la
constitution des cristaux.

En 1913, Bragg et Wulff ont obtenu une relation bien simple
exprimant la condition de diffraction des ondes par un système de.
plans atomiques parallèles (fig. 1.7). Ils ont montré que le rayon
diffracté pouvait être considéré comme le résultat de la réflexion
spéculaire du rayon incident par ce système de plans. Cette réflexion
ne peut se produire que dans des directions 6 qui satisfont à la condi-
tion suivante :

24 (hkl)-sin 6 = nà, (1.9)

où d (hkl) est la distance entre les plans atomiques voisins (kkl),
À la longueur d'onde, #2 un entier indiquant l’ordre de diffraction.
La relation (1.9) est appelée formule ou loi de Bragg-Wulff.

Réseau réciproque. Une forme commode pour l’utilisation
pratique des conditions de diffraction par les cristaux a été propo-

416 STRUCTURE DES CRISTAUX [C. 1

sée par Ewald qui a introduit à cet effet la notion de réseau récipro-
que.

Le réseau réciproque est l'image du réseau ordinaire dans l’espace
inverse ou dans l’espace des vecteurs d'onde. Chaque nœud du réseau

Normale
|

LEE ctée

Qnde te

Plans

atomiques
pqrg eles

———

Fig. 1.7. Loi de Bragg-Wulff.

L'onde diffractée peut être considérée comme une réflexion spéculaire de l’onde incidente
par un système de plans atomiques pArAIIENES cons . direction de © satisfaisant à la loi de
ragg-Wulff.

réciproque représente un plan de diffraction dans le cristal et a les
mêmes indices que ce plan. Par plan de diffraction on entend non
seulement des plans réels d'indices (kkl) passant par les nœuds du
réseau cristallin mais également des plans ayant des indices multi-
ples des indices de Miller : (nh nk nl), où nr est un entier. A la valeur

(100) (200)

Fig. 1.8. Plans du réseau cristallin et nœuds correspondants du réseau réciproque :

1 — plans du cristal: 2 — nœuds du réseau réciproque (Ch. S. Barret, Structure des métaux,
Moscou, Metallourgizdat, 1948).

n — À correspond la diffraction du premier ordre, à la valeur x — 2
la diffraction du deuxième ordre et ainsi de suite. Les nœuds du
réseau réciproque se situent sur une ligne perpendiculaire au systè-
me de plans donnés dans le cristal, à des distances de l'origine des
coordonnées égales aux inverses des distances réticulaires de ces
plans.

La figure 1.8 montre à titre d'exemple les plans (100) et (200)
du cristal et les nœuds du réseau réciproque qui leur correspondent
400, 200; 000 est l’origine des coordonnées du réseau réciproque.

$S 1.3] DIFFRACTION DANS LES CRISTAUX. RÉSEAU REÉCIPROQUE 17

En représentant de cette façon toutes les autres familles de plans
du cristal, on construit un réseau réciproque tridimensionnel dont
les nœuds représentent tous les plans de diffraction réels et imagi-
naires. La figure 1.9 montre la construction des nœuds du réseau

Fig. 1.9. Partie d'une couche:

© — du réseau réciproque; @ — du réseau cristallin d'un cristal mono ique (Ch. S. Bar-
ret, Structure des métaux, Moscou, Metallourgizdat, 1948).

réciproque pour une partie de la couche d'un cristal monoclinique
et la figure 1.10 représente le réseau réciproque d'un cristal ortho-
rhombique.

a (12 4° 1? Ÿ

TT a Ta

APTE ZAE ea T

TT ET a Ta TT ET
HET nn,
LÀ RE PET

que

Fig. 1.10 Réseau réciproque d’un cristal orthorhombique (Ch. S. Barret,
Structure des métaux, Moscou, Metallourgizdat, 1948).

Les nœuds du réseau réciproque forment toujours un réseau spa-
tial simple, quel que soit le type du réseau spatial du cristal. Ils se
situent aux sommets des mailles élémentaires dont les vecteurs
a*, b*,c* sont liés aux vecteurs a, b, c de la maille élémentaire du

2—726

18 STRUCTURE DES CRISTAUX (CH. 1

cristal par les relations suivantes:

a* — À

[be], b*=— [ea], e*=—- [ab], (1.10)

où V est le volume de la maille élémentaire du réseau direct. Ici,
[bc], [ca], [ab] sont les produits vectoriels des vecteurs élémentaires
du réseau direct. Par conséquent, a* | [be], b* 1 [ca], e* 1 [ab]. Les
modules des vecteurs élémentaires du réseau réciproque ont pour
valeur

Î 1 1
[a*] "4 (100) ? [b*| — "d(010) ? (TE Ton ” (1.11)
et son volume est égal à

VS = {fatb*] =,

de sorte que
VV = 1.
Le vecteur de translation dans le réseau réciproque a pour expres-
sion
r* (kkl) = ha* + kb* + le*. (1.12)
Il est perpendiculaire au plan (kkl) du cristal et son module est égal
à l'inverse de la distance réticulaire
frs RAD =

.. (1.13)

On l'appelle ordinairement vecteur de réseau réciproque.

Considérons maintenant les conditions de diffraction, en utilisant,
avec Ewald, la notion de réseau réciproque.

Menons vers l’origine des coordonnées © du réseau réciproque le
vecteur S;,. du rayon incident de longueur |[S;,.| = | AO | = 1/à
et décrivons par ce vecteur une sphère de centre au point À (fig. 1.11).
Alors les directions de diffraction possibles correspondent aux points
d’intersection de la sphère construite avec les nœuds du réseau réci-
proque. Notamment le maximum de diffraction pour le rayon S;:,.
est observé dans la direction AB qui fait avec la direction de S;,.
un angle 26. En effet, après la réflexion sur les plans (kXL) le rayon
se propagera dans la direction de S,,; qui fait avec le plan (kkl}
l'angle 6. En déplaçant ce vecteur parallèlement à lui-même de façon
que son origine coïncide avec le point À et en reliant entre elles les
extrémités des vecteurs S;,. et S,.;, on obtient un vecteur S qui
caractérise la diffusion du rayon dans la réflexion. Le vecteur S est
appelé vecteur de diffusion. Comme il est visible sur la figure 1.14, son
module est égal au module du vecteur du réseau réciproque : | S | —

= GE correspondant au système de plans {kk!}. D'un autre

& 1.3] DIFFRACTION DANS LES URISTAUX. RESEAU RÉCIPROQUE 19

côté, l'examen de la figure 4.41 montre que | S | = 2] S;,. | sin 6 —
1 e 1 Ld e
PS Dis ZE mm
2--- sin 6 TG) - On en déduit

2d (hkl) sin 6 = À.

Cette expression est celle de la loi de Bragg-Wuiff. Si k, k, L con-
tiennent un multiplicateur commun n, alors, suivant (1.8), la distan-
ce entre les plans (nh nk nl) est n fois plus faible qu'entre les plans

Fig. 1.11. Construction d'Ewald dans le réseau réciproque.

(kkI) et le vecteur du réseau réciproque est n fois plus grand que le

vecteur Par conséquent, 2— sin 0 — On en tire

1 n
d'(hkl) ” d (hkl) °

2d (hkl) sin 6 — nàÀ,

ce qui coïncide avec (1.9). Ainsi le faisceau de diffraction peut être
considéré soit comme une réflexion du n-ième ordre sur des plans
du réseau d'indices de Miller minimaux (kkl), soit comme une réfle-
xion du premier ordre sur un système de plans du cristal séparés l’un
de l’autre par des distances qui sont r» fois plus petites que les distan-
ces entre les plans (hkkI).

Il est commode de porter dans la direction du rayon incident son
vecteur d'onde k de module | k] — 2x/À et dans la direction du
rayon réfléchi son vecteur d'onde k’ dont le module, lors de la diffu-
sion élastique, est lui aussi égal à 2x/A. Alors

k' —k—Gouk —=k+cG, (1.14)

20 STRUCTURE DES CRISTAUX (CH. 1

où G — 21S. Le vecteur G est appelé lui aussi vecteur du réseau
réciproque. Son module est

| G | = 2x/d (hkl). (1.15)

En élevant au carré les deux membres de la relation (1.14), on obtient
k'® — (k + G})°. Comme £’? — k°, on a

k? = (k + G)° (1.16)

2kG + G: = O0. (1.47)

Les relations (1.16) et (1.17) sont équivalentes à la condition de

Bragg de réflexion des ondes dans le cristal. C'est pourquoi on les

considère comme une autre expression de la loi de Bragg-Wulff.
Etant donné que l'impulsion du photon

Pph — fik, (1.18)

l'espace inverse du réseau direct sera également l’espace des impul-
sions. En multipliant (1.14) par %, on obtient la formule suivante:

p' = p + AG. (1.19)

Elle exprime la variation de l'impulsion du photon par suite de la
diffusion élastique.

$ 1.4. Méthodes expérimentales de détermination
de la structure des cristaux

De la loi de Bragg-Wulff il résulte que les figures de diffraction
qui apparaissent lorsque les rayons X passent par un cristal, sont
directement liées à la structure de ce cristal. C’est sur ce fait que
sont fondées les méthodes de diffraction d'étude de la structure des
cristaux. Dans ces méthodes, au lieu des rayons X on peut employer
des faisceaux d'électrons accélérés, de neutrons lents et d'autres
particules.

Examinons sommairement les principales méthodes d'analyse
structurelle des cristaux.

Méthode de Laue. Dans cette méthode un faisceau étroit de rayons
X «blancs» (polychromatiques) contenant toutes les longueurs d'ondes
dans un intervalle AA suffisamment large est dirigé sur un échantil-
lon monocristallin X fixé dans un support spécial (fig. 1.12). De tous
les rayons constituant ce faisceau ne subiront la diffraction que ceux
de longueur d'onde À qui tombent sur des plans atomiques correspon-
dants MM sous un angle 6 satisfaisant à la loi de Bragg-Wulff. Sur la
pellicule radiographique À on voit apparaître des maximums de
diffraction pour des rayons ayant traversé le cristal (prise de vue
directe) ou réfléchis sur le cristal dans le sens inverse et tombant
sur la pellicule B (prise de vue inverse). Le diagramme de Laue,

$ 1.4] M£THODES EXPÉRIMENTALES of

dont un exemple est montré sur la figure 1.13, est constitué par
une série de taches disposées suivant une loi déterminée et caracté-
risant la symétrie du cristal. Si le faisceau incident passe dans la

Fig. 1.12. Méthode de Laue:

SO — faisceau primaire de rayons X « blancs», D — collimateur: K — cristal : AAM—
trace du plan cristallographique ; 6 — angle de réflexion de Bragg; KL — rayon « réfléchi »;
A, B — pellicules radiographiques; O — centre du diagramme radiographique.

direction de l’axe du 4-ième ordre par exemple, le diagramme de
Laue possède un axe de symétrie du 4-ième ordre. Le diagramme de
Laue représenté sur la ficure 1.13 a été obtenu en faisant passer un

Fig. 1.13. Diagramme de Laue d'un cristal de quartz.

faisceau de rayons à travers un cristal de quartz le long de l’axe de
symétrie du 6-ième ordre.

La méthode de Laue est largement utilisée pour la détermination
de l'orientation des cristaux et rarement pour l'étude de leur struc-

22 STRUCTURE DES CRISTAUX [CA 1

ture parce que le grand nombre de réflexions sur un même plan
atomique a pour résultat une superposition des taches obtenues par
suite de la réflexion de divers ordres, ce qui rend difficile l’interpré-
tation des taches et la détermination de la structure du cristal.
Méthode du cristal tournant. Le monocristal X est fixé (fig. 1.14)
dans un support spécial suivant l’axe d’une chambre cylindrique
dont les parois sont recouvertes de pellicule radiographique. L'échan-
tillon est illuminé avec un faisceau étroit de rayons X monochro-
matiques. La rotation de l'échantillon autour de l’axe fait varier

Faisceau de rayons X
monochromatiques

Fig. 1.14. Méthode du cristal tournant:

K — monocristal; 1 — chambre cylindrique dont la surface intéricure porte une pellicule
radiographique ; 2 — support de crist al ;: 3 — poulie pour l'entraînement en rotation du cris-
tal (du livre de Ch. S. Barret, Structure des métaux).

l'angle 6 entre les rayons et un plan atomique donné. Si cet angle
prend une valeur telle que pour la longueur d'onde donnée À est satis-
faite la condition de Bragg-Wulff, il apparaît un maximum de
diffraction qui est fixé sur la pellicule. I] est évident que des plans
atomiques verticaux donneront des maximums de diffraction situés
dans un plan horizontal.

Üne variété de méthode du cristal tournant est la méthode du
monocristal balançant dans laquelle le cristal tourne autour de son
axe dans un intervalle déterminé d’angles. Cela diminue la probabi-
lité de superposition des maximums de diffraction dus à divers plans.
Si on fait tourner aussi la pellicule en synchronisme avec la rotation
du cristal, on peut exclure presque totalement les superpositions
des taches. Pour l'enregistrement des maximums de diffraction on
utilise, dans certains spectromètres, divers compteurs permettant
de déterminer non seulement les positions mais également l'intensité
des maximums de diffraction.

Méthode des poudres (méthode de Debye). Pour l'enregistrement
de radiogrammes par la méthode des poudres un pinceau monochroma-
tique de rayons X est dirigé sur une poudre cristalline (fig. 1.15).

$ 1.4] M£THODES EXPERIMENTALES 23

Si les grains de cette poudre sont suffisamment fins et orientés de
façon désordonnée, il existe toujours parmi eux des grains dont les
plans réticulaires forment avec le rayon incident des angles de Bragg.
Dans des grains différents de tels angles seront formés par des plans

K3 K,

488)

Faisceau de rayons X L> NY
monochromatiques NX / D,
En e) MA Î +
Collimateur (| |
War
\7

Fig. 1.15. Méthode des poudres:

O — échantillon de poudre ou de polycristal à grains fins, P — pellicule placée dans une

chambre cylindrique ; X,, K. — cônes coaxiaux suivant lesquels les rayons réfléchis sous des

angles de Bragg se propagent dans le sens direct; Æ;, —— cônes suivant lesquels les rayons

réfléchis sous des angles de Bragg se propagent dans 1e sens inverse : 1, 2, 3 — lignes d'in-
tersection des cônes avec la pellicule cylindrique.

réticulaires ayant, dans le cas général, des indices (kl) différents.
On observe donc simultanément toutes les réflexions qu'on pourrait
obtenir pour un monocristal de la même substance lors de sa rota-
tion. Du fait de la symétrie totale des réflexions possibles par rapport

in LU.

2s
|

| ‘ | n

rl
ï |

0
l

TUE PET EE
| bi! il fé () ; | il | LU

Fig. 1.16. Diagramme de Debye d'une poudre cristalline.
au pinceau primaire les rayons « réfléchis » sont dirigés le long d'une
famille de cônes coaxiaux dont l'axe est la direction du pinceau pri-
maire et les angles d'ouverture sont égaux à 46, où 8 est l'angle de
réflexion de Bragg.

L'échantillon est fixé au centre d'une chambre cylindrique dont
la surface intérieure porte une pellicule photographique. Les cônes se
coupent avec la pellicule suivant des courbes du 4-ième ordre dont
un exemple est schématiquement représenté sur la figure 1.16. En
mesurant la distance (2s) entre les lignes, on peut déterminer les an-
gles de réflexion sur des plans réticulaires différents et donc calculer,
à l’aide de l'équation de Bragg-Wulff, les distances réticulaires cor-
respondantes.

24 STRUCTURE DES CRISTAUX (CH. 1

$ 1.5. Classification des cristaux suivant
les types de liaison

La structure cristalline et les propriétés des corps solides se
déterminent pour une large part par le caractère des forces de liaison
entre les particules. Etudions sommairement les principaux types
de liaison dans les solides et les structures cristallines types qui leur
correspondent.

Cristaux ioniques. Les atomes qui occupent dans le système
périodique de Mendéléev des places près des gaz inertes peuvent
assez facilement prendre la configuration de leurs couches électroni-
ques en cédant ou en acceptant des électrons. C’est ainsi que dans
les atomes de métaux alcalins qui suivent immédiatement les gaz
inertes, l’électron de valence gravite en dehors de la couche remplie
et est lié au noyau de façon relativement faible si bien que l'énergie
d'ionisation de ces atomes est faible (de l’ordre de 5 eV). Chez les
halogènes qui précèdent immédiatement les gaz inertes, il manque
un électron pour former une couche électronique stable de gaz noble.
Ils possèdent donc une forte affinité électronique pour l'électron
additionnel (de l’ordre de 3 eV).

La liaison entre les atomes de ce genre, c’est-à-dire entre les
métaux forts et les halogènes, s'effectue de la façon suivante. Tout
d'abord il se produit le changement de charge des deux atomes:
l'électron de l'atome de métal passe dans l’atome d’halogène. Il en
résulte que l’atome de métal se transforme en ion chargé positive-
ment (cation) et l’atome d’halogène en ion chargé négativement
(anion). Ces ions interagissent l’un avec l’autre suivant la loi de
Coulomb comme deux charges de noms contraires. Une telle liaison
est dite ionique ou hétéropolaire.

L’ énergie d'attraction des ions distants l’un de l’autre de r est
égale à Ur = — et/(4neor), où e est la charge de l’ion. Lorsque les
ions se rapprochent à une distance suffisamment petite, il se crée
la répulsion dont l'énergie est suivant Born égale à Uxp = B/r",
où B et n sont des constantes. L'énergie d'interaction résultante
a pour valeur

6 PRE PE ES (1.20)

r" 4TEor

La distance d'équilibre r, entre les ions s'obtient si on annule la
dérivée de Ü par rapport à r (fig. 1.1):

4negpnB \n-i
To — en — à

& 1.5] CLASSIFICATION DES CRISTAUX 25

En déterminant à partir de cette dernière expression B et en portant
sa valeur dans (1.20), on obtient

0e = (1). (1.21)

un 4TEor0 n
L'énergie d’un réseau construit à partir de W paires d'ions a pour
expression

D NA (1—-+) | (1.22)

400
où À est la constante de Madelung qui tient compte du fait que l'ion

considéré interagit non seulement avec son voisin le plus proche mais
également avec les autres ions du réseau.

Fig. 1.17. Réseau cubique du chlo- Fig. 1.18. Réseau cubique de chloru-
rure de sodium de nombre de coordi- re de césium de nombre de coordina-
pation z = 6. tion = = 8.

Dans les cristaux ioniques il n’existe pas de molécules distinctes :
chaque ion chargé positivement est entouré d’un nombre corres-
pondant d'ions chargés négativement et il en est exactement de
même pour les ions chargés négativement dont chacun est entouré
par un même nombre d'ions chargés positivement. Le nombre z de
voisins les plus proches entourant un ion (atome) est appelé zombre de
coordination. Pour les réseaux ioniques ce nombre dépend du rapport
du rayon r. du cation au rayon r, de l’anion, c’est-à-dire de R —
= rlr. Pour R>0,73, ce qui a lieu par exemple pour CsCl,
z—=8; pour 0,41 < R <0,73, comme chez NaCIl, z —6; pour
R < 0,41, comme chez Lil, z = 4.

La figure 1.17 montre un réseau cubique du cristal de NaCI dans
lequel chaque ion chlore est entouré de six ions Na* et chaque ion
sodium de six ions chlore CIl-. La figure 1.18 montre la disposition
de huit ions césium autour d’un ion chlore dans le réseau de CsCI.

La liaison ionique est une liaison forte dont l'énergie est com-
prise entre quelques centaines et quelques milliers de kilojoules par

26 SDRUCTURE DES CRISTAUX (OH. 1

mole. Cela explique pourquoi les solides à liaison ionique possèdent
une résistance et une dureté considérables, un point de fusion élevé
et une forte chaleur de sublimation. Leur conductibilité électrique
a une nature ionique et dépend fortement de la température. De
nombreux cristaux ioniques sont transparents dans une large gamme
de longueurs d'onde.

Cristaux atomiques (covalents). Pour illustrer la nature de la
liaison covalente, considérons un exemple bien simple d'interaction

du nua
ique

té
lectron

5 Densi
é

Fig. 1.19. Explication de la nature de la liaison covalente dans une molécule
d'hydrogène :

a — représentation schématique des atomes d'hydrogène: b — répartition de la densité

électronique dans le système de deux atomes d'hydrogène: 1 — répartition de la densité

électronique dans des atomes d'hydrogène isolés ; £ — densité électronique qui serait obtenue

par une simple superposition des nuages électroniques des atomes isolés rapprnchés à une

distance r.; 3 — répartition réelle de la densité électronique dans une molécule d'hydrogène.

de deux atomes d'hydrogène À et B (fig. 1.19, a). Comme la densité
du nuage électronique décrivant l’état d’un électron dans l’atome
décroît rapidement à mesure qu’on s'éloigne du noyau, à une grande
distance entre les atomes la probabilité de localiser l’électron Z près
du noyau b et l'électron 2 près du noyau a est négligeable. Aussi,
les atomes À et B peuvent-ils être considérés comme isolés et l’éner-
gie du système constitué de deux atomes comme égale à 2£Æ5, où £;,
est l’énergie d’un atome isolé.

Au fur et à mesure que les atomes se rapprochent, la probabilite
de passage des électrons dans les noyaux « étrangers » augmente.
Pour r & 0,2 nm il se produit un recouvrement notable des nuages
électroniques de ces atomes et la fréquence de passage atteint une
valeur de 101 s-1. Si les atomes se rapprochent encore, le degré de

& 1.5] CLASSIFICATION DES CRISTAUX 27

recouvrement des nuages électroniques augmente et la fréquence
d'échange d'électrons entre les atomes devient si élevée que l’affir-
mation que l’électron Z appartient à l’atome À et l’électron 2 à l’ato-
me B cesse d’avoir un sens. Cela correspond à la création d’un
nouvel état qui n’est pas inhérent à un système constitué de deux
atomes isolés. Une chose remarquable est que dans cet état les électrons
appartiennent aux deux noyaux à la fois ou, comme on dit, sont
mis en commun.

La mise en commun des électrons s'accompagne d'une redistribu-
tion de la densité électronique et d'une variation de l'énergie du sys-
tème par rapport à l'énergie totale 2E, des atomes isolés. La redistri-
bution consiste à « entraîner » les nuages électroniques dans l’espace
entre les noyaux: à une petite distance du noyau, en dehors de cet
espace, la densité des nuages diminue par rapport à la densité des
nuages dans les atomes isolés tandis que dans l’espace entre les
noyaux cette densité augmente par rapport à celle qui pourrait être
obtenue par l'addition dans cet espace des nuages des atomes isolés
(fig. 1.19, b). |

L'apparition d’un état à densité élevée du nuage électronique,
remplissant l’espace entre les noyaux, provoque toujours une dimi-
nution de l'énergie du système et conduit à l'apparition de forces
d'attraction. De façon imagée, tout se passe comme si le nuage
électronique de densité élevée, qui est formé dans l’espace entre les
noyaux par deux électrons mis en commun, attirait les noyaux l’un
vers l’autre en cherchant à les rapprocher au maximum l’un de l’autre.

Un calcul de mécanique quantique montre que le passage des
atomes isolés H à une molécule H, donne lieu aux phénomènes sui-
vants :

— l'énergie d'attraction des électrons par les noyaux varie de
—4260 kJ/mole;

— il apparaît l'énergie de répulsion des électrons égale à
1540 kJ/mole:;

— il apparaît l'énergie de répulsion des noyaux égale à
+1905 kJ/mole;

— l'énergie cinétique des électrons augmente de +402 kJ/mole.

L'énergie résultante doit ainsi être égale à U, — — 413 kJ/mole,
‘ce qui est proche de la valeur expérimentale égale à —456 kJ/mole.

L'énergie de liaison qui prend naissance par suite de la mise en
commun des électrons deux à deux est souvent appelée énerrie
d'échange parce qu’elle apparaît par suite d'un échange d'électrons
entre les atomes. En réalité, c’est une énergie électrostatique d’inter-
action entre le nuage électronique de densité accrue formé entre les
atomes et les noyaux de ces atomes. Elle peut être donnée par l’ex-
pression approchée suivante :

Ugen = —2J (S1°S:), (1.23)

28 STRUCTURE DES CRISTAUX (CH. f

où S,, S, sont les spins des électrons mis en commun; J est une
intégrale dite d'échange qui exprime le résultat de la superposition
des nuages électroniques des atomes rapprochés. Le signe de J dans
les molécules est en règle générale négatif. Pour que U:., soit dans
ce cas négative, c’est-à-dire pour qu'entre les atomes s'exerce une
force d'attraction, les spins des électrons à apparier (à mettre en
commun) doivent être antiparallèles. Lorsque les spins sont parallè-
les, U;:.r > 0 et les atomes se repoussent du fait que suivant le:
principe de Pauli la densité du nuage électronique dans l’espace
entre les noyaux se trouve voisine de zéro.

Les propriétés caractéristiques de la liaison covalente sont sa
saturabilité et sa directivité. La saturabilité consiste en ce que chaque:
atome est capable de former une liaison covalente seulement avec un:
nombre bien déterminé de voisins (cela détermine le nombre de
coordination du réseau dans lequel s'exerce cette liaison). La liaison
covalente se forme dans la direction où est disposée la plus grande
partie du nuage électronique correspondant aux électrons de valence.
I] en résulte un recouvrement maximal des nuages des électrons
à coupler. C’est là que réside le caractère directif de la liaison
covalente qui joue un grand rôle dans la détermination de la disposi-
tion spatiale des atomes dans le réseau.

Un exemple typique de structures cristallines à liaison covalente:
est fourni par la structure du type de diamant dont le réseau est
représenté par la figure 1.5, b. D’autres éléments chimiques du sous-
groupe IVB du tableau de Mendéléev — le silicium, le germanium,
l'étain gris — ont le même réseau. Les atomes de ces éléments ont
quatre électrons de valence qu'ils mettent en commun avec les
électrons de quatre atomes voisins comme il est schématiquement
représenté sur la figure 1.20. Aussi, chaque atome dans le réseau est-il
entouré de quatre voisins les plus proches situés aux sommets d'un
tétraèdre représenté en pointillé sur la figure 1.5, b.

L'énergie d’une liaison covalente est bien élevée, de l’ordre de-
quelques centaines de kilojoules par mole. Aussi les cristaux cova-
lents se caractérisent-ils par une haute résistance mécanique et la
dureté, possèdent les points de fusion élevés et une forte chaleur de
sublimation. Au point de vue électrique ils sont des diélectriques
au voisinage de 0 K et des semiconducteurs pour T > 0 K. Plusieurs.
d’entre eux sont transparents dans la partie ondes longues du spectre.

Cristaux métalliques. Les électrons de valence périphériques.
dans les atomes de métaux sont liés de façon relativement faible.
Lors de la formation de l’état solide, les atomes se disposent si près.
l'un de l’autre que les électrons de valence acquièrent la faculté de-
quitter leurs atomes et de se déplacer librement à l’intérieur du
réseau cristallin. Une telle mise en commun des électrons conduit.
à leur répartition uniforme dans le réseau du métal. La liaison prend
naissance par suite de l'interaction des ions positifs du réseau avec le

& 1.5] CLASSIFICATION DES CRISTAUX 29
TT

gaz électronique : les électrons se trouvant entre les ions attirent ces
derniers les uns vers les autres en équilibrant les forces de répulsion
qui s’exercent entre les ions eux-mêmes.

La liaison métallique est propre à des métaux typiques et à de
nombreux composés intermétalliques. L'énergie de cette liaison
est elle aussi bien élevée (quelques centaines de kilojoules par mole).
Les réseaux caractéristiques des métaux sont des réseaux à faces
centrées cubiques, cubiques centrés et un réseau hexagonal compact.

Fig. 1.20. Formation d’une liaison covalente dans le silicium par la mise eu
commun, deux à deux, des électrons.

Les métaux possèdent des hautes conductibilités électrique et ther-
mique dues à la présence d'électrons libres et une haute plasticité
due au caractère de la liaison permettant le déplacement sans destruc-
tion d'une partie du réseau par rapport à l’autre à des distances
considérables. La présence d'électrons libres explique aussi la non-
transparence et un haut pouvoir réflecteur des métaux.

Cristaux moléculaires. La forme la plus générale de la liaison qui
apparaît entre les atomes et les molécules de toute espèce est la
liaison de Van der Waals. Elle se manifeste presque dans toute sa
pureté entre des molécules à liaisons chimiques saturées (0;, H,
CH, et autres), ainsi qu'entre les atomes de gaz inertes. Dans le cas
général cette liaison contient des interactions de dispersion, d'orien-
tation et d'induction.

Interaction de dispersion. Considérons l'exemple le plus simple
de l'interaction de deux atomes d’hélium (fig. 4.21). La distribution
de la densité électronique dans l’atome d’hélium présente une symé-
trie sphérique de sorte qué son moment électrique est nul. Lorsque les
atomes se rapprochent, ils se polarisent et dans le mouvement des

30 STRUCTURE DES CRISTAUX (ŒH. t

électrons il s'établit une corrélation qui provoque l'apparition de
forces d'interaction. Si le mouvement est corrélé comme le montre
la figure 1.21, a, il se produit entre les dipôles instantanés une attrac-
tion qui fait naître entre les atomes des forces de liaison; pour la
corrélation montrée sur la figure 1.21, b c’est la répulsion qui se pro-
duit entre les atomes. Comme la réalisation de la corrélation repré-
sentée sur la figure 1.21, a entraîne une diminution de l'énergie du

Atomes d'hélium Atomes d'hélium

o
o

Dipôles instantanés Dipôles instantanés
(attraction) (répulsion)
a) )
+ C) E d)

Fig. 1.21. Liaison de Van der Waals:

a, b — interaction de dispersion de London de deux atomes d'hélium: attraction instanta-

née (a) et répulsion (b) des dipôles électriques instantanés qui prennent naissance par suite

de la polarisation mutuelle des atomes (du livre de G. Pimentel,k. Spratly, Comment la méca-

nique quantique explique-t-elle la liaison chimique ?); c — interaction d'orientation des molé-

cules possédant des moments électriques constants (pour l'explication, voir le texte), d —

interaction d'induction des molécules polaires possédant une autre polarisabilité (pour
l'explication, voir le texte).

système, cette configuration est la plus probable et est le plus souvent
réalisée. ce qui détermine précisément l'apparition d’une force d’at-
traction s'exerçant en permanence. Une telle interaction qui a été
étudiée quantiquement pour la première fois par London est appelée
interaction de dispersion. L'énergie de cette interaction a pour valeur

Uaisp= per

où rest la distance entre les molécules ; & leur polarisabilité ; Z l’é-
nergie d'excitation des molécules.

Interaction d’orientation. Si les molécules possèdent un moment
dipolaire constant M, c'est-à-dire sont polaires, il. se produit entre

& 1.5] CLASSIFICATION DBS CRISTAUX 31

elles une interaction électrostatique qui tend à ordonner la disposi-
tion des dipôles (fig. 1.21, c). Une telle mise en ordre provoque une
diminution de l'énergie du système et l'apparition de forces d’attrac-
tion. Aux températures élevées l’énergie d'interaction d'orientation
a pour valeur

MS |
Vor et

où rest la distance entre les molécules.

Interaction d’induction. Dans les molécules polaires possédant
une haute polarisabilité peut apparaître, sous l'effet des dipôles cons-
tants des molécules voisines, un moment induit (la figure 1.21, d
montre les dipôles induits en pointillé). L'énergie d'attraction
mutuelle entre le dipôle rigide de la première molécule et le dipôle
induit de la deuxième molécule est égale d’après Debye à

aM?
Vin Br 75

où r est la distance entre les molécules.

La liaison de Van der Waals est la plus faible — son énergie est.
de l’ordre de quelques kilojoules par mole. Cela explique pourquoi
toutes les structures fondées sur cette liaison sont peu stables, volati-
les et ont des points de fusion bas. Au point de vue électrique elles
sont des diélectriques. De nombreux cristaux de ce type sont trans-
parents aux rayonnements électromagnétiques jusqu’à l’ultraviolet
lointain.

Avant de clore ce paragraphe, il convient de souligner que dans
les cristaux réels chacune des liaisons qui viennent d’être considé-
rées se rencontre rarement dans sa pureté. En pratique on a toujours
une superposition de deux (ou plusieurs) types de liaisons. L'une d’el-

les est prédominante et détermine la structure et les propriétés du
Corps.

CHAPITRE 2

IMPERFECTIONS DANS LES CRISTAUX

A la différence des cristaux parfaits ayant une structure régulière rigou-
reusement périodique, les cristaux réels présentent diverses imperfections qui ont
une forte influence pratiquement sur toutes leurs propriétés.

Parmi les défauts de structure cristalline il convient de distinguer les défauts
ponctuels, .les défauts linéaires, les défauts bidimensionnels et les défauts
tridimensionnels. Etudions sommairement la nature de ces défauts.

$ 2.1. Défauts ponctuels

Défauts de Frenkel. La répartition de l'énergie entre les atomes
d’un solide est inégale de même que la répartition entre les molé-
cules d’un gaz et d’un liquide. A toute température il existe dans

Fig. 2.1. Défauts de Frenkel (a) et de Schottky (b):

Les défauts de Frenkel se forment par suite d'une « évaporation intérieure » des atomes situés

aux nœuds du réseau avec formation de vacances ct par suite de leur « condensation » dans

les interstices avec formation d’atomes disloqués. Aussi, se manifestent-ils toujours par

paires. Les défauts de Schottky se forment par suite d’une évaporation totale ou partielle des
atomes à partir de la surface avec formation de vacances seulement.

le cristal des atomes dont l’énergie est plusieurs fois plus grande
ou plus petite que l'énergie moyenne déterminée par la température
du cristal. Les atomes qui possèdent, à un instant donné, une énergie
suffisamment haute peuvent non seulement s'éloigner à des distances
considérables de la position d'équilibre mais aussi franchir la bar-
rière de potentiel créée par des atomes voisins et passer dans un nouvel
entourage, dans une nouvelle maille élémentaire. Tout se passe
comme si de tels atomes avaient la possibilité de « s'évaporer » de
leurs nœuds et de « se condenser » dans les interstices (fig. 2.1, a).

$ 2.1] DEFAUTS PONCTUELS 33

Ce processus s'accompagne d'apparition d'un nœud vacant (d'une
vacance) et d'un atome dans l'interstice (d’un afome disloqué). Les
défauts de ce type du réseau cristallin sont appelés défauts de Frenkel.

Défauts de Schottky. En plus de l’évaporation interne il est
possible que les atomes s’évaporent en partie ou en totalité sur la
surface du cristal. Dans l’évaporation totale l’atome quitte la sur-
face du cristal et se résout en vapeur tandis que dans l’évaporation
partielle l’atome passe de la surface dans une position au-dessus de la
surface (fig. 2.1, b). Dans les deux cas une vacance se forme dans la
couche superficielle du cristal. La substitution de la vacance par un
atome situé plus profondément l'entraîne à l’intérieur du cristal.
Une telle formation de vacances ne s'accompagne pas d’une intro-
duction simultanée des atomes dans les interstices, c'est-à-dire de
l'apparition des atomes disloqués. Les vacances de ce type sont
appelées défauts de Schottky. Leur source peut être constituée aussi
par toutes les imperfections possibles du cristal : les plans réticulaires
incomplets, les frontières des blocs et des grains, les fissures micro-
scopiques, etc.

La concentration d'équilibre de défauts dans le cristal dépend
avant tout de la température parce que l'élévation de la température
augmente le nombre d’atomes dont l'énergie devient suffisante pour
vaincre la liaison avec les voisins et former un défaut. Suivant la loi
de Boltzmann le nombre de tels défauts est proportionnel à
exp [ —U/(XT)], où U est l'énergie de formation du défaut; T la tem-
pérature thermodynamique du cristal. Les calculs montrent que le
nombre d'équilibre de défauts de Frenkel dans un cristal contenant N
nœuds et V, interstices est déterminé par la relation suivante:

Nr = VNN,expi—U;/(2kT)]. (2.1)
Le nombre d'équilibre de défauts de Schottky a pour valeur
Ns = N exp [US/(XT)], (2.2)

où Ur, U, sont les énergies de formation des défauts de Frenkel et
de Schottky respectivement.

Pour la formation des défauts de Frenkel l'atome passant d’un
nœud dans’un interstice doit non seulement rompre ses liaisons avec
les atomes voisins mais encore écarter ces atomes pour s'introduire
entre eux. Cela exige de dépenser une énergie considérable et ne peut
se produire pratiquement que dans des cristaux constitués de deux
espèces d'atomes fortement différents par leurs dimensions, par
exemple dans les cristaux ioniques, les solutions solides intersti-
cielles, etc. Dans les cristaux de structure compacte, constituées
d'atomes de même type, par exemple dans les cristaux métalliques,
les défauts de Frenkel ne peuvent pas pratiquement apparaître et les
défauts principaux sont ceux de Schottky. Les calculs motrent que
3—726

34 IMPERFECTIONS DANS LES CRISTAUX ICH. 2

dans un cristal de cuivre à T — 1000 °C la concentration de vacances
NSs/N & 107 et la concentration de défauts de Frenkel W,/N & 1073.

En plus des vacances uniques de petites accumulations et notam-
ment des vacances doubles et triples peuvent se former, ce qui souvent
est plus avantageux au point de vue énergétique. En effet, lors de
la formation d'une vacance unique l’atome qui quitte un nœud du
réseau surmonte les liaisons avec z voisins (2 étant le nombre de
coordination du réseau). Lors de la formation d’une divacance le

Fig. 2.2. Atomes d'impureté en position intersticielle (a) et en position substi-
tutionnelle (b).

deuxième atome qui s'éloigne d’un nœud voisin n'a à vaincre la liai-
son qu'avec un plus petit nombre de voisins. Aussi l'énergie néces-
saire à la formation d’une divacance doit-elle être inférieure à l'é-
nergie nécessaire à la formation de deux vacances isolées.

Dans les composés semiconducteurs, dans AD par exemple,
l'apparition de la lacune d'un des constituants trouble la stæchio-
métrie du composé et fait apparaître un excès d'atomes de l’autre

constituant. Les atomes en excès de constituant A'lT se comportent
dans le cristal comme des accepteurs et les atomes en excès de consti-

tuant BŸ comme des donneurs.

Impuretés. Les corps solides même d'un très haut degré de pureté
contiennent toujours des impuretés. Suivant leur nature et leur quan-
tité les impuretés peuvent se trouver dans un cristal soit sous forme
dissoute, soit sous la forme d'inclusions plus ou moins grandes. Le
processus de dissolution consiste en ce que les atomes d'impureté
s'introduisent dans les intervalles entre les atomes du cristal
(fig. 2.2, a) ou se substituent à une partie de ces atomes en occupant
les nœuds du réseau (fig. 2.2, b). Dans le premier cas, la solution
solide est dite interstitielle et dans le second cas substitutionnelle.
Comme la nature physique et les dimensions des atomes étrangers
différent de celles des atomes principaux du cristal, leur présence
trouble la structure régulière du réseau cristallin.

6 2.1] DÉFAUTS PONCTUELS 39

Les impuretés peuvent avoir une influence considérable sur tou-
tes les propriétés des solides. Elles constituent des centres de diffusion
effectifs en déterminant la résistance électrique des métaux qui ne
disparaît pas à O0 K (si le métal ne passe pas à l’état supraconducteur).
Dans les cristaux semiconducteurs les impuretés produisent de nou-
veaux niveaux énergétiques et donnent lieu à une conductibilité
d'impureté.

Les méthodes de purification modernes permettent d'obtenir
des matériaux avec une teneur d’'impuretés jusqu’à 10-°% (101 ato-
mes d’impureté par 4 cm*). Pourtant les exigences concernant l’élé-
vation du degré de pureté augmentent toujours et dans l'avenir le

HEVEC
28860

OLIOE

Fig. 2.3. Schéma du modèle d’un centre F représentant une vacance d'anion
ayant capte un électron (emprunté au livre de C. Kittel, Zntroduction à la physi-
que du solide).

plus proche on demandera des matériaux avec une teneur d'impureté
de 10-19 à 10-12%. Cela concerne avant tout les matériaux utilisés
dans les installations de synthèse thermonucléaire, les matériaux
pour la microélectronique et autres branches de la technique. De
tels matériaux sont difficiles non seulement à obtenir mais aussi
à conserver en parfait état de pureté surtout dans le cas où ils sont
soumis à un traitement quelconque.

Centres de coloration. Si un cristal transparent d’halogénure,
de NaCI par exemple, est chauffé dans les vapeurs de sodium, il prend
une couleur jaune caractéristique ; les cristaux de KCI chauffés dans
les vapeurs de potassium deviennent rouges, etc. La coloration
s'explique par l'apparition dans les cristaux de défauts ponctuels
particuliers qu'on appelle centres de couleur ou de coloration. Ces cen-
tres absorbent la lumière dans le domaine visible du spectre.

Les centres de coloration les plus simples sont des centres dits F
qui apparaissent de la façon suivante. Lorsque NaCl est chauffé dans
les vapeurs de sodium, il apparaît dans le cristal un excès (par rap-
port à la stœchiométrie) d'atomes de Na dont la concentration peut
atteindre une valeur de 1016 à 101? cm-°. Le trouble de la stæchiomé-
trie donne lieu à l'apparition de lacunes d’anions (fig. 2.3) et d'une

36 IMPERFECTIONS DANS LES CRISTAUX (CH. 2

charge positive de cations non compensée autour de ces lacunes. Un
tel centre chargé positivement capte un électron libre d’'atomes ioni-
sés de sodium en formant un système qui rappelle, dans une certaine
mesure, un atome d'hydrogène et qui est capable d absorber la lumiè-
re lors de l'excitation et de l’émettre lors du passage à l’état nor-
mal. Pour les cristaux de sodium le maximum de la bande d'absorp-
tion correspond à l’énergie de 2,7 eV (À — 460 nm), pour le chlorure
de potassium 2,2 eV (À — 565 nm).

Les centres F peuvent former des complexes constitués de deux
centres F, de trois centres F, etc. De tels centres complexes sont
appelés centres 7 et R respectivement.

Un excès d’atomes d'halogène dans le cristal a pour effet la
formation de lacunes de cations qui peuvent capter des trous. en
formant des centres de coloration qu'on appelle centres V et des com-
plexes composés de plusieurs centres.

Les centres de coloration dans le cristal peuvent être créés non
seulement par l'introduction des atomes en excès (par rapport à la
stœchiométrie) d’un constituant ou d’un autre de composé mais
aussi par le bombardement des cristaux par des particules accélérées —
électrons, neutrons et autres et par l’irradiation des cristaux par
les quanta X et gamma.

$ 2.2. Défauts linéaires

Ils sont représentés par des dislocations coin et vis.

Dislocations coins. Imaginons qu’un des plans atomiques
(plan M de la figure 2.4, a) ne s'étend pas à travers tout le cristal
mais s’interrompt à son intérieur. Le bord de ce plan constitue un
défaut linéaire (dérangement du réseau) qu'on appelle dislocation
coin, le plan M lui-même étant dit extraplan. La figure 2.4, b montre
la disposition des atomes dans un plan perpendiculaire à une dislo-
cation coin. Le plan atomique « superflu » OM est un extraplan et
le point ©, où il est coupé, représente le centre de dislocation. La
rangée atomique Z passant par le point O contient un atome de plus
que la rangée ? située plus bas. Ainsi la distance entre les atomes de
la rangée Z près du centre de dislocation O est plus petite que la dis-
tance normale de sorte que le réseau est ici serré; quant à la distance
entre les atomes de la rangée 2 près du point ©, elle est plus grande
que la distance normale de sorte qu'ici le réseau est étiré. A mesure
qu'on se déplace à partir du centre de dislocation vers la droite ou
vers la gauche, vers le haut ou vers le bas, la déformation du réseau
diminue progressivement et, à une certaine distance de ©, une dis-
position normale des atomes se rétablit dans le cristal. Dans la direc-
tion perpendiculaire au plan de la figure la dislocation passe par
tout le cristal et sort sur sa surface.

& 2.2] DEFAUTS LINBAIRES 37

Si l’extraplan se situe dans la partie supérieure du cristal, comme
l'indique la figure 2.4, b, la dislocation est considérée comme positive

Fig. 2.4. Schéma d'une dislocation coin:
a — Je bord du plan Af, qui s'interrompt à l'intérieur du cristal, forme une dislocation coin;

b — disposition des atomes près du centre © d'une dislocation positive: ec — idem près du
centre d’une dislocation négative. La région ST ALL est entourcte d'un cercle en
pointillé.

et marquée de signe _L, s’il se situe dans la partie inférieure du cris-
tal (fig. 2.4, c), la dislocation est dite négative et désignée par le
signe T . Les dislocations de même nom, situées dans un même plan
atomique, se repoussent, les dislocations de nom contraire s’attirent.

Fig. 2.5. Construction d'un contour et d'un vecteur de Burgers:

a — contour de Burgers ABCD pour une région de cristal ne contenant pas de dislocation
coin; b — contour de Burgers ABCDE pour une région de cristal contenant une dislocation
coin; b — vecteur de Burgers.

Quantitativement les dislocations sont décrites à l’aide de con-
tour et de vecteur de Burgers. La figure 2.5, a montre la construction
d’un tel contour pour une partie du cristal qui ne contient pas de

38 IMPERFECTIONS DANS LES CRISTAUX (OH: 2

dislocation : en sortant du point À et en effectuant nr déplacements
atomiques dans le sens des x négatifs, puis m déplacements atomi-
ques dans le sens des y négatifs, puis #7 déplacements dans le sens
des x positifs et m déplacements dans le sens des y positifs, on re-
vient au point À après avoir décrit un contour fermé ABCDA. En
effectuant un tel parcours de la région du cristal contenant une
dislocation coin (fig. 2.5, b), on obtient un contour non fermé
ABCDE. Le vecteur b nécessaire pour fermer ce contour est appelé
vecteur de Burgers, et le contour lui-même est dit contour de Bur-
gers. Les dislocations dont le vecteur de Burgers est égal au vecteur
de translation ou est son multiple entier sont dites totales; les dislo-
cations dont le vecteur de Burgers est plus petit que le vecteur de
translation sont dites partielles.

Comme le montre la figure 2.5, b, dans le cas de la dislocation
coin le vecteur de Burgers est perpendiculaire à la ligne de dislocation.

Dislocations vis. Imaginons que sous l'action des contraintes
tangentielles + il s’est produit suivant le plan P un décalage d'une
partie du cristal par rapport à l’autre, comme il est montré sur la
figure 2.6, a. L'examen de la figure montre que dans la plus grande
partie du cristal le décalage s’est effectué d'une distance atomique
de sorte que loin de la ligne O0" jusqu’à laquelle s’est propagé le
décalage, est conservée une disposition régulière des atomes propre
à un cristal non perturbé. Au voisinage de la ligne OO”, les atomes
des plans atomiques situés à droite et à gauche du plan de décalage P
sont décalés les uns par rapport aux autres. Ce décalage provoque
une déformation locale du réseau qu’on appelle dislocation vis. La
ligne O0" est appelée axe ou ligne de dislocation.

La figure 2.6, a montre un contour de Burgers. On voit sur cette
figure que pour fermer ce contour il est nécessaire d'introduire un

—
vecteur supplémentaire b — FA parallèle à la ligne de dislocation.
Ce vecteur est celui de Burgers. A la différence de la dislocation
coin où le vecteur b est perpendiculaire à la ligne de dislocation,
dans la dislocation vis le vecteur b est parallèle à cette ligne.

On distingue les dislocations vis à droite et à gauche (fig. 2.6, b).
Leur déplacement dans des sens opposés conduit au décalage d’un
même signe.

Puisque le réseau cristallin dans la région de dislocation est
déformé, dans cette région prennent naissance des contraintes élasti-
ques Ouisi et est emmagasinée une énergie élastique E jis1 du réseau
déformé. Pour une dislocation coin on peut les exprimer par des
formules approchées suivantes :

Gb
Odist À 557 à (2-5)

Eas SSL, 2.4)

$ 2.2] DÉFAUTS LINBAIRES 39

Fig. 2.6. Contour de Burgers ABCDEF et vecteur de Burgers b pour une disloca-
tion vis (a); b — dislocations vis à droite et à gauche.

40 IMPERFECTIONS DANS LES CRISTAUX (CH. 2

où G est le module de cisaillement ; b le module du vecteur de Bur-
gers ; r la distance de Îa ligne de dislocation au point considéré; Z la
longueur de la dislocation. En posant G = 2-10 Pa et b — 3-10710 m,
on obtient Ey;s: — 4 eV par chaque tronçon de dislocation égal à la

distance interatomique; les contraintes élastiques à la distance

Fig. 2.7. Apparition de dislocations dans un cristal:

a— Jors d’une déformation plastique (par suite d'un décalage partiel d’une partie du réscau

par rapport à l’autre sous l’action des contraintes tangentielles +); b — sur Ics frontières des

blocs de monocristaux et de grains de polycristal (6 — l'angle fait entre les blocs): c — en
cas de groupement de vacances.

r — 100 nm (= 300 distances atomiques) de la ligne de dislocation
sont égales à Ouis1 & 107 Pa (& 100 kgf/cm:).

L'existence d’un champ de force autour des dislocations donne
lieu à une interaction de ces dislocations avec les atomes d'impureté
et d’autres défauts ponctuels. Notamment, les atomes d’'impureté de
petit rayon diffusent vers les régions serrées du réseau qui apparais-
sent près des dislocations et les atomes de grand rayon diffusent
vers les régions étirées du réseau. Il en résulte que les dislocations
se trouvent souvent « enveloppées » de nuages d’atomes d’impureté
dits nuages de Kottrel qui peuvent jouer un rôle important dans la

& 2.3j MECANISME DE DISLOCATION DE LA DEFORMATION PLASTIQUE AT

détermination des propriétés des cristaux, dans le caractère de micro-
distribution des impuretés dans les cristaux, etc. Les dislocations
constituent des drains pour les lacunes.

Les dislocations sont engendrées au cours de la croissance des.
cristaux, lors de la déformation plastique (fig. 2.7, a), sur les fron-
tières des blocs de monocristaux et les frontières des polycristaux
(fig. 2.7, b), à partir des groupements de vacances (fig. 2.7, c), etc.
Actuellement, on a mis au point plusieurs méthodes d'observation
expérimentale des dislocations : méthode du microscope électronique,
méthode de décoration qui consiste à disposer sur les dislocations
des atomes d'impuretés qui rendent les dislocations visibles au
microscope, et autres.

La sortie des dislocäations sur la surface du cristal peut être décelée
par la méthode de décapage. Lorsque la surface du cristal est attaquée
par des décapants spéciaux, ce sont les parties dans lesquelles le:
réseau est déformé le plus fortement qui sont gravées les premières
parce que les atomes de ces parties possèdent une énergie libre excé-
dentaire et sont donc chimiquement plus actifs. De telles parties:
sont justement des endroits où les dislocations sortent sur la surface.
et se présentent, après le décapage, sous forme de trous de décapage.

Comme caractéristique quantitative du nombre de dislocations-
on prend la densité de dislocations égale au nombre de lignes de dislo-
cation traversant une unité de surface du cristal. Dans les cristaux
de silicium et de germanium les plus perfectionnés la densité de dislo-
cations est d'environ de 40° à 10$ cm”? tandis que dans des cristaux
métalliques non déformés de bonne qualité elle varie de 10° à 10$ cm”?
et dans des cristaux fortement déformés de 10!1 à 1013 cm-:.

$ 2.3. Mécanisme de dislocation de la déformation
plastique des cristaux

Résistance au cisaillement théorique des cristaux. Le principal
mécanisme de l'écoulement plastique des cristaux est la formation
de cisaillement. On considérait pendant longtemps que cette for-
mation s'effectuait par un décalage rigide d’une partie du cristal
par rapport à l’autre, simultanément suivant tout le plan de glisse-
ment (fig. 2.8, a). Evaluons grossièrement la contrainte tangentielle
nécessaire à la réalisation d'un tel décalage.

Dans un réseau non déformé, les atomes de deux plans atomiques
voisins occupent des positions correspondant au minimum d'énergie
potentielle. La force d'interaction entre ces atomes est nulle. Lorsque
l'un des plans atomiques se déplace progressivement par rapport.
à l'autre, il naît des forces tangentielles qui s'opposent à ce glisse-
ment et tendent à rétablir l'équilibre troublé. En admettant pour ces
forces la loi sinusoïdale. de variation de + en fonction du décalage
(fig. 2.8, b), on peut exprimer la résistance au cisaillement de la

42 IMPERFECTIONS DANS LES CORISTAUX (OH. 2

façon suivante :
T = À sin (2nxr/b), (2.5)

où x est le décalage des atomes par rapport à la position d'équilibre;
À une constante qu'on peut déterminer à partir des considérations
suivantes. Pour de petits décalages sin(2rx/b) = 2nx/b et donc
+7 = À (2xx/b). D'un autre côté, pour de petits décalages est valable
da loi de Hooke: t = G (x/d), où G est le module de cisaillement ;

b
ù Plan de_
8 atissement

Fig. 2.8. Calcul de la résistance théorique des cristaux au cisaillement:
a — en cas de décalage d'un plan atomique (B,) par rapport à un autre (B,) il y a apparition
.-de contraintes tangenticlles + qui tendent à rétablir l'état d'équilibre troublé ; b — Joi sinu-
soïdale de variation de + avec la distance x.
4 la distance entre les plans atomiques B, et B,. En égalant entre
eux les seconds membres de deux dernières égalités, on obtient À —
— Gb/(21d4). En portant cette valeur dans (2.5) on trouve

__ Gb i Jar
om 0 6 *

Pour x — b/4 la contrainte + atteint sa valeur maximale t,,, —

_ Gb _ :
= 5j. En posant b = d, on obtient

G
Tmax À 57: (2.6)

De (2.6) il résulte que la résistance théorique des cristaux au
cisaillement, calculée dans l’hypothèse où le décalage d'une partie
du cristal par rapport à une autre se produit simultanément suivant
tout le plan de glissement, doit être égale à & 0,1 G, c'est-à-dire de
l'ordre de 10° à 1019 Pa (10% à 10° kgf/cm:*). Une prise en compte
plus rigoureuse du caractère des forces d'interaction entre les atomes
ne conduit qu'à une précision peu importante de cette valeur.

Pourtant la résistance réelle des cristaux au cisaillement est, com-
me le montre l'expérience, inférieure de deux à quatre ordres de
grandeur à cette valeur théorique, ce qui prouve que le décalage dans
les cristaux se produit non par un décalage rigide des plans atomiques
l'un par rapport à l’autre, mais par un mécanisme tel qu’à chaque

$ 2.3] MECANISME DE DISLOCATION DE LA DÉFORMATION PLASTIQUE 43

instant c'est seulement un nombre d’'atomes relativement petit qui
se déplacent. Cela a conduit au développement de la théorie de
dislocation de l'écoulement plastique des cristaux.

Mécanisme de dislocation de l’écoulement plastique des cristaux.
Supposons que dans un plan $ de glissement possible du cristal se

A
ve 07
u @ . 0°
se | on
mu 6 ©
ÔO

2 °«
| eo
œ©@ , @-
Sd D

(
Force appliquée

a) b )

Fig. 2.9. Calcul de la force nécessaire pour le déplacement d'une dislocation:

a — région de dislocation positive dans un cristal: O — centre de dislocation, a et k — fron-

tières de la dislocation, S — plan de glissement ; b — forces nécessaires pour le déplacement

d'un atome dans la région de dislocation. Les forces appliquées à des atomes équidistants du
centre de dislocation sont égales en valeur absolue ct de sens opposés.

trouve une dislocation positive de centre au point O et de frontières
aux points a et k (fig. 2.9, a). A l’état d'équilibre, la force résultante
agissant sur cette dislocation de la part du réseau est nulle. Cela est
facile à comprendre en examinant le modèle à galets représenté par

Fig. 2.10. Modèle de galets de la dislocation linéaire. Les forces appliquées aux
galets Z et 5, 2 et 4 sont égales en valeur absolue et de sens opposés.

la figure 2.10. Dans la rangée supérieure de galets qui se disposent
normalement dans les creux de la rangée inférieure, on a effectué un
« dérangement de structure » : sur le tronçon AB qui était précédem-
ment occupé par 6 galets on n’a placé que 5 galets. Un tel dérange-
ment fait naître des forces F,, F., F,, F, qui tendent à faire revenir
les galets 1, 2, 4, 5 dans l’état d'équilibre stable. Les forces appli-

44 IMPERFECTIONS DANS LES CRISTAUX (GG. 2

quées aux galets Z, 5 et 2, 4 sont égales en valeur absolue et dirigées
dans des sens opposés. C’est pourquoi, si les galets de la rangée
supérieure sont reliés l’un à l’autre par des ressorts élastiques, jouant
le rôle de liaisons, les forces F, et F;, F, et F, font équilibre les:
unes aux autres et le système sera en équilibre.

Une situation analogue se présente aussi dans le cas de la dislo-
cation représentée schématiquement sur la figure 2.9, a: les forces
qui s’exercent sur les atomes de la rangée supérieure disposés symétri-
quement par rapport au centre de dislocation O (fig. 2.9, b) sont.
égales en grandeur et de signe contraire (les forces | F4 | = | F;|,
IFl=l1Fil, | Fal=lFal lFel = 1F,l). Aussi la résultante
de ces forces est-elle nulle et la dislocation est en équilibre. Toute-
fois, si la dislocation subit un petit déplacement dans le plan de glisse-
ment, la symétrie de disposition des atomes par rapport au centre
de dislocation sera troublée, ce qui fera naître une force qui s oppose-
ra au mouvement de la dislocation. Comme le montre la figure 2.10,
cette force ne peut pas être grande parce que le déplacement des
galets Z, 2 dans de nouvelles positions d'équilibre se produit pour
une large part.sous l'influence des forces agissant de la part des ga-
lets 4, 5 qui tendent eux aussi à prendre une position d'équilibre sta-
ble. Les calculs montrent que la contrainte tangentielle nécessaire pour
déplacer la dislocation est égale à t = 107‘ G. En ordre de grandeur
elle coïncide avec des valeurs expérimentales de la contrainte de
cisaillement qui provoque une déformation plastique dans des mono-
cristaux métalliques de bonne qualité.

$S 2.4. Défauts bidimensionnels

Surfaces libres. Tout atome se trouvant à l’intérieur du cristal
se caractérise par la symétrie des forces qui s’exercent sur lui de la
part des atomes voisins. Une telle symétrie est troublée pour des:
atomes disposés sur la surface parce que ses voisins ne se disposent
que d’un côté de cette surface. Il en résulte une déformation de
l’empilement des atomes superficiels — une variation de la dis-
tance interatomique et leur décalage par rapport aux positions occu-
pées par les atomes dans les couches atomiques à l'intérieur du
cristal, parallèles à la surface. En outre, les liaisons caractéristiques.
du volume du cristal peuvent être troublées et remplacées par des.
liaisons superficielles spécifiques. C’est ainsi que sur la surface (100)
des cristaux de silicium, de germanium et de diamant il se produit.
la rupture de deux liaisons sp° hybrides avec formation de deux
électrons libres par atome. La mise en commun de ces électrons:
a pour effet la réunion supplémentaire deux à deux des atomes super-
ficiels et leur rapprochement l’un de l’autre.

Frontières. Les cristaux réels possèdent souvent une structure
en mozaïque : ils sont constitués de blocs réguliers mais leur dispo-

$ 2.4] DÉFAUTS BIDIMENSIONNELS 45

sition n'est qu'approximativement parallèle. Les dimensions des
blocs varient approximativement de 1076 à 104 cm et les angles
qu'ils font entre eux sont compris entre quelques secondes et quel-
ques minutes. Comme les réseaux dans les blocs mis en contact sont
orientés d’une façon légèrement différente, on voit apparaître dans
les régions de passage la formation de dislocations (fig. 2.7, b) dont la
densité est d'autant plus grande que l'angle de désorientation des
blocs est plus élevé. Des angles de désorientation encore plus élevés

C À .
B C 8
4 6 C
C À À
6 C 6
4 4 À
C C C
6 01 6
A A À

6) c) d)

Fig. 2.11. Défauts d'assemblage:

a, b — disposition normale des plans atomiques [111] dans un réseau cubique à faces centrées :
c— défaut d'assemblage du type soustraction ; d défaut d'assemblage conduisant au maclage.

(jusqu’à quelques dizaines de degrés) prennent naissance près des
frontières des grains de polycristaux où la densité de dislocations
est encore plus haute.

Les frontières de blocs et de grains sont des porteurs d'énergie
libre excédentaire qui provoque une vitesse augmentée de déroulement
des réactions chimiques, des transformations polymorphes, de la
diffusion, etc. Elles constituent également des centres effectifs de
diffusion des porteurs de charges libres déterminant une part consi-
dérable de la résistance électrique des corps.

Défauts d'assemblage. On appelle défauts d'assemblage tout
écart par rapport à la disposition normale, propre au type donné
de cristaux, des plans atomiques. La figure 2.14, a montre à titre
d'exemple la suite normale de superposition des couches atomiques
dans les plans {111} d'un cristal cubique à faces centrées. Dans les
alvéoles hachurés de la rangée atomique inférieure À (cercles en
traits pleins) sont disposés les atomes de la couche suivante B (cercles
en traits interrompus); les alvéoles non hachurés restent libres.
Les atomes de la troisième couche C (cercles en pointillé) se dispo-
sent dans les alvéoles de la couche B situés au-dessus des alvéoles non
hachurés de la couche inférieure À. La quatrième couche située au-

46 IMPERFECTIONS DANS LES CORISTAUX (CH. 2

dessus de la couche C (cercles en double ligne continue) répète la
couche À et ainsi de suite.

Ainsi, la disposition normale des couches atomiques peut être
représentée par un schéma montré sur la figure 2.11, b. Toutefois,
lors de la croissance des cristaux ou en cas de leur déformation, une
telle disposition des couches atomiques propres aux cristaux parfaits
peut être troublée. Le cas le plus simple d'un tel dérangement est
représenté sur la figure 2.11, c: la couche À est suivie de la couche C
au lieu de la couche B. Un tel défaut d'assemblage est appelé défaut
du type soustraction. La figure 2.11, d montre un défaut d'assemblage
qui conduit à la formation de macles. D’autres types de défauts d’as-
semblage sont également possibles.

Défauts tridimensionnels. Ce sont des pores de divers types, des
microformations, des inclusions, etc.

CHAPITRE 3

VIBRATIONS THERMIQUES DES ATOMES
DE CRISTAL

Les vibrations thermiques des atomes de corps solides déterminent les pro-
priétés importantes de ces corps. telles que la dilatation thermique, la chaleur
spécifique, la conductibilité thermique. Mais pour l'électronique des solides
c’est l'influence des vibrations thermiques sur les propriétés électriques des solides.
qui importe le plus. C’est à l’étude de toutes ces questions qu'est consacré le cha-
pitre actuel.

$ 3.1. Vibrations et ondes dans un réseau
unidimensionnel constitué d’atomes identiques

Les atomes des corps solides effectuent des vibrations thermiques
autour des positions d'équilibre. Vu une forte interaction entre
elles-mêmes. le caractère de ces vibrations est bien complexe et sa
description précise présente des difficultés énormes. C’est pourquoi,
pour résoudre ce problème, on a recours à des méthodes approchées
et à toute sorte de simplifications. Tout d’abord on considère que si
la distance a entre les atomes voisins varie d'une certaine quantité u
par rapport à la distance d'équilibre, il se crée entre ces atomes une
force F proportionnelle à u et dirigée dans le sens opposé à u:

F = — Bu. (3.1)

Une telle approximation est dite harmonique. Elle est justifiée pour
de petites variations des distances interatomiques. Le cristal se
réduit dans ce cas à un ensemble de particules reliées entre elles par
des ressorts parfaits (fig. 3.1). Dans une telle structure les atomes
ne peuvent pas se déplacer indépendamment l’un de l’autre — les
vibrations de tout atome sont transmises aux atomes voisins et se
propagent à travers le cristal sous la forme d’une onde élastique.

Par raison de simplification, considérons une onde élastique
longitudinale plane se propageant suivant la direction [100] dans un
cristal cubique. Dans ce cas les atomes dans chacun des plans perpen-
diculaires à la direction [100], c’est-à-dire dans tout plan (100), se
déplacent en phase. Pour un certain plan s l'équation du mouvement
est de la forme

Ni Mus = Frs NF (3.2)

où WV;, est le nombre d’atomes dans le plan; M la masse de l'atome ;
Fhi , la force agissant sur le plan s de la part des plans voisins:

‘4S VIBRATIONS THERMIQUES DES ATOMES DE CRISTAL (CH. 3

F, la force s’exerçant sur un atome de la part de ses voisins. En sim-
plifiant les deux membres de cette équation par V,,, on obtient
l'équation du mouvement de l’atome s dans la chaîne ou ligne d’ato-
mes (fig. 3.2, a, b).

LP. fl SOLE 0 Ü .
- SE - = ps NN 2
se GT, £E £

= & c

€
D) Ô ON AU: 1R000000 €
“

‘€

Fig. 3.1. À l'approximation harmonique le cristal peut être considéré comme un
ensemble de particules disposées de façon ordonnée et reliées entre elles par des
« ressorts » parfaits.

La force F, dans une telle chaîne est déterminée par la différence
‘de déplacements depuis les positions d'équilibre de l'atome s et des
atomes s—1 et s+1 :

Fs — Mu, = P (usys — us) —$P (us — us) = P (us+1 — 2u, +
+ us). (3.3)

‘Cherchons la solution de cette équation sous la forme d’une onde
progressive :

u, = Aeïhse-iut, (3.4)
où a est la distance d'équilibre entre les atomes dans la chaîne ; À —
— 2x/À le module du vecteur d'onde; « la fréquence angulaire de

vibrations des atomes; À l’amplitude de vibrations. En portant (3.4)
dans (3.3), on obtient

— o2M Aetkse-iot = BA (eiha(s+1) _ 2eihas + etha(s—1)) e-ivt. (3.5)
Après la simplification par Aeï“‘*e-iot on a
Mo? = —$ (e* + ei — 2). (3.6)

$ 3.1] VIBRATIONS ET ONDES DANS UN RÉSEAU UNIDIMENSIONNEL 49

On en déduit le lien entre la fréquence de vibrations et le vecteur
d'onde, c’est-à-dire la relation de dispersion

o= À (1— cos ka) = sin À , (3.7)

M
y Às
La courbe de variation de « en fonction de X est représentée sur
la figure 3.2, c.

: Première zone de Brillouin. En réalité il est inutile de prendre
une gamme de variation de k plus grande que 2x/a (par exemple

(3.8)

X/a CO fa k
c)

Fig. 3.2. Vibrations d'une chaîne linéaire d’atomes:

a — position d'équilibre des atomes ; b — déplacement des atomes dans une onde longitudi-
nalc ; c — courbe de dispersion pour une chaîne linéaire d’atomes identiques.

plus grande que —x/a à +x/a) parce que toutes les ondes possibles
physiquement différentes dans la chaîne d’atomes sont comprises
dans cette collection de vecteurs d'onde. C'est à ce domaine de va-
leurs de À qu'on donne le nom de première zone de Brillouin.
Expliquons ceci sur un exemple lorsque les vibrations des ato-
mes voisins sont en opposition de phase. Comme l'indique la figu-

4 -726

50 VIBRATIONS THERMIQUES DES ATOMES DE CRISTAL ICH. 5

re 3.3, un tel mouvement peut être décrit à l’aide d’une onde de
paramètres À — 2a, k — n/a (ligne continue) ou d’une onde de:

9
paramètres À =+a, k=3n/a (ligne en traits interrompus). Les

valeurs de k diffèrent ici l’une de l’autre de 2x/a, c'est-à-dire du
paramètre G du réseau réciproque. On peut aussi montrer exactement.
de même que le même mouvement des atomes peut se décrire par une

Fig. 3.3. Représentation d'une même vibration des atomes par une onde de-
longueur 2a (ligne en traits pleins) et de longueur ?/,a (ligne en traits interrumpus).

onde de vecteur d’onde X qui diffère de + (2x/a) n, où n est un
entier quelconque. En effet, si l’on substitue à X dans (3.4) la valeur
k + (2x/a)n, on obtient

Uu, = Aeïh'seiïirsne-iot — Apiksap-iot, (3.9)

Conditions aux limites périodiques. La condition (3.3) n'est valable
pour tout atome que dans le cas où on considère un cristal illimité.
Pour ce qui est des cristaux de dimensions limitées, il est nécessaire
de donner le comportement des atomes sur les surfaces, c’est-à-dire
d'introduire les conditions aux limites. L'introduction des conditions
aux limites peut modifier la forme des solutions obtenues. Par exem-
ple, dans des chaînes d’atomes à extrémités libres les ondes progres-
sives de la forme (3.4) ne peuvent pas se propager. au lieu de ces
ondes il existe des ondes stationnaires, c’est-à-dire des combinaisons
des ondes progressives de même vecteur d’onde allant à la rencon-
tre l’une de l’autre. En outre le spectre des valeurs possibles de À
varie Jui aussi — au lieu d’être continu il devient discret. La collec-
tion de solutions obtenues est très grande — leur nombre est égal au
nombre de degrés de liberté de tous les atomes du cristal. Sous l'effet
de la chaleur il se produit dans le cristal l'excitation simultanée
d'un nombre énorme de vibrations de divers types qui diffèrent
l'une de l’autre par les fréquences, les directions de propagation et
les polarisations. C’est précisément la participation de chacun des
atomes à toutes ces vibrations à la fois qui détermine leur mouve-
ment totalement désordonneé.

Si l’on fait varier la forme des conditions aux limites, le caractè-
re de mouvement des atomes proches de la surface changera, mais
pour la masse principale d’atomes le mouvement restera aussi désor-
donné qu'auparavant. Ceci étant, les valeurs moyennes caractéri-

& 3.2] VIBRATIONS OPTIQUES 51

sant l'agitation thermique des atomes resteront elles aussi inchan-
œées. Cette circonstance permet de choisir les conditions aux limites
sans se préoccuper de leur réalisabilité réelle, en cherchant seulement
à simplifier les calculs mathématiques. En physique du solide, on
utilise généralement des conditions aux limites périodiques. Par
exemple, au lieu d’une chaîne limitée de longueur ZL on considère
une chaîne infinie divisée en tronçons de longueur Z dont chacun
est le siège de vibrations qui se reproduisent exactement à chaque
instant. Ainsi, les déplacements des atomes situés au point x et au
point x + L doivent coïncider l’un avec l’autre:

u(z)=u(z+L), c'est-à-dire efk*=— eikx+L), (3.10)
De (3.10) il résulte que
eikL—1{, c’est-à-dire que k=0; +2n/L; +än/L. (3.11)

$ 3.2. Vibrations optiques

Considérons maintenant une chaîne constituée d'atomes de deux
espèces qui alternent régulièrement l'un avec l’autre (fig. 3.4, a).
Notons A1 la masse des atomes plus lourds et m celle des atomes
plus légers. Dans une telle chaîne deux types de vibrations mon-
trées sur la figure 3.4, b, c peuvent prendre naissance. Les vibrations
représentées sur la figure 3.4, b ne diffèrent pas des vibrations d’une
chaîne homogène : dans le cas des ondes longues les atomes voisins
vibrent pratiquement en phase et &w,, = O0 pour À — 0. De telles
vibrations sont dites acoustiques parce qu'elles contiennent tout le
spectre de vibrations sonores de la chaîne. Elles jouent un rôle princi-
pal dans la détermination des propriétés thermiques des cristaux —
de la chaleur spécifique, de la conductibilité thermique, de la dilate-
tion thermique, etc.

Dans le cas des vibrations représentées sur la figure 3.4, c les
atomes voisins vibrent pratiquement en opposition de phase. Ces
vibrations peuvent être considérées comme des vibrations, l’un par
rapport à l’autre, de deux sous-réseaux constitués d’atomes homo-
gènes qui s'emboîtent l’un dans l’autre. On les appelle vibrations
optiques parce que leurs fréquences correspondent aux fréquences des
ondes optiques infrarouges; elles jouent un rôle prépondérant dans
le processus d'interaction de la lumière avec le cristal.

La figure 3.4, d montre les courbes de dispersion des vibrations
normales, acoustiques et optiques d’une chaîne constituée de deux
espèces d'atomes. Si pour les vibrations acoustiques la fréquence
augmente lorsque le vecteur d’onde augmente et atteint sa valeur
maximale pour k,; — s/a, pour les vibrations optiques wmaz
a lieu pour À = 0; lorsque À augmente la fréquence de ces vibrations
diminue et devient minimale pour ke, — x/a.

52 VIBRATIONS THERMIQUES DES ATOMES DE CRISTAL (CH. 3

Vibrations
optiques
Vibrations
acoustiques

À vase PTE

12 12 12 12

-7/a (0) za k

d) €)

Fig. 3.4. Vibrations d'une chaîne linéaire constituée d’'atomes de deux espèces :

a — chaîne linéaire d’atomes de deux espèces, b — vibrations acoustiques de la chaîne:

c — vibrations optiques de la chaïnc ; d — courbes de dispersion pour les vibrations acousti-

ques et optiques de la chaîne; e — chaîne d'atomes identiques à basc pouvant devenir le
siège des vibrations acoustiques ct optiques.

& 3.3] VIBRATIONS D'UN RESEAU CRISTALLIN TRIDIMENSIONNEL 53

Les vibrations optiques prennent naissance non seulement dans
une chaîne composée par des atomes de nature différente, mais aussi
dans le cas où la chaîne est constituée par deux (ou un plus grand
nombre) de chaînes simples formées par des atomes identiques et
emboîtées l’une dans l’autre comme l'indique la figure 3.4, e. La
maille élémentaire d’une telle chaîne contient deux atomes. Les
vibrations optiques ont leur origine dans les vibrations d’un sous-
réseau par rapport à l’autre.

$ 3.3. Vibrations d’un réseau cristallin
tridimensionnel

Considérons les vibrations dans un cristal de forme cubique, de
dimensions L “x L X L dont les faces sont parallèles aux faces de
la maille élémentaire. Introduisons des conditions aux limites pério-
diques suivant chacun des axes z, y et z. Ces conditions signifient
maintenant que l’espace est divisé en cubes de dimensions L X L X
x Let l'image des vibrations dans le cube considéré est reproduit
exactement dans chacun des autres cubes. Le déplacement des
atomes dans une onde sinusoïdale plane, se propageant dans une
certaine direction dans le cristal, est donné sous la forme

u (r) — ue” iwtepikr — ue-iute "re yet}: : (3. 12)

où u, est l’amplitude de déplacement des atomes dans l'onde; #,,
k,, k. sont les projections du vecteur d'onde k sur les axes de coor-
données.

En appliquant les conditions aux limites périodiques exacte-
ment de la même façon que pour la chaîne linéaire d’atomes. on
trouve les valeurs autorisées des projections k., k,, k. du vecteur d'on-
de k sur les axes de coordonnées, égales à 0, +2n/L, +4x/L, et ainsi
de suite jusqu'aux valeurs maximales +zx/a (a étant la constante
du réseau cristallin).

La première zone de Brillouin du cristal cubique représente
maintenant un cube dont la longueur de l’arête est égale à 2x/a dans
l'espace dit des k. Sur la figure 3.5 les points indiquent les valeurs
permises du vecteur d'onde k.

Nombre total de modes. À chaque valeur permise de k correspond,
dans l’espace des k, un volume (2x/L})° — 8n°/V, où V est le volume
du cristal. En divisant le volume de la première zone de Brillouin
8r*/a par ce volume élémentaire, on trouve le nombre total de
différentes valeurs permises du vecteur d'onde k. 11 est égal à V/af.
Comme a° n’est rien d'autre que le volume de la maille élémentaire
du cristal, V/a* est égal au nombre N d’atomes dans le cristal. Pour-
tant, les ondes dans un cristal peuvent différer l’une de l’autre non
seulement par leurs vecteurs d'onde k mais aussi par la direction de
déplacement des atomes dans l’onde par rapport à k, c'est-à-dire par

54 VIBRATIONS THERMIQUES DES ATOMES DE CRISTAL (CH. 3

l'orientation du vecteur w figurant dans (3.12). Cette direction
détermine la polarisation de l'onde. Une onde de polarisation quel-
conque peut être représentée toujours sous forme de trois ondes dont
les polarisations sont orthogonales entre elles: une d'elles est longi-
tudinale et les deux autres transversales. L’onde sinusoïdale ayant
une de ces trois directions de polarisation et une certaine valeur

Fig. 3.5. Valeurs permises du vecteur d'onde k dans un cristal de dimensions
LXLX L.

permise du vecteur d'onde k est appelée vibration normale ou mode.
De ce qui précède nous pouvons conclure que le nombre total de
modes différents dans le cristal est égal à 3N.

Il est intéressant de noter que si le cristal est considéré comme un
ensemble de W atomes quise déplacent indépendamment les uns par rap-
port aux autreset dont chacun possède trois degrés de liberté, le nom-
bre total de degrés de liberté d’un tel ensemble est égal à 3N. Or, en
réalité les atomes sont liés entre eux par des forces d'interaction et
constituent un système vibrant unique. Néanmoins, ce système a con-
servé son nombre de degrés de liberté. Maintenant le cristal peut
être le siège de 3W vibrations normales différentes dont chacune joue
le rôle d’un degré de liberté du cristal.

Courbes de dispersion. Dans le cas général, la fréquence de vibra-
tions normales dans un cristal tridimensionnel dépend non seulement
de la longueur d'onde mais aussi de sa polarisation et de sa direction
de propagation. Ainsi, au lieu d’une seule courbe de dispersion dans
le cas de la chaîne linéaire d’atomes, il existe maintenant pour toute
direction de l’onde dans le cristal trois courbes de dispersion

$ 3.3] VIBRATIONS D'UN RÉSEAU CRISTALLIN TRIDIMENSIONNEL 55

(fig. 3.6). Dans un cristal cubique, les courbes pour deux polarisations
transversales sont confondues de sorte qu'il reste une courbe pour
les ondes transversales et une autre pour les ondes longitudinales (de
fréquences plus élevées). Pour des réseaux à base il se crée, en plus
des vibrations acoustiques, encore des vibrations optiques corres-
pondant aux vibrations de différents sous-réseaux l’un par rapport
à l’autre.

Spectre de fréquences de vibrations du réseau cristallin. Aux valeurs
permises des vecteurs d'onde k correspondent certaines fréquences
permises des vibrations (fig. 3.7). Pour de nombreux problèmes de

0 k 0 | %

Fig. 3.6. Courbes de dispersion pour Fig. 3.7. Lien entre les valeurs per-
les vibrations acoustiques dans un mises du vecteur d'onde et le spectre

cristal : de fréquences des vibrations du réseau.
dä — pour les vibrations longitudinales,
Z — pour les vibrations transversales.

la théorie du solide il importe de connaître combien de types diffé-
rents de vibrations (modes) correspondent à une gamme ou à une
autre de fréquences de vibrations. Etant donné que le nombre de tous
les modes possibles d’un cristal de dimensions macroscopiques est
astronomiquement grand, les valeurs permises se disposent sur
l'échelle des fréquences d’une façon très serrée et il est donc com-
mode d'introduire une fonction de densité de répartition des modes
suivant les fréquences g (w). La valeur de la grandeur g (w) dw est éga-
le au nombre de modes compris dans l'intervalle de «© à © + do
et la valeur de g (w) est égale au nombre de modes dans l'intervalle
unitaire de fréquences au voisinage de la fréquence w.

Le calcul de la fonction de densité de modes pour un cristal
tridimensionnel est dans le cas général un problème très compliqué.
Aussi effectue-t-on sa simplification considérable en introduisant les
hypothèses simplificatrices suivantes : tout d’abord on admet que la
fréquence de vibrations dépend uniquement du module du vecteur
d'onde et ne dépend pas de la direction de propagation de l'onde.
Alors, à un certain intervalle de fréquences do correspond un inter-

56 VIBRATIONS THERMIQUES DES ATOMES DE CRISTAL (CH. 3
OA GP

valle de nombres d'onde dk — une couche sphérique dans l’espace
tridimensionnel des k (fig. 3.8). Quant au nombre de différentes
valeurs du vecteur d’onde k contenues dans cette couche, on le
trouve en divisant le volume
de la couche 4rkdk par le vo-
lume élémentaire 8n°/V. Ainsi
ce nombre a pour valeur

de = Vk'dk/(2n°). (3.13)

Maintenant, pour trouver le nom-
bre de modes dans l'intervalle
de fréquences do il faut rempla-
cer À par &w suivant la loi de
dispersion & (4) et dk par do.
Souvent on se sert des lois
de dispersion les plus simples:

densité des modes.
pour les deux ondes transversa-
les. Alors un changement de variable convenable donne

den = He o? do ; (3.16)
V 2
MO ZT - (3.17)
Pour deux polarisations transversales des ondes on a
V 2
gi (@) = (3.18)
La fonction complète de densité des modes est de la forme
Vo [/ 1 2
s)=r (+). (3.19)

L’analyse qui précède est valable tant que les surfaces sphériques
dans l’espace des k ne commencent de sortir au-delà des faces du
cube de la première zone de Brillouin. Pour éviter cette complica-
tion, Debye a proposé de considérer, au lieu de la zone cubique de
Brillouin, une zone sphérique ayant le même volume et donc le
même nombre total de modes 3W. Le rayon À L de cette sphère se
détermine à partir de la relation

“/, nkh = 8n*/aÿ. (3.20)

$ 3.4]

ÉNERGIE DES VIBRATIONS NORMALES. PHONONS 57

Au vecteur d'onde # L de Debye correspondent des fréquences de-
vibrations maximales pour les ondes longitudinales et pour les ondes:

transversales. Parfois, on pous-
se la simplification jusqu'à po-
ser ty = v,. Alors l'expression
(3.19) prend la forme

3V
g (w) =

(3.21)

pour des fréquences allant de
zéro à Op — 7 6x8 N/V. Enfin,
en utilisant la dernière expres-
sion pour &,, on peut mettre la
formule (3.21) sous la forme
suivante :

go)

S .
(4) ] c/o.
Fig. 3.9. Variation de la densité de-
nombre de modes en fonction de la
fréquence relative de vibrations w/on
à l'approximation de Debye:

courbe en traits pleins — pour la zone de-

Brillouin sous forme d’une sphère ; courbe en

traits interrompus — pour la zone cubique-
e Brillouin.

#do. (35.22)

La courbe représentative de la fonction de densité des modes (3.21)
est représentée sur la figure 3.9 de même que la courbe traduisant
la fonction de densité pour la zone cubique de Brillouin. I] y a lieu
de noter que dans tous les cas la fonction de densité des modes at-
teint sa valeur maximale au voisinage de w , et, dans les cas où pour
une estimation approchée il faut utiliser une certaine fréquence
moyenne de vibrations du réseau, on la prend voisine de © p.

$ 3.4. Energie des vibrations normales.
Phonons

Jusqu'ici, toutes les conclusions sur le mouvement des atomes
dans les cristaux ont été faites sur la base des lois classiques du
mouvement. Or, quand il s’agit de l'énergie possible de la vibration
normale, une étude plus correcte, quantique, devient nécessaire. Au
point de vue de la théorie classique l’énergie de la vibration normale
peut prendre toute valeur et varier de façon continue par portions
aussi petites que l'on veut. Quant à la mécanique quantique, elle
affirme que fl énergie E ; n de la vibration normale de fréquence w, ,
ne peut prendre qu’une suite de valeurs discrète :

E sn = RO ;.n (2 = 1/2) (re Eu 0, 1, 2 us .),

où À est la constante de Planck divisée par 2x.

Une même formule est valable aussi pour l'énergie d’un oscilla-
teur harmonique. De a re importante on peut tirer immé-
diatement deux conclusions: l'énergie minimale de la vibration
normale, du mode, n'est pas nulle mais égale à !/, fo, ,; l'énergie

(3.23)

58 VIBRATIONS THERMIQUES DES ATOMES DE CRISTAL (CH. 3

d’un mode ne peut varier que par des portions égales à fw,, que
l'on appelle phonons. La première de ces conclusions peut s’énoncer
aussi sous la forme suivante : dans la nature il n'existe pas de réseaux
cristallins et d'oscillateurs non vibrants.

Les vibrations d’énergie minimale !/,fw,, sont appelées vibra-
tions de point zéro. L'énergie de point zéro ne peut être prélevée qu'en
détruisant le cristal. Lors de l'étude de nombreux processus se dérou-
lant dans le cristal on peut négliger l’énergie de point zéro en tant
que quantité invariable et utiliser au lieu de (3.23) une expres-
sion plus simple

Erin = RRO,n. (3.24)

En faisant usage de la notion de phonon, on peut, au lieu de dire
que la vibration normale est excitée jusqu'au n-ième niveau vibra-
tionnel, dire que le cristal contient 2 phonons d'énergie kw, , chacun.
Dans ce cas le phonon joue le rôle d’une quasi-particule d'énergie
bien déterminée. Etant donné que dans le réseau cristallin peuvent
être excitées des vibrations normales de fréquences les plus variées,
les phonons peuvent posséder des énergies différentes (v. fig. 3.7).

$ 3.5. Chaleur massique des solides

L'exactitude des déductions théoriques sur les vibrations ther-
miques des réseaux cristallins peut être vérifiée en confrontant les
conclusions de la théorie aux expériences concernant la mesure de la
chaleur massique des solides.

Théorie classique. Le plus simple est de considérer le cristal
comme une assemblée d’un grand nombre W d'atomes qui vibrent,
les uns indépendamment des autres, autour de leurs positions d'équi-
libre dans trois directions orthogonales entre elles, c'est-à-dire de
considérer que chaque atome du cristal représente une petite bille
fixée au moyen de trois ressorts. Alors, à chaque atome on peut faire
correspondre trois oscillateurs indépendants et représenter le cristal
tout entier comme un ensemble de 3 oscillateurs indépendants.
Chacun de ces oscillateurs possède un degré de liberté du mouvement
et le cristal dans son ensemble a 34 degrés de liberté.

Suivant la physique statistique classique, à chaque degré de
liberté du mouvement du système à l’état d'équilibre thermique
correspond une énergie cinétique moyenne

Ein = KT, (3.25)

où # est la constante de Boltzmann; 7 la température thermodyna-
mique *). Or la mécanique classique montre que l'énergie cinétique

*) Dans les publications consacrées à la physique du solide au lieu du
terme « température thermodynamique » on utilise parfois le terme « tempéra-

ture absolue ».

$ 3.5] CHALEUR MASSIQUE DES SOLIDES 59

moyenne d’un oscillateur est égale à son énergie potentielle moyen-
ne. Ainsi à chaque degré de liberté du cristal correspond une énergie
totale ÀT et l'énergie totale des vibrations de tout le cristal est
égale à

E,, = 3NKT. (3.26)

I] en résulte que la chaleur massique (à volume constant) du cris-
tal a pour valeur

=3Nk. (3.27)

Cette expression ne fait intervenir que le nombre total N d'atomes
du corps. La nature de ces atomes est sans importance. En d’autres
termes, les chaleurs massiques de divers corps solides contenant un même
nombre d'atomes sont égales.

En effet, il existe une loi empirique de Dulong et Petit (1819)
qui stipule que la chaleur massique de tout corps solide contenant 1 mole
de substance simple (pour des substances composées le nombre total
.d’atomes doit être égal au nombre d'Avogadro W ,) est égale à 3N ,\k=
= 25 J/(mole -K). Cette loi n'est pourtant valable que pour des
températures de l’ordre de la température ordinaire et plus élevées.
A basse température, la chaleur massique des solides diminue et tend
vers zéro quand T + 0.

Il est à noter que la loi de Dulong et Petit se déduit de la théorie
classique également dans le cas où l’on tient compte de la liaison
mutuelle des atomes dans le réseau cristallin. En effet, comme il
a déjà été dit au paragraphe précédent, le nombre de degrés de liberté
du cristal est toujours égal à 3N. La différence consiste seulement
en ce que maintenant à chaque degré de liberté correspond une vi-
bration normale indépendante, un mode. L'énergie cinétique d'une
telle vibration est la partie de l’énergie cinétique de tous les atomes
du cristal qui correspond à leur moumevent dans l'onde considérée et
l'énergie potentielle vaut une partie de l'énergie de déformation
élastique du cristal.

Théorie quantique d’Einstein. C’est seulement dans le cadre de la
théorie quantique qu’on a réussi à expliquer la chute à zéro de
la chaleur massique des solides lorsque la température diminue.
Einstein a montré que si l’on part de la formule de l'énergie (3.24),
l'énergie moyenne de la vibration normale à l'état d'équilibre ther-
mique a pour valeur

Eng — (3.28)

M Son/lAT) 4 ?

Où &,.n est la fréquence de vibration normale. De (3.28) et (3.24) i!
s'ensuit que dans un tel mode il existe en moyenne x phonons

n=1/(e"%cn/@T) 4), (3.29)

60 VIBRATIONS THERMIQUES DES ATOMES DE CRISTAL (CH. 3

Si l’on suppose que tous les 3W modes du cristal ont une seule
et même fréquence de vibrations w, l'énergie des vibrations du cris-
tal et sa chaleur massique ont pour expressions respectives

= li
E. NE à = D (3.30)

ho 9 en w/(AT)
cy=3Nk (Tr)

Considérons ces expressions dans deux cas extrêmes:
a) hautes températures, ÀT > fiw. Dans ce cas

(3.31)

(en w/CRT) —| y 7

RO.
T
EE, =3NET; cy = 3Nk.

Ainsi aux températures élevées la théorie d'Einstein est en accord
avec la loi de Dulong et Petit ;

b) basses températures, ÀT how. Dans ce cas on a suivant (3.31)
Cy — exp [—hkw/(kT)]. Cette expression tend vers zéro quand T + 0.
Ainsi la théorie d’'Einstein décrit qualitativement correctement la
variation de la chaleur massique aussi aux basses températures.
Toutefois l’expérience montre que dans ce domaine des températures:
la chaleur massique varie suivant la loi c.;- — T°. Cette contradiction
a été résolue par Debye qui a tenu compte du fait que les fréquences
des vibrations normales ne sont pas égales mais occupent un large
intervalle du spectre.

Théorie de Debye. Le nombre de vibrations normales contenues.
dans un intervalle de spectre do est égal à g (w) do. En multipliant
ce nombre par l'énergie moyenne de la vibration normale, on obtient
us totale des vibrations normales comprises dans l'interval-
e do:

| eho/ET) 1 +

dE, =E,.n£ (w) do.

En intégrant cette expression sur tout le spectre de vibrations nor-
males, c'est-à-dire dans les limites de 0 à &,, on obtient l'énergie
des vibrations thermiques du réseau cristallin d’un solide :

pe e ko-9N0*° dw
— — NTI OU . 2 !
E,; . Eng (@) do= o3 (eAw/CRT) 1) (3 3 )

Ici, on a utilisé l'expression (3.22) pour g (w) et (3.28) pour Æ,:.
La chaleur massique s'obtient en dérivant l'expression (3.32) par
rapport à la température.

Dans le domaine des hautes températures où ÀT > fiw D, on
a pour toute vibration normale E,, — kT et cy — 3Nk, c'est-à-
dire que la loi de Dulong et Petit est de nouveau confirmée.

$ 3.5] CHALEUR MASSIQUE DES SOLIDES 61

Aux basses températures lorsque ÀT € kw», l'intégration de
(3.32) donne

xt T \$4
Ecr= <= NETp (5) = Ts, (3.33)

où T p = fwp/k. En dérivant (3.33) par rapport à la température,
on trouve

= NE (=) = T3. (3.34)

Sur la figure 3.10 la ligne continue représente la courbe de varia-
tion théorique de la chaleur massique des solides en fonction de la
température et les points indiquent les données expérimentales pour

3 à

Cy, /mole.K)
(T

C(diamant)
Al
n] Cu

0 05 1,0 15 TT)

Fig. 3.10. Variation de la chaleur massique des solides en fonction de la tem-
pérature d’après Debye (courbe en traits pleins) [et données expérimentales pour
{certains matériaux.

l'argent, le diamant, l'aluminium, le cuivre et le sel gemme. L’accord
entre la théorie et l'expérience est tout à fait satisfaisant non seule-
ment du point de vue qualitatif, mais aussi du point de vue quanti-
tatif.

Variation de la concentration et de l’énergie moyenne des pho-
nons avec la température. De (3.29) il résulte que dans le domaine des
hautes températures le nombre moyen de phonons dans chaque mo-
de croît proportionnellement à la température. Par conséquent, le
nombre total de phonons n,,,, dans le volume unité du cristal (c'est-
a-dire leur concentration) est lui aussi proportionnel à T':

Rphon TL. (3.35)
Quant à l'énergie moyenne du phonon, elle ne dépend pas de T':
(E phon ) = E er/Nphon — Const. (3.36)

Ici, les chevrons représentent la moyenne prise sur la collectivité.

ü2 VIBRATIONS THERMIQUES DES ATOMES DE CRISTAL (CH.

Aux basses températures les calculs montrent que
Nphon T* ; (E phon )= T. (3.37}

Expliquons la cause d’une telle dépendance. La figure 3.14, a
montre la courbe de variation en fonction de la température du
quotient de l'énergie de la vibration normale selon Einstein (3.28)
par la valeur classique ÀT de cette énergie. D'une façon grossière-
ment approchée (ligne en traits interrompus de la figure 3.11, a),
cette dépendance peut être interprétée ainsi: aux températures
kT >ho,n la vibration normale est excitée; aux températures

Fig. 3.11. Excitation des vibrations normales du réseau dans le domaine des.
basses températures :

a — variation en fonction de la temptrature du rapport de l'énergie de la vibration normale
Ey.n à la valeur classique kÀT montrant que la vibration normale de fréquence w,, , est cxci-

tée principalement à ÀT > ROp,n;: à des températures plus basses elle n’est excitée que faible-

ment ; b — lorsque la température augmente de T, à T:, à des modes excités à T, s’ajoutent
des modes de fréquences plus élevées nouvellement excités.

plus basses elle est excitée faiblement. La figure 3.11, b représente
les spectres énergétiques des vibrations de fréquence la plus basse w,
et de fréquences plus élevées égales à 2w,, 3&,, etc. (comme pour la
chaîne linéaire d’atomes). L'énergie moyenne de ces vibrations est
égale à À T, à une certaine température peu élevée T;, à AT, à la tem-
pérature 7,; à T, sont excités des modes de äw << AT, et à T, des
modes de äw << ÀT,. On voit sur cette figure que dans les modes
qui sont déjà excités pour T = T, le nombre de phonons est doublé
par suite de l’augmentation de la température et en outre il se pro-
duit l'excitation de nouveaux types de vibrations de fréquences plus
élevées et d'énergies des phonons plus grandes (entre kT;, et kT.).
C'est pourquoi (E»}on ) croît avec la température tandis que rhpon
croît plus vite que 7. Pour T > T , tous les types possibles de vibra-
tions sont déjà excités et une croissance ultérieure de T n'a pour

$ 3.6] DILATATION THERMIQUE DES SOLIDES 63

effet qu'une augmentation proportionnelle du nombre de phonons
dans chaque mode.

Soulignons une fois de plus que l'écart de la dépendance c4(T}
à la loi classique est lié au caractère quantique de l’excitation des
vibrations, à ce que la vibration de fréquence w ne peut pas apparai-
tre progressivement mais exige pour son excitation d'emblée une
portion d'énergie fw. Aussi, aux basses températures, les vibrations
de haute fréquence qui exigent de grandes portions d'énergie d’exci-
tation sont-elles pratiquement absentes. Regardons par exemple
comment arrive à un état d'équilibre thermique un cristal ventillé
par un gaz inerte froid. Sur la surface du cristal il se produit un
échange d'énergie entre les atomes vibrants du cristal et les ato-
mes de gaz tombant sur le cristal. Dans ces conditions, les types de
basses fréquences des vibrations peuvent être excités pratiquement
par tout atome de gaz tandis que les vibrations de hautes fréquences
ne peuvent le faire que par des atomes possédant une énergie élevée.
Mais l’énergie des modes excités à haute fréquence peut être emprun-
tée et leurs vibrations peuvent être amorties par tout atome frappant
le cristal. Un tel échange « inégal » d'énergie entre les modes de haute
fréquence et le gaz conduit à une faible excitation de ces modes.
Pour ce qui est des modes de basse fréquence, l'échange d'énergie est
pour eux « équivalent » et ils possèdent, de même que les particules

de gaz, une énergie cinétique de LT par chaque desré de liberté.

$ 3.6. Dilatation thermique des solides

En étudiant les vibrations thermiques du réseau cristallin, nous
avons introduit l’approximation harmonique (3.1) suivant laquelle
la force qui prend naissance lorsque la particule se déplace de sa
position d'équilibre, est proportionnelle au déplacement. La théorie
de la chaleur massique de réseau des corps solides construite dans
cette hypothèse s'accorde de manière suffisamment satisfaisante
avec l'expérience. Mais il s’est avéré impossible d'expliquer dans
le cadre de l’approximation harmonique certains phénomènes bien
connus tels que par exemple la dilatation thermique des solides et
leur conductibilité thermique.

En effet, reportons-nous à la courbe de variation de l'énergie
potentielle ÜU des particules du solide en fonction de la distance r
qui les séparent l'une de l’autre (fig. 3.12). Si les conditions (3.1)
sont satisfaites, cette courbe est une parabole a’bc’ dont l'équation.
est de la forme

Ur —-r)=U(u) = —U, +1/, But. (3.38)

[ci on a noté u = r —r. Pour T = OK, les particules se disposent
à des distances ro Correspondant au minimum d'énergie d’interac-

64 VIBRATIONS THERMIQUES DES ATOMES DE CRISTAL (CH. 3

tion U (c’est-à-dire au fond du puits de potentiel abc’). Ces distances
déterminent la dimension du corps à 7 = 0 K. Lorsque la tempé-
rature augmente, les particules commencent à vibrer autour de
leurs positions d'équilibre r,. Pour simplifier, supposons que
la particule Z est immobile et que seule la particule 2 vibre. La parti-
<ule en vibration possède une énergie cinétique qui atteint sa valeur
maximale £,.,. à l'instant où elle passe par la position d'équilibre r..
Sur la figure 3.12, l'énergie E,.. est portée vers le haut à partir du
fond du puits de potentiel. Lorsque la particule 2 se déplace vers la
gauche à partir de la position d'équilibre, l’énergie cinétique est
.dépensée pour vaincre les forces de répulsion par la particule Z et se
transforme en énergie potentielle d'interaction de la particule. Le

Fig. 3.12. Variation de l'énergie potentielle d'interaction des particules du
corps en fonction de la distance qui les sépare (courbe en traits pleins).

mouvement vers la gauche a lieu tant que toute l'énergie cinétique
de la particule Æ,,. ne se transforme en énergie potentielle. Le mouve-
ment de la particule 2 vers la droite de la position d'équilibre s’effec-
tue de la même manière. Comme la parabole (3.38) est symétrique
par rapport à la verticale bd passant par le point r,, les écarts maxi-
maux de la particule 2 vers la droite (u;) et vers la gauche (u;) sont
égaux.

Or, en réalité la courbe potentielle abc est, comme il est visible
sur la figure 3.12, asymétrique par rapport au point r, : sa branche
de gauche ba est plus fortement ascendante que sa branche
de droite bc. Cela signifie que les vibrations des particules dans le
solide sont anharmoniques. Pour prendre en compte l’asymétrie de
la courbe potentielle on peut introduire dans l'équation (3.38) un
terme supplémentaire —yu*/3 (y est un coefficient de proportionna-
lité). Alors, les expressions (3.38) et (3.1) prennent la forme suivante :

Ur —r) = U(u) = —Us + 1/3 Bu — 7/3 vu’, (3.39)

F(r—ro)=F (u)= — = — fu + ve. (3.40)

$ 3.6] DILATATION THERMIQUE DES SOLIDES 65

Dans le cas où la particule 2 s’écarte vers la droite (u > 0), le terme
yu$/3 se retranche de Bu*/2 et la branche bc devient moins abrupte que
la branche bc’ ; si la particule 2 s’écarte vers la gauche (u 0), le
terme yu°/3 s'ajoute à Bu’/2 et la branche ba devient plus abrupte
que la branche ba’.

Le caractère asymétrique de la courbe potentielle a pour effet
que les écarts de la particule 2 vers la droite (,) et vers la gauche
(u,) ne sont pas égaux : cette particule s’écarte plus fortement vers
la droite que vers la gauche (fig. 3.12). Ceci étant, la position moyenne
de la particule 2 (point r,) ne coïncide plus avec la position d’équi-
libre r, mais se trouve déplacée vers la droite. Cela correspond à une
augmentation de x de la distance moyenne entre les particules.

Ainsi, lorsque le corps est échauffé, les distances moyennes entre
les particules doivent augmenter et le corps doit se dilater. La cause
en est le caractère anharmonique des vibrations des particules du
corps solide dû à l’asymétrie de la courbe de variation de l'énergie
d'interaction des particules en fonction de Ia distance qui les sépare.

Evaluons le coefficient de dilatation thermique &. La valeur
moyenne de la force qui prend naissance lorsque la particule ? s’écarte
de la position d'équilibre est égale à

F= —fBu +yu:. (3.41)

Lorsque _la particule effectue des vibrations libres, F =0 et donc
vu? = Bu. On en tire

u = yu2/B. (3.42)

L'énergie potentielle de la particule est déterminée par la relation

(3.38) à une quantité du deuxième ordre de petitesse près. Lorsque
les vibrations commencent, cette énergie augmente en moyenne de

AU = Use = 1/2Pu2. (3.43)

Comme la valeur moyenne de l'énergie potentielle de l’oscillateur
est égale à la valeur moyenne de son énergie cinétique ou à la moitié
de son énergie totale E,., on a

Puè= Ecsc ; (3.44)
SARA LE 2 0 3.45
U= = (3.45)

La dilatation linéaire relative qui représente le rapport de la

variation de la distance moyenne w entre les particules à la distance
normale r, entre elles a pour valeur

5—726

66 VIBRATIONS THERMIQUES DES ATOMES DE CRISTAL (CH. 3

et le coeïficient de température de dilatation thermique est égal à

1 du __Y_ dEose ___Y _ cv
HAT Pre 7 Pr 3° 58)

où cy/(3N) est la chaleur massique rapportée à un degré de liberté
de la particule. Ainsi il se trouve que le coefficient de température
de dilatation thermique est proportionnel à la chaleur massique du

—… N9
8 À À à

Cy, J/{mole:K)

0 100 200 300 T,K

Fig. 3.13. Variation du coefficient de température de dilatation thermique «& et
de la chaleur massique c. du cuivre en fonction de la température.

corps. La figure 3.13 montre à titre d'exemple la variation du coeffi-
cient de température de dilatation thermique et de la chaleur massi-
que du cuivre en fonction de la température qui confirme le lien qui
existe entre & et cy.

Dans le domaine des hautes températures, l'énergie des vibra-
tions de la particule par un degré de liberté, c'est-à-dire par la vi-
bration le long d’un des axes, est égale en moyenne à ÀT et la chaleur
massique c- rapportée à une particule est égale à k. Ceci étant, le
coefficient de dilatation thermique d'une chaîne linéaire d'atomes

a pour expression
ve (3.47)

= Pre

L'introduction des valeurs numériques de y, k#, B et r, pour les
divers corps solides donne pour « des valeurs de l'ordre de 10-+ à
1075, ce qui s'accorde de manière satisfaisante avec l'expérience.
L'expérience confirme aussi que dans le domaine des hautes tempé-
ratures le coefficient « ne dépend pratiquement pas de la température
(fig. 3.13).

Dans le domaine des basses températures, le comportement de &
est analogue à celui de c;- : il diminue lorsque la température baisse

et tend vers zéro lorsque 7 —+ 0 K.

& 3.7] CONDUCTIBILIT£E THERMIQUE DE RÉSEAU DES SOLIDES 67

Notons avant de clore ce paragraphe qu’une formule analogue à
(3.46) a été proposée pour la première fois pour les métaux par
Gruneisen sous la forme

Ôx
@ = 3y Cv, (3.48)
où x est le coefficient de compressibilité du métal ; V le volume occupé
par un atome; Ô la constante de Gruneisen qui prend pour divers
métaux les valeurs de 1,5 à 2,5.

$ 3.7. Conductibilité thermique de réseau
des! solides

Un deuxième effet dû au caractère anharmonique des vibrations
des atomes est la résistance thermique des solides. Elle ne pourrait
pas apparaître si les atomes effectuaient des vibrations rigoureuse-
ment harmoniques, se propageant dans le réseau sous la forme d'un
système d'ondes élastiques non interagissantes entre elles. L'absence
d’interaction entre les ondes leur permettrait de se propager dans le
cristal sans subir de diffusion, c’est-à-dire sans rencontrer aucune
résistance à la manière de la lumière se propageant dans le vide.

Si l’on crée dans un tel cristal une différence de température,
les atomes situés à l’extrémité chaude, dont les amplitudes de la
vibration sont grandes, doivent transmettre leur énergie aux atomes
voisins. Dans ce cas idéalisé, le front d'onde thermique se propage-
rait le long du cristal à la vitesse du son. Comme cette onde ne ren-
contrerait aucune résistance, la conductivité thermique d'un tel
cristal serait très grande.

Dans les cristaux réels, à des températures pas trop basses, les
vibrations des atomes ont un caractère anharmonique dont tient
compte le deuxième terme de (3.40). L'apparition de l’anharmonicité
conduit à ce que les ondes élastiques perdent leur caractère indépen-
dant et, qu'en se rencontrant, elles entrent en interaction, échangent
de l'énergie et changent la direction de leur propagation (en subissant
la diffusion l’une sur l’autre). C’est précisément grâce à ces processus
d'interaction des ondes élastiques que deviennent possibles le trans-
fert d'énergie des vibrations d’une fréquence aux vibrations d’une
autre FIRE et l'établissement d'un équilibre thermique dans le
cristal.

Expliquons pourquoi la diffusion des ondes élastiques, l'une sur
l’autre, a son origine dans l’anharmonicité des vibrations. Le fait
est que la non-linéarité de la variation de la force en fonction du dé-
placement (3.40) signifie que le module d'élasticité dépend du dé-
placement des atomes depuis la position d'équilibre. Aussi, une région
du cristal occupée par une onde est-elle considérée par une autre onde
comme une région ayant d'autres caractéristiques élastiques, c'est-
à-dire comme une hétérogénéité.

68 VIBRATIONS THERMIQUES DES ATOMES DE CRISTAL (CH. 3

Pour décrire le processus de diffusion des vibrations normales
l’une sur l'autre, il est commode d'utiliser le langage de phonons en
considérant un cristal thermiquement excité comme une boîte rem-
plie de phonons. À l’approximation harmonique, dans laquelle les
vibrations normales du réseau sont indépendantes, les phonons cons-
tituent un gaz parfait (gaz de phonons non interagissants). Le passage
aux vibrations anharmoniques est équivalent à l’introduction de l'in-
teraction entre les phonons, qui peut avoir pour résultat la désinté-
gration d’un phonon en deux ou plusieurs phonons et la formation
d'un phonon à partir de deux. Il convient d'appeler ces processus
diffusion phonon-phonon.

En considérant les processus de diffusion des phonons comme des
collisions des particules, il est commode de se représenter le phonon
comme un paquet d'ondes se déplaçant dans le cristal. En réalité,
le phonon, en tant que quantum d'énergie de la vibration normale,
est étendu à tout le cristal. Quant au paquet d'ondes, il est constitué
par une superposition de vibrations normales. En particulier il ne
peut pas être caractérisé par un seul vecteur d'onde k. Toutefois, si
le paquet n’est pas trop étroit, la gamme de vecteurs d'onde qui le
constituent n'est pas grande. Dans de tel cas, on peut parler du vec-
teur d’onde k du paquet d'ondes phononique et de l'énergie
Row (k) de ce paquet. Pour ce qui est de la propagation de la chaleur
dans l’espace, on peut la représenter comme un mouvement par diffu-
sion des paquets d'ondes phononiques qui échangent, l’un avec
l’autre, de l'impulsion et de l'énergie.

Dans la théorie cinétique des gaz on montre que le coefficient
de conductibilité thermique du gaz a pour expression

hoc: (3.49)

où l'est la longueur de libre parcours moyen des molécules; v la
vitesse de l’agitation thermique des molécules ; c- la chaleur massi-
que par unité de volume du gaz.

Relativement au gaz phononique, il convient d'entendre par c+-
la chaleur massique du volume unité du cristal, par / la longueur du
libre parcours moyen du phonon, par v la vitesse (de groupe) des pa-
quets d'ondes phononiques. D'une manière approximative, on peut
considérer que la vitesse des phonons ne dépend pas de leurs vecteurs
d'onde et est égale à la vitesse de propagation des vibrations de basse
fréquence du réseau cristallin, c'est-à-dire à la vitesse du son.

Analysons la variation du coefficient de conductibilité thermique
en fonction de la température déterminée par la formule (3.49).

Dans le domaine des hautes températures c.. ne dépend pratique-
ment pas de 7. Quant à la longueur du libre parcours moyen des pho-
nons, elle doit être inversement proportionnelle à la concentration
des phonons si ceux-ci se diffusent l’un sur l’autre. Commen;pon T,
le coefficient de conductibilité thermique doit être inversement

$ 3.7] CONDUCTIBILITÉ THERMIQUE DE RÉSEAU DES SOLIDES 69

proportionnel à la température thermodynamique, ce qui s'accorde
qualitativement avec l'expérience.

A des températures inférieures à la température de Debye, la
concentration de phonons diminue brusquement lorsque T baisse
de sorte que la longueur de leur libre parcours moyen augmente brus-
quement et atteint une valeur comparable à la dimension du cristal.
Vu que généralement les parois du cristal réfléchissent les phonons
dans une direction quelconque (réflexion diffuse), une baisse ulté-
rieure de la température ne fait pas croître L parce que cette dernière
se détermine tout simplement par les dimensions du cristal. La va-
riation avec la température de la conductibilité thermique du reseau
dans cette gamme de températu-
res est déterminée par la varia-
tion de la chaleur massique cy
du cristal en fonction de T.
Puisque dans le domaine des
basses températures cy — T%, la
conductibilité thermique À doit
être elle aussi proportionnelle

4 T°:

107 W-m-1.Kk”

à = Ti. (3.50)

Cette conclusion est, elle aussi, O 40 80 7,K
confirmée qualitativement Par pig. 3.14. Variation de la conductibi-
l'expérience. La figure 3.14 mon- lité thermique du saphir en fonction
tre à titre d'exemple la varia- de la température.

tion de la conductibilité thermi-

que du saphir artificiel en fonction de la température. Dans le
domaine des basses températures c- est réellement approximative-
ment proportionnelle à TS.

Une situation analogue doit se présenter dans des diélectriques
amorphes dont les dimensions des régions de structure régulière sont,
d'après leur ordre de grandeur, comparables aux dimensions atomi-
ques. La diffusion des phonons sur les frontières de telles régions doit
prédominer à toutes les T et de ce fait L ne doit pas dépendre de 7.
Ceci étant, le coefficient de conductibilité de tels diélectriques doit
être proportionnel à T® dans le domaine des basses températures et
être indépendant de T dans le domaine des hautes températures, ce
qui est observé expérimentalement.

Théorie quantique de la conductibilité thermique. La théorie
montre que lors de la diffusion des phonons doivent être observées
à la fois la loi de la conservation de l’énergie et la loi de la conserva-
tion de l'impulsion des phonons. Le rôle de l'impulsion du phonon
est joué par la grandeur #k. Par exemple, si deux phonons
d'énergies kw, et fo, et d’impulsions #ik, et fik, forment par
suite de la collision A, phonon, l'énergie et l’impulsion de ce

70 VIBRATIONS THERMIQUES DES ATOMES DE CRISTAL (CH. 3

dernier doivent être égales à fos = ho, + ko, et hk; = Rk, + ik.
respectivement.

L’addition de deux phonons de basses fréquences se propageant
dans une même direction peut être observée expérimentalement : en
excitant deux ondes de fréquences w, et w, à une extrémité d'une
barre cristalline, on peut observer à l’autre extrémité une vibration
de fréquence &3 = @1 + &@2.

Dans le cas général, l'exigence concernant l'observation simulta-
née des lois de la conservation de l'énergie et de l'impulsion lors de
l'interaction des phonons est assez sévère. Par exemple, l’addition

fa (o) xl Kk

Fig. 3.15. Explication de l’influence des processus de « transfort » sur le mouve-
ment des phonons.

de deux phonons de grande énergie est impossible si le nouveau pho-
non doit avoir une énergie supérieure à la valeur maximale possible
hOma:. En même temps, c'est précisément l'interaction des phonons
de grandes énergies qui doit conduire à une limitation de la conducti-
bilité thermique. Expliquons ceci sur l'exemple de la chaîne linéaire
d'atomes.

L'addition de deux phonons de petites impulsions donne un nou-
veau phonon qui se propage dans la même direction que les deux
phonons disparus et possède une énergie égale à la somme des énergies
des phonons disparus. Ainsi, le flux d'énergie est conservé. Mais
l'addition de deux phonons d’impulsions fik,. > x/(2a) donne un
phonon d’impulsion #k, > n/a qui se situe en dehors de la première
zone de Brillouin. C’est ce qu’on appelle « processus de transfert »
ou processus U (de l'allemand Umklapprozesse).

Comme il a été montré au 8 3.1, toute vibration dont le vecteur
d'onde se situe en dehors de la première zone de Brillouin peut être
décrite avec le même succès à l’aide d’une onde dont le vecteur d'onde
diffère de la quantité 2x/a ou de son multiple et tombe dans la pre-
mière zone de Brillouin (flèche en traits interrompus de la figure 3.15).
Autrement dit, l'impulsion *k du phonon est définie à tout vecteur
du réseau réciproque près (v. $ 1.3). C’est pourquoi la quantité kk
est souvent appelée quasi-impulsion du phonon et non pas impulsion.

& 3.7] CONDUCTIBILITÉ THERMIQUE DE RÉSEAU DES SOLIDES 71

Comme il est visible sur la figure 3.15, la vitesse de groupe du
paquet d’ondes d’impulsion fik, — hik,; — 2n/a est dirigée dans le
sens opposé à Ak, et äk.. (La vitesse de groupe est définie comme
étant égale à dw/dk pour des valeurs considérées de À). Ainsi, une
telle interaction devrait conduire au changement de la direction du
flux d'énergie. Pourtant, comme il a été dit plus haut, lors de l’addi-
tion de tels phonons il est impossible de respecter la loi de la con-
servation de l'énergie.

Dans un cristal tridimensionnel où il existe plusieurs polari-
sations d’ondes et l'énergie des phonons dépend non seulement du
module du vecteur d'onde mais aussi de son orientation, les possi-
bilités de diffusion des phonons sont plus grandes. En outre, il
convient de prendre en considération des processus faisant intervenir
un grand nombre de phonons à la fois.

Ceci étant, la théorie quantique de la conductibilité thermique
s'est avérée très complexe et, pour le moment, elle n’est pas en mesure
de prédire non seulement une valeur exacte mais même l'ordre de
grandeur de la conductibilité thermique À du réseau cristallin.

CHAPITRE 4

ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES BANDES
DES SOLIDES

La théorie électronique moderne des solides est fondée sur la théorie des bandes.
C’est seulement sur la base de cette théorie qu'il est devenu possible d'expliquer
les propriétés électriques des métaux. des diélectriques et des semiconducteurs.

$ 4.1. Niveaux d'énergie électroniques dans
un atome isolé

Au début du XX siècle les physiciens se sont rendus compte que
les phénomènes atomiques ne pouvaient être décrits ni comme un
mouvement des particules, ni comme des processus purement ondula-
toires. Les particules microscopiques — les électrons, les protons,
les atomes, etc., réunissent organiquement les propriétés corpuseulai-
res et les propriétés ondulatoires. Elles sont toujours enregistrées
comme des particules, mais leur mouvement est décrit par l'équation
d'onde de Schrüdinger. Pour une microparticule de masse m en mouve-
ment dans un champ de force et possédant dans ce champ une énergie
potentielle U (x, y, z, t) l'équation de Schrôüdinger est de la forme

+ 0 h° dy d°Y o°Yy
—ih ee (Sr + Sr + Se) =U (x y, 2, D W. (4.1)

La fonction Y (x, y. z, t), solution de cette équation, est appelée
fonction d'onde. L'interprétation physique de cette fonction est la
suivante : le produit de W par la fonction W*, qui est sa conjuguée
complexe, et par le volume dV est la probabilité pour que la particule
soit localisée à l'instant t dans l'élément de volume donné dy.

L'énergie potentielle U figurant dans l'équation de Schrôdinger
est dans le cas général fonction des coordonnées et du temps. Toute-
fois, pour de nombreux problèmes pratiques importants, elle
n'est que fonction des coordonnées et ne dépend pas du temps. Dans
ce cas il existe une collection de solutions indépendantes de l'équa-
tion de Schrôdinger pour lesquelles VY* est indépendant du temps.
De tels états de microparticules sont dits stationnaires.

La détermination des états stationnaires est un problème très
important parce que tout autre état, y compris l’état non station-
naire, peut être représenté comme une superposition de fonctions
d'onde stationnaires. Malheureusement, une solution rigoureuse de

& 4.11] NIVEAUX D'ENERGIE ELECTRONIQUES DANS UN ATOME ISOLE 73

l'équation de Schrôüdinger n’est obtenue que pour certains systèmes
simples et notamment pour l’atome d'hydrogène. La résolution de
l'équation de Schrôdinger pour un électron dans un champ coulom-
bien du proton donne une multitude d'états stationnaires possibles.
Leur énergie, comptée à partir de l’énergie d'un électron libre, non
lié au noyau, est donnée par la formule

eîme 1 :

En = —BeRe "re ? (4.2)
où &, est la permittivité du vide; k la constante de Planck; e et m,
sont la charge et la masse de l'électron; r = 1, 2, 3, ... est un
nombre dit quantique principal.

L'électron unique dans l’ato- 2 3 0 72
me d'hydrogène occupe l'état
fondamental le plus bas (n = 1). 2 1 32
On peut le faire passer à des —2—2———— 2 } ,;/2
niveaux énergétiques plus élevés, ee 2 O #2
en lui transmettant de l'exté-
rieur une portion correspondante
d'énergie. Dans les atomes à
plusieurs électrons chaque élec-
tron interagit non seulement
avec le noyau mais aussi avec —%2———— 1, 0 {2
d’autres électrons. Il en résulte n L }ÿ

une forte complication de l’équa-

tion de Schrôdinger, ce qui ne Fig. 4.1. Niveaux d'énergie des élec-
permet pas d'obtenir les solutions t'°ns dans un re plusieurs élec-
exactes. Ainsi, on a recours à des °

méthodes de résolution approchée.

La fonction d'onde du système d'électrons qui dépend maintenant
des coordonnées de tous les électrons de l'atome est représentée sous
la forme d’une combinaison de fonctions dont chacune ne dépend
des coordonnées que d’un seul électron. La forme de chacune de ces
fonctions et l'énergie de l’électron dans l’atome qui lui correspond
se déterminent non seulement par le nombre quantique principal »,
comme dans l'atome d'hydrogène, mais aussi par le moment orbital 1
et par le moment total j qui est le résultat de l'addition vectorielle
du moment orbital et du moment de spin. La figure 4.1 montre (non
à l'échelle) le schéma des niveaux d'énergie d’un atome comportant
onze électrons (Na).

Une même énergie peuvent avoir dans l’atome deux (ou plusieurs)
électrons de différentes fonctions d'onde. En d’autres termes, plu-
sieurs niveaux énergétiques peuvent coïncider. De tels niveaux sont
dits dégénérés. C'est ainsi par exemple que le niveau de j = ä/2 est
doublement dégénéré. Un tel niveau peut être occupé par deux élec-
trons dont les fonctions d'onde diffèrent par la projection du moment

74 ÊÉLEMENTS DE THÉORIE DES BANDES DES SOLIDES [OKH. 4

total j sur une direction donnée. Ces projections (en unités de à)
peuvent prendre des valeurs de —j à +j avec des intervalles de 1.
Ainsi, pour j — 4/2 ces projections peuvent être égales à —1/2 ou
à +1/2. Pour j — 3/2, elles peuvent prendre les valeurs de —3/2,
—1/2, 1/2, 3/2. Cela signifie que le niveau de j — 1/2 peut contenir
deux électrons, ce niveau est doublement dégénéré; le niveau avec
j — 3/2 est dégénéré d'ordre 4, et ainsi de suite (fig. 4.1).

$ 4.2. Mise en commun des électrons dans le cristal

Dans les solides, les distances entre les atomes sont si petites
que tout au moins les électrons de valence de chaque atome se trou-
vent soumis à un champ suffisamment fort des atomes voisins. Si
l’on considère en première approximation que les noyaux des atomes
du solide sont immobiles dans les nœuds du réseau cristallin, l’équa-
tion de Schrôdinger pour la détermination des états stationnaires du
système d'électrons de valence prendra la forme suivante:

h 92 97Y 02
— 30 À (er nt 7) +

+ U (x:, U1; Z4; Le; Yo; Zo ; sel =EY, (4.3)

OÙ Z;, Y1, Z1 sont les coordonnées du i-ième électron et E est l'énergie
de tout le système électronique. La fonction d'onde du système Y
dépend des coordonnées de tous les électrons:

PV U::2, La da ts sc) (4.4)

L'expression de l’énergie potentielle U comprend non seulement
l'énergie d'interaction de chaque électron dans le champ de tous
les ions du réseau, mais aussi l'énergie d'interaction coulombienne
des électrons l’un avec l’autre. Une équation si compliquée comme
(4.3) ne peut pas être résolue sous la forme générale. De même que
dans le cas d’un atome à plusieurs électrons, on s'efforce d'obtenir
la fonction d'onde du système électronique en combinant les fonc-
tions d'onde Ÿ,; dépendant uniquement des coordonnées d’un seul éle-
ctron et constituant les solutions des équations pour un seul électron :

h? | 6? Ê
—5— | ne Un Pi S) HU: (x, y, z) hi = E:ÿi, (4-5)
où Æ; est l'énergie du i-ième électron.

Mais même dans ce cas, que l’on appelle approximation mono-
électronique, le problème reste très difficile à résoudre parce que l’éner-
gie potentielle VU; (x, y, z) de chaque électron dépend des états de
tous les autres électrons. Heureusement, dans bien des cas, les con-

€ 4.2] MLSE EN COMMUN DES ÉLECTRONS DANS LE CRISTAL 75
———————_—_—_—__—_—__—_—_——————

clusions sur le comportement des électrons dans le cristal peuvent
être faites à partir des raisonnements généraux.

Nous allons considérer les électrons dans un cristal parfait, c'est-
à-dire dans un cristal possédant une structure régulière idéale, sans
défauts, ne contenant pas d’atomes étrangers et n'effectuant pas de
vibrations thermiques. Dans un tel cristal, les ions produisent une
répartition parfaitement périodique de potentiel. Examinons le

U U

9 F GC

X Bande.
d'energtes
permises

Fig. 4.2. Changement d'état des électrons lors du rapprochement des atomes:

-a — niveaux d'énergie des électrons de valence des atomes de sodium éloignés à des distances
nettement supérieures au paramètre du réseau ; b — bande d'énergie formée lors du rappro-
chement des atomes dans le cristal.

mouvement d’un électron de valence dans un tel champ de forces sur
l'exemple de cristal de sodium.

Arrangeons V ions de sodium de telle sorte qu'ils forment un
‘réseau spatial propre au sodium mais se trouvent à des distances si
grandes l’un de l’autre que l'interaction entre eux peut être négligée.
Alors, l’électron considéré peut se trouver près de n'importe lequel
.des ions du réseau pendant un temps infiniment long parce qu'il est
maintenu par la barrière de potentiel produite par le champ cou-
lombien de l'ion (fig. 4.2, a). Lorsque les ions se rapprochent jusqu'a
des distances normales dans le cristal, les courbes potentielles (lignes
‘en traits interrompus de la figure 4.2, b) se superposent en partie
pour former des courbes résultantes montrées sur la figure 4.2, b
en traits pleins. Dans ce cas il peut se trouver que la hauteur de la
barrière entre les ions soit inférieure à la position initiale du niveau

-énergétique de l’électron de valence. Dans un tel cas, l'électron reçoit
Din

76 ELEMENTS DE THÉÊORIE DES BANDES DES SOLIDES (CH. +

la possibilité de se déplacer, pratiquement sans entraves, à l’inté-
rieur du cristal d’un atome à un autre. Sa fonction d'onde est délo-
calisée sur tout le cristal. C’est ainsi que les électrons de valence.
sont mis en commun, chacun d'eux appartient maintenant à tout.
le cristal.

Si les barrières de potentiel ne descendaient pas, lors du rappro-
chement des atomes, au-dessous du niveau d'énergie de l’électron
dans l’atome, les électrons seraient quand même mis en commun par

D N
*@ x
È ©
& D u
S$ ÿ
SE | RRKKR----- |
Se Se
—_— — — —— , D wr
S LS :
4.
°>S | ge
TEE | AS
ces HO
Dy G ESSSSLSS S S 2

a
Distance interatomique

Fig. 4.3. Décomposition des niveaux d'énergie et formation de bandes d'énergie:
dans le cristal.

effet tunnel. c’est-à-dire la traversée de la barrière de potentiel par
l’électron. Cet effet est essentiellement quantique, ce qui démontre la
nature ondulatoire des microparticules.

La probabilité de traversée par effet tunnel diminue brusquement
lorsque la hauteur et la largeur de la barrière augmentent. Cela signi-
fie que les électrons occupant des niveaux plus profonds peuvent eux
aussi se déplacer en principe d’un atome à un autre mais la vitesse
d'un tel mouvement ne peut pas être grande.

Ainsi, les électrons mis en commun dans le cristal peuvent être
assimilés dans une certaine mesure à des électrons libres. Dans le cas
considéré, avant la formation du cristal, les électrons de valence 3s
de l’atome de sodium possédaient une même énergie, mais chacun
d'eux se trouvait près de « son » atome. Or, dans le solide, chacun de
ces électrons est devenu appartenant à tout le cristal de sorte que de
ce point de vue les électrons sont devenus indiscernables. Mais c’est
de façon différente (dans des directions différentes et avec des vitesses
différentes) qu'ils peuvent être maintenant animés d'un mouvement
de translation dans le cristal. Ceci étant, l'énergie de divers électrons:

$ 4.3] FONCTION D'ONDE DE L'ELECTRON DANS LE CRISTAL 71

devient différente. Un niveau énergétique étroit s'étale en bande
d'énergies permises. Plus grandes sont les vitesses du mouvement de
translation que peuvent avoir les électrons mis en commun, plus
large est la bande d'énergie correspondante. C'est pourquoi, les
niveaux énergétiques profonds des atomes donnent naissance à des
bandes d'énergies étroites séparées par de larges intervalles d'énergies
interdites. Quant aux niveaux supérieurs des atomes, ils forment de
larges bandes séparées par des intervalles étroits d'énergies inter-
dites de sorte que ces bandes peuvent même se recouvrir. Le caractère
général du spectre énergétique des électrons dans un cristal est repré-
senté sur la figure 4.3.

$ 4.3. Fonction d’onde de l’électron dans le cristal.
Zones de Brillouin

Dans les limites de chaque maille élémentaire du cristal la fonc-
tion d'onde de l’électron doit être plus ou moins proche de la fonc-
tion d'onde de l’électron dans l’atome. En même temps elle doit
être similaire à la fonction d'onde d'un électron libre animé d'un
mouvement de translation dans l’espace. Cette dernière se présente
pour l’état stationnaire sous la forme

Ÿ — Ceikr-owt), (4.6)

où C est un coefficient constant et k le vecteur d'onde de l’électron
qui détermine sa vitesse et son énergie.

Suivant le théorème de Bloch, la fonction d'onde de l’état station-
naire d'un électron dans le cristal peut être représentée toujours sous
la forme

pr, {)=u (r)eitkr-e, (4.7)

où uw (r) est un multiplicateur périodique de période égale à celle du
réseau. Cette fonction présente une analogie évidente avec la fonc-
tion d’onde de l’électron libre (4.6) parce que les deux fonctions font
intervenir le facteur eftkr-wtf), La différence entre elles tient à ce
que la fonction de Bloch v (r) déterminant la probabilité pour l’élec-
tron de se trouver dans une région ou dans une autre du cristal,
dépend de la coordonnée dans les limites de chaque maille élémen-
taire bien qu'elle se répète d’une maille à l'autre. Dans les limites
de chaque maille la fonction de Bloch doit être suffisamment proche
de la fonction d'onde de l'électron dans l'atome surtout pour des
électrons situés dans les bandes profondes. Pour les mêmes valeurs
de k, cette fonction n'est pas la même pour les électrons situés dans
les différentes bandes formées à partir des niveaux atomiques diffé-
rents. Ainsi, elle doit être assortie d'indice nr indiquant le numéro
de la bande. D'un autre côté, les fonctions de Bloch, d'une même
bande, pour des électrons ayant des valeurs différentes du vecteur

78 ÊLEMENTS DE THÉORIE DES BANDES DES SOLIDES (CH. #

d'onde, peuvent différer l’une de l’autre. Ainsi, dans le cas général
cette fonction dépend encore du paramètre k:

u (r) = un, x (n). (4.8}

Alors la partie de la fonction d'onde (4.7) dépendant des coordonnées
doit se récrire sous la forme

Pn,k (r) = Un,x (r) eikr. (4.9)

Première zone de Brillouin. La division de la fonction d'onde de
l'électron en deux facteurs vw (r) et e‘k" n'est pas une opération uni-
voque. Montrons-le sur l'exemple d’une fonction d'onde unidimen-
sionnelle de l’électron animé d’un mouvement dans la direction des z
du cristal dont la période du réseau cristallin est égale à a:

nn (2) = Un, à (x) ex. (4.10)

Maultiplions maintenant le second membre de cette identité par
e—1(21/a)x pi (2%/a)x = 1, jl vient

Ya. (T) = (Ua, » (Z) e—i(2r/a)x] pilh+27/a)x,

Le cofacteur entre crochets satisfait aux exigences que doivent satis-
faire les fonctions de Bloch parce qu'il représente le produit de la
fonction uh (x) périodique de période a par dla fonction
exp [ —i (2x/a) x] également périodique de période a. Ainsi, la même
fonction (4.10) est représentée maintenant comme une fonction d'onde
d’un électron de vecteur d’onde À + 2x/a au lieu de k et avec un autre
multiplicateur de Bloch qu'on peut désigner maintenant comme

Un, k+ona (T) = Un,x(z)e- 27/0,

et qui constitue une fonction périodique de période égale à la pé-
riode a du cristal. On pourrait, en procédant exactement de la même
manière, remplacer Æ dans (4.10) par —2n/a; +än/a; +6x/a et
ainsi de suite, c’est-à-dire par un vecteur multiple du vecteur du
réseau réciproque.

Cette non-univocité de la définition du vecteur d'onde de l'élec-
tron dans le cristal peut être éliminée si l’on convient de ne considé-
rer les vecteurs d’onde que dans les limites de — x/a à +zx/a, c'est-
à-dire dans les limites de la première zone de Brillouin. Une méthode
analogue a été utilisée lors de l'étude des vibrations du réseau cris-
tallin (v. & 3.1 et 3.3). Ainsi la collection de valeurs de k dans les
limites de la première zone de Brillouin représente de façon exhaustive
toutes les valeurs physiquement différentes des vecteurs d'onde de
l'électron dans le cristal.

Courbes de dispersion. Dans chaque bande énergétique l'énergie de
l’électron est fonction de son vecteur d'onde Æ£ = E, (k). La fi-

6 44 MOUVEMENT DE TRANSLATION DES £ELECTRONS DANS LE CRISTAL 79

gure 4.4 montre les courbes de dispersion les plus simples de deux
bandes d'énergie. Dans le cas général, l'énergie de l’électron dépend
non seulement du module de son vecteur d'onde mais également de

Fig. 4.4. Courbes de dispersion sim- Fig. 4.5. Courbe de dispersion pour
ples pour deux bandes d'énergie. deux bandes d'énergie du silicium
dans la direction [100].

l'orientation de k et la forme des courbes de dispersion est plus
compliquée que celle des courbes de la figure 4.4. La figure 4.5 montre-
à titre d'exemple les courbes de dispersion pour le cristal de silicium.
dans la direction [100].

& 4.4. Mouvement de translation des électrons dans
le cristal

La probabilité pour que l’électron se trouve à l'instant { dans
un élément de volume dV est déterminée par la quantité 14p*dY.
Pour un électron libre à l’état stationnaire cette probabilité ne dé-
pend, suivant (4.6), ni du temps, ni de la coordonnée:

pb*dV — Cd. (4.11)

L'intégrale ( pb*dŸ étendue à tout l’espace doit être égale à l'unité

mm
parce qu'elle exprime un fait certain que la microparticule se trouve-

dans cet espace:
| br ay = C7 = 1.
(V)

D'où C = 1/V Y.

80 ELEMENTS DE THÉORIE DES BANDES DES SOLIDES [CE. 4

À partir des fonctions % des états stationnaires (4.6) dont les
vecteurs d'onde k ont des valeurs proches, on peut former un état
non stationnaire — un paquet d'ondes se déplaçant dans l’espace de
même que par exemple une impulsion de courant limitée dans le

LA L2 : x
E=Apk Ê=E, x Ag (7 k)

Fig. 4.6. Courbe de dispersion (a) et Fig. 4.7. Courbe de dispersion simple
variation de la vitesse de groupe d’un (a) et variation de la vitesse de groupe
‘électron libre en fonction du vecteur (b)et de la masse effective (c) d'un
d'onde (b). électron dans le cristal en fonction du

vecteur d’onde.

temps peut être représentée par une superposition de sinusoïdes infi-
nies dans le temps.

La vitesse de déplacement d’un tel paquet d'ondes dans l’es-
pace — la vitesse de groupe de l'électron — est liée à son vecteur d'onde
par la relation

Ver k, (4.12)

& 1.9] MOUVEMENT DE L'ÊLECTRON DANS LE CRISTAL 81

où me — 9,1-10-%1 kg est la masse de l’électron. L'énergie de l’élec-
tron libre a pour valeur

ES RS LE (4.13)

On voit que la courbe de dispersion pour l’électron libre est une
parabole (fig. 4.6, a). La fonction v,, (x) pour un tel électron est
représentée sur la figure 4.6, b.

Pour un électron dans le cristal on peut, pour lui aussi, former
un paquet d'ondes à partir de la fonction d'onde (4.7) dont les vec-
teurs d’onde k ont des valeurs proches. La vitesse de son déplacement
dans le cristal se détermine par l'expression

Vgr = _ gradx £. (4.14)
On en tire pour la composante de la vitesse suivant l'axe des x
1 0E
Vyr — h ET . (4.15)

On trouve aussi des expressions analogues pour les composantes
de la vitesse le long des axes y et z. (Notons qu’à partir des formules
(4.14) et (4.13) on peut obtenir l'expression (4.12) pour la vitesse
de groupe d’un électron libre.) La figure 4.7, a montre à titre d’exem-
ple la courbe de dispersion la plus simple pour un électron dans le
cristal et la figure 4.7, b la dépendance v,,. , (k.).

On notera que lorsque k, s’approche de x/a, l'énergie de l’élec-
tron augmente et sa vitesse diminue. Le fait est que l’énergie de
l’électron dépend non seulement de sa vitesse de mouvement de
translation dans le cristal mais également de la vitesse de mouvement
de l’électron autour de l'ion dans chaque maille élémentaire. Cette
énergie comprend aussi l'énergie potentielle de l’électron dans le
champ électrique périodique du cristal. Toutes ces composantes de
l'énergie peuvent varier en fonction de k, ce qui détermine justement
une forme plus compliquée des courbes de dispersion pour un électron
dans le cristal par rapport à l’électron dans l’espace libre.

$ 4.5. Mouvement de l’électron dans le cristal sous
l’action d’une force extérieure

En l'absence de champ extérieur, les états de l’électron (4.9)
dans un cristal parfait sont stationnaires quelles que soient les va-
leurs de son vecteur d'onde k, c’est-à-dire que l’électron peut séjour-
ner dans chacun de ces états pendant un temps infiniment long.

L'application d’un champ électrique extérieur a pour effet de
provoquer une variation du vecteur d'onde k. La loi de variation de
k en fonction du temps peut être obtenue à partir de la loi de la con-
servation de de sut la variation dE de l’énergie de l'électron sous

6—726

82 ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES BANDES DES SOLIDES (CH. 4

l’action d'une force extérieure F dirigée suivant la vitesse de groupe
de l’électron a pour expression

dE = F dr = Fv,, dt.
En faisant usage de la relation (4.14), on obtient

F dE

dE =— a dt,

d’où

(RH) = F (4.16)
ou encore, sous forme vectorielle,

(fk)=F. (4.17)

Ces relations montrent que la valeur de #k pour un électron dans
le cristal varie avec le temps sous l’effet d’une force extérieure exacte-
ment de la même façon que l’impulsion p d’une particule en méca-
nique classique :

Toutefois, comme il a été montré au $ 4.2, à la différence d’un élec-
tron dans l’espace libre, pour un électron dans le cristal il existe
une non-univocité de la détermination de la grandeur k elle-même
(on peut la faire varier par exemple dans la direction [100] de la
quantité +2x/a; +äx/a et ainsi de suite, c'est-à-dire d’une quan-
tité multiple du vecteur du réseau réciproque). Cela explique pourquoi
la grandeur ñk est appelée quasi-impulsion de l’électron.

Déterminons maintenant l'accélération a acquise par l’électron
sous l’action de la force extérieure (par raison de simplification,
supposons de nouveau que la force s'exerce dans le sens de mouve-
ment) :

dur __ d f 1 dE
Eee Car dé (- &):

Comme l’énergie est une fonction composée du temps: £ = E (k (t)).
on obtient

En exprimant dk/dt en fonction de F, on trouve
1 d°E
Dans cette expression la grandeur (1/*) d°E/dk® joue le même.

rôle que 1/m (m étant la masse de la particule) dans la seconde loi
de Newton. En d’autres termes, sous l’action d’une force extérieure:

a =

$ 4.5) MOUVEMENT DE L'ELECTRON DANS LE CRISTAL 83

l’électron se déplace en moyenne dans le champ périodique du cristal
comme le ferait sous l’effet de la même force un électron libre s’il
possédait une masse

h°

Meft = EjdRe (4.19)

La grandeur m,,; est appelée masse effective de l'électron. En attri-
buant à l’électron se trouvant dans le champ périodique du cristal
la masse m,,,, nous pouvons considérer que cet électron est libre et
décrire son mouvement dans un champ extérieur comme celui d’un
électron libre ordinaire.

Cependant la masse effective, qui traduit une particularité du
mouvement de l’électron dans le champ périodique du cristal, est
une grandeur particulière. Tout d’abord elle peut être aussi bien
positive que négative et en valeur numérique elle peut être beaucoup
de fois tant plus grande que plus petite que la masse au repos m.
de l’électron. En outre, la masse effective de l’électron dans le cristal
peut varier lorsque son vecteur d’onde varie. Ce qui vient d’être dit
est illustré par la figure 4.7, c.

Pour des électrons situés près du niveau inférieur de la bande
l'énergie E;,; = Emin + Aink° dont la dérivée seconde par rapport
à k est égale à d°E/dk° = 24;,,. En portant cette valeur dans (4.19),
on obtient l’expression suivante pour la masse effective de l’électron
que nous noterons m, :

Mn = R/(2A in).

Comme 4,,, > 0, m, > 0. Ainsi, les électrons situés près du niveau
inférieur de la bande d'énergie possèdent une masse effective positive.
C’est pourquoi, dans le champ extérieur produit dans le cristal, ces
électrons se comportent normalement en s’accélérant dans le sens
de la force appliquée. La différence de tels électrons avec les élec-
trons libres consiste en ce que leur masse effective peut différer forte-
ment de la masse au repos. Plus large est la bande énergétique per-
mise, plus ascendante est la courbe de dispersion, plus grand est
À in, et plus petite est la masse effective des électrons situés près du
niveau inférieur de cette bande.

Pour des électrons situés près du sommet de la bande l'énergie
Esom = Emax — Asom (/a — k)*, la dérivée seconde de E par
rapport à k est d°E/dk° — —24A,,, et la masse effective que nous
noterons m, a pour valeur

Mn = —hR/(2A,5m)-

C’est une grandeur négative. Le comportement de tels électrons
dans le champ extérieur produit dans le cristal est anomal: ils sont
accélérés dans un sens opposé à l’action de la force extérieure. La
valeur numérique de m;, se détermine dans ce cas par la largeur de la
bande d'énergie: plus large est la bande, plus petit est | m, |.

84 ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES BANDES DES SOLIDES (CH. 4

Regardons maintenant ce qui détermine un comportement si
« étrange » des électrons dans le cristal.

Pour un électron libre, tout le travail À effectué par la force
extérieure est dépensé pour augmenter l'énergie cinétique du mouve-
ment de translation

En dérivant deux fois l'énergie E,;, par rapport à k, on obtient
d°E/dk® = k*/m.. En portant cette valeur dans la formule (4.19),
on trouve ms — m.. Ainsi, la masse effective d’un électron libre
est égale tout simplement à sa masse au repos.

La situation peut être différente dans le cas d’un électron dans
le cristal où il possède, en plus de l’énergie cinétique du mouvement
de translation dans le cristal, encore une énergie potentielle. Lors
du mouvement de l’électron sous l’action de la force F extérieure,
une partie du travail effectué par cette force peut être transformée
en energie cinétique £,3, et une autre en énergie potentielle U si
bien que À = AËE,;3, + AU. Dans ce cas l'énergie cinétique et donc
la vitesse de mouvement de l’électron croissent plus lentement que
dans le cas de l’électron libre. Tout se passe comme si l’électron était
devenu plus lourd et se déplaçait sous l'effet de la force F avec une
accélération inférieure à celle de l’électron libre.

Pourtant il est possible que dans le cristal se présente un cas où
Jors du mouvement de l’électron sous l’action de la force F extérieure
non seulement tout le travail de la force extérieure mais aussi une
partie de l'énergie potentielle U de l’électron se transforment en
énergie cinétique de sorte que AËE,;, = À + AU. L'énergie ciné-
tique E,;, et la vitesse v d’un tel électron croissent plus vite que
celles de l’électron libre. Tout se passe comme si cet électron était
devenu plus léger que l’électron libre, en possédant une masse effec-
tive mes < Mo.

Si la totalité du travail effectué par la force extérieure se trans-
forme en énergie potentielle U de l'électron, c’est-à-dire que À =
— AU, l'énergie cinétique et la vitesse de mouvement de l'électron
ne subissent aucun accroissement — l'électron se comporte comme
une particule de masse effective infiniment grande.

Enfin, si lors du mouvement de l’électron non seulement tout le
travail de la force extérieure F mais aussi une partie de l’énergie
cinétique Æ.;, que possède l’électron se transforment en énergie
potentielle, de sorte que AU = A + AËE,;,, la vitesse d’un tel
électron diminue lors du mouvement dans le cristal, l’électron se
ralentit, en se comportant comme une particule de masse effective
négative. C'est précisément de cette façon que se comportent des élec-
trons situés près du sommet de la bande d'énergie.

Près du niveau inférieur de la bande (au voisinage de 4 = 0),
tant qué l’énergie Æ (k) de l’électron croît, lorsque Æ augmente, à

& 4.6] REMPLISSAGE DES BANDES EN ÉLECTRONS 85

peu près proportionnellement à k°, la vitesse du mouvement de
translation de l’électron v — dE/dk augmente proportionnellement
à k, l'accélération du mouvement est positive et la masse effective
Mess — (d*E/dk*)-! conserve sa valeur positive constante m,. Au
point d’inflexion À de la courbe E (k) la dérivée seconde d°E/dk* = 0
et la dérivée première dÆ£/dk passe par son maximum. Aussi, lors-
qu'on s’approche de ce point, ms > oo et v— vas. Au-delà du
point d'’inflexion la dérivée dÆ/dk commence à décroître de sorte que
la vitesse v décroit elle aussi; l’accélération devient ainsi négative,
ce qui est équivalent, le sens d’action de la force extérieure F étant
conservé, au changement du signe positif de la masse effective en
signe négatif. Près du sommet de la bande d'énergie E (k) devient
de nouveau une fonction quadratique de k et la masse effective atteint
sa valeur négative constante m;.

$ 4.6. Remplissage des bandes en électrons
et division des corps en métaux, diélectriques
et semiconducteurs

Nombre d'états dans une bande d'énergie. Dans chaque bande
d'énergie les états des électrons diffèrent l’un de l’autre par la valeur
de k. Dans le cas d’un cristal de dimensions limitées seules des
valeurs discrètes déterminées de k satisfont aux conditions aux limites
relatives à l'équation de Schrüdinger. Pour les mêmes raisons que
dans le cas des ondes élastiques (v. $ 3.1), ces conditions aux limites
sont généralement choisies périodiques et alors les valeurs permises
des vecteurs d'onde des électrons sont les mêmes que celles des vec-
teurs d’onde des vibrations du réseau cristallin (v. fig. 3.5). Le nombre
total de différentes valeurs de k dans la première zone de Brillouin
est alors égal au nombre N d’atomes du cristal. Mais à chaque valeur
de k de l’électron correspondent deux états et non pas un seul, qui
différent par la valeur du spin de l’électron. Ainsi une bande d'’ener-
gie contient 2W états de l’électron. Suivant le principe de Pauli une
telle bande peut contenir au maximum 2 électrons. Notons que
tant que Ÿ atomes se trouvaient loin l’un de l’autre, le niveau d'éner-
gie correspondant de chaque atome pouvait contenir deux électrons
de spins opposés de sorte que si ce niveau dans l'atome était occupé,
la bande d’énergie formée depuis ce niveau est maintenant occupée
dans le cristal.

Lien entre le remplissage des bandes et les propriétés électriques
des solides. Le nombre d'électrons contenus dans un solide étant
limite, seules quelques bandes d’énergie les plus basses sont entière-
ment remplies.

Suivant le caractère de remplissage des bandes par les électrons,
tous les corps peuvent être subdivisés en deux grands groupes.

Le premier groupe réunit les corps dans lesquels au-dessus des

85 ÊLEMENTS DE THÉORIE DES BANDES DES SOLIDES (CH. 4

bandes entièrement remplies se situe une bande qui n’est remplie
que de façon incomplète (fig. 4.8, a). Une telle bande apparaît dans
le cas où le niveau atomique à partir duquel elle est formée, est
rempli dans l'atome incomplètement, comme c'est le cas des métaux
alcalins par exemple.

Une bande partiellement remplie peut également être créée par
la superposition des bandes remplies et des bandes vides ou partielle-

Na Be C . Si
(Diamant)

Fig. 4.8. Remplissage des bandes par les électrons dans les métaux (a, b), les
dieélectriques (c) et les semiconducteurs (d).

ment remplies comme cela a lieu pour le béryllium et les éléments
alcalino-terreux (fig. 4.8, b).

La présence d’une bande remplie de façon incomplète est propre
aux métaux.

Dans le deuxième groupe sont rangés des corps dans lesquels au-
dessus des bandes complètement remplies se situent des bandes vides
(fig. 4.8, c, d). Un exemple typique de tels corps sont les éléments
chimiques du groupe IV de la classification périodique de Mendé-
léev — le carbone et les variétés du diamant, le silicium, le germa-
nium et l’étain gris possédant la structure du diamant. Au même
groupe de corps appartiennent de nombreux composés chimiques —
les oxydes de métaux, les nitrures, les carbures, les halogénures de
métaux alcalins, etc.

Suivant la théorie des bandes des solides, les électrons des bandes
d'énergie périphériques possèdent pratiquement une même liberté
de mouvement dans tous les corps qu'ils soient métaux ou diélectri-
ques. Or, les propriétés électriques de ces corps et notamment la
conductivité électrique différent très fortement, de plusieurs ordres
de grandeur: pour les métaux © & 107 ohms-!-m-!, pour les di-
électriques de bonne qualité o << 10-11 ohms-!-m”t.

Ainsi, l'existence d'électrons libres capables de se déplacer à
travers le cristal n’est qu'une condition nécessaire mais non suffi-
sante pour que les corps deviennent conducteurs de l'électricité.

& 4.6] REMPLISSAGE DES BANDES EN ELECTRONS 87

Pour pouvoir établir la condition suffisante, elle aussi, de conducti-
bilité électrique, considérons le comportement dans un champ exté-
rieur des électrons situés dans des bandes d'énergie partiellement
remplies et entièrement remplies du cristal.

Produisons dans un cristal un champ extérieur €. Ce champ agit
sur chaque électron avec une force F — —ef8 qui tend à troubler la
symétrie de la répartition des électrons suivant les vitesses: les
électrons qui se déplacent dans le sens opposé à cette force sont
retardés, tandis que les électrons se déplaçant dans le sens de la force
sont accélérés. L'’accélération ou la décélération de l’électron est
inévitablement liée à une variation de son énergie, ce qui signifie
le passage de l’électron dans un nouvel état quantique ayant une
énergie plus grande ou moins grande. Z{ est évident que de telles transi-
tions ne sont possibles que dans le cas où les bandes d'énergie auxquelles
appartiennent des électrons donnés contiennent des états non occupés,
c'est-à-dire si la bande n'est remplie que de façon incomplète. Dans un
tel cas un champ électrique mème de faible intensité est capable de
communiquer aux électrons une impulsion additionnelle suffisante
pour les faire passer aux niveaux libres les plus proches. Le corps
devient le siège d’un mouvement préférentiel des électrons dans le
sens opposé au champ, ce qui constitue le passage d’un courant
électrique. De tels corps doivent être de bons conducteurs de l’élec-
tricité, ce qui a lieu en réalité.

Imaginons maintenant que la plus élevée des bandes du cristal
occupées par les électrons est entièrement remplie. Une telle bande
est dite bande de valence. Supposons qu'elle est séparée de la bande
suivante, libre, par une large fente énergétique E, (fig. 4.8, c).
Cet intervalle d'énergies interdites dans le cristal porte le nom de
bande interdite. La bande libre située dans de tels corps au-dessus
de la bande interdite est dite bande de conduction de même que la
bande d'énergie remplie partiellement dans un métal qui assure
une conductibilité électrique élevée de ce dernier. Le champ exté-
rieur appliqué à un tel cristal n’est pas en mesure de changer le
caractère de mouvement des électrons dans la bande de valence parce
qu'il est incapable de faire passer les électrons dans la bande libre
plus élevée. Quant à l’intérieur de la bande de valence elle-même,
qui ne contient aucun niveau libre, le champ peut ici seulement
provoquer une permutation des électrons, ce qui ne trouble pas la
symétrie de la répartition suivant les vitesses. C'est pourquoi dans
de tels corps le champ électrique extérieur n’est pas capable de faire
apparaître un mouvement coordonné des électrons, c’est-à-dire un
courant électrique, de sorte que ces corps doivent posséder une con-
ductivité electrique pratiquement nulle.

Ainsi, la condition suffisante d'apparition d'une conductivité
élevée dans les corps est la présence dans leur spectre énergétique de
bandes d'énergie qui ne sont remplies par les électrons que de façon

88 ELEMENTS DE THÉORIE DES BANDES DES SOLIDES (OH. $

incomplète, comme c'est le cas des métaux typiques (fig. 4.8, a, b).
L'absence de telles bandes dans le spectre énergétique des corps
solides du deuxième groupe les rend non conducteurs malgré le fait
qu’ils contiennent des électrons se déplaçant à travers tout le cristal.

Suivant la largeur de la bande interdite-on convient de diviser
les corps du deuxième groupe en diélectriques et en semiconducteurs.
Les diélectriques sont représentés par des corps dont la bande inter-
dite est relativement large. Pour des diélectriques typiques E, >
> 3 eV. C’est ainsi que pour le diamant Æ, = 5,2 eV, pour le nitrure
de bore E, = 4,6 eV; pour ALO, E, = 7 eV, etc.

Dans la catégorie de semiconducteurs se rangent des corps possé-
dant une bande interdite relativement étroite (fig. 4.8, d). Pour des
semiconducteurs typiques Æ£, <& 1 eV. C’est ainsi que pour le ger-
manium £, = 0,66 eV; pour le silicium Æ£, = 1,08 eV ; pour l’anti-
moniure d'indium £, — 0,17 eV; pour l’arséniure de gallium £, —
— 1,43 eV, etc.

Examinons de plus près ce groupe de corps.

$ 4.7. Semiconducteurs intrinsèques.
Notions sur les trous

Semiconducteurs intrinsèques. Les semiconducteurs chimiquement
purs sont appelés semiconducteurs intrinsèques. Ce sont certains élé-
ments chimiquement purs (germanium, silicium, sélénium, tellure
et autres) et de nombreux composés chimiques tels que par exemple
l’arséniure de gallium GaAs, l’arséniure d’indium InAs, l’anti-
moniure d’indium InSb, le carbure de silicium SiC, etc.

Le schéma simplifié de la structure de bande d’un semiconducteur
intrinsèque est représenté sur la figure 4.9, a. À T — 0 K sa bande
de valence est complètement remplie, la bande de conduction située
au-dessus de la bande de valence à une distance £, est vide. Aussi,
à T — 0 K un semiconducteur intrinsèque possède, de même qu’un
diélectrique, une conductibilité électrique nulle.

Toutefois, lorsque la température s’élève, une partie des élec-
trons de la bande de valence acquièrent, grâce à l'excitation thermi-
que, une énergie suffisante pour franchir la bande interdite et passer
dans la bande de conduction (fig. 4.9, b). Il en résulte l’apparition
d’électrons libres dans la bande de conduction et de niveaux libres
dans la bande de valence auxquels peuvent passer les électrons
de cette bande. Si un tel cristal est soumis à l’action d’un champ
électrique extérieur, il devient le siège d’un mouvement ordonné
de l’ensemble des électrons de la bande de conduction et de la bande
de valence qui constitue un courant électrique. Le cristal devient
conducteur de l'électricité.

Les électrons reçoivent l'énergie Æ,, nécessaire pour passer de la
bande de valence dans la bande de conduction, de la part des atomes

$ 4.7) SEMICONDUCTEURS INTRINSEQUES. NOTIONS SUR LES TROUS 89:

vibrants du cristal et du rayonnement en équilibre thermique. Comme
l'énergie moyenne des vibrations de l’atome (—kT) est d'ordinaire
très inférieure à l'énergie Æ,, seule une très petite partie des atomes
peuvent exciter les électrons de la bande de valence. Dans le rayonne-
ment en équilibre thermique lui aussi la fraction des photons ayant
une énergie kw > E , est petite. Lorsque la température s'élève, ces
fractions augmentent de sorte que plus étroite est la bande interdite
et plus élevée est la température du cristal, plus grand est le nombre
des électrons qui passent dans la bande de conduction et plus haute

Bande de Bande de
conduction

conduction

Bande de
valence valence
a) ê)

Fig. 4.9. Remplissage des bandes par les électrons dans un semiconducteur' à T —
— 0 K (a) et transitions des électrons dans la bande de conduction en cas d'élé-
vation de la température (b).

devient la conductivité électrique du cristal. C’est ainsi que dans le
germanium dont £, = 0,66 eV, la concentration du gaz électronique
dans la bande de conduction atteint, même à la température ordi-
naire. une valeur n; Æ 101 m°* et la résistivité n’est égale qu’à
p; & 0,48 ohm-:m. En même temps, pour le phosphure de gallium,
dont £, = 2,24 eV, on a à la température ordinaire nr; Æ 10-565 m#
et p; & 2-10 ohms-m. Mais à 7 = 900 K, la concentration du gaz
électronique dans le phosphure de gallium augmente de plusieurs
ordres de grandeur et la résistivité électrique devient de l’ordre de
grandeur de la résistivité du germanium à la température ordinaire.

De ce qui précède on peut tirer deux conclusions importantes
suivantes :

1. La conductibilité des semiconducteurs est une conductibilité
induite: elle apparaît sous l’action d’un facteur extérieur capable
de communiquer aux électrons de la bande de valence une énergie
suffisante pour les faire passer dans la bande de conduction. Ces

90 ELEMENTS DE THÉORIE DES BANDES DES SOLIDES [CH. 4

facteurs peuvent être l’échauffement des semiconducteurs, le rayonne-
ment lumineux et le rayonnement ionisant.

2. La division des corps en semiconducteurs et en diélectriques
est pour une large part arbitraire. Le phosphure de gallium, qui est
diélectrique à la température ordinaire, acquiert une conductibilité
notable aux températures plus élevées et peut donc être considéré
comme un semiconducteur.

Notions sur les trous. Examinons maintenant plus en détail le
comportement des électrons dans la bande de valence où il apparaît
des niveaux libres du fait que certains électrons sont passés dans la
bande de conduction (fig. 4.9, b).

Les électrons de la bande de valence peuvent maintenant passer,
sous l’action du champ extérieur, aux niveaux libres et créer dans
le cristal un courant électrique.

La contribution à la densité de courant apportée par un électron
se déplaçant à la vitesse v; dans un conducteur de volume unité
a pour valeur

il; — —€V;.

Tous les électrons de la bande de valence produisent une densité
de courant
i= —e ÿ V}

où la sommation est étendue à tous les états occupés par les électrons.

Les courbes de dispersion sont symétriques dans toute bande
d'énergie, c’est-à-dire que les états électroniques permis peuvent
être groupés en paires dont les sens des vitesses sont opposés. Une de
telles paires d'états de vitesses v, et —v, est montrée sur la figu-
re 4.10, a. Ainsi, le courant engendré par les électrons de la bande
complètement remplie est nul.

Imaginons maintenant que dans la bande de valence tous les
états sont occupés excepté un seul caractérisé par la vitesse v,. La
densité totale du courant dans une telle bande a pour expression

. Q

i —e “ Vi —= —eà y, Levy
e. <— J s°
1F5 J

Comme le premier terme du second membre de cette égalité est nul,
on a
1 — EV;-

Ainsi, Le courant total de tous les électrons de la bande de valence
possédant un état vacant est équivalent au courant produit par le mouve-
ment d'une particule de charge positive +e placée dans cet état. Une
telle particule fictive a reçu le nom de trou.

Regardons maintenant comment se déplace le trou sous l'effet
d'un champ électrique extérieur. Notons tout d'abord qu’en état

$ 4.8] SURFACES DE FERMI DES METAUX 91

d'équilibre thermique les électrons tendent à occuper les niveaux
d'énergie les plus bas de sorte que le trou se trouve placé au sommet
de la bande de valence où sa vitesse est nulle (fig. 4.10, a). Appli-
quons maintenant le champ électrique extérieur dans le sens de l’axe
des z. Alors la force s’exerçant sur la particule positive — le trou,

ô)

Fig. 4.10. Explication de la notion de trou.

-sera dirigée elle aussi suivant l’axe des x et, si la masse effective
du trou est positive, le trou devrait se déplacer, au bout d’un certain
temps, avec une vitesse dirigée suivant l’axe des x. Regardons dans
quel sens se déplace le trou en réalité.

Le champ extérieur agit sur les électrons dans le sens des x néga-
tifs, en tendant à faire varier leur vecteur d'onde dans ce sens. Ceci
étant, les électrons se déplacent, tous à la fois, sur la courbe de dis-
persion dans le sens indiqué par une flèche sur la figure 4.10, a,
de sorte qu’au bout d’un certain temps le trou se trouve dans l’état
—k; (fig. 4.10, b) où sa vitesse v; est réellement dirigée suivant l'axe
des x, c’est-à-dire dans le sens de la force qui lui est appliquée. Par
conséquent, on doit attribuer au trou une masse effective positive numé-
riquement égale à la masse effective négative de l'électron se trouvant
près du sommet de la bande de valence.

$S 4.8. Surfaces de Fermi des métaux .

Le niveau le plus élevé parmi les niveaux occupés (à 7 =0K)
de la bande de conduction d’un métal est appelé niveau de Fermi
et son énergie est dite énergie de Fermi u. A l’énergie de Fermi corres-
pondent des valeurs déterminées des vecteurs d’onde k des électrons
données par la relation de dispersion Æ = E (k). De telles valeurs

92 ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES BANDES DES SOLIDES (OH. 4

sont concentrées sur une certaine surface dans l’espace des vecteurs
d'onde (espace des k) que l’on appelle surface de Fermi. La forme de.
cette surface a une influence considérable sur de nombreuses pro-
priétés électriques, magnétiques et autres des métaux. La forme de
cette surface est la plus simple pour des métaux monovalents. Re-
venons à titre d'exemple à l’examen de la bande de conduction du
sodium (v. $ 4.1). Cette bande est formée à partir des niveaux d'éner-
gie 3s des atomes de Na. Elle contient 2N états, où N est le nombre.

Frontière de la zone
x| deBrillouin

Fig. 4.11. Surface de Fermi sphéri- Fig. 4.12. Recouvrement des bandes.
que d’un métal monovalent. d'énergie dans les métaux.

d’atomes dans le cristal (v. $ 4.6), et est occupée par N électrons —
un électron de chaque atome. Dans un tel cas cette bande est occupée
a moitié. Dans les métaux, l’énergie d’un électron ne dépend pas de:
l'orientation de son vecteur d'onde et est liée de façon approchée
(dans l’approximation de l’électron libre) au module de ce vecteur
par la relation (4.13). Alors pour les électrons de Fermi, c’est-à-dire:
les électrons ayant l’énergie de Fermi pu, le module du vecteur d'onde

a pour valeur
kp = V 2m.l/h.

La surface de Fermi est dans ce cas une sphère de rayon #} dans l'’es-
pace des k (fig. 4.11).

La situation est loin d’être si simple dans le cas des cristaux
d'éléments bivalents, par exemple de béryllium (Be). Il semble à
première vue que de tels cristaux doivent être diélectriques parce
que leur nombre d’électrons de valence (2N) est précisément égal
au nombre d'états dans la bande d'énergie correspondante. Mais la
bande d'électrons de valence des éléments alcalino-terreux se recouvre:
en partie avec la bande libre suivante (fig. 4.8, b). Ce recouvrement
se produit près des frontières de la zone de Brillouin dans certaines
directions dans l’espace des k (courbes de dispersion Z et 2 de la.
figure 4.12). Dans un tel cas une partie des électrons de la bande de:
valence se trouvent situés dans la bande libre suivante. Il se forme-

& 4.9] NIVEAUX LOCALISES DANS LA BANDE INTERDITE 93

ainsi dans la bande de valence un certain nombre d'états libres —
de trous et, dans la bande de conduction, un certain nombre d'élec-
trons. À la différence des semi-
conducteurs, l'apparition d'’élec-
trons et de trous dans de tels
métaux n'est pas due à l’excita-
tion thermique mais, de même
que dans les semiconducteurs
intrinsèques, le courant dans ces
métaux est transporté par des
particules de deux signes — par
des électrons chargés négative-
ment et par des trous chargés
positivement.

Des phénomènes analogues
sont également observés dans
des métaux de valence plus éle-

nn R Fig. 4.13. Surface de Fermi (contour
vée où les électrons de valence en pointillé) de la deuxième des ban-

peuvent occuper totalement ou Ges qui se recouvrent dans l'AL (la
partiellement plusieurs bandes première bande est entièrement occu-
d'énergie. Pour les bandes -

d'énergie qui se chevauchent les

surfaces de Fermi peuvent avoir une forme bien compliquée. La
figure 4.13 montre à titre d'exemple la surface de Fermi pour
l'aluminium (qui est loin d’être la plus complexe). La zone de
Brillouin n’est pas dans ce cas un cube parce que le cristal d’alumi-
niumest un cristal à faces centrées et non pas cubique simple.

$S 4.9. Niveaux localisés dans la bande interdite

Les semiconducteurs contiennent toujours, quel que soit leur
degré de pureté, des atomes d’impuretés qui créent leurs propres
niveaux énergétiques qu’on appelle niveaux d'impuretés. Ces niveaux
peuvent se situer aussi bien dans les bandes permises que dans les
bandes interdites à différentes distances du sommet de la bande de
valence et du niveau inférieur de la bande de conduction. Dans cer-
tains cas, les impuretés sont introduites intentionnellement pour
conférer au semiconducteur des propriétés désirées.

Examinons les principaux types de niveaux d’impuretés.

Niveaux donneurs. Supposons que dans un cristal de germanium
une partie d’atomes de germanium sont remplacés par des atomes
d’arsenic pentavalent. Le germanium possède le même réseau que le
diamant dans lequel chaque atome est entouré par quatre voisins
les plus proches qui lui sont liés par des liaisons de valence
(fig. 4.14, a). De chacun des quatre voisins l'atome de germanium
reçoit sur ses orbitales libres un électron et, à son tour, cède ses quatre

94 ÊLEMENTS DE THÉORIE DES BANDES DES SOLIDES (CH. *

électrons de valence aux atomes voisins. C'est ainsi que toutes les
huit orbitales de la couche de valence du germanium se trouvent
occupées. Quant à l’atome d’arsenic introduit dans le réseau cristallin
de germanium, il établit lui aussi des liaisons avec quatre atomes
de germanium les plus proches. Mais au cinquième électron de la
couche de valence de l’arsenic il ne reste plus de place sur cette couche

Bande de
conduction

Wiveaux
donneurs

Bande de
valence

Bande de
conduction

o ac

Niveaux
donneurs

Bande de
c) valence

Fig. 4.14. Atome donneur dans un semiconducteur à T—0K (a)eta T
remplissage du niveau donneur par les électrons à T = OK (b)et à T

de sorte qu’il doit passer sur une orbite plus éloignée. Toutefois
entre cet électron et l'ion arsenic se trouvent maintenant des nuages
électroniques facilement polarisables de liaisons de ‘valence (la per-
mittivité relative du germanium assurée par ces nuages € —= 16).
L’attraction de l’électron par l’ion arsenic devient & fois plus faible
et l'orbite de l’électron augmente encore.

À une grande distance le champ engendré par l'ion arsenic coïn-
cide pratiquement avec le champ d’une charge ponctuelle —+e.
Ceci étant, l'équation de Schrôdinger pour l’électron considéré dans
le champ de l’ion a la même forme que pour l’électron dans l’atome
d'hydrogène, à cette différence près qu’au lieu de la permittivité &
elle doit faire intervenir la quantité ee, et au lieu de la masse réelle
de l’électron sa masse effective dans la bande de conduction. En effet,

6 4.9] NIVEAUX LOCALISÉS DANS LA BANDE INTERDITE 95

l'électron considéré se déplace à travers le cristal en dehors du système
de liaisons de valence, c'est-a-dire comme un électron de la bande de
conduction.

Dans un tel cas l’énergie Æ, de liaison de l’électron avec l’ion
est donnée par une formule analogue à (4.2):

eîmn
E;, = (4.20)

En tenant compte que dans le germanium m, = 0,22m, et
e — 16, on obtient £, = 0,01 eV. Si l’on communique à l’électron
une telle énergie, il se détachera de l’atome et sera capable de se
déplacer librement dans le réseau cristallin du germanium en de-
venant ainsi un électron de conduction (fig. 4.14, c).

Dans le langage de la théorie des bandes ce processus peut être
décrit de la façon suivante. Entre la bande de valence remplie et la
bande de conduction libre on voit se situer les niveaux énergétiques.
des cinquièmes électrons de l’atome d'arsenic (fig. 4.14, b). Ces
niveaux se disposent immédiatement près du niveau inférieur de la
bande de conduction à une distance £,; Æ0,01 eV. Lorsque les
électrons occupant de tels niveaux d’impuretés reçoivent une énergie
E a, ils passent dans la bande de conduction (fig. 4.14, d). Les charges
positives qui en résultent se localisent sur les atomes d'’arsenic.
immobiles et ne participent pas à la conduction électrique.

Les impuretés qui constituent la source d'électrons de conduction
sont dites donatrices ou donneurs et les niveaux énergétiques de ces.
impuretés sont appelés niveaux donneurs. Les semiconducteurs con-
tenant une impureté donatrice sont appelés semiconducteurs par excès
d'électrons ou semiconducteurs du type n.

Niveaux accepteurs. Supposons maintenant que dans le réseau de
germanium une partie des atomes de germanium sont remplacés par
des atomes d'’indium trivalent (fig. 4.15, a). Pour établir les liaisons
avec les quatre voisins les plus proches dans l’atome d’indium manque
un électron. C’est pourquoi, près de cet atome une des liaisons n'est
pas complète (fig. 4.15, a). Or, en réalité, la liaison non complète.
ne doit pas rester obligatoirement directement près de l’atome
d’indium. Le fait est que les électrons de la bande de valence ne sont
nullement fixés chacun dans une liaison déterminée mais peuvent.
se déplacer dans le système de liaisons de valence. Ainsi, pour l’ins-
tant il est seulement clair que dans le système de liaisons de valence
il existe une vacance. Mais, comme il a été montré au $ 4.7, le compor-
tement de tous les autres électrons est dans ce cas équivalent au
comportement d’une quasi-particule unique — d’un trou. Ainsi,
l'introduction d’un atome d’un élément appartenant au groupe III
du tableau périodique de Mendéléev dans le germanium a eu pour
résultat l’apparition d’un trou dans la bande de valence. Toutefois
ce trou doit être lié à l’atome d’impureté. En effet, lorsque toutes les

96 ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES BANDES DES SOLIDES [CH. *

liaisons près de l’atome d'’indium sont complètes, cet atome devient
un ion chargé négativement (fig. 4.15, c) et attire le trou chargé
positivement. Vu que le couplage entre le trou et l'ion s’affaiblit
du fait de la polarisation du cristal, cette liaison est suffisamment
faible. Il est facile de voir qu’il existe une analogie complète entre
l’examen d'un électron tournant autour d’un ion positif dans le semi-
conducteur et l’examen d’un trou tournant autour d'un ion négatif.

Bande de
conduction

valence

Bande de
conduction

Niveaux

Remplissage de
liaison

D — ‘
(Gel et formation de Trous
trou

C) d)

Fig. 4.15. Atome accepteur dans un semiconducteur à T7 =0 K (@ etaT>
> 0 K (c) ; remplissage du niveau accepteur à T7 =—0 K (b) et à T > 0 K (d).

L'énergie de liaison entre le trou et l'ion peut être obtenue si dans
la formule (4.20) on change m, et m,. Si l’on fournit à un trou lié
une énergie égale à l'énergie de sa liaison £, Æ 0,01 eV, il se détache
de l'ion d’indium et devient libre. Ce processus est illustré par la
figure 4.15, b qui montre la structure des bandes d'énergie du germa-
nium contenant une impureté d'indium. Les niveaux non occupés
des atomes d'’indium se situent directement près du sommet de la
bande de valence à une distance £,# 0,01 eV. Le fait que ces niveaux
se situent au voisinage immédiat de la bande de valence a pour ré-
sultat que les électrons passent de la bande de valence aux niveaux
d'impuretés même à des températures relativement peu élevées
(fig. 4.15, d). En entrant en liaison avec les atomes d’indium, ils
perdent la faculté de se déplacer dans le réseau de germanium et ne
participent pas à la conduction. Les porteurs de charge ne sont cons-

$ 4.9] NIVEAUX LOCALISES DANS LA BANDE INTERDITE 97

{itués que par les trous qui prennent naissance dans la bande de
valence.

Les impuretés qui captent les électrons de la bande de valence
d'un semiconducteur sont appelées impuretés acceptrices ou du type p
et leurs niveaux d'énergie sont appelés niveaux accepteurs. Les semi-
conducteurs contenant de telles impuretés sont dits semiconducteurs
par défaut d'électrons ou semi-
conducteurs du type p.

Les atomes d'impuretés des onde decodiclion
autres groupes du tableau de
Mendéléev forment des niveaux
donneurs situés loin de la bande EEE
de conduction et des niveaux EE
accepteurs situés loin de la bande ee SU
de valence. De ce fait ils n'influ- ee =
ent pratiquement pas sur la con- = =
ductibilité électrique des semi-
conducteurs. En revanche, ils Se
ont une grande influence sur a —_——
les processus de génération et
de recombinaison d'électrons et EEE
de trous (v. chap. 8). Ce que Bande de valence —
nous venons de dire pour les A
atomes en position de substi- | _
tution s’applique intégralement Fig, 1.16. Diagramme énergétique

| Xe un semiconducteur amorphe.
aux atomes situes non pas aux
nœuds du réseau cristallin mais
aux interstrices (atomes en position interstitielle). Les vacances et
d’autres imperfections du réseau cristallin engendrent elles aussi des
niveaux d'énergie dans la bande interdite du semiconducteur qui
peuvent être aussi bien donneurs qu’accepteurs et se situent en règle
générale à une profondeur suffisamment grande dans la bande
interdite.

Les fonctions d'onde des électrons (ou des trous) occupant les
niveaux d’impuretés sont localisées au voisinage des atomes ou des
défauts correspondants de la structure, ce qui explique le qualificatif
de localisé utilisé pour désigner ces niveaux. Toutefois, dans le cas
où la concentration d’atomes d’impureté est forte, les électrons qui
leur sont liés deviennent capables de se déplacer d’un atome d’impu-
reté à un autre et les niveaux localisés sont si serrés qu'ils ont l'aspect
d’une bande d’'impureté.

Structure de bande des semiconducteurs amorphes. Des substances
amorphes elles aussi peuvent posséder les propriétés semiconductrices
de même que les cristaux. Dans les solides amorphes il n’existe pas
d'ordre à longue distance dans l’arrangement des atomes propre aux
cristaux, mais le caractère des liaisons et les distances entre les atomes

71-726

98 £LEMENTS DE THÉORIE DES BANDES DES SOLIDES (CE. 4

voisins restent les mêmes que dans les cristaux. Autrement dit, les
facteurs qui conduisent à la mise en commun des électrons de valence
et à la délocalisation de leurs fonctions d’onde se conservent. Aussi,
de même que dans les cristaux, le spectre énergétique des électrons
mis en commun a-t-il un caractère de bande. Toutefois dans la bande
interdite des semiconducteurs amorphes il existe un grand nombre
de niveaux localisés. L'origine de tels niveaux est facile à comprendre
si l’on se rappelle que dans les semiconducteurs cristallins eux-mêmes
les défauts de structure produisent des niveaux localisés dans la
bande interdite et une substance amorphe peut être considérée comme
un cristal dont le nombre de défauts est aussi grand que possible. Le
spectre énergétique d'un semiconducteur amorphe est représenté
schématiquement sur la figure 4.16 où les lignes continues désignent
les états des électrons mis en commun et les traits figurent les états
localisés.

$ 4.10. Quantification de l’énergie de l’électron
dans un champ magnétique. Niveaux de Landau

Si l’électron comporte une composante de vitesse normale au
vecteur induction d’un champ magnétique, il subit l’action d’une
force dite de Lorentz qui incurve sa trajectoire. Dans un plan normal
au champ, l'électron doit être animé d’un mouvement suivant une
circonférence dont le rayon est proportionnel à la vitesse de l’élec-
tron et inversement proportionnel à l'induction du champ magné-
tique. La fréquence cyclique de révolution d’un tel électron suivant
la circonférence (dite fréquence cyclotron w.) a pour valeur

o. = eBim., (4.21)

où B est l'induction de champ magnétique ; m, la masse de l’électron.
L'énergie cinétique du mouvement de l’électron dans un plan
perpendiculaire à B se détermine par l’égalite

E , == fe mer oO, (4.22)

où r est le rayon de l'orbite de l’électron.

Puisque du point de vue classique le rayon de l’orbite électronique
peut prendre une suite continue de valeurs, l'énergie E , peut elle aussi
prendre toute valeur. L'étude quantique conduit à la conclusion que
l'énergie E 1 ne peut prendre qu’une suite discontinue de valeurs:

EE, = (nr +1/;)ho,, (4.23)

où z — 0, 1, 2, ... (la formule analogue (3.23) déterminait l’éner-
gie d’une vibration normale du réseau).

L’électron se déplaçant le long du champ B n'étant pas soumis
à l’action de la force de Lorentz, l'énergie E,, d’un tel mouvement se
détermine comme précédemment {v. (4.13) par la relation

& 4.10] QUANTIFICATION DE L'ENERGIE DE L'ÉLECTRON 99

R3k
EE (4.24)

où ky est la composante du vecteur d’onde de l’électron dans le sens
du champ magnétique. Ainsi, l'énergie cinétique totale de l’électron
dans un champ magnétique a pour expression

h3k
E=Ei+En=(r+—) ho, +. (4.25)

E;=

Le caractère du mouvement d’un électron de la bande de conduc-
tion du cristal dans un champ magnétique peut différer de façon
substantielle de celui que nous
venons de décrire parce que dans Bande de
les cristaux réels les électrons conduction
diffusent constamment, changent E n=2
le sens de leur mouvement par
suite de l'interaction avec tous mal
les défauts différents possibles
du réseau. Toutefois, dans un ña0
champ magnétique suffisamment
intense, la longueur de la cir-
conférence décrite par l’électron, 2
dans la représentation classique, k
ou la localisation de sa fonction
d'onde dans une direction nor-
male à B, en théorie quantique,
peuvent. devenir beaucoup plus

petites que la longueur de libre n=0
parcours moyen de sorte que les Au
représentations et les formules Bande de Ne 2
indiquées plus haut deviennent valence

valables. Il suffit de remplacer pig. 4.17. Courbes de dispersion pour
seulement la masse réelle m, de un semiconducteur placé dans un
l’électron par sa masse effecti- champ magnétique intense.

ve Mn.

La figure 4.17 représente schématiquement la variation de l'éner-
gie des électrons d’un cristal dans un champ magnétique fort en
fonction du vecteur d'onde ky suivant l'expression (4.25). Pour une
valeur fixée de ky, par exemple pour ky, = 0, on obtient pour chaque
bande un système de niveaux d'énergie discrets équidistants que
l'on appelle niveaux de Landau. La distance ho. entre les niveaux
de Landau n’est pas en réalité si grande comme le montre la figure
4.17. Dans des champs de —1 T elle est égale à —10-4 eV. Chacune
des courbes de dispersion représentées sur la figure 4.17 se décompose
encore en deux courbes: pour le spin de l’électron orienté suivant le
champ et pour le spin orienté dans le sens opposé au champ magné-
tique (sur la figure 4.17 cette décomposition n’est pas représentée).

CHAPITRE 5

STATISTIQUE DES ÉLECTRONS ET DES TROUS
DANS LES SEMICONDUCTEURS

Tout sl solide représente un système ou une collectivité constitué d’un énorme
nombre de particules microscopiques. De tels systèmes obéissent à des lois spéci-
fiques dites statistiques qui font l’objet d'élude de la physiquestatistique. Dans
ce chapitre on obtiendra, sur la base de ces lois, des expressions très importantes
pour des applications pratiques donnant les concentrations des porteurs de char-
ges libres (électrons et trous) dans les semiconducteurs ainsi que leur répartition
entre divers niveaux d'énergie, etc.

$ 5.1. Fonction de répartition dans la statistique
de Fermi-Dirac

En mécanique classique, l’état de chaque particule constitutive
de la collectivité est décrit par la donnée de ses trois coordonnées
et de trois composantes de l’impulsion. Il semblerait qu’en établis-
sant les équations du mouvement de ces particules et en les résolvant,
on pourrait obtenir des renseignements complets sur le comportement
du système et prédire son état à tout instant. Mais les calculs de ce
genre sont non seulement extrêmement complexes, ils sont inutiles.
La complexité du problème est illustrée par le fait que pour décrire
le comportement des molécules de gaz contenues dans 1 m* sous des
conditions normales il faudrait résoudre près de 10* équations du
mouvement liées entre elles compte tenu des conditions initiales, ce
qui est pratiquement impossible à réaliser. Toutefois, si une telle
résolution était effectuée, elle serait inutile parce que les propriétés
du système arrivé à un état d'équilibre non seulement ne dépendent
pas des valeurs initiales des coordonnées et des composantes de l’im-
pulsion mais restent inchangées avec le temps bien que les coordon-
nées et les impulsions des particules varient sans cesse. Il en résulte
que la collectivité considérée comme un tout est un système quali-
tativement différent des particules distinctes et que son comporte-
ment obéit à des lois autres que celles régissant les particules distinc-
tes, à savoir aux lois statistiques. L'existence de telles lois est con-
firmée par des exemples suivants.

La vitesse d'une molécule de gaz distincte est une grandeur alea-
toire dont la valeur est impossible à prédire. Malgré cela, dans un
gaz constitue d'un grand nombre de telles molécules on observe une
répartition bien déterminée de ces molécules suivant les vitesses :

& 5.1] FONCTION DE R£EPARTITION DANS LA STATISTIQUE 401

une partie bien déterminée de molécules possèdent en moyenne une
vitesse comprise entre 100 et 200 m/s, entre 400 et 500 m/s, etc.

La présence d’une molécule donnée dans un élément de volume
isolé est un effet du hasard. Malgré cela on constate que la réparti-
tion des molécules suivant le volume obéit à une loi bien déterminée :
des éléments de volume égaux contiennent en moyenne un même
nombre de molécules.

La situation qui se produit ici est à peu près la même que dans
le cas du jet d’une pièce de monnaie. La tombée de la pièce du côté
face ou pile à chaque jet est un événement aléatoire. Néanmoins,
pour un nombre suffisamment grand de jets, on constate une loi
bien déterminée: en moyenne, la moitié de jets marque face et la
moitié pile. Ce sont les lois de ce genre qu’on appelle lois statistiques.

La particularité principale des lois statistiques est leur caractère
probabiliste. Elles permettent de prédire seulement la probabilité
d’un tel ou tel événement. de réalisation d’un tel ou tel résultat.

C'est ainsi que dans l'exemple de lancement d'une pièce de monnaie la
probabilité de tombée sur un côté ou sur un autre est égale à 1/2. Des épreuves
individuelles peuvent et doivent présenter des écarts Lu rapport à cette valeur
de la probabilité, ces écarts étant d'autant plus grands que le nombre de telles
épreuves est plus petit. Dans cinq épreuves successives la pièce peut marquer
face 3, 4 et même 5 fois. Toutefois, plus grand est le nombre d'épreuves, c'est-à-
dire le nombre d'éléments constituant la collectivité, plus déterminées et pré-
cises deviennent les prédictions statistiques.

Les calculs montrent que pour un système comportant N parti-
cules, l'écart relatif de la grandeur physique observée M par rapport

à sa valeur moyenne est inversement proportionnel à V W:
VGME _ 1
M VN
Lorsque NV augmente, ce rapport tend vers zéro et Af —+ M. Pour
une valeur suffisamment grande de NV on obtiendra M = M.

Prenons, à titre d'exemple, pour 4 le nombre de molécules d'air se trou-
vant dans un volume donné. Dans les conditions normales, 1 m° d'air contient
en moyenne 2,7-10% molécules. L'écart relatif par rapport à ce nombre est en
moyenne égal à 1/V/N Æ 2-10-1. Cet écart est si infime qu'en pratique on
peut le négliger et considérer que la répartition des molécules en volume est
uniforme.

Il convient pourtant de souligner que les écarts par rapport à la
valeur moyenne non seulement peuvent mais doivent avoir lieu.
De tels écarts sont appelés fluctuations.

Le nombre moyen de particules d’un système dont l'énergie
est comprise entre Æ et E + dE est déterminé par la fonction de ré-
partition statistique complète N (E) dE.

La fonction de répartition complète peut être représentée sous la
forme du produit du nombre d'états g (£) dE contenus dans l'inter-

102 STATISTIQUE DES £LECTRONS ET DES TROUS (CH. 5

valle d'énergie dE par la probabilité de remplissage de ces états par
les particules. Notons cette fonction f (E). Alors il vient

N (E) dE =f(E)g (E) dE. (5.1)

La fonction f (E) est appelée tout simplement fonction de réparti-
tion. Comme il a été dit plus haut, elle exprime la densité moyenne
de remplissage des états donnés par les particules.

Si, par exemple, on a en moyenne 10 particules par 100 états situés l'un
près de l'autre, la probabilité de remplissage de ces états f (E) = 0,1. Vu qu'en
moyenne on a 0,1 particule par chaque état, la fonction f (E) peut s’interpréter
comme le nombre moyen de particules se trouvant dans l'état donné.

Ainsi, le problème de la détermination de la fonction de réparti-
tion complète des particules suivant les états se ramène à la recherche
HE de la fonction g (£) dE qui décrit
Re la répartition des états entre di-
vers niveaux d'énergie et de la

fonction f (E) qui détermine la
densité moyenne de remplissage

de ces états par les particules.
La fonction de répartition pour
les fermions, et notamment pour

(0) Æ# E Jes électrons, est de la forme
Fig. 5.1. Fonction Le Fermi-Dirac à f(E)= (e(E-H/RT EL 4)"1, (5.2)

où 7 est la température thermodynamique et pu le potentiel chimique
du système qui joue le rôle du paramètre de répartition et est appelé
énergie de Fermi.

La fonction (5.2) porte le nom de fonction de Fermi-Dirac. Exami-
nons sa forme d’abord dans le cas où T7 —+ 0. Dans ce cas, f (£) = 1
pour toute énergie E inférieure à pet f (£) = 0 pour E >> u (fig. 5.1).
Ainsi, à T7 —=0K, tous les états d'énergie £ << u sont occupés
par les électrons et les états de £ >> u sont libres. En d'autres termes,
lorsque T7 —+ 0 K, les électrons tendent à occuper les niveaux d’éner-
gie les plus bas. Lorsque la température augmente, les électrons
subissent une excitation thermique et passent à des niveaux d'énergie
plus hauts de sorte que le caractère de leur répartition suivant les états
change. Cependant à l’excitation thermique ne peuvent être soumis
que des électrons situés dans une bande étroite —kT disposée directe-
ment près du niveau de Fermi (sur la figure 5.2, a les états excités
sont marqués par hachure et les sens des spins des électrons sont
indiqués par des flèches). Les électrons occupant des niveaux plus
profonds restent pratiquement à leurs places parce que l’énergie AT
d’agitation thermique des atomes est insuffisante pour leur excita-
tion (pour les faire passer au-delà du niveau de Fermi).

$ 5.2] FONCTION DE DENSITÉ DES ÊTATS 1403

Par suite de l'excitation thermique une partie des électrons ayant
une énergie inférieure à u, passent à des niveaux d'énergie supé-
rieure à pu si bien qu'il s'établit une nouvelle répartition des électrons
suivant les états. La figure 5.2, b montre la répartition des électrons

Bande
d'xcitation

Fig. 5.2. Excitation des électrons au-dessus du niveau de Fermi u à 7? > UK (a)
et fonction de répartition de Fermi-Dirac à 7 > 0 K (b).

entre divers états pour 7 >> 0 K. Comme il est visible sur la figu-
re 5.2, b, l'élévation de la température a pour effet des répartitions
étendues à une profondeur de —XT et l'apparition d’une « queue »
de la répartition qui se situe à droite de u. Plus élevée est la tempé-
rature, plus forte est la variation subie par la fonction de répartition.

$ 5.2. Fonction de densité des états

Déterminons maintenant la fonction de densité des états des élec-
trons g (E). Comme les valeurs permises des vecteurs d'onde k des
électrons sont, dans chaque bande énergétique du cristal, les mêmes
que celles des vecteurs d’onde des ondes élastiques dans le réseau
cristallin, la fonction de densité des états des électrons g (E) est
analogue à la fonction de densité de répartition des modes en fre-
quence g (w) (v. $ 3.3). Notamment, le nombre de différentes valeurs
de k comprises dans l'intervalle de 4 à 4 + dk est égal, suivant
(3.13), à Vk*dk/(2n°). Une seule différence est qu’à chaque valeur

104 STATISTIQUE DES £LECTRONS ET DES TROUS (CH. 5

permise de k correspondent deux états de l’électron ayant des spins
opposés et non pas trois modes de différentes polarisations pour les
ondes élastiques. De ce fait, le nombre d’états dans l’intervalle de
longueurs des vecteurs d'onde dk est égal à

de = Vkdk/n. (5.3)

En outre, les relations de dispersion pour l’électron (£ (k))
diffèrent de façon notable de celles pour les ondes élastiques (w (k)).
Notamment pour le niveau inférieur d’une bande d’énergie (de la

Bande de Bande de
valence g(E) conduction

Ëy DE,

Fig. 5.3. Fonction de densité des états près du niveau inférieur de la bande de
conduction et au sommet de la bande de valence.

bande de conduction, par exemple) la courbe de dispersion peut tou-
jours être représentée sous la forme d’une parabole (fig. 4.7, a):
E = R°kK/(2m,), (5.4)

où m, est la masse effective de l’électron. En tirant de (5.4)

2mnE
k=— es kdk=? dE

et en portant ces valeurs dans (5.3), on obtient

# =
s(E) = Ven, (5.5)

Dans ces formules l'énergie est comptée à partir du niveau inférieur
de la bande.

Près du sommet de la bande d’énergie la courbe de dispersion
est aussi voisine d’une parabole. Notamment dans le voisinage du
sommet de la bande de valence d’un semiconducteur on a

n°x2
E (= En »

(5-6)

où m) est la masse effective du trou.

€ 5.3] CONCENTRATIONS D'ELECTRONS ET DE TROUS 105

En se servant de cette formule, on peut obtenir l’expression sui-
vante pour la densité des états situés près du sommet de la bande de
valence :

y V/ 2m (Ev—E)
g(E)=— LE TT (5.7)

où E, — —E£, est l'énergie du sommet de la bande de valence.
Les fonctions (5.5) et (5.7) sont représentées sur la figure 5.3.

& 5.3. Concentrations d'électrons et de trous
dans un semiconducteur

Concentration d'électrons dans un semiconducteur. La concentra-
tion d'électrons dans la bande de conduction peut être obtenue en
intégrant la fonction de répartition complète (5.1) sur toutes les
énergies de la bande de conduction:

n = n(E) dE —
(sur la bande de conduction)
Esommet de la bande
= ( g(E)f(E)dE. (5.8)

Ici, n (E) est la fonction N (E) pour V = 1.

L'intégration peut être étendue jusqu’à l'infini parce que la
fonction à intégrer f (E) décroît rapidement (exponentiellement})
lorsque l’énergie croît (pour Æ >> u) tandis que la fonction g (E}
croît lentement (suivant une loi de puissance). En vertu de (5.2}
et (5.5) on a

ne Ce ( __VE&E (5.9)
27 RS e(E-H)/(RT) | 4
0

Si le niveau de Fermi p se situe beaucoup plus bas que le niveau
inférieur de la bande de conduction E, = 0, de sorte que (£ — u) >
ÿ 4ÀT, l'unité figurant au dénominateur de la fonction de Fermi-
Dirac peut être négligée et les énergies dans la bande de conduction
auront alors pour expression

Î (E) = ET æ eHGRT)e-ENRT), (5.10):

Dans ce cas le degré de remplissage de tout état dans la bande de
conduction est très faible:
J(E) 1. (5.11}

106 STATISTIQUE DES ÊLECTRONS ET DES TROUS (CH. 5

La condition (5.11) est appelée condition de non-dégénérescenee
du gaz électronique. Elle est satisfaite si le niveau de Fermi pu se
situe au moins de (2 à 3) ÀT plus bas que le niveau inférieur de la
bande de conduction.

La fonction de répartition complète des électrons entre divers
niveaux d'énergie pour le gaz non dégénéré prend alors la forme sui-
vante :

n(E)dE & Crn)E JE eWNe-ENNT) QE (5.12)

le "4 Jn2hs e e À

C'est l'expression de la répartition dite de Boltzmann. Le nombre total
de particules d’un gaz non dégénéré est proportionnel à e#/(T)
et leur répartition relative sui-

#(E) vant les énergies est déterminée

par les facteurs V Ee-E/&T), Elle

ne dépend pas du nombre total

de particules mais dépend de la

température du gaz. La fonction

de répartition f (£) pour un gaz

0 &kT E non dégénéré est représentée sur

a) la figure 5.4, a et la fonction

de répartition complète nr (E)

sur la figure 5.4, b. La courbe

en traits interrompus représente

ici la fonction de densité des

états g(E). Pour un gaz non

dégénéré la courbe de n (E) pas-

se toujours nettement plus bas

que la courbe de g(Æ). Elle

0 LT £ atteint un maximum pour une

b) énergie E — kT/2 et décroît pour

“ig. 5.4. Fonction de répartition Lee tion en Ce

j (Ë) (a), fonction de Écartition com- UT l'énergie donne le nombre

plète n(E) et fonction de densité du total nr d'électrons en fonction
nombre d'états g (E) (b) pour un gaz de l'énergie de Fermi pu:

non dégénéré.
2 (2amnkT}"/2
———

n = eu/(RT) — N,eb/(@RT) ! (5. 13)

Puisqu’en vertu de (5.10), eM/XT = f (0), c’est-à-dire exprime
la densité moyenne de remplissage par les électrons des états con-
fondus avec le niveau inférieur de la bande de conduction, W, doit
représenter le nombre d'états qui donnent une concentration du gaz
électronique égale à nr lorsqu'ils sont remplis avec la densité ek/AT.
C'est pourquoi la quantité N, est appelée nombre efficace d'états
ramené-au niveau inférieur de la bande de conduction. L'ordre de gran-

$ 5.4) POSITION DU NIVEAU DE FERMI 107

deur de , est proche du nombre d'états dans l’intervalle d'énergie
ÆkT à partir du niveau inférieur de la bande, c’est-à-dire du nombre
d'états remplis par les électrons de façon tant soit peu substantielle.
L'énergie de Fermi pour un gaz non dégénéré est une quantité
négative. Plus bas est le niveau de Fermi, plus petit est le nombre
d'électrons dans la bande de conduction à une même température.

‘ Variation de la concentration de trous en fonction de l'énergie de
Fermi. La probabilité f, (E) pour que l'état d énergie E ne soit pas
occupé par un électron a pour valeur

19 CE) AT CE) (5.14)

Le gaz de trous dans la bande de valence sera non dégéneré,
c'est-à-dire f, (E)& 1, si la distance du niveau de Fermi pu au som-
met de la bande de valence E, est égale au moins à 2 ou 3 fois la
quantité 47. Dans un tel cas

f: (E) & e-(h-ENRT) — e (MES )/CRT) CES -EVCRT) (5.15)

On voit que la population en trous des états dans la bande de
valence décroit exponentiellement lorsqu'on pénètre dans la pro-
fondeur de la bande de valence.

La concentration de trous s'obtient en intégrant la fonction de
répartition complète des trous f, (£) g (E) sur l'énergie:

» Abe anne e”(h-ESWUT) Ne MTEQ/ET, (5.16)
Ici N, est le nombre efficace d'états de la bande de valence ramené au
sommet de cette bande.

Si la condition de non-dégénérescence du gaz d'électrons dans
la bande de conduction ou du gaz de trous dans la bande de valence
n’est pas satisfaite, les intégrales du type (5.9) sont à calculer numé-
riquement ou à l’aide de tables.

$S 5.4. Position du niveau de Fermi
et concentration de porteurs de charges libres dans les
semiconducteurs intrinsèques

La position du niveau de Fermi dans un semiconducteur intrinsè-
que peut être déterminée en partant de la condition que le nombre
d'électrons dans la bande de conduction doit être égal au nombre de
trous dans la bande de valence:

= Pr (5.17)

L'indice à désigne ici et plus loin l’appartenance au semiconducteur
intrinsèque.

108 STATISTIQUE DES ÉLECTRONS ET DES TROUS (CH. >

La condition (5.17) a pour effet que le niveau de Fermi doit se
situer approximativement au milieu de la bande interdite. Si le
niveau de Fermi se dispose plus près du niveau inférieur de la bande
de conduction, le nombre d'électrons dans un tel semiconducteur
sera beaucoup plus grand que celui de trous parce que le degré de
remplissage (f (£)) des états près du niveau inférieur de la bande de
conduction est sensiblement plus élevé que le degré de leur non-
remplissage (1 — f (£)) près du sommet de la bande de valence. La
fonction de répartition f (Æ) est représentée pour ce cas sur la fi-
gure 9.9, a, où l’axe des énergies est dirigé vers le haut pour rendre

Fig. 5.5. Fonctions de répartition f (E) dans des semiconducteurs de type n
(n> p) (a) et de type p (p> n) ()

plus commode la comparaison avec les diagrammes énergétiques.
Au contraire, si le niveau de Fermi se situe près de la bande de va-
lence (fig. 5.5, b) le nombre de trous dans la bande de valence sera
beaucoup plus grand que le nombre d'électrons dans la bande de
conduction. Ainsi, on ne peut assurer l’égalité du nombre d'électrons
au nombre de trous que dans le cas où le niveau de Fermi est placé
au milieu de la bande interdite. Toutefois, dans le cas général, le
niveau de Fermi dans un semiconducteur intrinsèque ne se situe au
milieu de la bande interdite que de façon approximative. Le fait
est que les fonctions de densité des états dans la bande de conduction
et dans la bande de valence peuvent différer l’une de l’autre. Par
exemple, si nm, > m», alors, en vertu de (5.5) et (5.7), la densité des
états est plus forte dans la bande de conduction que dans la bande de
valence (pour une même distance des intervalles d'énergie considérés
aux bords des bandes correspondantes). Dans un tel cas, pour égaliser
les concentrations des électrons et des trous il convient d'abaisser
un peu le niveau de Fermi en le rapprochant de la bande de valence.
Par contre, si m, > m,, le niveau de Fermi doit être situé un peu
plus haut que le milieu de la bande interdite.

$ 5.4] POSITION DU NIVEAU DE FERMI 409

Nous obtiendrons une valeur exacte de l'énergie de Fermi dans
un semiconducteur intrinsèque en égalant entre elles n (u) [expres-
sion (5.13)] et p(u) (expression (5.16)]:

N eMi/@RT) N e"(titE G/CRT) : (5 18)
c D 4 ù
Eg OkT. No Eg 3 M p

Lorsque 7? + 0 K, le niveau de Fermi se situe au milieu de la
bande interdite. Si la température augmente, il se déplace vers celle
des bandes où la densité des états est plus faible (fig. 5.6). Etant
donné que d'ordinaire m, ne diffère pas fortement de m,, on peut

O0 T

Fig. 5.6. Variation de l'énergie de Fermi (ligne en traits mixtes) en fonction de
température dans un semiconducteur intrinsèque.

considérer pour des semiconducteurs dont la largeur de la bande
interdite £, & 1 eV et plus que u; = —E,/2. Mais dans le cas des
semiconducteurs à bande interdite étroite on doit tenir compte du
déplacement du niveau de Fermi par rapport au milieu de la bande
interdite.

En portant dans (5.13) l'expression obtenue pour u;, on trouve
Ja concentration des porteurs de charges libres dans un semiconduc-
teur intrinsèque:

mm. kT)$/2

pen VAN e En CV ET (5.20)

L'expression (5.20) montre que la concentration d'équilibre des
porteurs de courant dans un semiconducteur intrinsèque se détermine
par la largeur de la bande interdite et la température du semiconduc-
teur, la variation de »; en fonction de T et E, étant très brusque.
C'est ainsi que la diminution de E, de 1,12 eV (silicium) jusqu’à

410 STATISTIQUE DES ÉLECTRONS ET DES TROUS ICH. S

0,08 eV (étain gris) a pour effet, à la température ordinaire, une aug-
mentation de »;, de 9 ordres de grandeur; l’augmentation de la tem-
pérature du germanium de 100 à
Inn; 600 K augmente »; de 17 ordres
de grandeur.
Prenons le logarithme de
l'expression (5.20). il vient

Ex 1
2 T°
(5.21)

Comme la dépendance de

In nr; =in V AN. —
/T

Fig. 5.7. Variation de la concentra- —
tion des porteurs de courant libres en Inÿ NN, par rapport à la tem-

fonction de la température dans un pérature est beaucoup plus faible

semiconducteur intrinsèque. que celle de 1/7, la courbe de

variation de In 7; en fonction de

1/T représente approximativement une droite de coefficient angu-
laire —EÆE,./(2k) (fig. 5.7).

Dans les semiconducteurs à bande interdite étroite, aux tempé-
ratures élevées, le niveau de Fermi peut se trouver trop près (plus
près que de (2 à 5) AT) de l’une ou même des deux bandes. Dans un
tel cas, les expressions de 7 (u) et de p (u) pour les gaz non dégénérés
d'électrons et de trous cessent d'être valables et l’équation (5.17)
doit être résolue numériquement.

$ 5.9. Statistique des électrons dans des
semiconducteurs extrinsèques

Dans un semiconducteur extrinsèque les électrons peuvent passer
dans la bande de conduction non seulement de la bande de valence
mais aussi des niveaux donneurs et les trous peuvent apparaître
par suite des passages des électrons de la bande de valence aux ni-
veaux accepteurs.

L'expression donnant la concentration des électrons au niveau
d’impureté peut être obtenue dans la statistique de Fermi-Dirac si
la concentration des atomes d’impureté WV;,,, est multipliée par une
fonction analogue à (5.2):

1
Î(Eimp) = 1+gexp{(Eimp—u)/(&T)] 9:22)

OÙ Eimp est l’énergie du niveau d’impureté et g le facteur de dégé-
nérescence dépendant de la nature du centre d’impuretés. Pour des
niveaux donneurs peu profonds g — 1/2 et pour des niveaux accep-
teurs peu profonds g = 2.

& 5.51] STATLSTIQUE DES ÉLECTRONS DANS DES SEMICONDUCTEURS 111

Si une impureté donatrice introduite dans le semiconducteur est
à faible énergie d’ionisation £,, le nombre d'électrons passant aux
basses températures dans la bande de conduction depuis les niveaux
donneurs (fig. 5.8, a) peut dépasser de beaucoup d'ordres de grandeur
le nombre d'électrons excités depuis la bande de valence. Dans un

Bance de nn

conduction
| S—-0-0 0
|

an Se 0 mn Co a en ms £;
DNy
I
Bande &
vefcnce
0 fr fTs /T

Fig. 5.8. Diagramme SEL des (a) et variation de l'énergie de Fermi (b) et de
la concentration des électrons dans la bande de conduction d'un semiconducteur
de type » (c) en fonction de la température (£; — milieu de la bande interdite).

tel cas on peut négliger les transitions depuis la bande de valence
et déterminer l’énergie de Fermi en égalant le nombre n d'électrons
de conduction au nombre de places vacantes N£ aux niveaux don-
neurs.

Si la concentration des donneurs n’est pas trop forte, le gaz élec-
tronique dans la bande de conduction reste non dégénéré malgré
l'augmentation de la concentration des électrons de conduction par
rapport à un semiconducteur intrinsèque pur. La concentration des.
électrons se détermine alors par l’expression (5.13).

Le nombre de places vacantes aux niveaux donneurs (l'énergie.
d’un niveau donneur étant égale à —E;)

Na=Nali—f(—Eail= (5.23)

_
1+2exp{[(Ea+)/(kT)] *
En égalant n et N£, on obtient une équation pour la détermina-
tion de pu:
Na
1+2exp [u/(kT)] exp [Ea/(kT)]°

Très basses températures. L'équation (5.24) peut être simplifiée.
si l’on tient compte du fait qu’aux températures suffisamment basses
les donneurs sont ionisés faiblement (V5 € N;) et le dénominateur
au second membre de l’expression (5.23) est beaucoup plus grand que-

Neexp 5 — (5.24)

412 STATISTIQUE DES ÉLECTRONS ET DES TROUS [CH. 5

l'unité. Alors
Nà=—<exp (—<E) (5.25)
et l’équation (5.24) prend la forme
2N.exp—= Naexp (—#) exp(—-b). (5.26)

KT
D'où
Ea KT Na Ex . KT Nahs
— a ms mms CO — " er EC 9
2 7 2 D2N 2 T2 Gimp (9-27)

Ainsi, lorsque 7 —+ 0 K, le niveau de Fermi tend vers le milieu entre
le niveau inférieur de la bande de conduction et le niveau donneur
{fig. 5.8, b). Si la température s'élève à partir de 0 K, l'énergie de
Fermi commence par augmenter parce qu'aux températures suffi-
samment basses le dénominateur de la fraction sous le signe loga-
rithme dans (5.27) est inférieur au numérateur. Lorsque la tempé-
rature augmente encore, l’énergie de Fermi atteint son maximum,
commence à décroître et, à une certaine température 7, le niveau
de Fermi traverse le niveau des donneurs —E£,. Au voisinage de cette
température l'expression (5.27) devient inapplicable parce qu’elle
a été obtenue dans l’hypothèse que Né € NY, alors que si le niveau
de Fermi se confond avec le niveau des donneurs, N£ — N;/3. Pour
la détermination de u dans ce domaine de température il convient
d'avoir recours à l'équation plus générale (5.24).
La température T, est appelée température de déplétion de l'impu-
reté. Elle peut être déterminée à partir de l'équation
Neexp = Neexp (#8) 2. (5.28)
D'où
Ea
Te ER ENINa * SE
Cette expression montre que la température de déplétion est
d'autant plus élevée que l’énergie d’ionisation E, de l’impureté
est plus grande ce qui est parfaitement naturel. Ce qui apparaît
surprenant, de prime abord, c'est la variation de la température de
déplétion en fonction de la concentration de l’impureté. Cela s’expli-
que par le fait qu’à toute température il se produit un échange d'élec-
trons entre le niveau donneur et les niveaux inférieurs de la bande de
conduction situés dans l’intervalle d'énergie de l’ordre de quelques
KT. Plus grand est le nombre de donneurs, plus forte est la probabi-
lité qu’ils captent un électron de la bande de conduction et donc plus
élevée est la température de déplétion 7, de l’impureté. Les tempe-
ratures de déplétion sont peu élevées. Par exemple, pour une impu-
reté de Ey — 0,01 eV dans le germanium, 7, — 30 K pour Ny —
= 10% cm.

$ 5.5] STATISTIQUE DES £LECTRONS DANS DES SEMICONDUCTEURS 113

La concentration des électrons dans la bande de conduction aux
très basses températures s’obtient en portant dans (5.13) l’expres-
sion (5.27) de u:

NN E |
n = 4 Se Lexp (—-5+) : (5.30)
En prenant le logarithme de cette expression, on trouve
Inn=img/ Me Fa À. (5.31)

La dépendance logarithmique par rapport à la température du
premier terme du second membre de cette expression étant beaucoup
plus faible que 1/7. la variation de 1n #7 en fonction de 1/T dans le
domaine de très basses températures est approximativement linéaire
avec le coefficient angulaire —E;/(24) (région 1 de la fig. 5.8, c).

Domaine de déplétion de l’impureté (région 2 des figures 5.8, b, c).
Lorsque la température s'élève encore au-delà de 7T,, pratiquement
tous les électrons passent des atomes d’impureté dans la bande de
conduction et alors

n = N\y.

L'énergie de Fermi dans ce domaine des températures s’obtient
à partir de l'équation

Na = Neexp lu/(4T)]. (5.32)
Elle a pour valeur:

: Na my Nah
Comme W, devient plus grand que NW, même pour T << T,, il résulte
de (5.33) que le niveau de Fermi baisse lorsque la température aug-
mente.

Domaine de la conductibilité intrinsèque. Si la température
continue à augmenter, ce sont les électrons passant de la bande de
valence dans la bande de conduction qui commencent à apporter
une contribution notable à la concentration. La concentration des
électrons croît de nouveau (région > de la figure 5.8, c) et finit par
devenir pratiquement égale à la concentration »; dans un semiconduc-
teur intrinsèque. Pour la température T', de passage à la conductibilité
intrinsèque, on prend la température à laquelle la concentration de
porteurs de charges dans le semiconducteur intrinsèque est égale à la
concentration des électrons dans un semiconducteur du type #7 dans
le domaine de déplétion de l’impurete :

ny (Ti) = Na,

8—726

114 STATISTIQUE DES ELECTRONS ET DES TROUS (CH. >

c'est-à-dire, en vertu de (5.20),
—— Ey
| VNNexp (—35%) = Na.
D'où
D PE
E kMm(NNo/Ni)"
Cette équation montre que la température de passage à Ia conducti-
bilité intrinsèque est d'autant plus élevée que la bande interdite du
semiconducteur £, est plus large et la concentration d’impureté
N'y est plus forte. Par exemple, pour V, — 1016 cm-3 la température
E E
Ée

(5.34)

Fig. 5.9. Diagramme énergétique (a) et variation de l'énergie de Fermi en fonc-
tion de la température (b) pour un semiconducteur de type p (E; — milieu de la
bande interdite).

T, est égale à 480 K pour le germanium et à près de 650 K pour le
silicium. La valeur de T; détermine la température limite de fonc-
tionnement de la plupart des appareils à semiconducteurs.
Semiconducteur du type p (fig. 5.9, a). Les formules donnant
l’énergie de Fermi et la concentration des porteurs de charges dans
un semiconducteur dopé aux accepteurs sont obtenues de la même
façon que pour le semiconducteur du type ». Elles ont la même forme
que celle pour un semiconducteur du type nr à condition qu'au lieu
de N, on y écrit N,, au lieu de E ;, E, et au lieu de l’énergie de Fer-
mi u comptée à partir du niveau inférieur de la bande de conduction
vers le haut sur l'échelle des énergies, on écrit u” — l'énergie de
Fermi comptée vers le bas à partir du sommet de la bande de valence.
La courbe de variation de l'énergie de Fermi en fonction de la tempeé-
rature dans un semiconducteur du type p est montrée sur la figu-
re 5.9, b. Quant à la courbe représentative de In p en fonction de
1/T, elle est tout à fait analogue à la courbe correspondante pour le

semiconducteur du type n (v. fig. 5.8, c).

$ 5.5] STATISTIQUE DES ÉLECTRONS DANS DES SEMICONDUCTEURS 115

Loi d’action de masse. En multipliant la concentration des
électrons (5.13) par celle des trous (5.16), on obtient une relation
importante

np=NN een, (5.35)
Le rapprochement entre (5.35) et (5.20) donne
np = ni (T). (5.36)

Les formules obtenues expriment la loi d'action de masse. Elle
peut être énoncée comme suit: le produit des concentra' ns des élec-
trons et des trous dans un semiconducteur ne dépend pas d on dopage,
il dépend uniquement de la température; ce produit est é l'au carré
de la concentration de porteurs de charges dans un semico ucteur in-
trinsèque.

Prenons le logarithme de (5.36), il vient

(nn + In p}/2 = In ru. (5.37)

Cette relation a été utilisée pour la construction des graphiques
de la figure 5.8, c, où la ligne en traits mixtes représente In n; et
la ligne en traits interrompus In p. Dans le domaine de la conducti-
bilité d'impureté la concentration de porteurs minoritaires (de trous
dans un semiconducteur du type n}) est beaucoup plus faible que dans
un semiconducteur intrinsèque. Cela provient du fait que les con-
ceutrations d'équilibre s’établissent non seulement par suite de géné-
ration de porteurs mais également par suite de leur recombinaison.
Dans le cas où, en plus des électrons ayant passé de la bande de va-
lence, la bande de conduction contient un grand nombre d'électrons
d’'impureté, les niveaux libérés dans la bande de valence sont réoccu-
pés beaucoup plus vite par les électrons, ce qui a pour effet une brus-
que diminution de la concentration de trous.

I1 convient de souligner que les relations (5.13) et (5.16) n'étant
valables que pour des gaz non dégénérés, la loi d'action de masse
elle aussi n’est vraie que pour des semiconducteurs non dégénérés.

Semiconducteurs fortement dopés. Lorsque le degré de dopage
augmente, la courbe de variation de In »# en fonction de 1/T dans le
domaine de la conductibilité d'impureté se déplace vers le haut. Le
coefficient angulaire de la droite dans le domaine de très basses
températures reste inchangé parce qu'il se détermine par l'énergie
d’ionisation £ , d'un atome donneur distinct et ne dépend pas de leur
concentration. Toutefois, il n'en est pas ainsi jusqu’à l'instant
où la concentration d'impuretés atteint un certain niveau au-delà
duquel l'inclinaison de la droite In nr sur l’axe des 1/7 commence
à diminuer (courbe de N3 de la figure 5.10, a) pour s’annuler finale-
ment (courbe de NY).

La diminution de l’inclinaison des droites considérées commence
pour des concentrations d'impureté lorsque les fonctions d'onde des

416 STATISTIQUE DES £ELECTRONS ET DES TROUS [CH. 5

électrons des atomes d’impureté voisins commencent à se recouvrir.
Alors, au lieu des niveaux d'énergie distincts pour chaque atome
d'impureté (fig. 5.10, b) il apparaît une bande d'énergie d’impureté
(fig. 5.10, c). Pour une concentration encore plus forte de l’impureté,
cette bande se réunit à la bande de conduction de façon à former une
bande unique d'énergies permises (fig. 5.10, d). L'apparition de la
bande d’impureté a pour effet de réduire l'énergie d'activation de la
conductibilité d'impureté E ; et, lorsque cette bande se réunit à la
bande de conduction, l'énergie d'activation tombe à zéro.

La variation de la densité des états en fonction de l’énergie près
du niveau inférieur de la bande de conduction après la réunion avec

= LS

“Bande d'émpureté

v & Ev
.
Or 1 7 4 b) c) d) 9)
TELE 7 e),

Fig. 5.10. Variation de la concentration des électrons dans la bande de conduc-

tion en fonction de la température pour des semiconducteurs contenant des

quantités différentes de l’impureté donatrice (a) ; niveau d' impureté dans la

bande interdite (b); formation de la bande d'impureté à partir d'un niveau

d' impureté en cas de forte concentration de l' impureté (c); recouvrement de la

bande d'impureté et de la bande de conduction (d) et fonction de densité des
états (e) dans des semiconducteurs dégénéres.

la bande d’impureté prend la forme montrée sur la figure 5.10, e.
Il se forme une queue de la densité des états.

La formation de la bande d’impureté se produit de la même façon
que celle des bandes d'énergie à partir des niveaux étroits lors du
rapprochement des atomes de la substance principale (v. chap. 4).
Toutefois le niveau d’impureté s'étale en une bande de largeur no-
table lorsque la distance entre les atomes d’impureté voisins est
encore .beaucoup plus grande que les distances interatomiques pour
les atomes de la substance de base. Cela tient à ce que l’« orbite »
d’un électron faiblement lié à l'atome d'impureté a un très grand
rayon et le recouvrement des couches électroniques des atomes d'im-
pureté se produit pour une distance suffisamment grande qui les
sépare. Par exemple, dans le germanium l'énergie d'ionisation des
donneurs peu profonds diminue de façon appréciable à partir de la
concentration V, Æ 1016 cm”*, lorsque les distances entre les atomes
d'impureté voisins sont approximativement égales à 50 nm.

Le gaz électronique dans un semiconducteur fortement dopé peut
être dégénéré surtout à des températures très inférieures à la tempé-

& 5.2] STATISTIQUE DES ÊLECTRONS DANS DES SEMICONDUCTEURS 1417
1

rature de passage à la conductibilité intrinsèque T;. Au fur et à me-
sure que la température du semiconducteur s approche de T;, le
niveau de Fermi tend vers le milieu de la bande interdite et, si le
semiconducteur n’est pas à bande interdite étroite, la dégénérescence
est levée.

Les niveaux accepteurs s’étalent eux aussi en une bande lorsque
leur concentration est suffisamment forte.

Semiconducteurs compensés. Bien souvent un semiconducteur
contient à la fois une impureté donatrice et une impureté acceptrice

a ——

QG) bd) C)

Fig. 5.11. Diagrammes énergétiques des semiconducteurs compensés :
a—N; — N,:b— Ny > N,ic—n< N°:

en des quantités comparables. De tels semiconducteurs sont dits
compensés. |

Commençons par examiner le cas d'une compensation complète
lorsque la concentration N , de donneurs est égale à celle N, d’accep-
teurs. Le diagramme énergétique d’un tel semiconducteur est montré
sur la figure 5.11, a. Suivant la statistique de Fermi-Dirac, lorsque
T—O0K, les électrons occupent les niveaux d'énergie les plus bas.
Dans un tel cas, tous les niveaux accepteurs seront occupés par
les électrons et tous les niveaux donneurs seront libres. Lorsque la
température s'élève, les électrons passent de la bande de valence dans
la bande de conduction et pratiquement c’est seulement grâce à de
tels passages qu'apparaissent des porteurs de charges libres — les
électrons et les trous. Cela signifie que dans un tel semiconducteur
les concentrations de porteurs libres sont les mêmes que dans un semi-
conducteur intrinsèque.

Si Na > Na (fig. 5.11, b) et T+0K, tous les états accepteurs
sont occupés par les électrons et si la température s'élève ils ne pour-
ront pas, de même que dans le cas considéré plus haut, recevoir les
électrons de la bande de valence. Mais à la différence de la compen-
sation complète, (Va — N,) donneurs conservent à T — 0 K leurs
électrons et peuvent les fournir à la bande de conduction en cas d’élé-
vation de la température. Un tel semiconducteur se comporte donc
comme un semiconducteur du type x avec une concentration de
donneurs égale à (Ny —N:).

1418 STATISTIQUE DES ÉLECTRONS ET DES TROUS (CH. 5

Si Na < Na (fig. 5.11, c), le semiconducteur considéré se com-
porte comme un semiconducteur du type p avec une concentration
d’'accepteurs égale à (Ne — Ni).

En réalité, aux basses températures, il existe certaines diffé-
rences dans la position du niveau de Fermi et les concentrations de
porteurs de charges par rapport aux semiconducteurs non compensés.
Mais nous n’allons pas les examiner ici.

$ 5.6. Statistique des électrons dans les métaux

On sait (v. $ 4.5) que dans les métaux la bande la plus haute parmi
les bandes d'énergie occupées par les électrons, à savoir la bande de
conduction, n’est remplie qu'en partie.

A T =O0K, les électrons occupent tous les états inférieurs de la
bande de conduction (un électron dans chaque état) jusqu'au niveau
de Fermi L (fig. 4.8, a, b). Comme le nombre d'électrons de conduc-
tion dans un métal est connu (pour les métaux monovalents par exem-
ple il est égal au nombre d’atomes), l'énergie u peut être déterminée
en comptant à partir du niveau inférieur de la bande le nombre d'états
égal au nombre d'électrons :

n — \ g(E)dE. (5.38)

Ici, x est la concentration d'électrons.

Dans les métaux, la fonction de densité des états g (E) a la forme
(5.5) non seulement près du niveau inférieur mais presque pour toute
la bande de conduction et m, coïncide pratiquement avec la masse
m. d'un électron libre. En portant (5.5) dans (5.38), on obtient

1 [2meu \3/2
13 (<#) 4)
D'où
h° 2n\2
U — 2me (3n°2n)°/3. (5.40)

Dans le Li par exemple, le calcul à l’aide de la formule (5.40) donne pu —
— 4,72 eV alors que la valeur expérimentale est u — 5,22 eV, de sorte que

l'accord n’est pas mauvais si l'on tient compte des hypothèses simplificatrices
faites plus haut.

Connaissant l'énergie de Fermi pu, on peut calculer la vitesse
maximale de mouvement des électrons à l’intérieur du cristal:

Umax = V2u/m.. (5.41)

Elle vaut —105 m/s. Et cela à 0 K lorsque, suivant la théorie
classique, .tout mouvement doit cesser! C’est le résultat de l’action

$ 5.6] STATISTIQUE DES ÉLECTRONS DANS LES M£ETAUX 419

des lois du mouvement purement quantiques — du principe de Pauli
qui stipule que les électrons possédant des vitesses si grandes ne
peuvent pas les perdre sinon ils devraient descendre sur des niveaux
d'énergie moindre déjà occupés. Comme il sera montré plus loin,
un tel comportement non classique du gaz électronique dans le métal
influe sur la conductibilité électrique, la conductibilité thermique,
la chaleur massique et autres caractéristiques des métaux ainsi que
sur leur variation en fonction de la température. L’anomalie dans

0 6) n(E)

Fig. 5.12. Excitation thermique des électrons dans le métal (a) et leur réparti-
tion n (E) suivant les énergies à T > 0 K (b).

le comportement du gaz électronique est observée non seulement
dans les métaux mais aussi dans des semiconducteurs fortement
dopés et, en général, dans toute collectivité d'électrons dans laquelle
sont complètement occupés au moins les états énergétiques inférieurs,
c'est-à-dire pour lesquels

f(E.) &1

Un tel gaz électronique est dit dégénéré.

A des températures supérieures à 0 K les électrons occupant les
états dans l'intervalle d'énergie —kT au voisinage du niveau de
Fermi passent à des niveaux plus hauts (fig. 5.12, a). La répartition
des électrons entre divers niveaux d'énergie est illustrée par la
figure 5.12, b. Comme ÆT est toujours très inférieur à be (à la tempé-
rature ordinaire par exemple, kT % 0,025 eV), l'énergie varie,
lorsque la température s'élève, seulement pour une petite partie
des électrons.

La position du niveau de Fermi à T > 0 K peut être déterminée
à partir de la condition que le nombre total des électrons de conduc-
tion doit rester inchangé quelle que soit la température:

do œ@

n n= | n (E)dE = \ g(E)f\(E)dE. (5.42)

pl) s0

120 STATISTIQUE DES ÊÉLECTRONS ET DES TROUS (CH. 5

Dans la dernière intégrale, l’indice u montre que la fonction de
répartition f (£) dépend de l'énergie de Fermi comme d'un para-
mètre. Cette intégrale ne peut pas être représentée sous la forme d’une
fonction analytique. Une valeur approchée de l'énergie de Fermi p
est égale à

D =n 0 [1-5 (27)"]. (5.43)

où u (0) est l’énergie de Fermi à T — 0 K calculée au moyen de la
formule (5. 40).

L'expression (5.43) montre que l'énergie de Fermi varie tres
peu avec la température. C’est ainsi par exemple à la température
ordinaire pour un métal de u (0) = 5 eV la variation de pu est de
1075 eV. L'énergie de Fermi diminue un peu avec la température
parce que la densité des états g (E) augmente au voisinage du niveau
E = p. Si le niveau de Fermi ne changeait pas sa position, l’aug-
mentation de la population des niveaux de E >> y dans l'intervalle
AE % KT ne serait pas compensée par une diminution de la popula-
tion des niveaux de £ << u moins serrés et le nombre total des élec-
trons augmenterait.

Les expressions obtenues plus haut sont valables pour des métaux
monovalents dans lesquels les électrons de valence n’occupent de
façon incomplète qu'une bande d'énergie. La situation qui se pré-
sente dans des métaux polyvalents est plus complexe (v. $ 4.8),
mais ici encore le gaz électronique est dégénéré et son état varie très
peu avec la température.

La faible variation de la répartition énergétique des électrons
du métal en fonction de la température a pour effet que les valeurs
moyennes des grandeurs caractérisant le gaz d'électrons (énergie
moyenne, vitesses moyennes, etc.) ne dépendent pratiquement pas
de la température. Il en résulte que le gaz électronique dans les mé-
taux possède des caractéristiques qui sont notablement différentes
des caractéristiques classiques des gaz non dégénérés. Considérons à
titre d'exemple l'influence de la dégénérescence sur la chaleur massi-
que du gaz électronique.

$ 5.7. Chaleur massique du gaz électronique dans les
métaux et les semiconducteurs

En plus des ions qui constituent le réseau cristallin et vibrent
autour des positions d'équilibre, les métaux contiennent aussi des
électrons libres dont le nombre dans un métal monovalent est égal
au nombre d'atomes. Aussi la chaleur massique C, d’un métal doit-
elle être égale à la somme de la chaleur massique du réseau Ce,
et de la chaleur massique du gaz électronique C1. Evaluons l'ordre
de grandeur de C1.

& 5.7] CHALEUR MASSIQUE DU GAZ ELECTRONIQUE 491

Comme il a été indiqué au $ 5.2, lorsque le métal est échauffé:
à une température 7, c'est seulement une petite partie d'électrons
dans l'intervalle d'énergie —ÀT au voisinage du niveau de Fermi pu
qui subit une excitation thermique. Si l'on admet, pour simplifier
le problème, que la répartition des niveaux d'énergie dans la bande
de conduction est uniforme, la part des électrons excités sera égale
approximativement à XT/u. En considérant que chacun de ces élec-
trons a reçu une énergie d’excitation égale en moyenne à °/, &T, on
obtient la variation de l'énergie du gaz électronique Æ ,, produite
par son échauffement à la température T :

Eu = %/ N (ET), (5.44)

où est le nombre d'électrons de conduction du métal. La chaleur
massique d’un tel gaz a pour valeur

Ca = 3Nk (EKT/u). (5.45)

Une théorie plus rigoureuse donne pour C1 l'expression

7? { KT
Ca= Nr (=). (5.46)

Notons que suivant la théorie classique chaque électron libre
dans le métal doit avoir une énergie cinétique moyenne de */, &T
et que l'énergie totale du gaz électronique doit être égale à */. NAT
et la chaleur massique C1 — */, Nk, c'est-à-dire 50 % de la cha-
leur massique du réseau cristallin [v. (3.27)]. En comparant (5.46)
avec (3.27) et en tenant compte que pour les métaux l'énergie ÿ
se mesure par plusieurs électrons-volts tandis que ÀT — 0,025 e
à T — 300K, on obtient C1 0,01C,6,.!

Ainsi, du fait qu'aux températures ordinaires seule une partie:
peu importante d'électrons libres du métal subit une excitation
thermique, la chaleur massique du gaz électronique ne s'élève qu'à
quelques pour cent de la chaleur massique du réseau, ce qui est une
conséquence de la dégénérescence du gaz électronique dans les
métaux. Dans les semiconducteurs (pour fixer les idées, nous raison-
nerons sur les semiconducteurs du type nr) la chaleur massique du gaz
électronique dépend dans le cas général non seulement de l'énergie
moyenne des électrons dans la bande de conduction mais aussi de:
leur concentration. Dans le domaine de température de déplétion
de l’impureté la concentration des électrons dans la bande de con-
duction est indépendante de la température et est égale à la concen-
tration d'impureté NV ,. Si, dans ce cas, le semiconducteur n’est pas
dopé fortement de sorte que le gaz électronique n’est pas dégénéré,
sa chaleur massique est donnée par l'expression classique

Cu = Nuk. (5.47)

422 STATISTIQUE DES ÉLECTRONS ET DES TROUS [CH. 5

Pour un gaz dégénéré la chaleur massique dans le domaine considéré
est moindre que celle donnée par (5.47). Dans le cas d’une forte dégé-
nérescence, lorsque up > ÀT, la chaleur massique électronique est
bien décrite par la formule (5.46). Il est vrai que les semiconducteurs,
même fortement dopés, sont, généralement parlant, des substances
suffisamment pures. C'est ainsi que même pour Vy — 10% cm”*
la concentration de l’impureté n'est égale qu'à —0,2 %. Aussi, le
nombre d'électrons dans la bande de conduction est-il toujours petit
par rapport au nombre d’atomes du réseau cristallin, de sorte que
Cei < Crés-

Dans le domaine de la conductibilité intrinsèque la chaleur massi-
que électronique du semiconducteur prend une valeur nettement
supérieure à celle donnée par (5.47). Cela tient à ce que dans ce do-
maine la concentration des porteurs de courant libres (maintenant
des électrons et des trous) peut dépasser sensiblement la concentra-
tion d’atomes d'impureté (n; > N4) et la naissance de chaque paire
nouvelle de porteurs exige une énergie £, 5 KT. Dans ce domaine,
la chaleur massique électronique du semiconducteur constitue une
partie substantielle de sa chaleur massique totale.

CHAPITRE 6G

PHÉNOMÈNES CINÉTIQUES

En partant des notions, développées plus haut, de la théorie des bandes, de la
statistique des porteurs de charges libres dans lessemiconducteurs et les métaux et
de la théorie des vibrations thermiques du réseau cristallin, nous exposons dans
ce chapitre les idées principales actuelles sur la nature de la conductibilité électri-
que des solides, y compris de la supraconductivité, ainsi que sur la nature des
principaux phénomènes galvanomagnétiques.

$ 6.1. Répartition des électrons suivant
leurs vitesses

De la fonction de répartition des électrons suivant l'énergie
n (£) dE il est facile de passer à la fonction de répartition suivant
le module de la vitesse en utilisant les relations

E = m,v°/2; dE = m,v dv.
Pour un gaz électronique non dégénéré on obtient à partir de (5.12)
3 9
n (v) du = EE em/Dpre "en %/ CRD Que, (6.1)
En exprimant e!“/(@T) moyennant le nombre total r des électrons

à l’aide de (5.13), on obtient la fonction de Mazxwell classique pour la
répartition des particules de gaz suivant leurs vitesses:

n (v) dv — 4nn ET À "ie mn v/ CA) dv. (6.2)

La courbe représentative de la fonction n (v) est montrée sur la
figure 6.1, a.

Pour obtenir la répartition des électrons suivant les composantes du
vecteur vitesse il est commode de considérer l'occupation des états
permis dans l’« espace des vitesses ». En utilisant la relation entre
la vitesse v de l’électron et son vecteur d'onde k

MnVv = hk,

on obtient par exemple pour la composante x de la vitesse

Ôv, = —_ Ôk,

424 PHENOMENES CINÊTIQUES [CH. 6:

et alors les valeurs permises voisines des projections du vecteur v
sur les axes v,, v,, v, sont séparées par des intervalles hk/(Lm,)
(v. fig. 3.5). Pour un cristal de dimensions unitaires (L = 1) ces.
intervalles sont égaux à k/m,. Ainsi le nombre total d'états dans un
certain intervalle, isolé par la pensée, de vitesses dv, du, du, est.
égal à 2dv, du, du./(h*/m), où le facteur 2 tient compte du fait qu’à
chaque valeur permise de v correspondent deux états de spins opposés.

NVs)

nt)

a) b)

Fig. 6.1. Répartition de Maxwell des électrons suivant les vitesses (a); réparti-
tion des électrons suivant une des composantes (v_) de la vitesse pour un gaz.
électronique dégénéré (courbe 7) et non dégénéré (courbe 2) (b).

La probabilité d'occupation de tout état dépend uniquement de:
son énergie. Pour un gaz non dégénéré elle a, suivant (5.10), pour
valeur

j(E)=exp ()-exp —+) =
= exp (È) exp (PÈRE). (6.3).

En multipliant cette fonction par le nombre d’états dans l'élément.
d'espace des vitesses isolé, on obtient
n(Uz, Vys LV) du, dv, du, =

3
2m

= 2 exp (H)-exp[ — D (v2-+ vi + ut) | dv, du, dv,, (6.4)

où n (v,, Vy, U.) est la fonction de densité de la répartition des élec-
trons suivant les vitesses.

En exprimant exp {u/(4T)] en fonction de la concentration nr.
d'électrons [v. formule (5.13)], on obtient L

26 8, 092 (2) ep[ 2e 2403-00] (5)

& 6.1] REPARTITION DES ÉLECTRONS SUIVANT LEURS VITESSES 125

Enfin, l'intégration de cette fonction sur v, et v, dans les limites
de —co à + co donne la fonction de répartition des électrons d'un gaz
non dégénéré suivant la composante de la vitesse v, :

+o
n (v,) du, = dv, ( ( N (Uxs Uys V2) du, dv, =

5)" exp (— TE | due: (5.6)

Cette fonction est représentée par la courbe 2 de la figure 6.1, b.
A T=OK, les électrons d'un gaz dégénéré remplissent complè-
tement tous les états à l’intérieur d’une sphère de rayon v; —

— V2u/m, (fig. 6.2). Ainsi la fonction de densité de la répartition
des électrons suivant les vites-
ses à l’intérieur de cette sphère
de Fermi coïncide avec la fonc-
tion de densité des états:

n (Us, Uys V2) = 2m /h$. (6.7)

La répartition des électrons
suivant l’une des composantes
de la vitesse (v,) est facile à
obtenir à partir des considéra-
tions suivantes. Séparons dans
l'espace des vitesses une région
s'étendant d’une certaine valeur
Vx Up à Ux + Us (fig. 6.2). pig. 6.2. Calcul de la répartition de
La sphère de Fermi découpe dans Fermi des électrons suivant les vites-
cette région un disque de volu- ses.
x (ur — v£) du.. Le nombre

d'états contenus dans ce volume est précisément le nombre d’élec-
trons dont la vitesse est comprise dans l'intervalle de v, à v, + dv, :

DE nm (vr— 15) du. (6.8)

n (v.) du, =
Cette fonction est représentée par la courbe supérieure de la figu-
re 6.1, bd. A T OK, une petite partie des électrons ayant des vi-
tesses v, un peu inférieures à v- acquièrent des vitesses un peu supé-
rieures à ur et la courbe de nr (v,) se trouve modifiée comme l'indique
la courbe en traits interrompus de la même figure.

Comme il fallait s’v attendre, les répartitions des électrons, aussi
bien d’un gaz dégénéré que d’un gaz non dégénéré, sont symétriques
par rapport à v — 0 de sorte que leur vitesse moyenne à l’état d’équi-
libre thermique est toujours nulle ( v; = 0).

426 PHENOMEÈNES CINETIQUES ICH. 6

L’état d'équilibre est établi et maintenu par suite de l’échange
d'énergie et d’impulsions entre les électrons et le réseau cristallin.
(Dans le cas de fortes concentrations des électrons c’est aussi l’inter-
action des porteurs de charges libres l’un avec l’autre qui commence
à jouer un rôle important.) Les processus conduisant à un changement
de l’énergie et de l’impulsion des électrons lors de leur interaction
avec le réseau cristallin (ou l’un avec l’autre) sont appelés processus
de diffusion.

La diffusion ne se produit que sur des défauts qui déforment le
potentiel périodique régulier du cristal. Comme il a été dit au cha-
pitre 4, les états des électrons dans un réseau parfait sont stationnai-
res et les électrons doivent y séjourner indéfiniment. (L'influence

Fig. 6.3. Schémas illustrant la diffusion des électrons e par un atome d'impureté
ionisé 7 (a) et par des vibrations optiques du réseau d'un cristal polaire (b) :

AB — direction de mouvement initial de l’électron ; v, — vitesse de ce mouvement: CD —
direction de mouvement de l'électron après sa diffusion; v — vitesse de ce mouvement;
VE composante de la vitesse dans la direction du mouvement initial.

d’un réseau parfait sur le comportement d'un électron est prise en
compte par introduction de la notion de masse effective.) Les défauts
principaux ayant pour effet de provoquer la diffusion des électrons
dans les cristaux sont les atomes d'impureté ionisés et les vibrations
thermiques du réseau.

La diffusion sur les ions d’impureté peut être représentée classi-
quement comme une déviation d'un porteur de charge libre dans le
champ de l'ion près duquel il passe (fig. 6.3, a). Seulement on ne
devra pas oublier que cet ion doit être étranger pour que le champ
qu'il engendre autour de lui diffère réellement du champ des ions
propres du réseau par suite d'une autre valeur de la charge de cet
ion ou d’autres dimensions et d'une autre structure des couches élec-
troniques de l’ion d'impureté.

Quant à la diffusion sur les vibrations thermiques du cristal, ce
phénomène semble au premier abord bien mystérieux. En effet,
pourquoi l’électron ne se diffuse-t-il pas sur les ions immobiles ou
sur les atomes de cristal mais se diffuse sur des ions vibrants bien
que la vitesse de ces particules lourdes vibrantes soit toujours infé-

& 6.2] DÉRIVE DES PORTEURS DE CHARGES LIBRES 127

rieure de quelques ordres de grandeur à celle des électrons ? Le fait
est que l'apparition d’une onde élastique dans le cristal s'accompagne
toujours de la création d’un champ électrique supplémentaire. On le
voit le plus clairement sur l'exemple de vibrations optiques trans-
versales des cristaux ioniques (fig. 6.3, b) ou sur l'exemple d'onde
longitudinale dans le métal lorsque la concentration des ions devient
augmentée dans la région de compression et diminuée dans la région
de dépression. Mais dans les cristaux non polaires eux aussi les ondes
élastiques donnent lieu à l'apparition de champs électriques supplé-
mentaires. bien qu'ici c'est un effet du deuxième ordre de petitesse-
et il est difficile de représenter son origine de façon parlante. Dans
tous les cas c’est précisément sur ces champs électriques supplé-
mentaires que se produit la diffusion des électrons. Dans une telle
diffusion l'énergie de l’électron varie de +hw, où w est la fréquence
des vibrations du réseau, c’est-à-dire d’une quantité égale à l'énergie
du phonon. En d'autres termes, il se produit soit une absorption
soit une émission d’un phonon par un électron. L'impulsion de l'élec-
tron subit une variation de +ñk;non; Où Kpron est le vecteur d'onde
de la vibration du réseau (%k,:,n étant la quasi-impulsion du pho-
nOA).

$ 6.2. Dérive des porteurs de charges libres
dans un champ électrique

L'approche la plus simple À la détermination du comportement
des porteurs de charges libres dans un champ électrique extérieur
consiste à les considérer comme des billes animées d’une agitation
thermique désordonnée à laquelle se superpose, après l'application
du champ, un mouvement orienté de l’ensemble — la dérive.

L'agitation thermique désordonnée des particules est caractérisée.
par une vitesse moyenne de mouvement (v), la distance moyenne
parcourue par la particule entre deux collisions consécutives, c'est-
à-dire par la longueur de libre parcours moyen (À) ef le temps de
libre parcours moyen (t). Ces grandeurs sont liées entre elles par la
relation évidente

(x) = (A }/(v). (6.9)

Le champ électrique extérieur communique aux particules char-
gées libres une accélération dirigée dans le sens du champ pour les
trous et dans le sens opposé pour les électrons. Toutefois, par suite
des collisions des particules (diffusion), leur mouvement redevient
désordonné.

Sous l’action d'un champ d'intensité € une particule de masse:
effective m* et de charge e se déplace avec une accélération

— € {
a = m* €.

128 PHEÉNOMENES CINÊTIQUES (CH. 6

Si l’on considère qu'après chaque collision la particule peut se
mouvoir avec une même probabilité dans toute direction, c'est-à-dire
que le mouvement des particules redevient tout à fait désordonné
au bout du temps de libre parcours moyen (t), la vitesse moyenne
de mouvement orienté (vitesse de dérive) est égale à

Due De (0) E. (6.10)

Ce qui vient d’être dit est illustré par la figure 6.4, où on a porté
en ordonnées seulement la vitesse additionnelle (par rapport à la
vitesse thermique) de mouve-
ment de la particule sous l'effet
du champ extérieur.

En réalité, la description des
processus de diffusion est pourtant
beaucoup plus complexe. Tout d’abord,
si même on considère les microparti-
cules comme des billes chargées, il
est impossible d'établir avec exactitu-
de le fait de diffusion d’un électron ou
d'un trou et donc de déterminer (t)
et (À) . Par exemple un électron qui
passe près d’un ion peut changer la direction de son mouvement de 180°,
‘90°, 1° ou moins et il n'est pas clair quelle est une déviation arbitraire-
ment petite par rapport à la direction de mouvement initiale qu'on peut con-
sidérer comme un Rep de la diffusion de la particule. Il faut alors intro-
duire la probabilité de diffusion dans les limites d'un angle solide déterminé
et cette probabilité est différente pour les divers mécanismes de diffusion, les
différentes directions d’angles de diffusion, etc. Il est donc clair que si la vitesse
de dérive est déterminée par une expression de la forme (6.10), celle-ci con-
tiendra une certaine grandeur effective (t) qui ne pourra être appelée temps de
libre parcours moyen que conventionnellement.

Fig. 6.4. Explication du calcul de la
vitesse de dérive.

Temps de relaxation de la fonction de répartition. La dérive des
‘électrons daris un champ électrique extérieur, ainsi que d’autres
phénomènes cinétiques peuvent être étudiés d’une façon plus rigou-
reuse à l’aide d’une équation cinétique dite de Boltzmann. Cette équa-
tion décrit les variations de la fonction de répartition des électrons
suivant les vitesses sous l’effet d’un champ électrique extérieur et
des processus de diffusion. L'apparition de la dérive des électrons
sous l’action d'un champ électrique extérieur d'intensité & a pour
effet de provoquer un déplacement de leur fonction de répartition
suivant les vitesses de la quantité v;., dans le sens de la force F
appliquée aux électrons (fig. 6.5). Après la suppression du champ, la
fonction de répartition revient, par suite de la diffusion, à l'état
d'équilibre : il se produit un processus dit de relaxation. On admet
d'ordinaire que le processus de relaxation est décrit par l'équation

An (v,) = An (0) 11e To) rer,

$' G.2] DÉRIVE DES PORTEURS DE CHARGES LIBRES 129

où #, est l'instant d'élimination du champ, t,., le temps de relaxa-
tion. Pendant le temps 71,,1 l'écart de la fonction de répartition
par rapport à la valeur d'équilibre et la vitesse de dérive diminuent
de e fois. De la solution de
l'équation cinétique de Boltz-
mann il résulte en particulier
que

Ver = + VrelË- (6.11)

En comparant (6.11) et (6.10)
nous voyons que T,., joue le
même rôle que le temps de libre Fig. 6.5. Déplacement de la fonction
parcours moyen (t) en théorie 4e répartition des électrons suivant
simplifiée. C'est pourquoi, nous les vitesses (v, = v, — 0) dans un champ
omettrons désormais l'indice électrique extérieur pour un gaz dégé-
affectant (tr) dans (6.11) et, HE
comme on le fait souvent, nous
appellerons cette grandeur aussi bien temps de relaxation que
temps de libre parcours moyen.

Mobilité des porteurs de charges. La grandeur égale au rapport de
la vitesse de dérive à l'intensité du champ électrique est appelée
mobilité des porteurs :

__ |vüaer | __ et) 4
Mg me: (6.12)

En d’autres termes, la mobilité c'est la vitesse de dérive acquise par
les électrons dans un champ d'intensité unité.

L'évaluation montre que pour les métaux tels que le cuivre
+ = 2-10-145, la mobilité de l’électron calculée par la formule (6.12)
u=3- 107$ m1/(V:s), la vitesse de dérive dans des champs d'intensité
habituelle (€ — 10-? V/m) est v,., = 0,3 m/s. Cette quantité
est inférieure de plusieurs ordres de grandeur à la vitesse de mouve-
ment des électrons en l'absence du champ (vx; — 1,6-10% m/s) de
sorte qu'après l'application du champ électrique la vitesse moyenne
des électrons dans un conducteur reste pratiquement inchangée.

Conductivité électrique. Comme l'agitation thermique désordonnée
des électrons en état d'équilibre thermique ne peut pas conduire à
leur mouvement orienté, on peut négliger la vitesse sommaire des
électrons lors du calcul de la densité de courant électrique et de la
conductivité électrique d'un conducteur et ne prendre en compte que
la vitesse de dérive vu. acquise sous l'effet du champ &.

Construisons, par la pensée, dans la profondeur d’un conducteur
un cylindre de base égale à l'unité et de génératrice égale à vVuer
et dirigée le long de la dérive (fig. 6.6). Tous les électrons contenus
dans ce cylindre passeront pendant 4 s par la base du cylindre et

9—726

130 PHÉNOMENES CINÊTIQUES [CH 6

constitueront un courant de densité
i == — enVy-r —eUnnË, (6.13)

où 7» est la concentration des électrons dans le conducteur. Suivant
la loi d'Ohm i — 0€. On en déduit

O — enUn. (6.14)
Pour les trous

O — ePuUp. (6.14a)
En portant dans (6.14) la valeur de z donnée par (6.12), on obtient

__ ne(t) ne? (A)
PT mn Mn Un):

(6.15)

Cette formule exprime la conductivité électrique d’un conducteur
en fonction des paramètres microscopiques qui caractérisent son

#
Ver

Fig. 6.6. Etablissement de l’expression pour la densité de courant.

gaz électronique. Le temps de relaxation %t,,., dépend dans le cas
général de l'énergie des électrons. C’est pourquoi il doit être moyenné
sur la collectivité des électrons et différemment pour les gaz dégénéré
et non dégénéré.

Dans le cas d’un gaz non dégénéré, la densité de remplissage de la
bande de conduction par les électrons est si faible que le comporte-
ment des électrons ne peut pas être limité par le principe de Pauli.
Les électrons sont complètement libres en ce sens que le mouvement
de chacun d'eux s’effectue sans subir une influence notable de la
part des autres. Tous les électrons de conduction d'un gaz non dégé-
néré participent, indépendamment les uns des autres, à la création
d'un courant électrique et à la conductibilité électrique d'un con-
ducteur. Aussi, l'expression donnant la conductivité électrique d'un
gaz non dégénéré doit-elle faire intervenir le temps moyen de rela-
xation (t,.1) de tous les électrons libres, obtenu en moyennant 7T,,1
sur toute la collectivité. Ceci étant, les expressions pour la mobilité
et la conductivité électrique d'un gaz non dégénéré (par exemple

6 6.2] DÉRIVE DES PORTEURS DE CHARGES LIBRES 131

électronique) doivent s’écrire sous la forme suivante:
€ e_ (A(E))

U = mn ME=e (un) " (6.16)
= ne (À(E
ge (r(E)= LE. (6.47)

Le calcul des moyennes se fait par des règles bien déterminées
que nous n'examinons pas ici.

11 n’en est plus de même pour un gaz dégénéré. Dans un tel gaz
la grande masse des électrons, dont l'énergie est inférieure à l’énergie
de Fermi d’au moins 0,1 eV, ne peut pas participer aux processus de
diffusion. Le fait est que de tels électrons peuvent se diffuser en
passant aux états libres seulement si leur énergie augmente en même
temps aux dépens de l'énergie des particules avec lesquelles ils
entrent en collision. Mais les phonons possèdent dans le cristal une
énergie qui ne dépasse pas quelques centièmes d’électron-volt et la
diffusion sur les ions d’impureté s'effectue pratiquement sans change-
ment de l’énergie de l’électron. C'est la raison pour laquelle seuls
les électrons dont l'énergie est proche de celle de Fermi (électrons
de Fermi) peuvent prendre part à la diffusion.

Sous l’action d’un champ électrique extérieur, tous les électrons
du métal changent leur vecteur d'onde dans le sens de la force appli-
quée [suivant (4.17)] et la répartition des électrons est déplacée dans
l’espace des v comme l'indique la figure 6.5. Toutefois, plus grand
est ce déplacement, plus grand est le nombre des électrons de Fermi
qui sont transférés de droite à gauche par suite du processus de diffu-
sion, en tendant à rétablir la répartition d'équilibre des électrons
suivant les impulsions, symétrique par rapport à l’origine des coor-
données. Par suite de l’action conjuguée du champ extérieur et des
processus de diffusion sur les électrons, toute la sphère de Fermi se
trouve déplacée de

Véer =u® = _€TF D = LE

(6.18)
Mn Mn Ur

La valeur de v,,., se détermine déjà non par les valeurs moyennes
{t) ou {A} et (v), comme c'est le cas d’un gaz non dégénéré, mais
par le temps de relaxation t- ou la longueur de libre parcours moyen
À F et la vitesse de déplacement v} des électrons de Fermi. Du point
de vue du calcul quantitatif de la conductivité seul le fait lui-même
de déplacement de la répartition des électrons suivant les vitesses
sous l'effet d’un champ qui importe et non pas son mécanisme physi-
que. Aussi la conductivité électrique d’un gaz dégénéré peut-elle
s'écrire comme précédemment sous la forme

ne net Àp

me (6.19)

où nr est la concentration totale des électrons dans la bande de con-
duction. |

432 PHENOMENES CINETIQUES (CH. 6

$ 6.3. Mobilité des porteurs de charges libres.
Variation de la mobilité avec la température

Considérons maintenant la variation de la mobilité des porteurs
de charges en fonction de la température. Cette étude sera faite sépa-
rément pour les hautes températures et les basses températures.

Dans le domaine des hautes températures c’est la diffusion des
électrons sur les vibrations thermiques du réseau, c'est-à-dire la
diffusion sur les phonons, qui a l’importance principale. Dans les
cristaux non polaires la diffusion s'effectue de préférence sur des
phonons acoustiques dont la concentration est plus forte que celle
des phonons optiques. Comme le montre l’étude quantique, la lon-
gueur de libre parcours moyen ne dépend pas dans ce cas de l'énergie
de l’électron ou du trou diffusé mais dépend uniquement de la con-
centration des phonons: À — {1/Rrphon- Vu que suivant le $ 3.5 dans
le domaine des hautes températures n,ron — T, on a À = 1/T.
En portant cette valeur de À dans (6.16) et (6.18), on obtient les
- expressions suivantes pour la mobilité des électrons: |

u = (A}/({v) = T-UTU: = T-S/® (gaz non dégénéré), (6.20)
u = Àphon/Uphon T7} (gaz dégénéré), (6.21)

parce que Vpron ne dépend pratiquement pas de la température et
pour un gaz non dégénéré (vu) — T1/=.

Ainsi, dans le domaine des hautes températures où la diffusion sur
les vibrations thermiques du réseau est prédominante, la mobilité des
porteurs constituant un gaz non dégénéré d'électrons (de trous) est
inversement proportionnelle à T*/*, la mobilité des porteurs dans un gaz
dégénéré est inversement proportionnelle à T.

Dans le domaine des basses températures c’est la diffusion sur des
atomes d’impureté ionisés qui présente souvent l'importance prin-
cipale. Le processus de diffusion consiste en ce que les ions d’impureté
font dévier les électrons passant près d'eux, en modifiant en direc-
tion la vitesse de leur mouvement (v. fig. 6.3, a). Cette diffusion
est pratiquement aussi désordonnée que la diffusion sur les vibra-
tions du réseau parce que les électrons passent à de différentes dis-
tances des centres chargés et dévient d’angles différents.

Le problème de la diffusion des particules chargées par des
centres chargés a été résolu pour la première fois par Rutherford lors
de l'étude de la diffusion des particules alpha par des noyaux des
éléments chimiques. La formule obtenue par Rutherford pour la
longueur de libre parcours moyen À se présente relativement à notre
cas de la diffusion des électrons sur les ions d’impureté sous la forme
suivante :

ie rn (=) ma, (6.22)

& 6.3] MOBILITÉ DES PORTEURS DE CHARGES LIBRES 133

où NV, est la concentration des ions; v la vitesse des électrons; € la
permittivité du cristal; Ze la charge de l'ion diffusant.

Qualitativement, ce résultat est clair: plus grande est la vitesse
des porteurs de charge, plus grande est leur masse effective et plus
fort est l’affaiblissement du champ de l'ion dans le cristal (plus
élevé est &), plus faible est la déviation du porteur par rapport à la
direction de mouvement initiale, plus longue est la distance qu'ils
doivent parcourir pour que la composante de la vitesse de leur mouve-
ment dans cette direction s’annule; lorsque la charge Ze de l'ion
diffusant et la concentration NW; des ions augmentent, la valeur de À
doit naturellement diminuer.

En portant (6.22) dans (6.16) et (6.18), on obtient

‘ur (/(w) = (v} = T$® (gaz non dégénéré), (6.23)
‘ue Àphon/Uphon Vnnon — COnSt (7) (gaz dégénéré). (6.24)

On voit que la mobilité des porteurs de charge dans le domaine des
basses températures, due à la diffusion sur des impuretés ionisées, est
proportionnelle à T*/* pour des conducteurs contenant un gaz électro-
nique non dégénéré et ne dépend pas de T pour des conducteurs dont le
gaz électronique est dégénéré.

Dans le cas où plusieurs mécanismes de diffusion agissent à la
fois, la mobilité des porteurs peut être déterminée en partant des con-
sidérations suivantes. La grandeur w — 1/+t est le nombre moyen de
collisions subies par l’électron par unité de temps. Lorsque plusieurs
mécanismes de diffusion indépendants agissent simultanément, le
nombre total de collisions par unité de temps est égal à la somme des
nombres de collisions dues aux différents mécanismes de diffusion :
électron-phonon w,,5n, électron-impureté wimp, etc.:

— Whhon + Vimp + .... (6.25)

Comme la mobilité est, suivant (6.12), proportionnelle au temps de
libre parcours moyen 7, c’est-à-dire inversement proportionnelle au
nombre w, la relation (6.25) peut être mise sous la forme

1 1
Uphon Uimp

1
EE 9
= PA (6.26)
OÙ Uphon €t Uimp Sont les mobilités dues à la diffusion uniquement
sur les phonons et uniquement sur les impuretés respectivement. De
la relation (6.26) il résulte que le mécanisme de diffusion décisif

pour la détermination de la mobilité est celui qui conduit à la mobi-
lité la plus basse.

Par exemple, si ubhon — 1 m°/(V:s) et ump — 107° m°/(V:s), alors dans
l'expression 4/u — 1/1 + 1/10-° on peut négliger le premier terme et considérer
que u Æ ujmp — 107? m°/(V-s).

134 PHÉNOMENES CINÊTIQUES (CE. 6

La figure 6.7, a montre les courbes théoriques de variation de la
mobilité en fonction de la température dans un semiconducteur à gaz

Gaz non
Zu dépénéré

400

/
300 A ° N,=47.10°m°
Log 24 -3
200 27-100 m

u, 10° m/s)

S 388

(e) | (7/7) sol 2 4 10 1/1,107%K"1
a) b)

Fig. 6.7. Courbes nr PL es (a) et expérimentales (b) de variation de la mobilité
en fonction de la température dans un semiconducteur.

électronique non dégénéré et dégénéré et la figure 6.7, b les courbes
expérimentales correspondantes pour le silicium contenant des quan-
tités différentes N, d'impureté dopante. Comme on le voit sur la
figure 6.7, l'expérience confirme,
pour l'essentiel, les conclusions
de la théorie développée plus
haut.

Examinons maintenant la
variation de la mobilité des
porteurs dans un semiconducteur
en fonction du degré de son
dopage à une température fixée,
par exemple ordinaire. Dans le
Se a Cole oui D CE d’un faible niveau de dopage
ation de la mobilité des électrons la mobilité doit ei déterminer
u, et des trous u» en fonction de la Par la diffusion sur les vibra-
concentration de l'impureté dopante tions du réseau et donc doit être

dans le germanium. indépendante du dopage. Dans

les semiconducteurs fortement

dopés, elle doit se déterminer par la diffusion sur l’impureté de

dopage ionisée et donc diminuer lorsque la concentration de

l'impureté augmente. La figure 6.8 montre les courbes expéri-

mentales de variation de la mobilité des porteurs dans le germa-
nium en fonction de la concentration de l’impureté de dopage.

10° 10° 10° 10% 10°nm>

$ G.4] CONDUCTIBILITÉ ÉLECTRIQUE DES SEMICONDUCTEURS

135

$ 6.4. Conductibilité électrique des semiconducteurs

Dans le cas général la conductivité électrique d’un semiconducteur
se détermine aussi bien par les électrons (7) que par les trous (p):
(6.27)
Toutefois dans le domaine des températures inférieures à la tempé-
rature de passage à la conductibilité intrinsèque T; (v. fig. 5.8, c)
da concentration des porteurs de charge d’un signe (porteurs majori-
taires) est beaucoup plus forte que celle des porteurs de l’autre signe
{porteurs minoritaires) si bien
qu'il est logique de ne garder
dans l'expression (6.27) que le
terme correspondant aux porteurs
de courant majoritaires.

Sauf le domaine de la tem-
pérature de déplétion de l’impu-
reté, la concentration des porteurs
de charge libres varie brusque-
ment — exponentiellement — en
fonction de la température. Par
rapport à cette variation expo-
nentielle la variation de la mo-
bilité avec la température suivant

O — On + Op — ElUn + EPUp.

in6

Via i/T1 Visa Wii

Fig. 6.9. Courbes de variation de la

une loi de puissance paraît assez
faible et ne modifie pas dans
l'ensemble la forme de Ia dépen-

conductivité électrique avec la tem-

pérature des semiconducteurs de degré

différent de dopage N (schématique-
ment).

dance de in © par rapport à 1/7

en comparaison de la dépendance de In x par rapport à 1/7. Les
coefficients angulaires des dépendances correspondantes restent eux
aussi pratiquement inchangés. Le mécanisme de diffusion prédomi-
nant aussi bien dans le domaine de la conductibilité intrinsèque
que dans le domaine de très basses températures (inférieures à T.,)
est la diffusion sur les phonons. Aux basses températures cela s’expli-
que par une brusque diminution de la concentration de l’impureté
ionisée.

Dans le domaine de déplétion de l’impureté (de T, à T;) la con-
ductivité électrique diminue lorsque la température s'élève dans le
<as des semiconducteurs faiblement dopés parce que le mécanisme
de diffusion principal est la diffusion sur les phonons (courbe 7
de la figure 6.9). Pour un semiconducteur plus fortement dopé c’est
la diffusion sur les impuretés qui peut prédominer au début mais,
lorsque la temperature augmente, c’est la diffusion sur les vibrations
du réseau qui devient prépondérante (courbe 2 de la figure 6.9).

Pour un semiconducteur fortement dopé, dont le gaz électronique
est dégénéré presque jusqu’à la température de passage à la conducti-

136 PHÊENOMENES CINÉTIQUES (CH. 6

bilité intrinsèque 7';, la mobilité ne dépend pas de la température.
C'est seulement au voisinage de T'; où la dégénérescence du gaz élec-
tronique est levée et le rôle principal dans la diffusion est joué par
les phonons, que la mobilité des électrons commence à diminuer lors-
que la température augmente et l’exposant figurant dans sa dépendan-
ce par rapport à la température varie progressivement de zéro à
—3/2. Dans un tel semiconducteur la concentration des porteurs de
courant majoritaires est indépendante de la température jusqu’à T';
et toute la variation de © est due à la variation de la mobilité. Ce
cas est illustré par la courbe 3 de la figure 6.9.

$ 6.5. Conductibilité électrique des métaux

Comme la concentration #7 du gaz électronique dans les métaux
est indépendante de la température, la variation de la conductivité
électrique © avec la température se détermine complètement par la
variation, en fonction de la température, de la mobilité uw des élec-
trons constituant le gaz électronique dégénéré. Dans un métal suffi-
samment pur, la concentration d’impuretés est peu élevée et la
mobilité de porteurs se détermine, jusqu’à des températures assez
basses, par la diffusion des électrons sur les vibrations du réseau
cristallin.

Dans le domaine des hautes températures, la mobilité des élec-
trons est, suivant (6.21), inversement proportionnelle à 7. En por-
tant (6.21) dans (6.14), on obtient

o — 1/T. (6.28)

La résistivité est
p — 1/6 = T. (6.29)
A des températures inférieures à la température de Debye cette dé-
pendance cesse d’être valable. :

Dans le domaine des basses températures la concentration du gaz
phononique est, suivant le $ 3.5, proportionnelle à 7°. Aussi le libre
parcours moyen des électrons dû à leur diffusion sur les phonons
doit-il être inversement proportionnel à 7*:

À = TS.

Toutefois cette relation ne tient pas compte d’une circonstance im-
portante suivante. Aux basses températures, l’impulsion moyenne
des phonons est si petite devant l’impulsion des électrons de Fermi
dans le métal que pour annuler le mouvement d’un électron dans unè
direction donnée il faut v actes de sa diffusion sur les phonons et
non pas un seul. Les calculs montrent que v = T-*. Aussi le libre
parcours moyen effectif À,;; de l'électron sur lequel son mouvement
devient désordonné a-t-il pour valeur

heij = vi = Tri. (6.30} \

G 6.5] CONDUCTIBILITÉ ÉLECTRIQUE DES METAUX 137

En portant (6.30) dans (6.19), on obtient
co T5, p = TS. (6.31)

Notons que lors de la diffusion des électrons sur les phonons dans
les semiconducteurs seuls les phonons de faibles impulsions partici-
pent à cette diffusion parce que les impulsions des électrons eux-
mêmes sont relativement petites. Or, la concentration de tels phonons-

40
D
à
$50
Q
NN
< 20
10
0
2 4 6 8 10 /2 14 16 18 Jk
a) 6)

Fig. 6.10. Variation de la résistivité d’un métal pur avec la température :
a — courbe théorique ; b — variation de la résistance relative R/R,90K pour le sodium.

est également proportionnelle à la température même à des tempé-
ratures très inférieures à la température de Debye.

A des températures proches de 0 K, la concentration de phonons.
devient si faible que c’est la diffusion sur des atomes d’impureté
contenus toujours en petite quantité même dans les métaux les plus.
purs, qui commence à jouer le rôle principal. En vertu de (6.24)
la mobilité des électrons est dans ce cas indépendante de la tempé-
rature et la résistivité p prend une valeur constante que l’on appelle:
résistivilé rémanente P,em:

La figure 6.10, a montre la courbe schématique de variation
de la résistivité des métaux purs en fonction de la température qui
est confirmée assez bien par l'expérience (fig. 6.10, b).

Comme p — 1/u, à une température différente de O0 K, à la ré-
sistivité rémanente P,em — Pn est ajoutée, suivant (6.26), la
résistivité Ppron due à la diffusion sur les vibrations thermiques du
réseau. La résistivité totale du conducteur est dans ce cas égale à

P = Pn + Pphon- (6.32)

Cette relation exprime la règle de Matthiessen bien connue concernant.
l’additivité de la résistance.

138 PHENOMENES CINÊTIQUES (CH. 6

$ 6.6. Phénomène de supraconductivité

En 1911, en étudiant la variation de 1la résistivité du mercure en
fonction de la température dans le domaine des basses températures,
le physicien hollandais Kamerlingh-Onnes a découvert un phéno-
mène étonnant: à une température de 4,2 K la résistance électrique
du mercure disparaissait soudainement (fig. 6.11). Le mercure a
cessé de présenter une résistance au passage d’un courant électrique.
Ce phénomène a reçu le nom de supraconduction ou de supraconducti-
vité. À l'heure actuelle il est établi que le phénomène de supracon-
ductivité peut être observé dans des centaines de substances — les
métaux purs, les alliages métalliques et les composés intermétalli-
ques et même certains semiconducteurs dégénérés. La température
de passage à l’état supraconduc-
teur est appelée température
critique de transition. Pour tous
les métaux purs et les alliages
ainsi que pour les semiconduc-
teurs purs et les composés semi-
conducteurs qui ont été étudiés,
cette température ne dépassait
pas quelques degrés Kelvin et
Fig. 6.11. Variation par saut de la pour certains de ces matériaux
résistivité : des conducteurs lors du quelques dixièmes et même cen-

passage à l'état supraconducteur. tièmes de degré. De nombreuses
tentatives faites en vue d'obtenir
des composés ayant une température critique élevée n’ont donné
pendant longtemps aucun résultat encourageant : la température de
transition maximale de 23,2 K a été obtenue pour le composé Nb,Ge.
Une percée dans un nouveau domaine — celui de supraconduction à
température élevée — à été effectuée à la fin de 1986 par Bernolz
‘et Muller qui ont réussi à augmenter la température critique presque
de 2 fois (jusqu'à 30 à 35 K) en utilisant des céramiques spéciales.
Après cela, le nombre des ouvrages consacrés à la supraconduction
à température élevée croissait en avalanche et, d’après certaines don-
nées, on a atteint une température critique supérieure à 250 K.
Toutefois les tentatives de donner une interprétation sensée des ré-
Sultats expérimentaux bien nombreux et souvent contradictoires
n'ont pas encore abouti à la mise sur pied d’une théorie satisfaisante
de ce phénomène exceptionnel. Aussi, dans ce qui suit allons-nous
baser notre exposé sur des idées qui existaient avant 1986.

Soulignons une circonstance importante suivante. Comme il
a été indiqué au $ 6.5, si l’on réussissait à libérer les métaux des
impuretés, alors au fur et à mesure qu'on s’approchait de 0 K, leur
résistance devrait tomber progressivement jusqu’à zéro parce qu’un
réseau exempt de défauts, présentant un potentiel rigoureusement

—_.

< 6.6] PHENOMENE DE SUPRACONDUCTIVITÉE 139

périodique, n'est pas en mesure de diffuser des porteurs de charge
libres. Toutefois un tel comportement des métaux ne serait pas une
supraconduction parce que premièrement, le passage d'une substance
à l'état supraconducteur n’est pas lié en principe à la présence d’im-
puretés dans cette substance et deuxièmement, un tel passage se
produit non pas d'une façon continue à mesure que la température
baisse, mais soudainement à l'instant où la température de Ja subs-
tance devient égale à la température critique de transition T..
En outre, de nombreuses études ont montré que la supraconduc-
tivité ne se réduit seulement à l'annulation de la résistance électri-
que d'un conducteur (conductibilité parfaite). Une propriété non
moins fondamentale de la subs-
tance à l'état supraconducteur 5

B
‘est qu'elle montre un parfait
diamagnétisme. Cette propriété
découverte par Meissner et
Ochsenfeld (1933) consiste en ce
‘qu’en passant à l’état supracon-
ducteur, une substance placée |
dans un champ magnétique Conducteur M
(fig. 6.12, a) ne « congèle» pas a)

le champ a Le elle Fig. 6.12. Effet Meissner-Ochsenfeld
Contient, comme cela devrait se (annulation du champ magnétique à

produire lors d’un simple passage l'intérieur d'un conducteur passant à
de la substance à l’état de ré- l'état supraconducteur).
sistance nulle, mais le chasse

dehors (fig. 6.12, b), ce qui est propre aux diamagnétiques parfaits
possédant une perméabilité magnétique nulle. Ce phénomène a
reçu le nom d'effet Meissner-Ochsenfeld.

Ainsi, l'essentiel de la supraconduction consiste en ce que la subs-
tance acquiert deux propriétés fondamentales non liées l'une à l’autre:
une conductibilité parfaite et un diamagnétisme parfait.

Nature de la supraconductivité. Malgré de grands efforts dévelop-
pés par de nombreux chercheurs pour étudier la nature de la supra-
‘conductivité, sa nature physique n’a été comprise qu’en 1957 lorsque
Bardeen, Cooper et Schrieffer ont mis sur pied une théorie microsco-
pique de ce phénomène qui a reçu plus tard le nom de théorie de BCS.
‘Cette théorie est fondée sur l’idée qu'entre les électrons de conduction
d'un métal peuvent s'exercer des forces d'attraction qui prennent
naissance par suite de la polarisation du réseau cristallin par ces
électrons.

Nous sommes accoutumés de considérer que deux électrons,
deux particules portant des charges de même nom, ne peuvent subir
qu'une répulsion coulombienne. Une telle situation, vraie pour des
‘électrons se trouvant-dans l’espace libre, peut changer de façon subs-
tantielle dans un cristal du fait que ce dernier contient d’autres

440 PHÉNOMENES CINÊTIQUES [CH. 6.

électrons et des ions chargés positivement qui compensent en moyenne:
les charges négatives des électrons. Dans de telles conditions, en plus.
des forces de répulsion entre les électrons peuvent être créées des.
forces d'attraction indirectes. En effet, un électron, qui se déplace.
dans le réseau, attire des ions chargés positivement, en les rappro-
chant un peu et en créant ainsi, le long de son parcours, une charge
positive excédentaire du réseau polarisé qui peut attirer d’autres.
électrons. Cela est équivalent à l’apparition d’une force d'attrac-
tion entre les électrons qui n’agit pas directement mais par l'inter-
médiaire du réseau polarisé.

De ce point de vue, il faut s'attendre à ce que la supraconductivite-
se manifeste dans ceux des métaux qui se caractérisent par une forte.
interaction entre le az électronique et le réseau, qui conduit dans.
les conditions habituelles à une conductibilité électrique relative-
ment basse. Et en effet, il se trouve que parmi les métaux purs les.
meilleurs supraconducteurs sont des métaux à haute résistivité —
le plomb, le niobium, l’étain, le mercure et autres. En même temps,
dans les métaux à haute conductivité tels que le cuivre et l'argent.
dont le gaz électronique se caractérise par une forte mobilité la
supraconductivilté n’est pas encore découverte.

La prédominance des forces d'attraction entre les électrons dans
le réseau sur les forces de répulsion rend le gaz électronique dans les
métaux instable à la formation, à partir des électrons, de paires:
d'électrons que l’on appelle paires de Cooper du nom de Cooper qui
a montré le premier que la formation de telles paires est avantageuse
du point de vue énergétique.

Les impulsions Àk des électrons constituant une paire sont à
tout instant égales en module et de signes contraires, comme il se
doit pour des particules identiques liées l’une à l’autre et en quelque-
sorte « tournant » l’une près de l’autre. Plus exactement, la fonction
d’onde d’une paire est une superposition des états de k opposés, de.
valeur voisine des valeurs de Fermi 4}. Cette dernière assertion est
due à ce que dans un gaz dégénéré de fermions ne peuvent interagir
l’une avec l’autre que des particules près des niveaux énergétiques
desquelles il existe des états libres. Cela est clair parce que toute
interaction exige un changement d'état, ce qui est impossible si
tous les états voisins sont occupés par d’autres particules.

L’attraction entre les électrons de Fermi a pour effet de réduire.
leur énergie totale. (Cette énergie doit être enlevée au gaz électroni-
que lorsqu'il passe à l’état supraconducteur.) Dans le spectre énergé-
tique des électrons il se forme alors une fente énergétique comme-
l’indiquent les figures 6.13, a et b. L'existence d’une telle fente peut
être confirmée expérimentalement. Une de ces expériences con-
siste à étudier le spectre d'absorption par un supraconducteur des-
ondes électromagnétiques dans le domaine submillimétrique: À des.
températures voisines de 0 K l’absorption de l'énergie dans le supra-

$ 6.6] PHÊNOMENE DE SUPRACONDUCTIVITE 141

conducteur ne se produit pas tant que l’énergie des quanta du rayon-
nement incident ne dépasse la largeur de la fente 2A, après quoi
l'absorption croît rapidement jusqu’à sa valeur dans un métal normal
parce que maintenant les électrons peuvent passer, en absorbant un
phonon, dans des états énergétiques au-dessus de la fente. L'énergie
2A est dépensée pour la rupture de la paire (A pour chaque électron).
Ces électrons deviennent indépendants l’un de l’autre, c'est-à-dire
« nOTMaAUX ».

Les paires peuvent être détruites aussi au détriment de l'énergie
des vibrations thermiques du réseau. C’est pourquoi à T7 =>0K
il y a apparition des électrons dans des états au-dessus de la fente.

£ L: 24

T TT

a) b) C)

Fig. 6.13. Apparition d'un écart (une fente) dans le spectre énergétique d'un
métal (a) lors de son passage à l'état supraconducteur (b) et variation de la
largeur de l’écart énergétique en fonction de la température (c).

Il se produit simultanément un processus inverse de rétablissement
des paires — le passage des électrons dans des états libres au-dessous
de la fente. Ainsi, à chaque température, il s'établit une certaine
concentration d'équilibre d'électrons « normaux ». La situation qui
se présente ici est analogue à la génération thermique d'électrons
et de trous dans un semiconducteur intrinsèque (v. $ 4.7 et 5.4).
Une différence substantielle réside pourtant en ce que, comme le
montre la théorie et l’expérience, la largeur 2A de la fente énergé-
tique dans un supraconducteur dépend du nombre des électrons non
réunis en paires, en diminuant lorsque la concentration de ces der-
niers augmente et donc lorsque la température s'élève. La courbe
de variation de la largeur de la fente énergétique en fonction de la
température est représentée sur la figure 6.13, c.

La présence de la fente dans le spectre énergétique d’un supra-
conducteur explique pourquoi il peut étre parcouru par des courants
non amortis. En effet, revenons à l'examen de la figure 6.5 dont la
flèche indique comment se déroule le processus de relaxation de la
fonction de répartition des électrons dans un métal normal suivant
les vitesses (la figure 6.14, a est une modification de cette figure).

142 PHENOMENES CINETIQUES (CH. 6.

Dans un métal supraconducteur de tels processus sont impossibles.
Le fait est que pour faire varier l’impulsion d’un électron dans un
métal normal aucune énergie peut ne pas être dépensée, l'impulsion
peut changer seulement en direction. Quant au supraconducteur, toute
variation de l’impulsion d’un seul électron provoquera inévitable-
ment sa séparation de l’autre électron de la paire, c’est-à-dire la
destruction de la paire, ce qui exige une énergie égale au moins
à 2A. Aux basses températures, lorsqu'on observe la supraconducti-
vité, le nombre de phonons d'énergie #w;1on > 2A capables de
détruire les paires (qui se rétablissent ensuite) est extrèmement petit.

Voyons maintenant pourquoi une paire ne peut pas être diffusée
comme un tout (sans destruction). Revenons à cet effet à la figu-

2 Z

Fig. 6.14. Explication de la nature des courants non amortis dans un supra-
conducteur.

re 6.14, b. La variation supposée des impulsions des électrons de la
paire y est représentée par des flèches Z et 2. Pour une telle varia-
tion des impulsions l'énergie cinétique totale des particules restera
inchangée mais la paire dans son ensemble se déplace après la diffu-
sion dans le sens opposé. Il est pourtant facile de voir qu'après une
telle diffusion l’électron 2 doit arriver dans un état déjà occupé
(les états occupés sont hachurés sur la figure), ce qui est interdit
par le principe de Pauli. Ainsi, toute la collectivité des autres élec-
trons empêche une telle diffusion de se produire et entretient un
courant permanent.

Enfin, considérons le processus de diffusion d’un électron de la
paire à la suite duquel son énergie cinétique diminue (fig. 6.14, c}
lorsqu'il est transféré de la partie de droite de la répartition dans la
partie de gauche. Si cette diminution de l'énergie cinétique est suffi-
sante pour la rupture de la paire, un tel processus est possible et l’état
supraconducteur disparaît. Evaluons la vitesse de dérive à laquelle
cela peut se produire. Comme la vitesse de l’électron considéré varie
de (Ur + Uyer) à (Ur — Ver), SON énergie cinétique varie de

AEein = M (Ur + Vaer)"/2 — M (Ur — Ver) /2 —
— 2mvplier. (6.33)

& G.6] PHÊÉNOMENE DEF SUPRACONDUCTIVITE 143.

La vitesse de dérive minimale v,.,.., nécessaire à la destruction
de la paire se détermine par la relation

2MUrVuer.er = 24, (6.34)
et la densité de courant critique correspondant à vy.,.., à pour valeur
ler = ENVyer.er — ENN/(MTr). (6.35).

Pour des valeurs typiques de nr — 3-10°*8 m*, vx; — 10% m/s et.
2A = 3 meV, on obtient i,, — 101° A/m*°, ce qui correspond à un
courant de 10% À à travers un conducteur de 1 mm° de section.
L'expérience montre toutefois qu’à travers le supraconducteur d’une
telle section on n'arrive qu’à faire passer des courants de —100 A.
Nous avons commis une erreur non dans l’évaluation de la densité
de courant critique mais lors du passage de la densité de courant au
courant lui-même quand nous avons admis implicitement que la
répartition du courant suivant la section du supraconducteur était
uniforme. Pour une telle répartition du courant le supraconducteur
serait le siège d’un champ magnétique. Or, comme il a été dit plus.
haut, le supraconducteur est un diamagnétique parfait qui chasse le.
champ magnétique de son volume. Dans un tel cas, les courants ne
doivent circuler que sur la surface du supraconducteur. La théorie
prédit que ces courants passent dans une couche épaisse de À = 10
à 100 nm. C’est à cette profondeur que le champ magnétique pénètre
dans un supraconducteur en décroissant avec la distance zx de la sur-
face suivant la loi

B (x) = B (0) exp (—x/À), (6.36).

où B (0) est l’induction du champ près de la surface.

La supraconductivité se détruit lorsque la densité de courant à.
la surface à (0) atteint sa valeur critique. Pour À — 35 nm l'aire de
la section de la couche superficielle d’un conducteur de 1 mm de dia-
mètre, qui est parcourue par un courant, est égale à —10-4 mm:.
Pour une densité de courant critique ë., Æ 101° A/m° un tel conduc-
teur est en mesure de laisser passer un courant de 100 A, ce qui.
correspond à la réalité.

La supraconductivité peut être détruite aussi par un champ magné-
tique, ce qui découle directement de l’existence de i,,. En effet, si.
un supraconducteur est placé dans un champ magnétique B, un cou-
rant non amorti est induit dans la couche superficielle et produit à
l’intérieur du conducteur un champ B;,, qui est dirigé dans le sens:
opposé à B et compense ce dernier. Lorsque B augmente, la densité:
de courant dans le supraconducteur et le champ compensateur B;,:
croissent. Toutefois, pour une certaine valeur de PB, que l'on appelle.
champ critique, le courant induit dans le supraconducteur atteint
sa valeur critique et la supraconductivité se détruit. Lorsque la tem-
pérature du supraconducteur s'élève, B.,, diminue. Suivant la théorie-

144 PHENOMENES CINÊTIQUES (CH. 5

de BCS cette diminution est décrite par la relation
Ber (T) = Be, (0) [1 — (T/T,,)1, (6.37)

Où B., (0) est le champ critique à O0 K. La figure 6.15 montre les
<ourbes expérimentales de B., (T) pour le plomb et l’étain qui con-
firment cette dépendance. Il est visible sur cette figure qu'à des tem-
pératures voisines de la température critique il suffit d'appliquer un
<hamp magnétique faible pour détruire la supraconductivité, ce qui

0 2 4 6 JIK

Fig. 6.15. Variation de l'induction d'un champ magnétique critique avec la
température pour le plomb et l’étain. Les courbes en traits pleins correspondent
à la formule (6.37).

‘est important pour la réalisation des dispositifs électroniques supra-
‘conducteurs.

La valeur de la grandeur À, que l'on appelle profondeur de péné-
tration, dépend de la température et du matériau du supraconducteur.
Dans des couches minces d'épaisseur inférieure à À la valeur du
champ critique B,, détruisant la supraconductivité est d’un ordre
de grandeur plus grande que dans des échantillons massifs. Néan-
moins, l’existence d’un champ critique et de densités de courant
critiques dans les supraconducteurs limite les possibilités de leur
emploi pratique.

Un progrès considérable a été réalisé dans ce domaine quand on
a obtenu des supraconducteurs dits de deutième espèce ou « durs »
représentes par de nombreux alliages et certains supraconducteurs à
un seul constituant. La théorie des supraconducteurs de deuxième
espèce a été développée par les physiciens soviétiques A. Abrikossov
et L. Gorkov en 1957-1959. Les courants supraconducteurs 7 qui
prennent naissance dans de tels matériaux, soumis à l’action d’un
champ magnétique extérieur, circulent non seulement à la surface
mais également dans la masse de conducteur (fig. 6.16).

S 6.6] PHENOMÈNE DE SUPRACONDUCTIVITE 445

Les régions cylindriques (filament de tourbillon) dans lesquelles
circulent ces courants pénètrent tout le supraconducteur. Au centre
de tels filaments les paires de Cooper n'existent pas et il n’y a pas
de supraconductivité. C’est à travers ces filaments que le champ ma-
gnétique extérieur pénètre dans un supraconducteur de deuxième
espèce.

A l'heure actuelle on a obtenu des supraconducteurs de deuxième
espèce dont le champ critique dépasse 20 T (200 000 G) tandis que

©}

Fig. 6.16. Représentation schématique Fig. 6.17. Schéma équivalent d'un
des filaments tourbillonnaires dans de supraconducteur en courant alternatif.
supraconducteurs de deuxième espèce.

dans les supraconducteurs de première espèce ce champ n'excède
pas 0,1 T (1000 G).

Il est intéressant d'examiner le comportement des supraconduc-
teurs dans un champ à haute fréquence. Comme chaque supraconduc-
teur contient pratiquement toujours des électrons supraconducteurs
(n,) et des électrons normaux (n,), le champ électrique variable
accélère non seulement des paires de Cooper mais également des
électrons normaux de sorte que le courant comporte une composante
supraconductrice et une composante normale. Vu que les électrons,
qu'ils soient supraconducteurs ou normaux, possèdent une masse,
à cause de leur inertie le courant est déphasé en arrière sur l’intensité
du champ à haute fréquence. Les paires de Cooper ne sont pas diffu-
sées, c’est-à-dire que tout se passe comme si elles se déplaçaient dans
un milieu sans frottement. Suivant la théorie classique, la vitesse
des particules est dans ce cas en retard de x/2 sur la force périodique
appliquée aux particules. C’est pourquoi la composante supraconduc-
trice du courant de haute fréquence est déphasée en arrière de x/2
sur l’intensité du champ. Cela signifie que les paires de Cooper pre-
sentent une réactance pure. Quant aux électrons normaux, ils se
diffusent en se déplaçant dans un milieu comme s'ils se déplaçaient
dans un milieu avec frottement. Ils créent donc aussi bien une réac-
tance qu'une résistance du supraconducteur. Cela permet de repré-
senter un supraconducteur par un schéma équivalent de la figure 6.17.

10-726

146 PHENOMÈNES CINÊTIQUES (CH. à

La branche de gauche est constituée par l’inductance ZL, des électrons

supraconducteurs, la résistance de cette branche étant- nulle. La

branche de droite contient l’inductance L, due à l’inertie des élec-

trons normaux et la résistance R, qui se crée par suite de la diffusion
de ces électrons sur les défauts
du réseau cristallin.

V 11 convient de noter qu'à des
fréquences væ 2A/h la résistance
d’un supraconducteur est très

A grande par rapport à la réactance.

En outre, elle augmente lorsque
la température baisse parce que
la concentration des électrons
non réunis en paires diminue.
Effets Josephson. Comme il a
été dit plus haut, la fonction
d’onde d’une paire de Cooper est
une superposition des états dont
les vecteurs d'onde k sont opposés
et ont une valeur voisine de celle
de k-. Toutes les fonctions : d'on-
de des paires coincident. com-
plètement. Une telle coïncidence

d est interdite pour les fermions
par le principe de Pauli même
pour deux particules mais les

électrons qui se réunissent en une
paire de Cooper ont non seulement.
c) des impulsions opposées mais
également des spins opposés; ils
Fig. 6.18. Explication des effets forment une nouvelle quasi-par-
Josephson. ticule de spin total égal à zéro,
c’est-à-dire un boson. Il est vrai
que dans un gaz de bosons ordinaire il existe une répartition
statistique des particules suivant les énergies. Pour ce qui est des
paires de Cooper, elles se trouvent toutes dans un même état quan-
tique et sont décrites par une seule fonction d'onde dans laquelle
seule son amplitude dépend du nombre de particules. Une analyse
théorique de cette circonstance a permis au physicien anglais D. Jo-
sephson de prédire en 1962 deux phénomènes intéressants qui ont
reçu le nom d'effets Josephson. Actuellement, ces effets sont non seule-
ment confirmés expérimentalement mais trouvent des applications
pratiques notamment en microélectronique.
Etudions sommairement l'essentiel des effets Josephson. Bran-
chons sur le supraconducteur une source de tension, un ampèremè-
tre À et un voltmètre V (fig. 6.18, a). Lorsque le circuit est fermé,

& 6.6] PHENOMENE DE SUPRACONDUCTIVITÉE 147

le supraconducteur est parcouru par un courant Î enregistré par
l'ampèremètre. Comme la résistance du supraconducteur est nulle,
la tension entre ses extrémités est elle aussi nulle. Divisons mainte-
nant le supraconducteur en deux parties et plaçons entre elles un
joint diélectrique d'épaisseur d & 1 nm, c'est-à-dire pratiquons
dans le supraconducteur une fente transversale étroite. Comme l’a
prédit Josephson, en mettant un tel supraconducteur en circuit, on
peut observer un des deux effets suivants:

1. Le supraconducteur est parcouru toujours par un courant
continu et la différence de potentiel entre ses extrémités est nulle.
Autrement dit, le courant peut passer sans rencontrer aucune ré-
sistance non seulement à travers le supraconducteur mais aussi à
travers sa fente si celle-ci est suffisamment étroite (fig. 6.18, b).
Ce phénomène est connu sous le nom d'effet Josephson continu.

2. Une différence de potentiel continue Ÿ peut apparaître entre
les extrémités du supraconducteur à fente. Dans ce cas, la fente
rayonne une énergie électromagnétique à haute fréquence (fig. 6.18, c).
Autrement dit, le circuit est parcouru dans ce cas non seulement
par un courant continu mais aussi par un courant alternatif à haute
fréquence. Ce phénomène est appelée effet Josephson alternatif.

Les effets Josephson sont dus au passage des paires d'électrons,
par effet tunnel, d’un morceau de supraconducteur dans un autre à
travers une fente étroite qui sépare ces morceaux. La théorie montre
que le sens et l'intensité du courant par effet tunnel sont déterminés
par la relation suivante:

I = 1, sin y, (6.38)

où œ est le déphasage entre les fonctions d'onde décrivant les paires
de Cooper de part et d’autre de la barrière ; 7, l'intensité maximale
du courant à travers la barrière dont la valeur est proportionnelle
à la surface de la jonction tunnel et à la transparence de la barrière.
Sa valeur peut être modifiée aussi par un champ magnétique dirigé
le long du plan de la jonction Josephson perpendiculairement au
flux de paires passant par effet tunnel d’un morceau du supraconduc-
teur dans l’autre. Lorsque l'intensité # du champ magnétique aug-
mente, le courant continu dû à l’effet Josephson subit des variations
périodiques. L

La relation (6.38) peut être expliquée à l’aide d’un modèle de deux pendu-
les couplés par un faible ressort. Ce couplage a pour effet que lorsque les oscilla-
tions d'un des pendules sont en avance sur celles de l’autre, l'énergie est trans-
férée du premier pendule au second. Le flux d’énergie atteint dans ce cas son
maximum pour un déphasage de x/2. Si c’est le second pendule qui oscille en
avance sur le premier, l'énergie est transférée du second pendule au premier.

Dans les contacts de Josephson les paires de Cooper passent d’un
conducteur à l’autre. L’intensité et le sens du courant sont alors dé-

10*

448 PHENOMENES CINETIQUES (CH. 6

terminés par les mêmes relations de phase que pour des systèmes
oscillants mécaniques faiblement couplés.

Lorsqu'on fait passer à travers la jonction de Josephson un cou-
rant { depuis une source extérieure, le déphasage ® varie automati-
quement de façon à satisfaire à la condition (6.38). Dans ces con-
ditions, l'intensité de courant Z ne doit pas dépasser J,. Le passage
des courants de forte intensité peut donner naissance dans la jonc-
tion à une différence de potentiel V provoquant le passage par effet
tunnel à travers la jonction des électrons non réunis en paires.

Lorsqu'il existe entre deux supraconducteurs une différence de
potentiel, l'énergie des paires de Cooper de part et d'autre de la
barrière diffère de 2 eV (où 2e est la charge de la paire). Puisque
l'énergie d’une particule est liée à la fréquence des ondes de de Bro-
glie par la relation £ = hw, il existe de part et d'autre de la jonction
une différence de fréquence de de Broglie Av — 2eV/h et le dé-
phasage œ des fonctions d'onde augmente de façon continue:

p = 2xA vt — nt (2eV/h). (6.39)
En portant cette valeur de o dans (6.38), on obtient l’expression

suivante pour la composante supraconductrice du courant traversant
la jonction:

1=Isin (© Ji (6.40)

Maintenant c’est un courant alternatif et la fréquence de ses oscilla-

tions est égale à 2eV/h. Pour V — 1 mV elle est de 485 GHz, ce qui
correspond à une longueur d'onde À = 0,6 mm.

$ 6.7. Effets galvanomagnétiques

Effet Hall. On appelle effet Hall un événement qui consiste en
ce que le passage d’un courant électrique le long d’un ruban con-
ducteur placé perpendiculairement à l’induction d'un champ magné-
tique extérieur fait naître dans ce ruban une différence de potentiel
transversale par suite de l’interaction des porteurs de charge avec le
champ magnétique.

Supposons qu'un conducteur ayant la forme d'une plaque rec-
tangulaire est parcouru par un courant électrique 7 (fig. 6.19). En
l'absence de champ magnétique, la différence de potentiel entre les
points C et D situés sur l’une des surfaces équipotentielles est nulle.
Si l'échantillon est placé dans un champ magnétique dont l’induc-
tion B est perpendiculaire à la direction du courant et au plan de
l'échantillon, une différence de potentiel V dite f.é.m. de Hall
apparaît entre les points C et D.

Comme le montre l'expérience, dans le cas des champs pas trop
intenses, la tension V ;; est proportionnelle à l'induction B du champ

$S G.7] EFFETS GALVANOMAGNETIQUES 149

et à l'intensité de courant Z et inversement proportionnelle à l'épais-
seur b de la plaque:

V y = RyBT/b = R xBia. (6.41)
Ici, à est la densité de courant dans l'échantillon; a la largeur de

l'échantillon. Le coefficient de proportionnalité R,, est une cons-
tante caractérisant le matériau que l’on appelle constante de Hall,

Fig. 6.19. Explication de l'effet Hall dans les semiconducteurs de type n (a)
et de type p (b)

Elle a les dimensions L*/Q (L étant la longueur et Q la charge élec-
trique) et s'exprime en mètres cubes par coulomb.

Examinons la nature physique de l'effet Hall. Lorsque le con-
ducteur est parcouru par un courant dans le sens indiqué sur la
figure 6.19, a par une flèche, les électrons dérivent dans le sens opposé
à la vitesse v. Chacun de ces électrons est soumis à la force de Lorentz
exercée par le champ magnétique B

F, = —e [vB], (6.42)

où e est la charge de l’électron. Le sens d'action de cette force se dé-
termine par la règle du tire-bouchon. L’angle fait entre v et B étant

450 PHÉNOMÈNES CINÉTIQUES (CH. 6

égal à 90°, le module de la force de Lorentz a pour valeur
Fr — evB. (6.43)

Sous l’action de la force de Lorentz les électrons dévient vers la
frontière extérieure de la plaque, en la chargeant négativement (ligne
en traits interrompus de la figure 6.19, a). Des charges positives non
compensées s'accumulent sur la face opposée. Il en résulte l’appa-
rition d'un champ électrique € x — V 4/a dirigé de C vers D. Ici,
V ;; est la différence de potentiel entre les points C et D (f.é.m. de
Hall).

Le champ 6 exerce sur les électrons une force F — —eé}
dirigée contre la force de Lorentz. Pour F = F',; le champ électrique
transversal équilibre la force de Lorentz et une accumulation ulté-
rieure des charges électriques sur la face latérale de la plaque cesse.
A partir de la condition d'équilibre

euB = —Ë x (6.44)
on tire
Ê H = vB. (6.45)

En tenant compte que la densité de courant dans le conducteur
i — env, où nr est la concentration des électrons, on obtient v —
— i/(en). En portant cette expression dans (6.45), on trouve

V y; = [1/(en)] Bia. (6.46)

Ainsi, la théorie conduit à une expression pour V ;; qui coïncide
avec l'expression (6.4) établie expérimentalement. La constante de
Hall a dans ce cas pour valeur

R y = 1/(en). (6.47)

Lors de l'établissement de la formule (6.45) nous n’avons tenu
compte que de la vitesse de mouvement orienté (vitesse de dérive)
des électrons. Cela est naturel parce que l'agitation thermique
désordonnée des porteurs de charge ne peut pas conduire à leur dé-
placement orienté dans le champ magnétique. En outre, nous avons
admis implicitement que tous les porteurs possèdent une même vitesse
de dérive. Une telle hypothèse simplificatrice peut être justifiée
pour les métaux et les semiconducteurs dégénérés dans lesquels le
courant est transporté par les électrons qui possèdent pratiquement
une même énergie (énergie de Fermi), mais elle est inapplicable aux
semiconducteurs non dégénérés dans lesquels les porteurs de charges
ont des énergies différentes et peuvent avoir des vitesses de dérive
différentes, étant donné que leur mobilité dépend de la vitesse
d'agitation thermique (plus exactement du temps de libre parcours
moyen). Par exemple, lors de la diffusion par des impuretés char-
gées, la’ vitesse de dérive des porteurs de haute énergie (porteurs

$ 6.7] EFFETS GALVANOMAGNETIQUES 451

possédant des vitesses élevées d’agitation thermique) est plus grande
que celle des porteurs de basse énergie; par contre, lors de la diffu-
sion par des vibrations thermiques du réseau, la vitesse de dérive
des électrons de haute énergie est inférieure à celle des électrons de
basse énergie. Une théorie plus rigoureuse, qui tient compte de cette
circonstance, donne pour la constante de Hall l'expression suivante :

R x = A/(en), (6.48)

où À est une constante égale pour les réseaux atomiques à 1,17 si
les porteurs sont diffusés sur les vibrations thermiques et à 1,95
s'ils sont diffusés sur les impuretés ionisées.

Pour les semiconducteurs du type p le sens de dérive des porteurs
de charge coïncide avec le sens du courant. La force de Lorentz est
dirigée dans ce cas lui aussi de C vers D parce que le signe de la
charge et le sens de dérive des porteurs changent en même temps
(fig. 6.19, b). Mais cette force s'exerce maintenant sur des particules
chargées positivement de sorte que le point D se trouve porté à un
potentiel positif par rapport au point C. Cela signifie que par le
signe de la f.é.m. de Hall on peut déterminer le signe des porteurs
de courant. On considère, par convention, que le signe de la' cons-
tante de. Hall est positif si le courant est transporté par les trous
et négatif s’il est transporté par les électrons. Compte tenu de cette
règle, on écrit la constante de Hall sous la forme suivante :

.. R x = A/(ep) (6.49)

pour les semiconducteurs du éype p avec une concentration des trous
£oale à p et sous la forme

Ry = —A{(en) (6.50)

pour les semiconducteurs du éype n avec une concentration des élec-
trons égale à n.

Pour les semiconducteurs à conduction mixte, lorsque les con-
centrations des électrons et des trous sont comparables l’une à l’autre,
la constante de Hall est calculée à l’aide de la relation suivante:

A uSp—uin
e (Pup+nun)*"

Ryx= (6.51)

Cette formule se réduit à (6.49) pour p 5 n# et à (6.50) pour # > p.

Pour les semiconducteurs intrinsèques, dans lesquels n — p = n;,
da formule (6.51) prend la forme

À Up—Un
enj Up+uün

(6.52)

EÆ —

152 PHENOMENES CINÊTIQUES (CH. 6

Vu que généralement la mobilité des électrons est plus grande que
celle des trous, le signe de la constante de Hall est, en règle générale,
négatif.
L'effet Hall est un puissant instrument d'étude expérimentale
des propriétés des porteurs de charges dans les semiconducteurs. En
mesurant la constante de Hall
R y, on peut calculer la con-
centration des porteurs de char-
ges et déterminer leur signe
d’après le sens de la f.é.m. de
Hall.
| En multipliant la constante
| de Hall R ; par la conductivité
électrique o = enu, , on obtient

nn,
lnp

|
? I/T: /Ts /T RO — Au, . (6.53)

a) Connaissant À on peut calculer

à l'aide de cette relation la

es mobilité u, des porteurs de
charges.

Ce sont les mesures de la
variation de la constante de
Hall avec la température qui
présentent une importance par-
ticulière. Elles permettent
d'établir la variation, en fonc-
tion de la température, de la
concentration des porteurs de
Fig. 6.20. Variation dela concentration charges et, en association avec

des porteurs de charge (a) et dela cons Jes mesures de la conductivité

tante de Hall (b ur les semiconduc- | Rae
teurs de type Re 1) et de type p électrique, la variation de la
(courbe 2) en fonction de la tempéra- mobilité en fonction de la tem-

ture. pérature. En utilisant la varia-

tion, en fonction de la tempé-

rature, de la concentration des porteurs ou de la constante de
Hall dans le domaine de la faible ionisation des impuretés, on peut
déterminer l'énergie d'ionisation £;»p et, dans le domaine de
la conduction intrinsèque, aussi la largeur de la bande interdite E,.
La figure 6.20 montre la variation, en fonction de la température, de
la concentration des porteurs de charges (fig. 6.20, a) et de la cons-
tante de Hall (fig. 6.20, b) en coordonnées correspondantes, lorsque
ces dépendances sont représentées par des droites. La courbe 2 de la
figure 6.20, b se rapporte à un semiconducteur du type p. Dans le
domaine de la conductibilité d'impureté la constante de Hall est
dans un tel semiconducteur positive alors que dans le domaine de la
conductibilité intrinsèque elle est négative. Lors du passage à la

inter,

& 6.7] EFFETS GALVANOMAGNÉTIQUES 1453

conductibilité intrinsèque la constante de Hall Rx change de signe
en passant par zéro et le logarithme de | Rx | tend dans ce cas vers.
— C0.

Il a été indiqué au début du paragraphe que la tension de Hall
est proportionnelle à l'induction du champ magnétique, si l'intensité
de ce champ n’est pas trop élevée. Les calculs montrent que le critère

Fig. 6.21. Variation de la trajectoire des porteurs de charge dans des champs
magnétiques de différente induction (B, > B,> B: > Bi).

de « faiblesse » du champ et donc d’'applicabilité des expressions
obtenues plus haut à la f.é.m. de Hall et à la constante de Hall est
la condition suivante:

Bu € 2x, (6.54)

où B est l'induction du champ ; u la mobilité des porteurs de charges.
Les évaluations correspondantes montrent que pour le germanium
et le silicium dans lesquels les mobilités sont égales à 0,38 et.
0,16 m?/(V:s) respectivement, les champs sont faibles, si leur induc-
tion B << 16Tet B < 40T, tandis que pour InSb deu, — 8 m°/(V:-s)
on peut considérer comme faibles des champs de B << 0,8 T. La cause
qui fait varier la constante de Hall lorsque B augmente consiste
en ce que dans les champs magnétiques très intenses les porteurs de:
charges non seulement s’écartent, pendant le temps de libre parcours
moyen, de la direction de mouvement initiale mais encore, comme
l'indique la figure 6.19, s’enroulent autour des lignes du champ ma-
gnétique (sur la figure 6.21 cela se produit pour un champ B;).

La proportionnalité qui existe entre la f.é.m. de Hall et l’in-
duction de champ magnétique (dans des champs peu intenses) per-
met d'utiliser des échantillons semiconducteurs comme capteurs:
pour la mesure de l'intensité de champs magnétiques. Les dimensions
de tels capteurs peuvent être suffisamment petites (par exemple.
0,5 X 0,5 mm), ce qui permet d'effectuer à leur aide des mesures.
avec une bonne résolution en espace.

L'’inertie de l'effet Hall se détermine par le temps de relaxation
de Maxwell, c'est-à-dire qu’elle est extrêmement faible. Cela permet
d'utiliser les capteurs de Hall pour la mesure des champs magné-

154 PHÉNOMENES CINÊTIQUES (CH. 6

tiques à haute fréquence, pour la détermination de l'intensité de
courant par le champ magnétique engendré, etc.

Comme le montre la relation (6.41), la f.6é.m. de Hall est propor-
tionnelle au produit de l'intensité du courant parcourant le capteur
par l'induction de champ magnétique. Cela permet d'utiliser l'effet
Hall pour la multiplication de deux signaux, ce qui doit se faire par
exemple dans les mesureurs de
puissance, dans les détecteurs
de phase, dans les calculateurs.

Ces dernières années, le nom-
bre d'applications des capteurs de
Hall a connu une brusque crois-
sance, en s'étendant à la radio-
technique et à l'électronique.

Effet Ettingshausen. L'effet
Ettingshausen accompagne l'effet
Hall et consiste en ce que le
passage d’un courant 7 dans un
conducteur placé dans un champ
magnétique transversal B (fig.
6.22) dans une direction perpen-
Fig. 6.22. Schéma illustrant l'appari- diculaire au champ magnétique
tion de l'effet Ettingshausen dans un et au courant, fait apparaître

semiconducteur intrinsèque. un gradient de température. Cet
effet est le plus marqué dans

Jes semiconducteurs intrinsèques. Comme ïil a été indiqué plus
haut, dans de tels semiconducteurs les électrons et les trous
sont déviés par le champ magnétique dans un même sens (vers la
face C de la figure 6.22). Il en résulte que sur l’une des faces de l’é-
chantillon la concentration des électrons et des trous devient supé-
rieure à celle d'équilibre et la recombinaison y l'emporte sur la
génération thermique de porteurs de charges tandis que sur l’autre
face (face D de la figure 6.22) la concentration des porteurs de charge
est au contraire inférieure à celle d'équilibre et la génération ther-
mique l’emporte sur la recombinaison. Ceci étant, la chaleur est
dépensée pour la génération de paires électron-trou dans une partie
de l'échantillon et se dégage, par suite de la recombinaison de ces
paires, dans l’autre partie de l'échantillon — une différence de
température T; — T, prend naissance dans l'échantillon (fig. 6.22).

L'effet Ettingshausen s’observe aussi dans le domaine de la
conductibilité d'impureté des semiconducteurs. Dans ce cas, la
cause de son apparition est la différence entre les vitesses de dérive
des porteurs de charges possédant des vitesses différentes d’agitation
thermique et, de ce fait, des temps différents de libre parcours moyen
des porteurs « froids » et « chauds ». Suivant la formule (6.44), le
champ de Hall &;; ne compense l’action de la force de Lorentz que

$ 6.8] EFFETS THERMOMAGN£ÉTIQUES 455

pour des porteurs de charges animés d’une vitesse de dérive moyenne.
Les porteurs dérivant à une plus grande vitesse dévient vers la force
de Lorentz alors que ceux qui dérivent à une plus faible vitesse
dévient dans le sens opposé. C’est le mécanisme prédominant de la
diffusion des porteurs qui détermine ceux parmi eux qui sont les
plus « chauds ». Par exemple, si c’est la diffusion sur les vibrations
thermiques du réseau qui est prédominante, les électrons « chauds »
ont une mobilité inférieure à celle des électrons « froids » et, de ce
fait, dévient vers la face D (fig. 6.19, a) de la plaque et cette face
s'échauffe; la face C vers laquelle dévient les électrons « froids »
se refroidit.

L'effet Ettingshausen peut être utilisé dans les installations de
climatisation, de refroidissement, de thermostatisation et autres où
on a à pomper de la chaleur.

Les ‘effets galvanomagnéetiques ne se limitent pas à ceux examinés
plus haut. Toutefois ce sont les effets Hall et Ettingshausen qui ont
reçu le ‘plus d'applications pratiques. Les renseignements sur les
autres effets peuvent être trouvés dans tout manuel de physique des
semiconducteurs.

$ 6.8. Effets thermomagnétiques

Les effets thermomagnétiques interviennent lorsqu'un conducteur
présentant un gradient de température est soumis à l’action d’un
champ magnétique.

Soit par exemple un échantil-
lon (fig. 6:23) présentant un gra-
dient de température suivant sa
longueur de la face supérieure B
vers la face inférieure À (T3 <<
< Th). Ceci étant, des flux
résultants de porteurs de charges
libres se dirigent de la face À
vers la face B. Ils sont dus à ce
qu'à l'extrémité chaude de l’é-
chantillon les vitesses moyennes Fig. 6.23. Fer Pre l'appari-
d’agitation thermique désordon- tion de l'efiet Righi-Leduc.
née sont plus grandes qu'à l’ex- |
trémité froide (thermodiffusion) ainsi qu'à ce que la concentra-
tion des porteurs à l'extrémité chaude peut se trouver plus forte
qu’à l'extrémité froide (diffusion). Le passage des porteurs de courant
libres vers l'extrémité froide a pour effet de provoquer l'apparition
d'une différence de potentiel entre les extrémités froide et chaude de

échantillon que l’on appelle force électromotrice thermo-électrique
{pour plus de détail, voir $ 10.6). Cette différence de potentiel fait
naître un flux opposé aux flux de thermodiffusion et de diffusion,
À savoir le flux de dérive des porteurs. Par exemple, si l'échantillon

456 PHÉNOMENES CINÊTIQUES (CH. 6-

est fait en semiconducteur de type n, la thermodiffusion et la diffu-
sion des électrons ont pour résultat l’apparition d’une charge néga-
tive sur la face supérieure et d'une charge positive sur la face infé-
rieure de l'échantillon (fig. 6.23). Un flux d'électrons dérive alors.
de la face supérieure vers la face inférieure. La f.é.m. thermo-élec-
trique croît tant que le flux de dérive ne s’égalise avec le flux ther-
mique opposé. Toutefois, ces deux flux sont transportés par des élec-
trons dont les vitesses moyennes de l’agitation thermique sont diffé-
rentes. La vitesse moyenne du mouvement désordonné des porteurs.
est plus élevée dans le flux thermique que dans le flux de dérive.
Dans un champ magnétique transversal, ces flux dévient vers les
faces opposées C et D. Il en résulte que la face C vers laquelle dévie
le flux thermique sera plus chaude que la face D et il y aura appari-
tion d’un gradient de température transversal proportionnel au
gradient longitudinal. Ce phénomène est connu sous le nom d'effet
Righi-Leduc.

Les vitesses moyennes de l'agitation thermique désordonnée
des porteurs dans les flux longitudinaux opposés étant différentes,
la déviation des porteurs par le champ magnétique est un peu diffé-
rente de sorte que dans le sens transversal il se crée aussi une certaine
différence de potentiel (effet Nernst-Ettingshausen transversal).

La courbure des trajectoires des électrons dans le champ magne-
tique conduit à ce que la f.é.m. thermo-électrique entre les faces À
et B subit une certaine variation (effet Nernst-Ettingshausen longi-
tudinal). Le coefficient de conductibilité thermique suivant la lon-
gueur de l'échantillon varie lui aussi (effet Magee-Reghi-Leduc)..

CHAPITRE 7

PROPRIÉTÉS MAGNÉTIQUES DES SOLIDES

Les éléments et dispositifs fondés sur l'utilisation des phénomènes magnétiques
qui s'observent dans les solides sont d’application courante en électronique des
solides. : Ce sont les amplificateurs para tiques. les circuits magnétiques
à ferrites en technique des hyperfréquences, les mémoirs magnétiques à ferrites,
les films magnétiques minces et les mémoires à base de ces films, les cryotrons
magnétiques, les intégrateurs magnétiques, les dispositifs fondés sur la commande
de déplacement des domaines magnétiques, les aimants permanents pour les
systèmes de agnétisation et beaucoup d’autres.
Le présent pitre contient des renseignements principaux sur les propriétés
tiques des solides et sur leur nature physique nécessaires pour comprendre
les principes physiques de fonctionnement de tels dispositifs. |

$ 7.1. Classification des solides suivant leurs
propriétés magnétiques

Caractéristiques magnétiques des milieux. Plaçons un corps isotrope
de volume V dans un champ magnétique uniforme d'intensité H
et d'induction B = A (x étant une constante appelée perméabilité
magnétique du vide). Sous l'effet du champ le corps se magnétise
en acquérant un moment magnétique M. Le quotient de ce moment
par le volume du corps est appelé aimantation J, du corps:

Ju = MIV. (7.1)

L'aimantation est une grandeur vectorielle. Dans les corps magné-
tiques isotropes, le vecteur aimantation J,, est parallèle ou anti-
parallèle à H. Dans le système SI, le moment magnétique s'exprime
en ampères par mètre carré et l’aimantation en ampères par mètre.
Le rapport de J,, à l'intensité de champ Æ porte le nom de suscepti-

bilité magnétique :
x — JhiH. (7.2)

Un corps aimanté, placé dans un champ extérieur, produit un
Champ propre Bi; = UoÏm = UoxH —=%x B, qui est, dans les corps
magnétiques isotropes, parallèle ou antiparallèle au champ exté-
rieur B,. Le champ résultant dans les magnétiques a pour expression

B = B; +B;=(41+x)B = Uo(H+Jm). (13)

La grandeur
u = 1 +x%x (7.4)

158 PROPRIÊTES MAGNETIQUES DES SOLIDES [UH. 7

est appelée perméabilité magnétique relative. En portant (7.4) dans
(7.3), on obtient
B = uB, = wuX. (7.5}

Dans le système SI, la grandeur Æ s'exprime en ampères par mètre
et l'induction en teslas.

Suivant la valeur et le signe de la susceptibilité magnétique, tous
les corps peuvent être rangés en trois groupes : diamagnétiques, para-
magnétiques et ferronagnétiques. Le tableau 7.1 indique les valeurs

Tableau 7.I
Diamagnétiques x-10° Paramagnétiques %x:410° Ferromagnétiques x
Bismuth — 18 CaO 980 Fer 1000
Cuivre —0,9 FeCl, 360 Nickel 240
Germanium —0,8 NiSO, 120 Cobalt 150

Silicium —0,3 Platine 26

de la susceptibilité magnétique de divers matériaux dans un champ
extérieur de faible intensité à la température ordinaire.
Propriétés magnétiques des corps diamagnétiques et paramagné-
tiques. La susceptibilité magnétique des corps diamagnétiques
x | & 1, elle est négative et ne dépend ni de l'intensité du champ

2
In
o H
a) l b)
Fig. 7.1. Variation de l’aimantation J,, en fonction de l'intensité H du champ
magnétique : |

a — pour les diamagnétiques (1) et les paramagnétiques (2) dans des champs pas trop inten-
ses et aux températures ord et élevées ; b — pour les paramagnétiques aux basses tem-
pératures et dans des champs intenses.

extérieur, ni de la température. Les corps diamagnétiques sont
aimantés dans le sens contraire au champ de sorte qu'ils sont repoussés
des régions où le champ est plus intense.

La susceptibilité magnétique des corps paramagnétiques est
aussi [x | € 1 mais ses valeurs sont positives. Ces corps s’aimantent
dans un‘sens parallèle au champ extérieur. La figure 7.1, a montre la

& 3.11! CLASSIFICATION DES SOLIDES 159

variation de l'aimantation J,, en fonction de À pour les diamagné-
tiques et les paramagnétiques. Dans les deux cas, J,, — H, ce qui
signifie que x est indépendant de H. Toutefois, pour les paramagné-
tiques une telle dépendance ne s’observe que dans des champs rela-
tivement faibles et aux températures élevées ; dans des champs inten-
ses et aux basses températures la valeur de J,, (H) tend asymptoti-
quement vers la valeur limite J, correspondant à la « saturation »
magnétique correspondante des paramagnétiques (fig. 7.1, b). En

B ÿ x
| k
|
0 Hs H 0 # h O0
a) 6) C)

Fig. 7.2 Aimantation des corps ferromagnétiques. Variations en fonction de
l'intensité Æ du champ magnétique:

a — de l’induction B : b — de l’aimantation Jm (à droite on a représenté, à une plus grande
échelle, un tronçon ‘de la courbe d'aimantation); c — de la susceptibilité magnétique x.

outre, la susceptibilité magnétique x des corps paramagnétiques
dépend de la température :

x = CIT. (7.6)

Cette dépendance a été établie par Curie et s'appelle loi de Curie.
La constante C est dite de Curie.

Propriétés magnétiques des corps ferromagnétiques. Chez les
ferromagnétiques, dont le représentant typique est le fer, la sus-
ceptibilité x est aussi positive mais sa valeur est beaucoup plus
grande que celle des paramagnétiques et elle dépend de Æ. En plus
du fer ce groupe comprend le nickel, le cobalt, le gadolinium et.
certains autres métaux ainsi que plusieurs alliages. Les lois régissant
l'aimantation des ferromagnétiques ont été étudiées pour la première:
fois par le physicien russe Stolétov. La figure 7.2 montre la varia-
tion, en fonction de F7, de l’induction B, de l’aimantation J,, et de
la susceptibilité magnétiquex d'un fer doux. Lorsque l'intensité
du champ magnétique augmente, l'induction B et l’aimantation J,,
croissent d’abord rapidement, ensuite leur croissance se ralentit et,
à partir d'une certaine valeur },, l’aimantation atteint une valeur
pratiquement limite J,. Stolétov a donné à cet état le nom de satu-
ration magnétique. Quand l'état de saturation magnétique est atteint,
l'induction B = u, (H + J,,) croît proportionnellement à H.

460 PFROPRIÊTES MAGNÊTIOUES DES SOLIDES ICH. 7

La figure 7.3 montre la courbe représentant un cycle complet de
magnétisation d'un ferromagnétique dans les deux directions. On
voit sur cette figure que lorsque 1la direction de la magnétisation est
changée, la variation de B est en retard sur la variation de H et il
se trouve que pour H = 0 l'induction B ne s’annule pas mais est
égale à B,. Le phénomène d’un tel retard de B sur H est appelé
hystérésis magnétique et l'induction B, est dite induction rémanente
ou magnétisme rémanent. Pour supprimer l'induction rémanente, il
faut appliquer un champ démagnétisant A, que l’on appelle force
coercitive. La courbe fermée
AB,H,.A'B;HCA qui décrit le
cycle complet de magnétisation
dans deux directions est appelée
cycle d'hystérésis. L'aire du cycle
d'hystérésis est proportionnelle
au travail de renversement de
l'aimantation d'un volume unité
du ferromagnétique. Âu cours du
renversement de l’aimantation
ce travail se transforme totale-
ment en chaleur. C’est la raison

Fig. 7.3. Cycle d'hystérésis. pour laquelle les ferromagnéti-

ques peuvent ‘s'échauffer forte-
ment dans des champs magnétiques alternatifs de fréquence élevée.

Suivant la forme et l'aire du cycle d’'hystérésis, les ferromagné-
tiques sont divisés en magnétiquement doux et magnétiquement durs.
Les matériaux magnétiquement doux possèdent une faible force
coercitive et une haute perméabilité. Pour les meilleurs alliages de
ce type À, est égale à —0,3 A/m et u atteint des valeurs de — 105.
Les matériaux magnétiquement durs sont caractérisés par une haute
force coercitive (H, & 10% à 105 A/m) et, en règle générale, par un
fort magnétisme rémanent (B, = 1,5 T).

L'’échauffement des corps ferromagnétiques fait varier leurs pro-
priétés magnétiques : x, u, J, accusent une diminution. Pour chaque
ferromagnétique il existe une température 6c à laquelle il perd ses
propriétés ferromagnétiques. Cette température est appelée point
ferromagnétique de Curie. Indiquons, à titre d'exemple, les valeurs
des points de Curie (°C) pour le fer, le cobalt et le nickel:

FO 5 2 MM TR Re a far @rer A 0
Cobalt. à 2 2 à de 8 2 à & 8 et à ke 6 st se 450
NICKOEL. 2 NS TN AN ES SE Re SA A RE NS “300

À des températures supérieures à @c, les ferromagnétiques de-
viennent paramagnétiques avec la variation linéaire de 1/x en fonc-
tion de la température T qui est caractéristique des paramagnétiques.
‘Cette dépendance est exprimée de façon approchée par la loi de

$ 7.2} NATURE DU DIAMAGNÉTISME. RESONANCE CYCLOTRONIQUE 461
Curie-Weiss :

#« = CI(T — Gb), (7.7)
où C est la constante de Curie.

$ 7.2. Nature du diamagnétisme. Résonance cyclotronique

On sait que si l'axe d’une toupie tournant à grande vitesse ne
coïncide pas avec la verticale, la toupie effectue, en plus de la rota-
tion autour de son axe, encore une rotation avec l’axe autour de la

Fig. 7.4. Précession d’une toupie autour de la direction O0 parallèle à la force
de pesanteur P (a); précession d'une orbite électronique autour de la direction

du champ magnétique H avec une vitesse angulaire OL {4 H conduisant à l’ap-

parition d’un moment magnétique Au {+ H (b); moment magnétique M et sa
projection M} sur la direction du champ H (c).

verticale (fig. 7.4, a). Ce mouvement additionnel est appelé préces-
sion. I1 s'effectue, sous l’action de la force de pesanteur P, autour
de la direction OO parallèle à cette force.

Une situation analogue se présente dans le cas où un atome est
placé dans un champ magnétique H (fig. 7.4, b). Un électron gravi-
tant sur une orbite constitue un courant fermé qui possède un moment
magnétique. Le champ magnétique tend à placer l'orbite de l’élec-
tron perpendiculairement à H, ce qui provoque sa précession autour
de la direction du champ. Le calcul montre que la fréquence angu-
laire d'une telle précession est égale à

or = [e/(2m.)] uoA,
où e, m. sont respectivement la charge et la masse de l’électron. La
fréquence w, est appelée fréquence de Larmor.

La précession d'une orbite électronique à la fréquence w, est
équivalente à un mouvement additionnel de l’électron autour du
champ H qui fait naître un courant fermé AZ = ev,; = ew,/(2x) —

11—726

«1

162 PROPRIÊTES MAGNÉÊTIQUES DES SOLIDES tCH.

— [e’/(4xm)l by)H possédant un moment magnétique
Au = AIS = [oe’S/(4xm)] H,

où S est la surface limitée par le contour que décrit l’électron par
—
suite de sa précession autour de H. Comme la vitesse angulaire wz

ste
est dirigée le long du champ H, le moment magnétique induit Au
est dirigé dans le sens opposé à H. C'est la naissance de ce moment
qui détermine l'apparition du diamagnétisme.

Le diamagnétisme est inhérent à toutes les substances mais sou-
vent il n’est pas manifeste sur le fond du paramagnétisme et du ferro-
magnétisme plus forts. Il ne se rencontre dans sa pureté que dans des
substances dont le moment magnétique résultant des atomes est nul.

Les porteurs de charges libres dans les corps solides qui possèdent
une composante non nulle de la vitesse, perpendiculaire au champ
magnétique, décrivent des orbites circulaires (v. 8 4.11) et engendrent
un champ magnétique opposé au champ extérieur. Aussi, le gaz
de porteurs libres possède-t-il un diamagnétisme qu'on appelle
diamagnétisme de porteurs libres ou encore diamagnétisme de Landau.
En ordre de grandeur il est comparable à celui des couches électro-
niques.

Comme il a été montré au $ 4.10, le spectre énergétique des
électrons et des trous varie sous l'effet d'un champ magnétique:
il y a apparition de niveaux de Landau. Si une onde électromagné-
tique dont l'énergie des quanta io est égale à la distance entre les
niveaux de Landau voisins ko. tombe sur un cristal, elle provoquera
le passage des électrons à des niveaux plus élevés qui s'accompagne
d’une forte absorption de l’énergie de rayonnement. Ce phénomène
porte le nom de résonance cyclotronique. (Une faible crête d'absorption
s'observe aussi pour wo — 2hw,.) Comme fiw. — ñieB/m, , d’après la
fréquence d'absorption par résonance on peut déterminer la masse
effective des porteurs de charges libres. Etant donné que la diffusion
des électrons conduit à un élargissement des niveaux d'énergie, la
résonance cyclotronique ne s’observe nettement que dans des cristaux
suffisamment parfaits, aux basses températures, et dans des champs
magnétiques intenses (B > 1 T) capables d’écarter des niveaux de
Landau flous voisins à des distances pour lesquelles ils ne se recouv-
rent pas. Pour de tels champs w, se situe dans le domaine des hyper-
fréquences (pour B = 1 T, la fréquence w, — 2-101* s°!, ce qui
correspond à une longueur d'onde À & 0,1 cm). Comme le montre
l'expérience, pour réaliser la résonance cyclotronique à de telles fré-
quences, il est plus commode de faire varier non pas la fréquence w
du rayonnement incident mais l’induction B du champ magnétique.
La méthode fondée sur la résonance cyclotronique s’est avérée d’une
grande fécondité et de puissance pour l’étude de la structure des
bandes d'énergie des solides.

6 7.3] NATURE DU PARAMAGNETISME 163

$ 7.3. Nature du paramagnétisme

Paramagnétisme des diélectriques. Le paramagnétisme est observé
dans des substances dont les atomes possèdent un moment magné-
tique résultant non nul, c'est-à-dire représentent des dipôles magné-
tiques élémentaires dont l'interaction est négligeable. Comme exem-
ple de telles substances on peut citer O, et NO,, les solutions aqueuses
et les hydrates cristallins de sels des éléments de transition du groupe
du fer et des terres rares, ainsi que d’autres substances. Dans les
solutions aqueuses et les hydrates cristallins, les ions d'éléments
de transition possédant des moments magnétiques non compensés
sont séparés l’un de l’autre par les molécules d’eau et interagissent
l'un avec l’autre assez faiblement, ce qui est une condition nécessaire
pour la manifestation du paramagnétisme.

Rappelons brièvement la nature des moments magnétiques des
atomes. Chaque électron gravitant autour du noyau crée un courant
fermé Z = ev,où e est la charge de l’électron et v la fréquence de sa
révolution sur l'orbite. Le moment magnétique de ce courant est
M = IS = evS, où S est l’aire de l'orbite. Comme S = n° et
v = v/(2xr), où v est la vitesse linéaire de mouvement de l’électron

sur l'orbite, on a
M = Mi — ver/2. (7.8)

Le moment magnétique de l’électron dû à son mouvement autour
du noyau est appelé moment magnétique orbital. Le moment lu
est dirigé perpendiculairement au plan de l'orbite dans le sens opposé
au moment cinétique de l’impulsion ayant pour valeur

Li — MAUT, (7.9)

où m est la masse de l’électron. Le rapprochement entre (7.8) et
(7.9) donne

> e
= —. Li

Suivant les lois de la mécanique quantique £, peut prendre seule-

ment la série de valeurs suivantes: $ 1 — À V L(L + 1), où l'est le
nombre quantique orbital. De ce fait, il vient

= — 0 ICT = us V IU+ D, (7.10)

où |
up = eh/(2m.) = 9,27-107% A:m° (7.11)

est appelé magnéton de Bokr. |

On sait que l’électron est doté d'un moment cinétique interne
appelé spin £, auquel est lié le moment magnétique de spin ls.
ile

464 PROPRIÊTES MAGNETIQUES DES SOLIDES (CH. 7

La projection de ce moment sur la direction de l'intensité du champ
magnétique ne peut prendre que l’une de deux valeurs possibles :
Usx — Us.

Connaissant les moments magnétiques orbital et de spin des élec-
trons distincts et en utilisant les règles de quantification spatiale,
on peut déterminer le moment magnétique résultant M, de l'atome
tout entier. L'expression obtenue dans ce cas est analogue à (7.10):

M,= gu8 V J(J +1), (7.12)

où J est un nombre quantique interne qui se détermine par les nombres
quantiques orbital et de spin des électrons; g est un coefficient dit
facteur de Landé. 11 est égal à 1 pour un magnétisme purement orbital
et à 2 pour un magnétisme dû uniquement au spin. Suivant les lois
de la mécanique quantique, la projection de M, sur la direction de
H a pour valeur

M 5x = — M JEU B: (7.13)
my = —J, —(J —1),...,0,1,2,...,J (7.44)

représente le nombre quantique magnétique de l'atome. Il résulte de
(7.14) que pour J donné m, peut prendre au total 2J + 1 valeurs.

Un atome de moment magnétique M, possède dans le champ ma-
gnétique H une energie magnétique

Un = —Lo AM 5 cos 0 — —o AM 5; (7.15)

où 6 est l’angle fait entre M, et H (fig. 7.4, c). L'énergie VU, passe
par sa valeur minimale pour 6 = 0. C’est pourquoi, tous les atomes,
en tant que dipôles magnétiques, tendent à s'orienter dans le sens
du champ. Le moment magnétique résultant d'une substance vaut
la somme des projections des moments magnétiques des atomes dis-
tincts sur la direction de H. Comme les valeurs de ces projections
Myu = Mjtos8 = —m;guz, le problème du calcul quantitatif
de l’aimantation de la substance se réduit au calcul de la valeur
moyenne de M ; x correspondant à l'équilibre entre l’action orien-
tatrice du champ et l’action désorientatrice de l'agitation thermique.
Ce problème a été résolu par Langevin à l’aide des méthodes de la
statistique classique et par Brillouin qui a utilisé les méthodes de la
statistique quantique.

Considérons l’idée de la théorie quantique du paramagnétisme
introduite par Brillouin. Comme il a été indiqué plus haut, le mo-
ment magnétique de l'atome peut être orienté dans le champ magné-
tique par 2J + 1 procédés auxquels correspondent 2J + 1 projec-
tions différentes du moment sur la direction du champ. La probabilité
de réalisation de chacune de ces orientations est déterminée par la
loi de Boltzmann & = C exp [oM ; xmH/(KT)l, où C est un coeffi-

6 7.3] NATURE DU PARAMAGNÉTISME 165

cient de proportionnalité. La valeur moyenne de M ; y; est égale à
J
N° Myn exp [MyHUoH/(kT)]

(M 55) = ———— . (7.16)
. exp (M yHUo/ /(KT)]
_—J

Le calcul de ces sommes donne le résultat suivant :

(Min) = 8Jus8B, (B), (7.17)
ou

B = Jeu stoH/(RT), (7.18)

B,(B)=-2 HE coth 2 +t pl coth À. (7.19)

La fonction B ,; (B) est ra fonction de Brillouin.
L’aimantation et la susceptibilité magnétique sont respective-
ment égales à

Jm = (Miyn)n = ngJu2B ; (PB), (7.20)
x—"{ he B, (B). (7.21)

où 7x est le nombre d’atomes par unité de volume. Pour B € 1,

J+1
B;(B)&
et
ne pp] (J +1)
ng#u$) (J4H1) pu

Il se trouve qu’en parfait accord avec l’expérience, J,, est propor-
tionnel à À et inversement proportionnel à T. La formule (7.23)
exprime la loi de Curie:x — C/T. La constante de Curie C —
= ng'uà J (J +1) w/(3k). Pour WH & 1 TonauzuH & 1073 7J;

à T = 300 K on a ÀT & 4-107*%1 J. Ainsi la condition B & 1 est
satisfaite pratiquement presque toujours. C’est seulement dans des
champs très intenses et aux basses températures que B © 1 et la
proportionnalité directe entre J,, et À est troublée ; quand B —+ co,
coth he B — 1, coth -Ë. — 1, B;(B)—1 et l'aimantation
atteint sa valeur de saturation:

Jin = Je = ngJ up. (7.24)

Paramagnétisme du gaz électronique. Le spin des électrons libres
des métaux peut être orienté dans le champ magnétique soit suivant

166 PROPRIÊTES MAGNÉTIQUES DES SOLIDES (CH. 7

le champ, soit dans le sens opposé. Ceci étant, chaque niveau de
Landau (v. $ 4.10) se décompose dans le champ magnétique en deux
sous-niveaux. Comme l'énergie des électrons de spin orienté le Jong
de l'intensité de champ est inférieure à l’énergie des électrons dont
le spin est orienté dans le sens opposé à l'intensité de champ, le
nombre d'électrons dans l’état d'équilibre thermique est plus grand
au niveau inférieur qu’au niveau supérieur. C’est pour cette raison
que le gaz électronique, pris dans son ensemble, acquiert un moment
magnétique dirigé le long du champ et déterminant son paramagné-
tisme. Comme le montrent le calcul et l'expérience, le paramagné-
tisme du gaz électronique dans les métaux ne dépend pas de la tem-
pérature. [Il détermine les propriétés paramagnétiques de nombreux
métaux (Li, Na, Rb, K et autres).

Résonance paramagnétique. Si un paramagnétique placé dans un
champ magnétique permanent est soumis à l’action d'un champ élec-
tromagnétique alternatif, on peut provoquer le passage des atomes
des niveaux inférieurs aux niveaux plus élevés. En vertu des règles
de sélection spectroscopiques, les seules transitions permises sont
ici celles pour lesquelles le nombre quantique magnétique varie d'une
unité: Amy = +1, c'est-à-dire des transitions entre les sous-niveaux
voisins présentant une différence d'énergie égale à gusuoA,. De
telles transitions peuvent être produites par un champ électromagné-
tique dont l'énergie des quanta

ho = gu po. (7.25)
C'est pourquoi lorsque la condition (7.25) est accomplie, on constate
une absorption intense de l'énergie du champ électromagnétique.

La relation (7.25) exprime la condition de résonance magnétique
électronique (RME). Le phénomène de résonance consiste en une ab-
sorption intense de l’énergie électromagnétique de fréquence déter-
minée par la substance. Cela explique le nom d'absorption par réso-
nance qu'on donne à ce phénomène. Comme le montre l'expression
(7.25) sa fréquence dépend de l'intensité du champ magnétique per-
manent À,. Pour p,H, — 1Tet g — 1, la fréquence v,., — 15 GHz,
ce qui correspond à une longueur d'onde À — 0,016 m.

La condition de résonance (7.25) est relative à des atomes isolés,
distincts, comportant des électrons non réunis en paires et possé-
dant des moments magnétiques. Mais elle est également valable pour
des corps constitués d’un grand nombre d’atomes si l'interaction
magnétique entre eux est négligeable. Ces corps sont des paramagné-
tiques. C'est pourquoi la résonance des électrons non réunis en paires
est appelée résonance paramagnétique électronique (RPE). Les premiè-
res expériences heureuses sur cette résonance ont été effectuées par
Zavoïski en 1944. La fig. 7.5, b montre le schéma de principe de l’ins-
tallation pour l'observation de ce phénomène. L'échantillon est
placé dans le champ magnétique permanent H, produit par les pièces

$ 7.3] NATURE DU PARAMAGNÉETISME 167

polaires N et S d’un électro-aimant. On soumet l’échantillon à l'ac-
tion d’un champ électromagnétique à haute fréquence, produit par un
générateur, de telle sorte que son vecteur intensité soit perpendicu-
laire à H,. En faisant varier la fréquence © du champ électromagné-
tique ou l'intensité du champ permanent H,, on peut obtenir l'ab-
sorption par résonance de l'énergie à haute fréquence par l’échantil-
lon.

On peut observer d'une manière analogue une résonance magnétique
nucléaire (RMN) due au moment magnétique des noyaux. Par exem-
ple, dans le cas des protons pour p,H, = 1 T la résonance nucléaire

My
3/2
/
/ Ws/ #,
/ 1/2
1/7 / | N |
Niveau de “= Who TRE
départ Ÿ re Een Défesteur

sh, G
È pp | 4 Sant]

a) b)

Fig. 7.5. Résonance magnétique :
a — décomposition du niveau d'énergie de départ d’un atome libre en sous-niveaux dans un

champ magnétique ; b — schéma de principe de l’installation nour observation d’une réso-
nancc paramagnétique.

s’observe à la fréquence v,., — 8 MHz, ce qui correspond à une
longueur d'onde du rayonnement électromagnétique À Æ 10 m. Les
premières expériences sur la résonance nucléaire ont été effectuées
par Torri et Pound (1945).

La résonance magnétique a reçu un nombre très grand d’appli-
cations pratiques. La résonance magnétique nucléaire constitue la
méthode principale et la plus précise de mesure des moments magné-
tiques des noyaux atomiques. Elle a permis d'obtenir de nombreux
renseignements sur la structure des liquides, des cristaux diélectri-
ques, des métaux, des semiconducteurs et des polymeres. Elle cons-
titue aussi la méthode principale d'étude de la structure des molé-
cules organiques. A l’aide de la résonance paramagnétique électro-
nique on a étudié pour la première fois des états d'inversion de popu-
lation des niveaux utilisés en électronique quantique, etc. Cette
méthode permet d'étudier des particules comprenant des électrons
non réunis en paires, ainsi que les processus auxquels elles partici-
pent. Ces particules sont représentées par les électrons de conduction,
les radicaux libres, de nombreux atomes et ions. La méthode de la
résonance paramagnétique électronique est employée avec succès
pour l'étude du mécanisme des réactions chimiques, pour l'étude

168 PROPRIÊTES MAGNETIQUES DES SOLIDES (CH. 7

de l’influence du rayonnement ionisant sur la substance et les tissus
vivants, pour l'étude de l’état électronique des corps solides et dans
de nombreuses autres branches de la technique etide la science.

$ 7.4. Nature du ferromagnétisme

Nature de spin du ferromagnétisme. Le ferromagnétisme n’est
inhérent qu'à l’état solide de la substance. Les atomes libres des
ferromagnétiques ne possèdent pas de propriétés magnétiques parti-
culières quelconques. Les ordres de grandeur des moments magné-
tiques que possèdent les atomes d'éléments ferromagnétiques sont
les mêmes que ceux des moments magnétiques des atomes d'éléments
paramagnétiques. Mais l’induction dans les ferromagnétiques atteint,
même dans des champs magnétiques faibles, des valeurs se chif-
frant par quelques teslas alors que dans les paramagnétiques elle
ne dépasse pas, dans les champs de même intensité, 10° T.

Pour expliquer les propriétés ferromagnétiques des ferromagné-
tiques, le physicien russe Rosing et le physicien français Weiss ont
émis l’idée que dans les ferromagnétiques il existe un champ mole-
culaire interne sous l’effet duquel ils s’aimantent à saturation même
en l'absence de champ magnétisant extérieur. Une telle aimantation
spontanée ne se manifeste pas extérieurement parce que le corps se
divise en domaines microscopiques distincts dont les moments magné-
tiques des atomes sont disposés dans chaque domaine parallèlement
l’un à l’autre. Quant aux domaines eux-mêmes, ils sont orientés,
l'un par rapport à l’autre, d’une façon suffisamment désordonnée
de sorte que ie moment magnétique résultant du ferromagnétique
est nul. De telles régions d’aimantation spontanée sont appelées
domaines ferromagnétiques. Actuellement il existe plusieurs méthodes
expérimentales permettant une observation directe des domaines et
la détermination de la direction de leur aimantation.

L'introduction du champ intramoléculaire a permis d'expliquer
de nombreux événements observés dans les ferromagnétiques mais
la nature du champ lui-même et la question de savoir quels moments
magnétiques — orbitaux ou de spin — sont responsables du ferro-
magnétisme, sont restées pendant longtemps sans réponse. C’est
seulement après les expériences effectuées avec le plus grand soin
par Einstein et De Haas, Barnett, Ioffé et Kapitza qu'il a été dé-
montré que le ferromagnétisme est dû aux moments magnétiques de
spin des atomes. Aussi, ce sont précisément les moments magnétiques
de spin des électrons, non compensés dans les atomes, qui constituent
les porteurs élémentaires de ferromagnétisme.

Cette conclusion s'accorde avec la structure électronique des
atomes d'éléments chimiques présentant le ferromagnétisme. Comme
les moments magnétiques des couches complètement remplies sont
nuls et, dans le métal, les électrons périphériques de valence sont

& 7.4] NATURE DU FERROMAGNETISME 169

mis en commun seuls les éléments de transition possédant des cou-
ches internes incomplètes peuvent présenter le ferromagnétisme. Ces:
éléments sont les métaux de transition du groupe de fer dont la cou-
che 34 est incomplète et les terres rares dont la couche 4f est incom-
plète. D’un autre côté, vu que les moments magnétiques orbitaux
de ces couches sont pratiquement « congelés » par suite d’une forte
interaction avec les atomes voisins et leur contribution aux proprié-
tés magnétiques de la substance est bien faible, le ferromagnétisme
des éléments faisant partie de ces groupes ne peut avoir son origine
que dans les moments magnétiques de spin des atomes qui atteignent.
des valeurs élevées.

I1 restait encore une question à élucider : quelles sont les forces
qui obligent les moments magnétiques de spin des électrons de s’arran-
ger parallèlement l’un à l’autre à l’intérieur du domaine ? On suppo-
sait d’abord que ces forces étaient de nature purement magnétique,
qu'elles apparaissaient par suite d’une interaction ordinaire des
moments magnétiques des spins (interaction spin-spin). L'énergie
d’une telle interaction est de l’ordre de U,, = —wou /a, où a est
la distance entre les atomes dans le réseau cristallin du ferromagné-
tique. En portant dans cette expression ur — 9,27-10-2 Am
et a — 3-10-19 m, on obtient U,, = 107% J. Cela est inférieur de
deux ordres de grandeurs environ à l'énergie d’agitation thermique
des atomes du réseau à la température ordinaire qui tend à troubler
la disposition ordonnée des spins. Cela montre que l'interaction
magnétique des spins n’est pas en mesure d'assurer leur orientation
parallèle caractéristique des ferromagnétiques à une température
inférieure au point de Curie et que le champ moléculaire qui conduit.
à une telle orientation des spins doit être de nature non magnétique.
Plus tard cette conclusion a été prouvée par des expériences directes:
de Dorfmann.

En 1928 Frenkel a émis l’idée que le champ moléculaire était de:
nature électrostatique et apparaissait par suite de l’interaction d'é-
change des électrons situés dans les couches internes incomplètes
des atomes. Expliquons ceci sur l’exemple de liaison covalente dans
la molécule d'hydrogène. Si, dans l'équation de Schrôdinger, l’on
ne tient pas compte des interactions magnétiques, ses solutions,
c'est-à-dire les fonctions d'onde stationnaires, peuvent être repré-
sentées par un produit des fonctions 4 (r,, r.), où r, et r, sont les
coordonnées des électrons, par des fonctions dépendant uniquement
des spins des électrons. Suivant le principe de Pauli, dans sa formu-
lation mathématique, la fonction d’onde complète Y doit changer
de signe en cas de permutation des électrons. Ce renversement de
signe peut se produire par suite du changement de signe soit de la
partie de spin de la fonction Y, soit de sa partie des coordonnées.
Ainsi, les fonctions d'onde stationnaires des coordonnées pour la
molécule d'hydrogène peuvent être symétriques et alors les spins

170 FROPRIÊTES MAGNETIQUES DES SOLIDES (CH. 7

des électrons sont dirigés dans des sens opposés, mais elles peuvent
aussi être antisymétriques et alors les spins des électrons sont orien-
tés dans un même sens. Les fonctions d'onde des coordonnées diffé-
rentes correspondent à des états d'énergie différente (électrostatique
parce que les interactions magnétiques ont été complètement négli-
gées). La différence d'énergie entre les états les plus bas caractérisés
par des fonctions d'onde des coordonnées antisymétriques et symé-
triques détermine l’avantage énergétique de l'orientation parallèle
des spins et donc aussi des moments magnétiques des électrons par
rapport à l'orientation antiparallèle. Dans la molécule d'hydrogène
cette différence est négative et les spins sont antiparallèles. Mais il
se trouve que pour certains atomes cette différence est positive et dans
ce cas il est énergétiquement plus avantageux que les moments de
spin soient parallèles. C'est précisément ce cas qui est réalisé dans
les ferromagnétiques.

Dans la théorie approchée, la variation de l'énergie d'un système
électronique constitué de deux atomes ou de deux ions s'écrit en cas
de changement mutuel de l'orientation de leurs moments de spin
sous la forme suivante:

User = —2J (Si Sj). (7.26)

La grandeur U:., est appelée énergie d'échange; J est l'intégrale
d'échange; S;, S; sont les moments de spin résultants des atomes
interagissants. L'intégrale d'échange peut être aussi bien positive
que négative. Son signe dépend du rapport entre la dimension d
des couches électroniques participant à la formation de la liaison
d'échange et la distance a entre les atomes (paramètre du réseau).
La figure 7.6, a montre à titre d'exemple la courbe de variation de J
en fonction du rapport a/d pour quelques éléments. Comme il est
visible sur cette figure, pour des éléments dont le rapport a/d > 1,5
(Fe, Co, Ni, Gd) l'intégrale d'échange est positive et pour des élé-
ments dont a/d << 1,5 (Mn, Cr) elle est négative et son module est
d'autant plus grand que le rapport a/d est plus petit.

Comme il a déjà été dit, le signe de l'intégrale d'échange déter-
mine celle des orientations des spins des électrons participant à la
formation de la liaison d'échange — parallèle ou antiparallèle —
qui est avantageuse. Lorsque le signe de l'intégrale d'échange est
positif (J = 0), l'énergie d'échange est négative et l'énergie du sys-
tème pris dans son ensemble diminue dans le cas où les spins des
atomes S; et S; sont parallèles l’un à l'autre (S; |} S;). Comme le
montre la figure 7.6, a, cette situation doit se présenter pour le fer,
le cobalt et le nickel. Pour les spins des électrons situés sur les cou-
ches 3d incomplètes des atomes il est énergétiquement avantageux
de se disposer parallèlement l’un à l’autre, en assurant une saturation
magnétique limite des domaines (fig. 7.6, b). C'est pourquoi les
Fe, Co et Ni sont des ferromagnétiques. Pour les Mn et Cr, J < 0,

S 7.4] NATURE DU FERROMAGNÊTISME 171
1

de sorte que c’est la disposition antiparallèle des spins des atomes
voisins du réseau qui est avantageuse. Cela explique pourquoi les
Mn et Cr ne possèdent pas de propriétés ferromagnétiques. Toutefois
si l’on augmente la constante du réseau de Mn de façon que le rapport
a/d devienne de l’ordre de 1,5, on peut s'attendre à ce que le manga-
nèse devienne ferromagnétique. L'expérience le confirme. C’est ainsi
que l’introduction dans le Mn d'une petite quantité d'azote a pour
effet d'augmenter le paramètre du réseau et de faire apparaître le
ferromagnétisme. Sont aussi ferromagnétiques les alliages Mn-Cu-Al

Fig. 7.6. Aimantation spontanée d'un ferromagnétique :

-a — variation de l'intégrale d'échange en fonction du rapport du paramètre a du réseau au

diamètre d des couches internes incomplètes de certains éléments: b — orientation des

spins des électrons des couches < SC HORIQUES internes incomplètes dans les ferromagné-
tiques.

(alliages de Geissler) et les composés MnSb, MnBi et autres dans
lesquels les atomes de manganèse sont séparés par des distances plus
grandes que dans le réseau cristallin du manganèse pur.

Ainsi, la présence dans l'atome de couches internes incomplètes
et le signe positif de l'intégrale d'échange déterminant une orientation
parallèle des spins sont des conditions dont la réalisation fait apparaître
le ferromagnétisme.

Si les spins des atomes en interaction sont égaux en module
(S: — S; = S) et forment entre eux un angle 6, l'expression (7.26)
peut se récrire sous la forme

Usen = —2JS*? cos 0. (7.27)

Anisotropie cristallographique magnétique. Suivant la théorie
simplifiée développée plus haut pour l'énergie de l'état des électrons
n'est important que le parallélisme ou l’antiparallélisme des moments
-de spin des atomes voisins dans le cristal qui détermine respective-
ment l'antisymétrie ou la symétrie de la partie dépendant des coor-

172 PROPRIÊTES MAGNETIQUES DES SOLIDES (CE. 7

données de leur fonction d'onde. Or, en réalité, comme le montrent.
l'expérience et la théorie tenant compte de l'interaction spin-orbite..
il n’est pas du tout indifférent comment sont dirigés les moments.
de spin parallèles ou antiparallèles par rapport aux axes cristallo-
graphiques. Dans le cristal il existe des directions d'orientation des:
moments magnétiques d'énergie d'échange minimale dites directions.
de facile aimantation et des directions d'énergie maximale dites direc-
tions de difficile aimantation. Par exemple, dans le cristal de fer la
direction de facile aimantation est la direction (100) et celle de diffi-
cile aimantation la direction (111).

La variation de l’énergie d'un cristal par suite d’une rotation du
vecteur aimantation par rapport à la direction de facile aimantation
est appelée énergie d’anisotropie magnétique. Pour les cristaux eubi-
ques cette énergie peut s’écrire sous la forme

Ve = Ki (aix, + aus + œsai) + Keciaias, (7.28):

où À, et X, sont des constantes d’anisotropie et &;, &, &4 sont les.
cosinus directeurs du vecteur aimantation par rapport aux axes du
cristal. Les constantes d’anisotropie dépendent de la température:
et tombent à zéro quand 7 —+ 6... Pour le fer à la température ordi-
naire K, — 4,2-106 J/m°, K, — 1,5-10% J/m$. Pour les cristaux hexa-
gonaux

U, = K' sin? 0 + X, sin“ 6, (7.29)

où 6 est l’angle formé entre l’aimantation spontanée J, et l'axe.
hexagonal du cristal qui coïncide avec la direction de facile aiman-
tation. Pour le cobalt, à la température ordinaire, À: = 4,1 X
X 105 J/m$, X, — 1,0-105 J/mS.

Antiferromagnétisme. Comme il a déjà été indiqué, lorsque le-
signe de l'intégrale d'échange est négatif, c’est l'orientation anti-
parallèle des spins des atomes voisins du réseau qui devient énergé-
tiquement avantageuse. Dans ce cas lui aussi la disposition des spins
peut être ordonnée mais l’aimantation spontanée est nulle parce que:
les moments magnétiques de spin des atomes voisins du réseau sont
orientés deux à deux en sens contraire et se compensent. La fi-
gure 7.7, a montre à titre d'exemple la structure magnétique de MnO
déterminée par les méthodes de spectroscopie neutronique (on n’a
représenté sur la figure que les atomes de Mn magnétoactifs). Elle-
peut être considérée comme une structure complexe, composée de:-
deux sous-réseaux aimantés dans des sens contraires. Une telle struc-
ture ne peut exister qu'à des températures inférieures à une certaine.
température qu'on appelle température (point) de Curie antiferromagné-
tique ou température (point) de Néel Tx.

AOK, les moments magnétiques des sous-réseaux se neutralisent
mutuellement de sorte que le moment magnétique résultant d'un
antiferromagnétique placé dans un champ extérieur dirigé le long

$ 7.4] NATURE DU FERROMAGNÉTISME 173
des moments magnétiques des sous-réseaux est nul. Lorsque la tem-
pérature s'élève, l'orientation antiparallèle des spins se détruit

progressivement et l’aimantation de l’antiferromagnétique augmente

o) Ty T
b)

Fig. 7.7. Structure magnétique d'un antiferromagnétique (MnO) (a) [et varia-
tion de son aimantation en fonction de la température (b).

(fig. 7.7, b) pour atteindre sa valeur maximale au point de Néel
où la disposition ordonnée des spins est totalement anéantie et
l'antiferromagnétique se transforme en paramagnétique. Si la tem-
pérature augmente encore, l'ai-
mantation diminue comme pour
tout paramagnétique.

Notions sur le ferrimagnétis-
me. Dans les antiferromagnéti- A 4
ques les moments magnétiques
des sous-réseaux sont égaux en
module et de signes contraires
de sorte qu'ils se neutralisent
complètement. Pourtant des cas
peuvent se présenter où les mo-

Fe 7

ments magnétiques des sous-ré-
seaux ne sont pas égaux, par
exemple du fait que les atomes
constituant ces sous-réseaux sont
aux nombres différents ou de
nature différente (fig. 7.8, a).
Dans ce cas il apparaît une dif-

Fig. 7.8. Schéma de la disposition des
moments magnétiques dans les ferri-
magnétiques (a); disposition des mo-
ments magnétiques des ions Fe**+ et
Fe** dans le réseau de la magnétite
FeO -Fe,0.:7 — dans les nœuds octaé-
driques, ÎI — dans les nœuds tétraé-
driques.

férence non nulle entre les mo-

ments magnétiques des sous-réseaux qui provoque une aimantation
spontanée du cristal. Un tel antiferromagnétisme non compensé
est appelé ferrimagnétisme.

Un ferrimagnétique se comporte en apparence comme un ferro-
magnétique mais par suite de leur différence interne, la variation de
leur aimantation spontanée avec la température peut être tout à fait
différente. Comme un exemple de ferrimagnétique on peut indiquer

174 PROPRIÊTES MAGNEÉTIQUES DES SOLIDES (CH. 7

la magnétite FeO-Fe.O.. Elle possède la structure cristalline de la
spinelle dont la maille élémentaire cubique contient 8 ions Fe?*
et 16 Fe** qui occupent des nœuds tétraédriques (11) et octaédriques
(I) correspondants du réseau. Les directions des moments magnéti-
ques de ces ions sont montrées schématiquement sur la figure 7.8, b.
Comme il est visible sur cette figure, les moments magnétiques des
ions Fe** sont deux à deux antiparallèles l’un à l’autre de sorte qu'ils
se neutralisent mutuellement. Aussi le moment magnétique résultant
du réseau se détermine-t-il seulement par les moments magnétiques
non compensés des ions Fe’*. Les ions bivalents de fer peuvent être
remplacés par des ions d’autres métaux bivalents, par exemple Meg,
Ni, Co, Cu, etc., de sorte que la formule générale des substances de
cette classe qui ont reçu le nom de ferrites est MeO-Fe,O., où Me
désigne un métal bivalent.

Ce sont des ferrites dits mixtes, dont la composition comprend
les oxydes de plusieurs métaux bivalents, par exemple NiO et ZnO,
Mn0O et MgO, MgO et ZnO, etc., qui présentent un grand intérêt.
En changeant la nature de ces oxydes et leurs rapports, on peut faire
varier dans de larges limites les propriétés magnétiques et autres des
ferrites. Notamment, on peut obtenir des ferrites magnétiquement
doux, des ferrites magnétiquement durs, des ferrites à cycle d’'hysté-
résis rectangulaire, etc.

Une particularité remarquable des ferrites est leur haute ré-
sistivité électrique qui est de 105 à 1015 fois plus grande que la ré-
sistivité des ferromagnétiques métalliques. Cette particularité a
permis de vaincre une difficulté qui s’est présentée dans la technique
des hautes et très hautes fréquences et qui paraissait insurmontable
en matière d'utilisation des matériaux magnétiques. Le fait est que
dans la majeure partie de dispositifs radiotechniques utilisant des
champs magnétiques, les bobines parcourues par un courant com-
portent, pour l'amplification de ces champs, des noyaux (circuits
magnétiques) faits en matériaux ferromagnétiques. Si les bobines
sont destinées à être alimentées en courant continu, les noyaux peu-
vent être fabriqués en ferromagnétique continu, par exemple en fer,
en permalloy, etc. Si les bobines doivent être alimentées par des cou-
rants alternatifs et surtout de fréquence élevée, les noyaux de ce
type deviennent inutilisables parce que leur magnétisation alterna-
tive fait naître des courants de Foucault très forts, qui non seulement
augmentent les pertes d'énergie et réduisent le rendement des dispo-
sitifs, mais peuvent échauffer le noyau à un tel point que le dispositif
cesse de fonctionner ou peut même être mis hors d'état de service.
Aussi, les noyaux sont-ils réalisés à partir des feuilles minces et de
petites particules de ferromagnétiques isolées l’une de l’autre. Cela
a permis de réduire considérablement les courants de Foucault mais
n'a pas surmonté toutes les difficultés liées aux pertes, à l'effet de
peau, etc., dont la manifestation est particulièrement sensible aux

& 7.5] STRUCTURE EN DOMAINES DES FERROMAGNEÊETIQUES 475

hautes et très hautes fréquences. Le succès n’a été réalisé qu'avec
l'apparition des ferrites dans lesquels les propriétés magnétiques des
ferromagnétiques sont jointes aux propriétés électriques des diélec-
triques.

Pour la construction des noyaux pour les bobines, les transforma-
teurs, les antennes à noyau magnétique et de divers circuits magné-
tiques à haute fréquence, on utilise des ferrites magnétiquement doux
caractérisés par de hautes valeurs de la perméabilité magnétique p,
de l'induction de saturation B, et de l'induction rémanente B, mais
par de petites valeurs de la force coercitive H, et de la tangente de
pertes te ô. Ce sont des ferrites de manganèse-zinc, de nickel-zinc, de
lithium-zinc et autres.

Les ferrites magnétiquement durs (de fer-cobalt, de fer-baryum
et autres) possédant une grande force coercitive H, et une grande
induction rémanente B, sont utilisés pour la fabrication des aimants
permanents. La haute résistivité de tels ferrites permet de les utiliser
dans la technique des hyperfréquences pour les systèmes de prémagné-
tisation.

$ 7.5. Structure en domaines des ferromagnétiques

Formation de domaines. Comme il a déjà été indiqué, un ferro-
magnétique à l’état non aimanté se divise spontanément en domaines
aimantés à saturation grâce à l’orientation parallèle de leurs moments

C) d)

Fig. 7.9. Division d’un cristal ferromagnétique en domaines.

magnétiques de spin qui se produit sous l’action des forces d'échange.
La cause d’une telle division est facile à comprendre si l’on examine
la figure 7.9. La figure 7.9, a montre un cristal monodomaine sponta-
nément aimanté dans la direction de J,,. Un tel cristal possède une
haute énergie magnétique due à la formation sur ses faces terminales
de « pôles magnétiques ». Lorsque le cristal est divisé en deux domai-
nes dont les vecteurs aimantation spontanée sont.opposés l’un à
l'autre (fig. 7.9, b), l'énergie magnétique du cristal devient près de
deux fois plus faible parce qu’une partie du flux magnétique sortant
d’un des domaines se ferme sur l’autre domaine ; si le cristal est divisé

76 PROPRIÊTES MAGNÉTIQUES DES SOLIDES [CH. 7

en quatre domaines (fig. 7.9, c), l'énergie magnétique diminue d'en-
viron quatre fois, etc.

Ainsi, la division d’un cristal ferromagnétique en domaines est
une conséquence de la tendance du système à diminuer son énergie
libre (magnétique). Toutefois, cette division ne peut pas se produire
indéfiniment parce que l'apparition de frontières entre les domaines
voisins Z et ZI dont l'angle formé entre les spins augmente jusqu’à
480° (fig. 7.10, a) doit conduire inévitablement à une augmentation
de l’énergie d'échange. La division se poursuit jusqu’à l'instant où
dla diminution de l'énergie magnétique provoquée par la division du

I 7 7 1! e. (y

HN rame

HET TS + Pet

RARE NAT
a) 6) c)

Fig. 7.10. Frontières entre les domaines (parois de domaines) :

a — lorsque les spins à la surface de séparation de deux domaines sont de sens contraires,

l'énergie d'échange de la surface de séparation est maximale ; b, c — variation progressive de

a direction du vecteur aimantation lors du passage d’un do maine à un autre et formation de
parois des domaines de Bloch (b) et de Néel (c).

cristal en domaines est compensée par l'augmentation de l'énergie

"échange des frontières de séparation entre les domaines. Une
division ultérieure n’est pas avantageuse énergétiquement et ceci
détermine la limite inférieure de la dimension du domaine. Comme
le montrent le calcul et l’expérience, pour le fer la dimension trans-
versale du domaine est de 0,01 à 0,1 um.

Lors du passage par bond du domaine ayant une direction des
spins à un domaine ayant une direction opposée des spins (fig. 7.10, a)
l’énergie d'échange des atomes situés de part et d’autre de la surface
de séparation des domaines atteint sa valeur maximale possible
égale à —2J$S° cos 180° — 2J$S°. C'est pourquoi l’énergie d'échange
de la frontière entre les domaines considérés comme un tout atteindra
elle aussi sa valeur maximale. Comme le montrent le calcul et l’expé-
rience, le passage énergétiquement plus avantageux est un passage
progressif de l'orientation des spins dans un domane à l'orientation
opposée dans un autre domaine qui se produit sur une certaine ré-
gion étendue appelée paroi de domaine. Les structures de deux types
de telles parois — paroi de Bloch et paroi de Néel — sont représentées
sur les figures 7.10, b et c. Des parois de type plus complexe peuvent
elles aussi exister. Plus épaisse est la paroi d’un domaine, plus
faible ést la valeur totale dont varie l'énergie d'échange lors du pas-

& 7.5] STRUCTURE EN DOMAINES DES FERROMAGN£ÊTIQUES 177

sage d’un domaine à un autre. Il semblerait que pour cette raison
l'épaisseur de. la paroi de domaine devrait croître indéfiniment.
Mais lanisotropie magnétique s’y oppose. Le cristal de fer comporte
six directions de facile aimantation [100]. Lors de l’aimantation
spontanée les moments magnétiques de spin se disposent suivant l’une
de ces: directions de sorte que l'énergie d’anisotropie magnétique
a sa valeur minimale. Dans les parois de domaines les moments ma-
gnétiques de spin s’écartent de la direction de facile aimantation.
l'énergie d’anisotropie magnétique augmente et cela d’autant plus
fortement que la paroi est plus épaisse. Aussi, l'épaisseur des parois
augmente-t-elle jusqu’à des valeurs pour lesquelles la diminution
de l’énergie d'échange provoquée par leur apparition n’est pas com-
pensée par la croissance de l’énergie d’anisotropie magnétique. Le
calcul montre que pour le fer la paroi de Bloch doit avoir une épais-
seur de l’ordre ‘de 300 distances atomiques.

Une diminution de l’énergie magnétique, encore plus grande que

celle de la figure 7.9, c, peut être obtenue si les domaines verticaux
sont fermés par des domaines horizontaux cunéiformes (fig. 7.9, d).
Pourtant, vu qué dans la direction de facile aimantation le fer s’al-
longe légèrement (magnétostriction), les domaines horizontaux doivent
être élastiquement comprimés. La structure magnétique d'équilibre est
atteïnñté lorsque la diminution de l'énergie magnétique par suite de
l'apparition des domaines de fermeture est compensée par l'augmentation
de l'énergie élastique du cristal provoquée par la déformation de ces
domaires.
. La structure en domaines dépend fortement de la forme de l’échan-
tillon. Si l'échantillon a par exemple la forme d'une tige étroite
dont l’axe de facile aimantation est dirigé suivant sa longueur, il
n'est.pas avantageux pour lui de se diviser en domaines. La structure
cristalline de l'échantillon a elle aussi une grande importance.

Aimantation des ferromagnétiques. Les processus d’aimantation
des ferromagnétiques s'expliquent pour une large part par le change-
ment de-leur structure en domaines dans un champ extérieur. Consi-
dérons par exemple le processus d’aimantation d’un monocristal dans
lequel les domaines sont orientés, en l’absence de champ extérieur,
de telle sorte que le moment magnétique du ferromagnétique tout
entier: est nul (fig. 7.11, a). Lorsque le ferromagnétique est placé
dans un champ magnétique H, il s’aimante en acquérant un moment
magnétique non nul. Suivant le caractère des phénomènes physiques
se déroulant dans le ferromagnétique le processus de magnétisation
peut être subdivisé en trois stades.

1. Processus de déplacement des frontières. Plaçons le cristal re-
présenté sur la figure 7.11, a dans un champ magnétique. L'orientation
du vecteur J,, des différents domaines par rapport à H n’est pas la
-même: l’angle minimal avec H forme le vecteur J,, du premier do-
maine et l’angle maximal fait J,, du troisième domaine. Lorsque

12—726

178 PROPRIÊTÉS MAGNÊTIQUES DES SOLIDES (CH. 7

l'intensité de H augmente c'est la croissance du domaine 7, dont
l'orientation est la plus favorable, qui est énergétiquement avanta-
geuse au détriment des domaines 2, 3 et 4 (fig. 7.11, b). Cette croissance
se fait par déplacement des frontières des domaines. C’est pourquoi
le premier stade de magnétisation a reçu le nom de processus de
déplacement. 11 se produit jusqu’à l'instant où le premier domaine

Fig. 7.11. Processus se déroulant lors de l'aimantation d'un cristal ferromagné-
tique :
a — surfaces de séparation de quatre domaines en lesquels s'est divisé le monocristal. Les
flèches indiquent l'orientation du vecteur Jm ; b — déplacement des frontières et croissance du
domaine le plus favorablement orienté 1 lorsque l'intensité du champ magnétisant H augmente;
c — rotation du vecteur aimantation Jm dans le sens vers le champ H (la flèche en traits inter-
rompus indique le vecteur Jm après la fin du processus de déplacement des frontières des
domaines et Ja flèche en traits pleins représente le vecteur Jm tourné d’un certain angle par
rapport au champ H).

s'étend sur tout le cristal. La figure 7.12 montre la courbe d’aimanta-
tion d’un monocrista]l. C'est le tronçon OA de cette courbe qui corres-
pond au processus de déplacement. Dans des champs de faible
intensité H l’aimantation se fait progressivement et de façon réver-
sible tandis que dans des champs d'intensité moyenne elle se pro-
duit par bond et de façon irréversible, en déterminant un effet dit
effet Berkhausen.

2. Processus de rotation. Si l'intensité du champ augmente encore,
le vecteur aimantation spontanée J,, commence à tourner dans le
sens vers le champ (fig. 7.11, c). Le processus d’aimantation se dé-
roule ici beaucoup plus lentement qu’au premier stade et cesse lors-
que le vecteur J,, se dispose le long du champ. À cet instant, l’ai-
mantation atteint la valeur de saturation technique (tronçon AB sur
la courbe de la figure 7.12).

3. Paraprocessus. Dès que l’état de saturation technique est
atteint, la croissance de l’aimantation avec l’augmentation de H
diminue brusquement sans cesser complètement. Cela s'explique par
le fait qu'à une température différente de 0 K tous les spins ne sont

& 7.5] STRUCTURE EN DOMAINES DES FERROMAGNÉTIQUES 179

pas orientés de façon rigoureusement parallèle l’un à l’autre. Un
champ extérieur intense diminue l’action de désorientation de l'agi-
tation thermique et conduit à une augmentation ultérieure, bien que
faible, de J,.

Hystérésis magnétique. La non-coïncidence de la courbe d'aiman-
tation répétée d’un ferromagnétique avec la courbe OA (fig. 7.3) de
première aimantation, qui eonduit à l’hystérésis, est due à des pro-
cessus irréversibles qui se dérou-
lent lors de l’aimantation. Exa-
minons brièvement l'essence de
ces processus.

1. Jrréversibilité lors du deé-
placement des frontières des do-
maines. La présence dans un ferro-
magnétique de différentes hété-
rogénéités — des impuretés, des
inclusions non magnétiques, des
régions de contraintes, etc., peut
avoir une forte influence sur
l’énergie des parois de Bloch, en . |
l’augmentant ou en la dimi- Fig. pie Courbe Et des
nuant, c'est-à-dire en créant Pour , _ ,égion nn ee déslacaent
ces parois des puits de poten- desfrontières des domaines: OA — dépla-
tiel qu’elles traversent lors de éteuibie: "2 réion Zone ndent à
leur déplacement au premier 2 Don One n LEE An nn
stade de l’aimantation. Lors de la

désaimantation une partie de parois peut rester dans ces puits de sorte
que les domaines qui étaient aimantés le long du champ sont conser-
vés aussi après la suppression du champ, en assurant une aimanta-
tion rémanente B, (v. fig. 7.3). Pour compenser cette aimantation,
il est nécessaire d’appliquer un champ 77, de sens opposé. En réglant
les facteurs qui déterminent la courbe d’aimantation et de désai-
mantation, on peut faire varier dans de larges limites la forme et les
dimensions du cycle d’hystérésis. Pour des ferromagnétiques homogè-
nes ne présentant qu'un nombre minimal de défauts, le cycle d'hys-
térésis peut être très étroit.

2. Retard de croissance des germes de renversement de l’aimantation.
Lorsque la saturation technique est atteinte, l’aimantation des do-
maines coïncide pratiquement avec la direction du champ magnéti-
sant. Si le sens du champ est inversé, pour que l’aimantation du
ferromagnétique commence à se renverser, il doit y prendre naissance
des germes de renversement de l’aimantation dont la croissance déter-
mine le renversement de l’aimantation du ferromagnétique dans son
ensemble. L'apparition de tels germes exige l'existence d'un champ
suffisamment intense dit de départ Hx. C'est pourquoi si, la satu-
ration technique étant atteinte, on diminue jusqu’à zéro le champ

12°

180 PROPRIÊTÉS MAGNETIQUES DES SOLIDES " (CH. 7

magnétisant et on applique ensuite un champ progressivement crois-
sant de sens opposé, le renversement d’aimantation ne se produira
pas et l’aimantation rémanente restera inchangée jusqu'à l’instant où
le champ d’intensité inverse atteint la valeur de départ H;:,. Pour
cette valeur de l'intensité il se crée dans l'échantillon des germes de
renversement d'aimantation qui croissent à une grande vitesse (cen-
taines de m/s), le ferromagnétique change la direction de l'aimanta-
tion de façon presque instantanée et le cycle d’hystérésis a une forme
pratiquement rectangulaire. Notamment, les échantillons de permal-
Joy uniaxialement contraints ont un tel cycle d’hystérésis. Mais dans
le cas général, étant donné l’hétérogénéité de l'échantillon et la
présence de champ démagnétisant, les germes de renversement de
l’aimantation peuvent apparaître dans différents endroits du ferro-
magnétique et dans des champs extérieurs les plus variés. Aussi le
cycle d’hystérésis peut-il différer fortement de la forme rectangulaire.

3. Aimantation des particules hautement dispersives. Lorsque les
dimensions des particules ferromagnétiques diminuent, la-part de
l'énergie des parois de Bloch augmente. Aussi, à partir d’une certaine
dimension des particules, devient-il énergétiquement avantageux que
ces particules soient dans l’état monodomaine. Pour des particules
sphériques de fer, le passage à la structure magnétique monodomaine
s'effectue pour un rayon des particules égal à — 0,1 um. Comme le
domaine est aimanté à saturation, chacune de telles particules re-
présente un petit aimant permanent. Si on répartit un grand nombre
de telles particules dans un milieu non ferromagnétique et qu’on les
aimante dans une direction, on peut obtenir un aimant permanent de
forte intensité. À cet effet, on utilise généralement des alliages
à plusieurs composants qui dégagent, lorsque la température baisse,
des phases hautement dispersives dont une au moins est magnétique.
Comme exemple de tels alliages, on peut indiquer les alliages à plu-
sieurs composants de Al, Ni, Fe avec des additifs de silicium et de
cobalt (alliages alni, alnisi, alnico et autres). Les particules magné-
tiques de ces alliages ont le plus souvent la forme de minuscules
bâtonnets dont les dimensions sont si petites qu'ils ont la structure
monodomaine avec l'axe de facile aimantation dirigé le long de l’axe
du bâtonnet. Si l'alliage est refroidi dans un champ magnétique, les
domaines-bâtonnets s’orientent par leurs axes le long du champ en
produisant ainsi une anisotropie de structure et d’aimantation.
Une telle structure possède un cycle d’hystérésis rectangulaire qui se
caractérise par une forte aimantation rémanente et une haute force
coercitive, ce qui est précisément important pour la réalisation des
aimants permanents.

$ 7.6] APPLICATIONS PRATIQUES DU FERROMAGNEÊETISME 181

$ 7.6. Applications pratiques du ferromagnétisme

Mémoires magnétiques à ferrites. Actuellement le ferromagnétisme
est d’application courante dans les appareils de calcul électronique.
Les ferrites à cycle d'hystérésis rectangulaire sont utilisés pour la
fabrication des mémoires magnétiques des ordinateurs, des amoplifi-
cateurs magnétiques, des lignes à retard, etc. Un des paramètres
principaux caractérisant l’applicabilité des ferrites à ces fins est le
facteur de rectangularité du cycle d’hystérésis, égal au rapport de
l'induction rémanente B, à l’in-
duction maximale Ba, mesurée 8
pour À = 5H.:

Krect = Br/Bmax-

Il faut que À ,,.1 soit aussi voi-
sin que possible de l’unité. En
outre. le ferrite doit avoir une
faible force coercitive. Les ferri-
tes de magnésium-manganèse
ayant LOT = 0,88 à 0,96 et
H,. = 8 à 40 A/m présentent en |
particulier de telles propriétés. Fig. 7.13. Cycle d'hystérésis rectan-

Le principe physique sur le- gulaire.
quel est fondée la «mémoire» ma-
gnétique est le suivant. Supposons qu'un ferrite à cycle d’hystérésis
rectangulaire est aimanté jusqu’à B,4+ par un champ À dirigé de
gauche à droite (fig. 7.13). Lorsque ce champ diminue jusqu’à zéro,
l'induction diminue jusqu’à la valeur de 2, qui, dans un cycle d’hys-
térésis rectangulaire, diffère peu de B,,,.. Lorsque le sens du champ
H est inversé, l’induction reste presque inchangée jusqu'à À = —H..
Pour H = — H. l'induction change de signe, par saut, en atteignant
une valeur presque limite BR. qui varie peu lors de la croissance
ultérieure de À. Si on diminue maintenant ce champ, l'induction
rémanente du ferrite sera, pour À = 0, égale à —B,. Ainsi, pour une
intensité du champ extérieur À — 0 le ferrite peut se trouver dans
deux états stables : avec B — +B,et B — — B, suivant son aiman-
tation antérieure. C’est sur cette propriété des ferrites de «mémoriser»
l’état d’aimantation antérieur qu'est fondé le fonctionnement des
mémoires magnétiques.

La figure 7.14, a montre le schéma de principe d’une cellule de
mémoire à noyau en ferrite. Le noyau porte trois enroulements:
d'écriture Z, d'interrogation Z et de lecture 3. L'écriture se fait dans
le système binaire: « 1 »et «0». Pour l'écriture de « 1 » on envoie
dans l’enroulement 7 une impulsion de courant capable d'aimanter
Je noyau dans le sens positif jusqu’à Be... Quand l’action de l’im-
pulsion cesse, l’induction diminue jusqu'à +B, (v. fig. 7.13). Pour

182 PROPRIÊTÉS MAGNETIQUES DES SOLIDES (CH. 7

l'écriture de « 0 » on fait passer dans l’enroulement Z une impulsion
de courant de sens opposé après l’action de laquelle l'induction ré-
manente du noyau devient égale à —B,. Pour la lecture de l'infor-
mation écrite, on fait passer dans l’enroulement 2 une impulsion de
courant qui produit un champ magnétique À, > H, dans le sens
qui fait passer le noyau dans l’état « 0 ». Si l'information inscrite
dans la cellule correspondait à « 1», l'impulsion d'interrogation,
qui change l’aimantation du noyau de l’état +B, en état —B,,
y produit un flux variable d’induction magnétique qui induit une

Fig. 7.14. Principe de construction des cellules de mémoire (a, b) et matrices de
mémoire à noyaux en ferrite (c).

impulsion de courant dans l’enroulement de lecture 3. Plus grande
est la distance entre les points +B, et —B,, plus brusque est le
passage de +B, à —B,, c'est-à-dire plus manifeste est la rectangula-
rité du cycle d’hystérésis, plus intense est l’impulsion de courant
induite dans l’enroulement ä par suite du renversement d’aimanta-
tion. C’est pourquoi on n’emploie pour la réalisation des mémoires que
des ferrites à cycle d’hystérésis rectangulaire.

Si c’est un « 0 » qui était enregistré dans la mémoire, le renver-
sement d’aimantation du noyau par le courant d'interrogation ne se
produit pas et aucun signal n’est induit dans l’enroulement de lecture.
Chaque cellule de mémoire contient un élément d'information (un
bit) signifiant l’une de deux affirmations possibles : « oui » (« 1 ») ou
«non» («0»).

La figure 7.14, b montre le schéma d’une cellule de mémoire dont
la réalisation est un peu différente de celle de la cellule représentée
par la figure 7.14, a. Les enroulements 7, 2, 3 sont remplacés ici par
trois fils (barres): x, y et une barre de lecture, qui passent par un
anneau en ferrite. Pour l'écriture de l’information on fait passer par
les fils x et y des impulsions de courant Z, = 14/2 et I, = 4/2, où Lo
est l'intensité du courant nécessaire pour renverser l’aimantation
du noyau. Aussi le renversement de l’aimantation du noyau ne peut-
il être produit que par l’action simultanée des impulsions Z, et 7,
de même sens.

$ 7.6] APPLICATIONS PRATIQUES DU FERROMAGNETISME 183

À partir des cellules de mémoire on compose des matrices (l'une
d'elles est schématisée sur la figure 7.14, c). La barre de lecture L
est commune à toutes les cellules de la matrice. Pour l'écriture de
« 1 » par exemple dans la cellule supérieure de droite, on fait passer
dans z, et y, des impulsions de courant 7,/2 de même sens dans chaque
barre. Pour l'écriture de «0» ou pour la lecture de « { » on fait
passer par ces barres des impulsions de même sens —/,/2 qui ren-
versent l’aimantation du noyau et induisent un signal électrique
dans la barre de lecture. En procédant de cette façon, on peut ranger
l'information dans toute cellule de mémoire et ensuite l'utiliser.

La dimension des noyaux en ferrite utilisés dans les mémoires
modernes des calculateurs électroniques est réduite à 0,3 mm pour le
diamètre extérieur et à 0,15 mm pour le diamètre intérieur.

Films magnétiques minces. Par films magnétiques minces on
entend des couches de substance magnétique épaisses de — 0,1 um
portées sur un support non magnétique. Ce sont les films de permalloy
contenant — 20 % Ni et — 80 % Fe qui ont reçu le plus d'utilisa-
tions. Ils sont déposés sur un support par les méthodes d’évaporation
sous vide, de pulvérisation cathodique et de pulvérisation par fais-
ceau lonique.

Dans des films d'épaisseur inférieure à l'épaisseur des parois de
Bloch ne peuvent évidemment apparaître que des parois perpendi-
culaires au plan du film; suivant l'épaisseur ces films sont monodo-
maines. Si le film est déposé sur un substrat dans un champ magnétique
agissant dans le plan du film, il acquiert une anisotropie magneti-
que uniatiale avec l'axe de facile aimantation dirigé le long du champ.
Une telle anisotropie peut ètre obtenue par recuit des films déjà
déposés dans un champ magnétique suffisamment intense ainsi que
par dépôt du film par pulvérisation à l’aide d’un faisceau moléculaire
dirigé sous un certain angle sur le support.

Considérons de plus près le processus d’aimantation des films.
Plaçons un film aimanté à saturation le long de la direction de
facile aimantation dans un champ magnétique H. Sous l’action de
ce champ le vecteur aimantation J,, du film s’écartera de la direc-
tion de facile aimantation d’un certain angle 8 (fig. 7.15, a). Il en
résulte l’apparition dans le film de l’énergie d’anisotropie magnéti-
que U,. La variation de U, en fonction de 8 est décrite par l’expres-
sion

U, = K sin°6, (7.30)
où XÆ est une constante d’anisotropie.
En plus de l'énergie d'’anisotropie (7.30) un film aimante placé

dans un champ magnétique H possède encore l'énergie magnétique
U,, due à l'interaction entre J,, et H:

Un = —u0HI,, = —u4H,J,, cos 0 — u,H;J,, sin 6, (1.31)

484 PROPRIÊTES MAGNETIQUES DES SOLIDES (CE. 7

où H,; et H}, sont les composantes du champ extérieur le long de
directions de facile et de difficile aimantation respectivement. . éner-
gie totale du film a pour expression

U=U,+Urn = K sin 6 — u,H,J,, cos 8 — u,HiJ, sin 6. (1.32)

Supposons qu’un film aimanté suivant la direction de facile

Direction de difficile
aimantation

Fig. 7.15. Explication de l'aimantation des films minces.

aimantation (0 — 0) est soumis à un champ extérieur H; dirigé con-
tre J,,. Alors la variation de l’énergie du film en fonction de l'angle 8
est de la forme

U = K sin° 6 + u,AHJ,, cos 8. (7.33)

Pour un champ extérieur relativement faible H, cette variation est
représentée sur la figure 7.16, a. On voit que pour 6 — 0 la fonction
U (6) passe par un minimum (bien que non absolu) de sorte que
c'est la conservation de l'orientation initiale du vecteur aimantation
J,, (opposée au champ H) qui est énergétiquement avantageuse.
On peut s’assurer de l’existence d’un tel minimum en dérivant (7.33)
par rapport à 6:

_ — 2K sin 6cos0—u,HJ,,sin0=sin60(2Xcos0—uHJ,). (7.34)

Il résulle de (7.34) que pour 8 -= 0 la dérivée dU/d8 — 0, ce qui
constitue, comme on le sait, la condition d’extrémum (dans notre cas
de minimum) de la fonction U (6).

Dans un champ extérieur suffisamment fort ce sera pour 8 = 0
non pas un minimum mais un maximum de la fonction U (8)
(fig. 7.16, b). Le passage du minimum au maximum se produit pour
un champ À, pour lequel la dérivée seconde de la fonction U (8)
devient nulle pour 68 = 0:

| =2K— poid = 0. (7.35)

0-0

& 7.6] APPLICATIONS PRATIQUES DU FERROMAGNETISME | 185

Ainsi, dès que H dépasse la valeur 7, = 2K/(u99»), le minimum
d'énergie pour 6 = 0 disparaît et J,, s'oriente dans la direction
de 0 = x.

La figure 7.15, b montre le cycle d’hystérésis d’un tel film.
Pour H; > H, (à droite du point F) l’aimantation J,, est dirigée
suivant la direction de facile aimantation (sur la figure 7.15, db vers
le haut), en se confondant avec la direction de H,;. Lorsque ie champ:

Fig. 7.16. Variation de l'énergie d'un film magnétique mince en fonction de:
l'orientation du vecteur aimantation J,, par rapport au champ H:
a — le champ est dirigé suivant la direction de facile aimantation et est inférieur à H},. La

courbe en traits interrompus correspond au terme K sin’ 6 dans l'expression (7.33) ; la cour-
be en pointillé correspond au terme 1. HJm cos 8 : la courbe en traits pleins correspond à l’éner-
gie totale du film; b — idem mais pour H > H,; c —‘Îe champ H est perpendiculaire à la

direction de facile aimantation et inférieur à H}. La courbe en traits interrompus corres-

pond au terme X* sin’ 6 dans l'expression (7.36); la courbe en pointillé correspond au terme-
UoHJm sin 6; d — idem mais pour H > H}.

H}; diminue jusqu’à zéro et le champ de sens contraire augmente
l’aimantation J,, reste inchangée jusqu’au point G. En passant par le
point G, l’aimantation J,, change de signe par saut (dirigée vers le bas
sur la figure 7.15, b) qui reste ensuite inchangé quelque grandes que
soient les valeurs de | H; | > H,.

Une situation analogue se présente aussi dans le cycle inverse:
jusqu’au point F# y compris le vecteur J,, est dirigé vers la gauche-
(sur la figure 7.15, b vers le bas) et au point F il bascule par saut vers-
la droite (sur la figure 7.15, b vers le haut). Il en résulte un cycle
d’hystérésis rectangulaire à deux états stables: +B, et —B,.

486 | RROPRIÉTES MAGNÊTIQUES DES SOLIDES ICH. 7

Maintenant appliquons au film, dont l’aimantation J,, est dirigée
suivant la direction de facile aimantation, un champ extérieur H
dirigé suivant la direction de difficile aimantation. La rela-
tion (7.32) prend alors la forme suivante:

U = K sin° 6 — u,HJ,, sin 6. (1.36)
‘Cette fonction est représentée par la figure 7.16, c. On voit que main-
tenant l’énergie du film est minimale pour 8 — 6,,4, > 0. Pour

déterminer 6,,;,, dérivons (7.36) par rapport à 6 et annulons la
dérivée :

_ 80, —=2K sin6,,;n COS6,,;5n — MoHJ » COS 8, =
= COS 6,,5n (2X Sin 65n — MoHT ») = 0. (7.37)
Pour H< H, = 2K/(o/») la nullité de dU/d6 est assurée pour
Sin Opin — Lo) m/(2K). (7.38)

Pour H = H,onasin6,,;, — 1et la position du minimum sera obser-
“vée pour 6,,;:, — 1/2. Elle sera conservée aussi pour H > H,.

L'’aimantation du film suivant la direction de difficile aimanta-
‘tion a pour valeur

Ja = Jm Sin Omin = JmuoH/(2K). (7.39)

Elle croît proportionnellement à Æ (fig. 7.15, c) jusqu’au point À
correspondant à À = H,. Pour À = H, l’aimantation J,,, atteint
-sa valeur maximale

Ja | mex = JhntoHxz/(2K) = (7.40)
‘et reste inchangée pour À >> H, (partie horizontale AB de la courbe
de la figure 7.15, c).

Une situation analogue se présente aussi lorsqu’on applique un
champ H de sens contraire (partie OCD de la courbe de la figu-
re 7.15, c).

Les processus de renversement de l’aimantation des films minces
-s’effectuent, comme il a été décrit plus haut, par une application
rapide du champ magnétique Æ au film. On observe alors une rota-
tion cohérente simultanée des spins et du vecteur aimantation. Le
renversement de l’aimantation peut se faire très vite — pendant un
temps de l’ordre de quelques nanosecondes. Si un film aimante est
placé dans un champ magnétique progressivement croissant, dirige
‘contre le vecteur aimantation du film, il se forme dans le film, pour
une certaine intensité du champ, des germes d’aimantation inverse
‘qui croissent à mesure que À augmente, ce qui conduit finalement
au renversement de l’aimantation de tout le film. C’est un processus

relativement lent qui exige pour sa réalisation quelques microse-
«<condes.

& 7.6] APPLICATIONS PRATIQUES DU FERROMAGNETISME 487

L'intérèt que présentent les films magnétiques réside dans la
possibilité de réaliser à leur aide des mémoires pour les calculateurs
électroniques qui présentent certains avantages sur les mémoires
à ferrites. La figure 7.17 montre un des schémas possibles d'un
élément de mémoire à films magnétiques. Cet élément comporte un
film 2 de permalloy ou de ferrite déposé par pulvérisation sur un
substrat et trois barres métalliques déposées elles aussi par pulvé-
risation : une barre de position 4, une barre des nombres 7 et une
barre de lecture >. L'élément est
réalisé de telle sorte que le champ
de la barre des nombres soit
parallele à la direction de diffi-
Cile aimantation et le champ de
la barre de position soit parallele
à la direction de facile aimanta-
tion. Pour l'écriture de l'infor-
mation on fait passer une impul-
sion de courant dans la barre
de position, en aimantant le
film le: long de la direction de
facile aimantation. Suivant le
sens de cette impulsion le film
reste aimanté, après la cessation Fig. 7.17. Principe de construction
de l'impulsion, soit à +B,, ce d'une cellule de mémoire à film ma-

3 : M gnétique plan.
qui correspond à « 1{ », soit
à —B,, ce qui correspond à
& O»(v. fig. 7.15, b). Pour la lecture une impulsion de courant est
appliquée à la barre des nombres. Le champ magnétique de ce
‘courant fait tourner le vecteur aimantation et diminue le flux magné-
tique le long de la direction de facile aimantation. La diminution
de ce flux induit dans la barre de lecture un signal correspondant.

Les mémoires à films magnétiques minces présentent certains
avantages sur les mémoires à noyaux en ferrites, ce qui explique
les travaux intenses effectués en vue de leur réalisation. Parmi ces
avantages on peut citer les suivants: le renversement de l’aimanta-
tion des films exige de dépenser une énergie beaucoup plus faible
‘que le renversement de l’aimantation des noyaux ; l'opération pénible
de mise en place des noyaux est remplacée par le dépôt par pulvérisa-
tion d'un grand nombre de cellules à la fois avec toutes les barres
et les connexions nécessaires ; l’utilisation de la rotation cohérente du
vecteur aimantation dans les films monodomaines en épaisseur qui
permet d'améliorer sensiblement la rapidité de fonctionnement des
mémoires.

Domaines magnétiques cylindriques (DMC). Considérons mainte-
nant.un film ferromagnétique monocristallin mince (de quelques
dixièmes de micromètre à quelques micromètres) comportant un axe

1885 PROPRIÊTES MAGN£BTIQUES DES SOLIDES (CH. 7.

de facile aimantation unique dirigé perpendiculairement au plan
du film. Les matériaux utilisés pour la fabrication de tels films sont.
le plus souvent des grenats uniaxiaux. Les films eux-mêmes sont
obtenus par croissance par épitaxie sur des substrats non magnéti-
ques.

A l'état désaimanté, l’aire occupée par les domaines d’une direc-
tion de l’aimantation est égale à l’aire des domaines de direction
contraire de l’aimantation et les domaines eux-mêmes représentent.
de minuscules rubans étroits de forme quelconque (fis. 7.18, a).

MERE Ÿ

Fig. 7.1S. Structure en domaines d'un film à direction de facile aimantation
perpendiculaire à la surface: |

a — à l’état désaimanté ; b — en présence d’un champ de polarisation ; e — lorsque le champs
de polarisation correspond à l'existence d’un domaine magnétique cylindrique.

Appliquons maintenant à l'échantillon désaimanté un champ
magnétique extérieur (champ de polarisation) perpendiculaire au
plan du film. Une augmentation progressive de l'intensité du champ
provoque. comme toujours lors de l’aimantation d’un ferromagnéti-
que. un déplacement des parois de Bloch et les domaines à aiman-
tation dirigée le long du champ extérieur augmentent au détriment des
domaines dont l’aimantation est de sens contraire à celui du champ
(fig. 7.18, b). Finalement, le champ de polarisation étant suffisamment
intense. les domaines à aimantation contraire au champ extérieur
disparaissent de sorte que tout le film se trouve aimanté suivant le
champ.

Mais il y a une circonstance bien intéressante à signaler : dans une
certaine gamme de champs de polarisation inférieurs au champ
d’'aimantation complète la forme énergetiquement plus avantageuse
est une forme cylindrique montrée sur la figure 7.18, c et non pas
celle des domaines étroits. Aussi, pour une certaine intensité du
champ de polarisation, y a-t-il formation de domaines magnétiques

& 7.6] APPLICATIONS PRATIQUES DU FERROMAGNETISME 189

c<ylinüriques (DMC) disposés de façon désordonnée au lieu des do-
maiges.en rubans. Ils existent dans le matériau tant que le champ de
polarisation n’augmente jusqu’à un champ dit de collapsus pour
lequel:les domaines cylindriques devenus très petits, disparaissent
totalement.

Si..on diminue maintenant le champ de polarisation au-dessous
du champ de collapsus, les domaines cylindriques ne réapparaissent
pas parce que pour cela la formation de germes est nécessaire, ce
qui n'est possible qu'en appliquant au film un champ inverse dont
l'intensité est supérieure à l’intensité du champ de collapsus. Si un
tel.champ est appliqué à tout le film, il s’aimante tout simplement
dans le sens inverse. Mais si le champ de polarisation direct est
rendu inférieur au champ de collapsus et on applique le champ
inverse de façon localisée (par

exemple, en faisant passer une Direction de déplacement

impulsion de courant par une NIET EN
petite boucle conductrice placée ZÈ TÈ LE È
au-dessus du film) un domaine È È È ZÈ
cylindrique prend naissane RC CR ARR ARR
au-dessous de la boucle et sub- TX TS Ed V4 din
siste après la fin de l'impulsion Dofaine Aælitations

de courant. Ainsi, ce domaine

<ylindrique est un élément de
mémoire dont la présence signifie
que la boucle a été parcourue

Fig. 7.19. Exemple de structure pour
le déplacement du domaine magné-
tique cylindrique.

par une impulsion de courant.

Dans les films minces faits en matériaux tels que les grenats magné-
tiquement uniaxiaux, le rayon des domaines cylindriques ne cons-
titue que quelques dixièmes de micromètre de sorte que la densité
de stockage de l'information peut être tres élevée.

Il est remarquable que pour l'écriture de l'information il n'est
pas nécessaire de faire défiler le film au-dessous de la boucle d’écri-
ture parce que le domaine cylindrique peut être sorti de dessous de la
boucle et déplacé sur le film. On peut le faire par exemple à l'aide
d’un champ magnétique tournant extérieur auxiliaire dirigé le long
du film si l’on porte sur la surface du film des îlots de forme spéciale
(applications) en matériau ferromagnétique (généralement permalloy)
aimanté le long du film (fig. 7.19).

En laissant ici de côté la mécanique de déplacement des domaines
cylindriques au-dessous des applications, indiquons seulement qu'ac-
tuellement la dimension d’une cellule de mémoire se détermine par
la dimension des éléments d'application et non par celle du domaine
cylindrique. En fabriquant des circuits avec une période de près de
3 um par les méthodes de lithographie électronique, on peut attein-
dre une densité de stockage de l'information de l’ordre de
107 bits/cm*.

49 PROPRIETES MAGNEÊTIQUES DES SOLIDES (CH. 7

La lecture de l'information sur la présence ou l’absence de do-
maines cylindriques peut se faire en laissant passer à travers le
film (qui est d'ordinaire transparent) une lumière polarisée. Le
passage de cette lumière à travers le film fait tourner le plan de
polarisation dans un sens ou dans l’autre suivant la direction de
l'aimantation du film (effet Faraday). Une autre méthode d'enregis-
trement des domaines cylindriques est fondée sur le fait que le passage
d’un domaine au-dessous d’une application de permalloy mince fait
varier la résistivité électrique de cette application. Pour l'enregistre-
ment des domaines cylindriques on peut aussi utiliser l'effet Hall
dans un petit échantillon semiconducteur placé sous le film ainsi
que d’autres méthodes.

CHAPITRE 8

PORTEURS DE CHARGES HORS D’ÉQUILIBRE
DANS LES SEMICONDUCTEURS

La rapidité de fonctionnement de nombreux appareils à semiconducteurs se déter—
mine par la vitesse de déroulement des processus de formation et de d tion
des porteurs de charges libres. Le présent chapitre est consacré à l’étude prin-
cipaux facteurs qui contrôlent la eadence de ces processus. On y examine également
les phénomènes de diffusion et de dérive des porteurs de charges libres en cas de
leur répartition inégale dans le semiconducteur. Ces processus déterminent les-
paramètres des appareils tels que les transistors, les photodiodes, etc.

$ 8.1. Porteurs de charges en équilibre et hors
d’équilibre. Quasi-niveaux de Fermi

Notions sur les porteursde charges hors d'équilibre. À une tempéra-
ture différente de O K il se produit dans les semiconducteurs une-
excitation thermique (génération) de porteurs de charges libres. Si
ce processus était le seul à se produire, la concentration de por-
teurs croitrait indéfiniment avec le temps. Mais il y a un autre proces-
sus qui se déroule de pair avec celui de génération, c’est le processus.
de recombinaison : les électrons ayant passé dans la bande de conduc-
tion ou aux niveaux accepteurs reviennent dans la bande de valence
ou aux niveaux donneurs, ce qui conduit à une diminution de la
concentration des porteurs de charges libres. Un équilibre dynamique
entre ces processus, à toute température, conduit à l’établissement
d’une concentration d'équilibre des porteurs décrite par Îles formu-
les (5.13) et (5.16). On dit que ces porteurs sont en équilibre.

Les porteurs de charges libres peuvent être produits dans les.
semiconducteurs non seulement par excitation thermique mais aussi
par d’autres procédés: sous l’action de la lumière, sous l'effet des.
particules ionisantes, par leur injection à travers un contact, etc.
L'action de tels agents a pour effet de faire apparaître des porteurs
libres additionnels, excédentaires par rapport aux porteurs de char-
ges en équilibre. Désignons par r la concentration totale des électrons
et par p la concentration totale des trous. Alors la concentration des.
porteurs en excès ou en non-équilibre sera égale à

An =n—n,, Ap =p— po, (8.1}

où #,, Po Sont les concentrations des porteurs en équilibre.

492 PORTEURS DE CHARGES ‘HORS D'ÊÉQUILIBRE ICH. 8

Si l’intensité de l'agent extérieur reste inchangée, la concentra-
tion des porteurs excédentaires croît d’abord bien vite mais ensuite,
la vitesse de recombinaison augmentant, sa croissance se ralentit
et un état stationnaire s’établit finalement pour lequel la vitesse de
génération des porteurs est égale à la vitesse de leur recombinaison.

Quasi-niveaux de Fermi. La concentration d'équilibre des électrons
et des trous dans un semiconducteur se détermine par le niveau de
Fermi d'équilibre et par la température. Elle est décrite par les for-

mules (5.13) et (5.16). Il est

essentiel de noter que dans les
conditions d'équilibre les. élec-
Éc trons et les trous situés dans

Ÿ les bandes et aux niveaux loca-
Æn lisés ont un même et seul niveau
#, de Fermi (fig..8.1, a). Les por-

Q ? CC #e *

à teurs en équilibre obeissent à la

up”

E, loi d'action de masse (5.36).
Dans les conditions hors
d’équilibre les concentrations
6) des électrons et des trous sont
Dr. : différentes de celles d'équilibre.
Fig. 8.1. Niveau de Fermi pour des

-Semiconducteurs ne contenant que des De (8.1) on tire
porteurs de charges en équilibre (a) et n = no + An, p = po + Ap.

quasi-niveaux de Fermi pour des se- 8 9
miconducteurs contenant des électrons (8.2)
et des trous en excès (b). Quelque élevés que soient les

niveaux dans la bande de conduc-
tion auxquels sont excités les électrons sous l'effet de la lumière, des
particules ionisantes et d’autres facteurs, ils descendent très vite
(pendant —10-H à 10-! s) au niveau inférieur de la bande de conduc-
tion et se répartissent suivant les énergies de la même façon que les
porteurs en équilibre; quant aux trous hors d'équilibre, ils montent
vers le sommet de la bande de valence. Ceci étant, les propriétés
des porteurs en excès ne diffèrent pratiquement en rien des pro-
priétés des porteurs en équilibre. Notamment, si l'apparition de
porteurs en excès ne trouble pas le caractère non dégénéré du gaz de
porteurs libres, pour décrire sa répartition en fonction des énergies
-on peut utiliser la fonction de répartition d'équilibre (5.12). Il
convient seulement de changer la valeur de l’énergie de Fermi p
parce qu'elle détermine le nombre total de porteurs libres dans la
bande de conduction et dans la bande de valence qui est devenu main-
‘tenant différent. Au lieu de (5.13) et (5.16) il faut écrire

n = no + An = N,exp [u/(kT)], (8.3)

Eg+
P=Po+Ap= AN, exp (—--). (8-4)

$ S.2] DURÉE DE VIE 193

Ici, uw, et pp (que l’on appelle quasi-niveaux de Fermi) jouent
le rôle des niveaux de Fermi pour les électrons et les trous. Ils ne
coïincident ni l’un avec l’autre, ni avec le niveau de Fermi d'équilibre
(fig. 8.1, db). Les porteurs hors d'équilibre n’obéissent non plus à la
loi d'action de masse: np ni.

$ 8.2. Durée de vie

Le processus de génération de porteurs est caractérisé par la
vitesse ou la cadence de génération qui est égale au nombre de porteurs
(ou de paires de porteurs) excités par seconde dans un volume unité
du semiconducteur.

Le processus de recombinaison est caractérisé par la vitesse de re-
combinaison qui s'exprime par le nombre de porteurs (de paires de
porteurs) qui se recombinent chaque seconde dans un volume unité
du semiconducteur. Chaque porteur de charge libre, qui fait son
apparition dans une bande correspondante par suite de la génération,
y séjourne, avant de se recombiner, en moyenne un certain temps
qu’on appelle temps (ou durée) de vie +. La vitesse de recombinaison,
la concentration des porteurs et leur durée de vie sont liées entre
elles par les relations

Ra = n/tn, Rp = P/Tp: (8.5)

où Rh, Rp et Tn, Th sont les vitesses de recombinaison et les durées
de vie des électrons et des trous respectivement.

Si les électrons et les trous apparaissent dans le semiconducteur
par paires, ils se recombinent également par paires et, à l'état station-
naire, leurs vitesses de recombinaison sont égales l’une à l’autre.
Alors

nt = P/Tp. (8.6)

Ordinairement nr —p et donc t, Æ tp.

Comme le montre (8.6), la durée de vie des porteurs majoritaires
est plus grande que celle des porteurs minoritaires. En outre, les
durées de vie elles-mêmes varient en fonction de la concentration des
porteurs hors d'équilibre An et Ap. Supposons que An = Ap,ce qui
est souvent le cas. Alors, le rapprochement entre (8.2) et (8.6) donne

no + An Es Po + An (8 7)
Tn T °
Si rs Po cette égalité ne peut être vérifiée pour des valeurs diffé-
rentes de An que dans le cas où 7, et t, varient en fonction de An.
Pour éviter des complications qui en résultent, on a convenu de
ranger les porteurs en équilibre », et p, dans un groupe distinct avec
les durées de vie t, et t, qui assurent l'égalité des vitesses de recom-
binaison d'équilibre
Ro = no/Tn = Po/Tps (8.8)
13—726

194 PORTEURS DE CHARGES HORS D'ÉQUILIBRE (CH. 8

et de considérer que les durées de vie 7, et t,, et par conséquent les
vitesses de recombinaison des porteurs en équilibre, ne dépendent
pas de An. Pour ce qui est des porteurs hors d'équilibre, on leur
attribue leur durée de vie t qui détermine leur vitesse de recombi-
naison

d (A Â
R= Die. (8.9)

Le signe moins indique qu’au cours de la recombinaison la concentra-
tion des porteurs diminue.

Supposons que dans le semiconducteur des porteurs excédentaires
Ans = Ap, sont excités sous l’action de la lumière. Après l’élimi-
nation de la lumière ces porteurs
se recombinent de sorte que leur
concentration diminue progressi-
vement. En intégrant l'équation
(8.9), on obtient

An = An, exp (—t/t). (8.10)

L'équation (8.10) montre que
An — An,/e pour t = T.

Ainsi, la durée de vie moyenne
Fig. 8.2. Schéma de la recombinaison des P oreL rs de charge excëden-
bande à bande et de la recombinaison {aires est égale au temps *+ au cours
par un niveau localisé dans la bande duquel leur concentration devient,

interdite. par suite de la recombinaison, e
jois plus faible.

Le processus de transition de l’électron de la bande de conduction
dans la bande de valence lors de la recombinaison peut se faire direc-
tement à travers toute la bande interdite Æ, comme l'indique la
flèche 7 de la figure 8.2 ou d’abord à un niveau d’impureté E, (fle-
che 2) et ensuite du niveau d’impureté dans la bande de valence
(flèche 3). Dans le premier cas la recombinaison est dite recombinai-
son bande à bande et dans le second cas recombinaison par l’intermé-
diaire du niveau d’impureté. Examinons-les avec plus de détails.

Recombinaison bande à bande. Dans les conditions d'équilibre
thermique, la vitesse de recombinaison bande à bande R, est propor-
tionnelle à la concentration des électrons nr, et à celle des trous po
et elle doit être égale à la vitesse de génération £g,:

Ro = YoPo = V'Ë = Lo. (8.11)

Le coefficient de proportionnalité
Ÿ = 8o/ri (8.12)

est appelé coefficient de recombinaison.

6 8.2] DURÉE DE VIE 195

Si le semiconducteur est soumis à l’action d’un facteur extérieur,
qui fait augmenter de g la vitesse de génération de porteurs, la
vitesse de leur recombinaison augmentera de À. La concentration
stationnaire des électrons r — nr) + An et des trous p = p, + Ap
s’établira lorsque la vitesse totale de recombinaison R, + R de-
viendra égale à la vitesse totale de génération g, +£ :!

Ro + R = 7%(ñ0 + An) (po + AP) = & + £. (8.13)
En y portant la valeur de y tirée de (8.10), on obtient
Lo + £ — (Lo/rÀ) (RoPo + RoNP + PoAr + AnAp). (8.14)

Pour un niveau bas d’excitation du semiconducteur par un fac-
teur extérieur, lorsque An, Ap & (no + Po), le dernier terme dans
le second membre de (8.14) peut être négligé; en outre, compte tenu
que An — Ap, noPo = nr, on trouve |

R = 8 = (&o/ni) (no + Po) An. (8.15)
Il résulte de (8.15) que dans ces conditions La vitesse de recombinaison
des porteurs de charges excédentaires est proportionnelle à leur concen-
tration. Une telle recombinaison est dite linéaire. La durée de vie

des porteurs hors d'équilibre lors de la recombinaison linéaire a pour
valeur

rt = An/R = An/g = n#/[go (ro + Po)l. (8.16)

Elle ne dépend pas de l’intensité de l'excitation et se détermine
par le degré de dopage du semiconducteur (r, ou p,), en décroissant
en raison inverse de la concentration de l’impureté de dopage. En
effet, pour un semiconducteur de type r contenant une impureté
donatrice W ;, on a dans le domaine de déplétion r = nn0 = Nid

ni 1 LL "% 1
D Po = Pno tt Tn=—.—ZS—.——; pour un semiconducteur de
, &o re £o Na
n°: .
type P Tp nn z T£.—. La durée de vie ta sa valeur maxi-
£8o Ppo £o Na

male dans les semiconducteurs intrinsèques pour lesquels nr, = ps =
— n;. Dans ce cas, (8.16) prend la forme
T; —= ni/(280). (8.17)

Pour un niveau d’excitation élevé quand An = Apÿ (ns + Po),
le dernier terme du second membre de (8.14) devient prédominant
de sorte que

R=g=<# (An), (8.18)

cest-à-dire que la vitesse de recombinaison des porteurs excédentaires
devient proportionnelle au carré de leur concentration. Une telle recom-
binaison est dite quadratique. La durée de vie des porteurs hors

196 PORTEURS DE CHARGES HORS D'ÉQUILIBRE (CH. 8

d'équilibre lors de la recombinaison quadratique
a (8.19)

est inversement proportionnelle à leur concentration.

Lors de la recombinaison bande à bande l'énergie peut se dégager
soit sous la forme d’un quantum de lumière hv, soit sous la forme de
la chaleur (phonons). Dans le premier cas elle est dite radiative et
dans le second cas non radiative. Comme le montrent les calculs
et les expériences, la recombinaison bande à bande radiative peut
avoir une importance substantielle pour les semiconducteurs à bande
interdite étroite aux températures relativement hautes (ordinaire et
plus élévée). Quant aux semiconducteurs à bande interdite large,
le mécanisme principal, responsable de la recombinaison, y est la
recombinaison non radiative par les niveaux d'impureté. Toutefois,
dans certaines conditions on peut atteindre dans ces semiconduc-
teurs eux aussi un niveau relativement haut de recombinaison radia-
tive. Comme il résulte de (8.16) et (8.19), cela est favorisé notamment
par l'augmentation de la concentration des porteurs excédentaires
dans le semiconducteur et l'augmentation du degré de son dopage.

Recombinaison par les niveaux localisés. Le mécanisme de la
recombinaison à travers les niveaux localisés consiste en ce que
l’électron passe de la bande de conduction d’abord à un niveau
localisé dans la bande interdite et ensuite à un niveau libre dans
la bande de valence (fig. 8.2). Une telle recombinaison en deux étapes
est souvent beaucoup plus probable que la recombinaison directe
d'un électron et d’un trou examinée plus haut.

Les niveaux localisés dans la bande interdite peuvent constituer
des centres efficaces de recombinaison s'ils sont situés loin du niveau
inférieur de la bande de conduction et du sommet de la bande de
valence; dans le cas contraire ils jouent le rôle des niveaux de
collage parce que le porteur capté par eux est réinjecté, au bout d'un
certain temps, dans sa bande. Les centres de recombinaison sont
souvent appelés pièges et le processus de passage de l’électron de la
bande de conduction à un niveau libre de recombinaison est appelé
capture d'un électron par un piège. D'une manière analogue, le passa-
ge d’un électron d’un piège à un niveau libre dans la bande de valence
avec libération du niveau de piège s'appelle capture d'un trou par
un piège.

Examinons ces processus de façon un peu plus détaillée. Séparons
dans le semiconducteur une couche à faces parallèles d'épaisseur dz,
perpendiculaire à la direction de mouvement des électrons (fig. 8.3, a).
Désignons par NW, la concentration des pièges. En considérant la
capture d'un électron, on peut assimiler chaque piège à une sphère
de rayon r. En pénétrant dans cette sphère, l’électron subit une
collision et est capturé par le piège. Si l'on effectue, par la pensée,

& 8.2] DURÉE DE VIE 197

Ja radioscopie de la couche séparée, on verra que les pièges constituent
une sorte de disques de surface À, — nr° (fig. 8.3, b). Si un électron
passant par la couche tombe dans un de tels disques il est capturé
par le piège. C’est pour cette raison que À, est appelée section efficace
de capture d'un électron.

Désignons par S la surface de la couche séparée. Le volume de
cette couche est égal à S dx et le nombre de pièges qu'il contient est

Fig. 8.3. Etablissement de la relation pour la probabilité de capture de porteurs
par des pièges.

Nh.uvSdz, où Nue est la concentration des pièges non occupés
par les électrons (seuls ces pièges sont capables de capturer les élec-
trons). La surface totale de capture de ces pièges a pour valeur

Scapt AnN p.libSdz.

La probabilité pour qu'un électron traversant la couche subisse une
collision avec un piège est évidemment égale au rapport de Sun à S :

dW, — S'eapt/S 7 AnN p.1ivdt.
Comme dz = v,dt, où v, est la vitesse de l’électron, on a
dW, — AnN p.tib Undt.

En divisant par dt le premier et le second membre de cette relation,
on obtient

. dw ‘
Pr = TE =A,N,. 1id Un (5.20)
où , est la probabilité de capture d’un électron par un piège
rapportée à l'unité de temps.

Une expression analogue peut être obtenue pour la probabilité
de capture d'un trou:

Pp = AN p.oceVp» (8.21)
où A,est la section efficace de capture d'un trou par un piège ;

Np. oce la concentration des pièges occupés par les électrons
(libres pour la capture de trous); v, la vitesse moyenne des trous.

498 PORTEURS DE CHARGES HORS D'ÉQUILIBRE

(CH. 8

I1 convient de noter que dans le cas général 4, = À, ; les valeurs
de ces sections efficaces sont généralement comprises dans les limi-
tes de 10-17 à 10-*5 m°.

En plus des processus de capture des électrons et des trous par des
pièges, il convient de tenir compte aussi des processus inverses,
à savoir de l'excitation thermique des électrons situés aux niveaux
des pièges dans la bande de conduction et de la bande de valence aux
niveaux libres des pièges. Ce dernier processus peut être considéré
comme une expulsion thermique des trous des niveaux des pièges dans
la bande de valence. Dans le diagramme énergétique (v. fig. 8.2) ces

SO s à processus pourraient être repré-

sentés par des flèches contraires

coco eee | aux flèches 2 et 3.
a e : ,
Ù Dans certains cas particuliers
= de la recombinaison par les piè-

ges, il est facile d'obtenir des
expressions pour la durée de vie

Por RE des porteurs de courant. Consi-
; dérons un semiconducteur qui ne
pe, comporte qu’un seul niveau des

= = £, pièges situé près du milieu de la

bande interdite. Dans ce cas,
dans un semiconducteur de type
n assez fortement dopé, le niveau
de Fermi up se situe, dans les
conditions d'équilibre thermique,
de plusieurs ÀT plus haut que le niveau des pièges £E, et tous les
pièges sont occupés par les électrons (fig. 8.4). De tels pièges ne peu-
vent pas capturer des électrons de la bande de conduction mais ils
sont capables de relâcher leurs électrons qui passent dans la bande
de valence, c’est-à-dire de capturer un trou (flèche en traits pleins
de la figure 8.4). Le temps moyen nécessaire pour la capture d’un
trou par n'importe lequel des pièges est égal à

tpo = LP po = 1/ (ApN pp), (8.22)

où P,, désigne la probabilité de capture d’un trou par des pièges
rapportée à l'unité de temps (8.21) dans les conditions lorsque tous
les pièges sont occupés par les électrons, c’est-à-dire lorsque W, ee —

Fig. 8.4. Schéma de la recombinaison
par un niveau des pièges dans un semi-
conducteur de type #7 manifeste.

Dès que le piège devient libre, il sera occupé immédiatement par
un des électrons de la bande de conduction qui sont très nombreux
dans un semiconducteur de type nr fortement dopé (flèche en traits
interrompus de la figure 8.4) et l’acte de recombinaison sera achevé.

Ainsi, l'expression (8.22) détermine la durée de vie des porteurs
minoritaires — des trous — dans les conditions d'équilibre thermi-
que. Pour un faible niveau d'’excitation du semiconducteur lors-

6 8.2] DURÉE DE VIE 499
|

qu'aux électrons et aux trous en équilibre s'ajoutent des porteurs de
charges hors d'équilibre, les pièges sont comme précédemment occu-
pés par les électrons et les conditions de capture des trous par ces
pièges restent inchangées. Cela signifie que la formule (8.22) déter-
mine aussi la durée de vie des trous hors d’équilibre, c'est-à-dire tout
simplement la durée de vie des porteurs de charges hors d'équilibre.
En opérant de façon identique, on peut obtenir une expression
pour la durée de vie des porteurs de charges minoritaires et hors
d'équilibre dans un semiconducteur de type p fortement dopé:

Tno = 1/Pno = 1/(AaN nan). (8.23)

Dans le cas général, lorsque le degré de dopage du semiconducteur
n’est pas trop élevé, l’étude des processus de génération-recombinai-
son peut s'avérer assez fastidieuse. Hall, Schockley et Read ont
effectué une analyse correspondante pour un seul niveau des pièges
et ont obtenu pour la vitesse de recombinaison des porteurs hors
d'équilibre, dans les conditions stationnaires, l'expression suivante:

= (rot) (pot Ap) ape ;
d (0+ An + np) Tpo +(po+ AP + Pp) Tno ? (8.24)

où #0, Po sont les concentrations d'équilibre des électrons dans la
bande de conduction et des trous dans la bande de valence; ñn.,, Ph
les concentrations d'équilibre des électrons dans la bande de conduc-
tion et des trous dans la bande de valence lorsque le niveau de Fermi
coïncide avec le niveau des pièges £,, et t,, et tx, sont déterminés
par les expressions (8.22) et (8.23) respectivement.

Dans le cas de la recombinaison à travers les pièges An peut ne
pas coïncider avec Ap parce qu’une partie d'électrons ou de trous
hors d'équilibre peut se trouver dans des pièges en modifiant le
degré de leur occupation. Toutefois, si les pièges ne sont pas trop
nombreux et le degré d’excitation du semiconducteur n’est pas trop
petit de sorte qu est satisfaite la condition VN,& An, Ap,ona An &
= Ap et la formule (8.24) prend alors la forme

_ (r0 + Po) An + (An)*
(ro + np + An) Tho+ (Po Pp + An) Tno |

Enfin, si les conditions An< (ro + np), (Pa + Pp}, (fo + Po)
sont satisfaites toutes à la fois, l'expression (8.25) devient

R = (ro + Po) An
(ro+ np) Tpo + (Po+ Pp) Tno |

Alors, en faisant usage de la relation (8.9), on peut déterminer la
durée de vie des porteurs hors d'équilibre

(8.25)

__ AR __ Rotrp Po + P
T = R = nn Trot pe Vno- (8.27)

200 PORTEURS DE CHARGES HORS D'ÉQUILIBRE [CH. &$

En cas d’un fort dopage par exemple pour un semiconducteur de ty-
pe », lorsque mn Ÿ np, Pp; Po, la relation (8.27) donne t = 1,4. De
façon analogue, pour un semiconducteur de type p, t = T:,. Cette
conclusion a déjà été faite plus haut [v. (8.22) et (8.23)]. Pour de tels
semiconducteurs la durée de vie ne dépend pas du degré de dopage
par des donneurs ou par des accepteurs de faible énergie, elle se
détermine uniquement par la concentration des pièges N, et par leur
type (par les grandeurs 4, et À,). La figure 8.5 montre les cour-
bes de variation de la durée de vie en fonction du degré de dopage

14 7
TR rypep pen 9%

Fig. 8.5. Variation de la durée de vie des porteurs hors d'équilibre en fonction
de la concentration des porteurs de courant majoritaires.

d'un semiconducteur pour deux concentrations des pièges (pour
fixer les idées on a pris Tho < Tpo). C’est dans un semiconducteur
intrinsèque que la durée de vie atteint sa valeur maximale.

Dans le cas d’un très haut niveau d'’excitation les expressions
(8.25) et (8.9) donnent

= Tpg + Tno- (8.28)

Si plusieurs canaux de recombinaison, indépendants l'un de
l’autre, sont possibles, la probabilité de recombinaison doit être éga-
le à la somme des probabilités de recombinaison par des canaux
distincts et la durée de vie effective t doit être déterminée par la
relation suivante:

| 1
—= 2 —. (8.29)

où T4 est la durée de vie déterminée par le k-ième canal de recom-
binaison. La durée de vie effective se détermine ainsi par la plus petite
de ces durées de vie « particulières ».

$ 6.3] ÉQUATION DE CONTINUITÉ 20t

$ 8.3. Equation de continuité

La concentration des porteurs de charges libres peut varier dans
une région ou dans une autre non seulement par suite de leur généra-
tion ou leur recombinaison mais également par suite de leur déplace-
ment dans le cristal, c’est-à-dire par suite du passage des courants.
Considérons par exemple comment varie le nombre de trous dans un
certain élément de volume du cristal dV — dzdydz (fig. 8.6) par
suite du passage des courants de trous de densité i, — ip (Z, y, 2).
A travers la face J de surface dy dz, pendant un petit temps dt, entre-
ra dans l'élément de volume considéré une charge i,. (x, y, z) dy dz dt,

Fig. 8.6. Etablissement de l'équation de continuité.

c'est-à-dire un nombre dP, de trous égal à
dPi= ip(z, y, 2) dydzdt.
Pendant le même temps, dP, trous quitteront le volume considéré
par la face 2:
dP.=i,.(z+dx, y, 2) dydzdit.
La variation de la concentration des trous au voisinage du point de

coordonnées z, y, z sera obtenue si on retranche dP, de dP, et divise la
différence par le volume dV. Ainsi il vient

| oi
dp=<lipe (tr Y 2)—ipe (+ dx, y, 2)]dt/dz= — +2

Des contributions analogues seront apportées à la variation de la
concentration des trous par des composantes du courant de trous
suivant les axes des y et des z. Finalement on obtient

Op\ 1 f px Oipy | Oipz | A1 ,. .
Fe ar à 0x La dy + z ]=——divi,, (8.30)

où (Gp/ôt):, désigne la variation de la concentration des trous par
suite du passage des courants de trous.

dé.

202 PORTEURS DE CHARGES HORS D'ÉQUILIBRE (CH. 8

La variation de la concentration des électrons a pour expression

on À,
Che =— divi,. (8.31)
Maintenant on peut écrire pour la variation des concentrations
une expression tenant compte de tous les facteurs :
Op LS.
8.32)
on : RP (
Tnt 2 NL GE divi,.
Ces relations portent le nom d'équations de continuité. Comme les
valeurs d'équilibre des vitesses de génération et de recombinaison
{g, et RQ) sont égales, on peut dans (8.32) tenir compte seulement
des vitesses de génération des porteurs de charge hors d'équilibre.
De plus, on peut profiter des (8.2) et (8.9) pour mettre l'équation de
continuité sous une forme plus commode :

0 (Ap) ess Ap | Se La e
ô (An) An | À iv: (8.33)

Ici, g sont les vitesses de la génération additionnelle des électrons et
des trous (on suppose que la génération est de bande à bande) et t, , t»

les durées de vie des électrons et des trous hors d'équilibre respective-
ment.

$ 8.4. Diffusion conjointe des porteurs hors
d'équilibre
Les courants d'électrons et de trous dans les semiconducteurs
prennent naissance par suite de la dérive des porteurs de charges

libres dans un champ électrique et de leur diffusion. Les densités des
courants de dérive se déterminent par les expressions

in der — enun6 ip der — EPUpÉ; (8.34)

où u, et u, sont les mobilités des électrons et des trous respective-

ment. Quant aux densités des courants de diffusion, elles ont pour
expression

il, dif =eD, grad nm, ip dif — —eD, grad D, (8.35)

où D, et D, sont les coefficients de diffusion des électrons et des
trous respectivement. Les densités totales des courants d'électrons
et de trous sont égales à la somme de leurs composantes de dérive et de
diffusion :

in —=inder Findifs Ùp—=iy. der Tip dif: (8.36)

$ 8.4) DIFFUSION CONJOINTE DES PORTEURS HORS D'ÉQUILIBRE 203
er

Les coefficients de diffusion des porteurs de charges sont liés à leurs
mobilités. Pour des gaz non dégénérés de porteurs cette liaison est
établie par la relation d’'Einstein :

D=T y. (8.37)

Dans le cas général, les mobilités et donc les coefficients de diffu-
sion des électrons et des trous sont différents. C’est ainsi que dans le
germanium et le silicium la mobilité des électrons est à peu près deux
fois celle des trous. |

Le champ électrique @ figurant dans (8.34) n est pas obligatoire-
ment produit par des charges extérieures, il peut prendre naissance
aussi dans le cas où l’électroneutralité du semiconducteur lui-même
æst troublée. Notamment, si le semiconducteur n’est soumis à aucune
différence de potentiel extérieure, mais dans une quelconque de
ses régions sont générés (inégalement suivant l'échantillon) des
porteurs de charges hors d'équilibre, un champ électrique « incorporé »
naît automatiquement qui fait équilibre aux courants d'électrons
et de trous.

Examinons de plus près ce processus. Supposons qu'une lumière
d'énergie des quanta kv > E, tombe sur la surface d’un semicon-
ducteur. Une telle lumière est fortement absorbée dans le semicon-
ducteur en y faisant naître des paires électron-trou. Comme les por-
teurs hors d'équilibre ne sont pas immobiles mais participent, de
même que les porteurs en équilibre, à l'agitation thermique désordon-
née, ils diffusent vers les régions profondes du semiconducteur et,
chemin faisant, se recombinent. Le coefficient de diffusion des
électrons D, et le coefficient de diffusion des trous D, sont différents
(d'ordinaire D, > D,) et il semblerait que la concentration des
‘électrons An et celle des trous Ap devraient diminuer à mesure qu’on
S’éloigne de la surface, comme le montre la figure 8.7, a. Toutefois,
comme il est visible sur cette figure, dans ce cas il y a apparition de
charges d'espace et donc d’un champ électrique. Mais si un champ
électrique naît dans un semiconducteur, il se produit une dérive de
porteurs dans ce champ qui tend à annuler les charges d'espace,
à égaliser les concentrations des porteurs excédentaires dans chaque
point du semiconducteur. Il en résulte que les porteurs hors d’équi-
libre se répartissent comme l'indique la figure 8.7, b comme s'ils
diffusaient avec un certain coefficient effectif de diffusion D,;;, le
même pour les électrons et pour les trous. Proposons-nous de déter-
miner ce coefficient de diffusion effectif. Dans les conditions station-
naires, la densité totale des courants d'électrons et de trous dans
Chaque section du semiconducteur doit être égale à zéro:

in +ip = 0. (8.38)

204 PORTEURS DE CHARGES HORS D'ÉQUILIBRE (CH. &

En combinant (8.34) et (8.35) et en tenant compte du fait que la
diffusion et la dérive s'effectuent dans le cas considéré suivant une
même direction — le long de l'axe des z — récrivons (8.38) sous
la forme

d ; d
enuh € +eD, + epupé —eD, = (. (8.39}

Ici € est l'intensité du champ « incorporé » qui apparaît automati-
quement par suite d’une différence entre les coefficients de diffu-
sion des électrons et des trous. Dans (8.39) les dérivées de n et p
peuvent être remplacées par les dérivées de An et Ap. En outre nous

87,4p

Fig. 8.7. Explication de la cause d'une diffusion conjointe des porteurs hors
d'équilibre.

admettrons que pratiquement An — Ap. Alors, on tire de (8.39)
L _ d (An) |
E=(Dp— Da) Ge (run +pup) * 0

Ceci étant, la composante électronique à, de la densité de courant.
peut s’écrire sous la forme

d (An) 1 d(Ar) _
dz (nun+pu)) +eD dz
(runDp+PupDn) d (An)

Re (8.41)

in = enuün (D — Dh)

L'expression obtenue peut être interprétée de façon formelle.
comme donnant le courant dû uniquement à la diffusion [comparer
à (8.35)], si le facteur devant d (An) dz est pris pour coefficient de:
diffusion effectif des électrons hors d'équilibre. Une expression abso-
Jument identique est obtenue pour le coefficient de diffusion effec-

$ 8.4] DIFFUSION CONJOINTE DES PORTEURS HORS D'EQUILIBRE 205

tif des trous hors d'équilibre. En remplaçant dans (8.41) les mobili-
tés par les coefficients de diffusion conformément à la relation
d’Einstein (8.37), on obtient

D =@+p)](5-+5). (8.42)

Pour un semiconducteur intrinsèque D,;; = 2D,D (D; + Dh),
c'est-à-dire que son coefficient de diffusion effectif a une valeur
intermédiaire entre celles des coefficients de diffusion des électrons er
des trous. Quant aux semiconducteurs extrinsèques manifestes, leut
coefficient de diffusion effectif est égal au coefficient de diffusion
des porteurs minoritaires. C'est ainsi que D.,; — Dp pour n> p et
Dj; = D, pour p>ÿ n. Dans ces cas, la chaise d'espace des por-
teurs minoritaires est facilement compensée par de nombreux porteurs
majoritaires qui « poursuivent » constamment les porteurs minoritai-
res en diffusion.

Déterminons maintenant la répartition stationnaire (0(An) dt—
— 0) des porteurs hors d'équilibre derrière la couche dans laquelle
la lumière tombante provoque une génération appréciable de paires
<lectron-trou. 11 est commode de prendre la coordonnée de l'extré-
mité de cette couche pour zéro (origine). L’équation de continuité
pour z > 0, où g = 0, prend alors la forme suivante :

+ + De = 0. 8)

Ici test la durée de vie des porteurs hors d'équilibre. La solution
de cette équation est de la forme

An (z)= An (0) e-*V Def = An (0)e-x/L, (8.44)

L=V Des (8.45)

est une longueur dite de diffusion. Elle détermine la valeur moyenne
de la profondeur de pénétration des porteurs hors d'équilibre depuis
des régions où s'effectue la génération de paires électron-trou.
Notons que si les porteurs injectés dans le semiconducteur à tra-
vers le plan z = 0 étaient uniquement des porteurs minoritaires, une
charge d'espace y prendrait naissance. Pour compenser cette charge,
des porteurs majoritaires viendraient de la profondeur du semicon-
ducteur de sorte que la répartition des électrons et des trous excéden-
taires pour z >> 0 serait la même que celle obtenue plus haut.
Faisons maintenant quelques évaluations numériques pour justi-
fier les arguments avancés. Considérons par exemple le silicium de
type n avec une concentration des électrons nr — 1016 cm-°. La

206 PORTEURS DE CHARGES HORS D'ÉQUILIBRE (CH. &

concentration des porteurs dans un semiconducteur intrinsèque à la
température ordinaire nr, Æ 101 cm”. Alors, suivant la loi d'action
de masse p, Æ 10% cm-*. Supposons maintenant que près de la sur-
face est créée, sous l’effet d’un rayonnement lumineux, une concen-
tration excédentaire des porteurs An — Ap — 1014 cm”. Si la durée
de vie des porteurs hors d'équilibre est égale à 1 us, la longueur de
diffusion est L Æ 0,0035 cm. Alors le gradient de concentration pour
z = 0 est égal à An/L = 3-1016 cm-t et, suivant (8.40), l'intensité
du champ « incorporé » vaut = 0,05 V/em. Dans un tel champ, la
composante de dérive de la densité de courant des porteurs minori-
taires — des trous — est ip 4er © 3,5:1074 A/cm° Îles mobilités
u, et u, sont prises égales respectivement à 1300 et 500 cm:/(V:s)l
et la composante de diffusion ip giyy Æ 6-10? A/cm:.

On peut en conclure que les porteurs minoritaires ne « ressentent »
pas en fait le champ électrique créé et que leur mouvement s'effectue
uniquement par diffusion. Il n’en est plus de même pour les porteurs
majoritaires. Comme ïils sont beaucoup plus nombreux, leurs cou-
rants de dérive sont beaucoup plus intenses que les courants de dérive
des porteurs minoritaires.

Regardons maintenant comment est justifiée l'hypothèse que les
concentrations des électrons et des trous hors d'équilibre sont pratique-
ment égales, c'est-à-dire que An — Ap par suite de l’égalisation de
leurs courants par le champ « incorporé ». Pour que le champ & exis-
te, il faut que la compensation des électrons par les trous ne soit
pas complète. Les charges et les champs sont liés par l'équation de
poisson :

dv dé _ p (x)
de en ee

où p (x) est la densité de la charge d'espace ; V le potentiel du champ
électrique et ee, pour le silicium est de 10-12 F/cm. Etant donné
qu’en l’absence de porteurs hors d’équilibre dans un semiconducteur
homogène est partout satisfaite la condition d’électroneutralité, une
charge d'espace prend naissance si An Ap:

p(z)=e(Ap— An). (8.47)

Dans l'exemple considéré | dé/dz | est maximal pour z = 0 et
est égal à 10 V/cm°. De (8.46) et (8.47) on obtient alors que
| (Ap — An) | = 108 cm-*. Cette valeur est réellement beaucoup plus
petite que les concentrations excédentaires elles-mêmes égales
a = 101 cm“.

Examinons enfin la rapidité avec laquelle est compensée la charge
des porteurs d’un même signe injectés dans le semiconducteur.
Négligeons la recombinaison des porteurs au cours du processus
examiné. Alors, les équations de continuité dans le cas unidimension-

$ 8.4] DIFFUSION CONJOINTE DES PORTEURS HORS D'EÉQUILIBRE 207

nel prennent la forme

9(Ap) ___ 1 ip

dt _ e dz”
O(An) __ 1 din (8.48)
dt ee dr

La vitesse de disparition de la charge d'espace dont la densité
p (x) = e (Ap — An) est obtenue en retranchant de la première
équation (8.48) la seconde:

0 ô d . :
= le (Ap — An)] == Up Ün)e (8.49)
Tant que le champ électrique engendré par les charges d'espace
est relativement intense, on peut considérer que les courants circu-
lent dans le semiconducteur principalement par dérive. Alors

i— ip + in = 06, (8.50)

où © est la conductivité électrique du semiconducteur. Si le niveau
d'injection est faible, c'est-à-dire si (An + Ap) (ro + Po), on peut.
considérer que ©6 æ &, et alors

oi d6 :
de — (op, Gz * (8.51)

Exprimons 06/0x en fonction de la densité de la charge d'espace
suivant l'équation de Poisson (8.46), il vient

+ — — ep. (8.52)
La solution de cette équation est de la forme
p (£) = p (0) e—vot/(eeo) = p (0)e 7 TM. (8.53)
Ici, p (0) désigne la densité initiale de la charge d'espace et
Ta = EE0/O (8.54)

est un temps de relaxation dit de Maxwell.

Pour le silicium, même de faible conductivité électrique ©, =
— 1 ohm-!-cm-!, le temps de relaxation t;, & 10-!? s. On voit que
les temps de relaxation des charges d'espace dans les semiconduc-
teurs sont très petits. À propos, cela montre qu’on a eu raison en négli-
geant plus haut la recombinaison des porteurs hors d'équilibre du-
rant le temps de relaxation. Il convient de noter que bien que le
temps de relaxation de Maxwell ne dépende pas du type de porteurs
injectés (majoritaires ou minoritaires) qui donnent lieu à la forma-
tion d'une charge d'espace, cette relaxation se produit toujours.

208 PORTEURS DE CHARGES HORS D'ÉQUILIBRE ICH. $

aux frais des courants de porteurs majoritaires. C’est pourquoi, lors-
que les porteurs injectés sont minoritaires, les porteurs majoritaires
viennent les compenser. Si on injecte des porteurs majoritaires, il se
produit une résorption, une redistribution de leur charge. Dans le
premier cas, au bout du temps tx la concentration augmentée des
porteurs minoritaires est conservée et des porteurs majoritaires
venant de la profondeur du semiconducteur ou du circuit extérieur
s'approchent des porteurs minoritaires de sorte que An — Ap tandis
que dans le second cas les porteurs hors d'équilibre se répartissent

sur tout l'échantillon ou s’en vont dans le circuit extérieur et An —
= Ap = 0.

CHAPITRE 9

PHENOMEÈNES OPTIQUES ET PLASMIQUES
DANS LES, SEMICONDUCTEURS

Les effets optiques que présentent les semiconducteurs sont utilisés dans les divers
photorécepteurs, les convertisseurs de l’énergie solaire en énergie électrique, les
sources de radiations à semiconducteurs et dans certains autres appareils opto-
électroniques. Les principaux types de ces appareils seront étudiés au cours des
chapitres qui suivent. Quant au chapitre actuel, il se propose d'examiner la nature
des processus optiques les plus importants qui sont l° rption et l’émission de la
lumière ainsi que le principe de fonctionnement de la photorésistance qui est le
photorécepteur le plus simple (mais très important en pratique).

La deuixème partie de ce chapitre est consacrée à l'étude des effets acousto-
électriques et des effets de réchauffage du gaz électronique dans des champs électri-
ques intenses qui sont eux aussi largement utilisés dans l’électronique moderne.

$ 9.1. Absorption de la lumière

Coefficient d'absorption de la lumière. Dirigeons un faisceau de
lumière de puissance W, (fig. 9.1) sur un semiconducteur homo-
gène. À mesure que la lumière pénètre dans le semiconducteur,
elle s’absorbe progressivement et sa puissance diminue. Découpons,
à une profondeur x à partir de la surface, une mince couche semicon-
ductrice dx. La puissance de l'énergie lumineuse dW absorbée par
la couche dx est proportionnelle à la puissance W de la lumière tom-
bant sur cette couche et à son épaisseur :

dW= —aW dr. (9.1)

Le signe moins indique que la puissance diminue. Le coefficient de
proportionnalité & est appelé coefficient d'absorption. Pour dx = 1 on
a a = —dW/W. Le coefficient d'absorption est donc numériquement
égal à la variation relative de puissance de la lumière sur un chemin
unité parcouru dans le milieu absorbant. La dimension du coefficient
d'absorption est l’inverse d’une longueur (m-}, cm1).
En intégrant (9.1) compte tenu de la réflexion sur la surface, on
obtient
W=W,({ — rjer«x, (9.2)

où r est le coefficient de réflexion de la lumière. Dans des milieux
non homogènes il se produit non seulement l’absorption de la lumière,
mais également la diffusion de la lumière sur les pores, les inclusions,
etc., mais de tels milieux ne seront pas considérés dans la suite de
cet ouvrage.

14-726

210 PHÉNOMÈNES OPTIQUES ET PLASMIQUES (CH. 9
en Sn

Proposons-nous maintenant d’examiner la nature des divers
mécanismes de l'absorption de la lumière dans les semiconducteurs.
Absorption propre. Lors de l’absorption propre l'énergie de la
lumière pénétrant dans le semiconducteur est dépensée pour l’excita-
tion des électrons de la bande de valence dans la bande de conduc-
tion (fig. 9.2). En raison de la loi de la conservation de l'énergie,

H,
x %
r

Fig. 9.1. Explication de la loi d'absorp- Fig.9 .2. Schéma de l'absorption propre
tion de la lumière dans la substance. de la lumière dans les semiconduc-
teurs.

une telle absorption ne peut se produire que dans le cas où l'énergie
how des quanta lumineux n’est pas inférieure à la largeur E, de la
bande interdite:

ho> E,. (9.3)

A partir de cette condition on peut déterminer la longueur d'onde
maximale Àmox de l’absorption propre:

hmaz = 2nc/o = 2nchE y, (9.4)

où cest la vitesse de la lumière. Pour le silicium par exemple, dont
E, =1,1 eV, on à Amar Æ 1,13 um.

Le traitement du processus d'absorption de la lumière selon la
théorie quantique montre qu’en plus de Ia loi de la conservation de
l'énergie c'est la loi de la conservation de l’impulsion qui doit être
observée :

Pa = Pp + Ppnot- (9.5)

Ici p, = *k, est l'impulsion de l’électron transféré dans la bande
de conduction; p, l'impulsion du trou qui apparaît dans la bande
de valence; p10+ l'impulsion du photon (quantum de lumière) qui
a produit le passage de l’électron.

Dans les limites de la première zone de Brillouin, les projections
de l’impulsion de l’électron sur les axes cristallographiques sont
comprises entre —An/a et +hx/a, où a est le paramètre du réseau
(a &3-10-8 cm, hx/a = 108%h). L’impulsion du photon est égale
à 2xh/X et, pour À &5-10-* cm, elle vaut — 10% À, c’est-à-dire est
d'environ trois ordres de grandeur inférieure à l’impulsion de l’élec-

& 9.1] ABSORPTION DE LA LUMIÈRE 211

tron. On peut donc considérer que dans les transitions optiques l’im-
pulsion de l’électron reste pratiquement inchangée :

hk, =fhk,. (9.6)

Dans le diagramme des énergies de telles transitions (dites direc-
les) sont représentées par des flèches verticales (7, 2 sur la figu-
re 9.3, a).

Le calcul théorique du coefficient d'absorption propre pour des
transitions directes dans des semiconducteurs avec des extrémums

Fig. 9.3. Transitions directes (a) et MRC (b) lors de l'absorption propre de la
umière.

des bandes situés pour une seule et même valeur de k (fig. 9.3, a)
conduit à l'expression suivante:

e? [2m Mn +mp)]
ge ere er de (9.7)
4nnch*enme
où n est l'indice de réfraction du semiconducteur. En posant n — 4
et les masses effectives des électrons m, et des trous m, égales à la
masse d’un électron libre et en exprimant ho et E, en eV et &,, en
cm1, on obtient

apr © 27-105 (fo — E,)"/2.

En effet, dans le domaine de l’absorption propre le coefficient &,,
atteint des valeurs comprises dans les limites de — 10% à 105 cm”,
ce qui signifie que la lumière est déjà absorbée à une profondeur de
pénétration de — 1,0 à 0,1 um.

Si le niveau inférieur de la bande de conduction E. se situe
pour une autre valeur de k que le sommet de la bande de valence E,
(fig. 9.3, b), comme c’est le cas pour le germanium et le silicium, la

14*

212 PHÉNOMÈNES OPTIQUES ET PLASMIQUES (CH. 9

distance ÆE,o, Suivant la verticale, entre les bandes est plus grande
que la largeur de la bande interdite Æ£, — E, — E,. Dans ce cas, les
transitions optiques directes ne peuvent être excitées que par des
quanta lumineuses d'énergie supérieure à Æ£,,:

ho > E 0. (9.8)

La grandeur £ ,, est appelée largeur optique de la bande interdite,
elle est égale à la distance minimale entre les bandes suivant la
verticale.

Dans de tels semiconducteurs en plus des transitions directes
peuvent se produire aussi des transitions indirectes montrées sur la
figure 9.3, b par une flèche inclinée 2. Elles se font avec la participa-
tion d’une troisième quasi-particule, du phonon. Dans ce cas, les
lois de la conservation de l'énergie et de l'impulsion prennent la
forme suivante :

E, — Eh + ho + L pidns (9.9)
Pn = Pp + Ppnot € Pphon: (9.10)

Ici, le signe plus se rapporte à des processus se déroulant avec l’ab-
sorption d’un phonon et le signe moins à des processus se produisant
avec l’émission d’un phonon. Comme l'énergie des phonons dans les
semiconducteurs ne dépasse pas quelques centièmes d’électron-volt
et Âw = 1 eV, l’énergie £,,,n figurant dans l'expression (9.9) peut
être négligée devant Aw. Quant à l'impulsion du phonon Âk;yon:
elle se situe dans les limites de la première zone de Brillouin de
même que l’impulsion de l’électron. Aussi, dans les transitions avec
la participation des phonons l'impulsion de l’électron peut-elle varier
dans de larges limites, ce qu’on exprime graphiquement par le tracé
des flèches inclinées qui caractérisent de telles transitions (fig. 9.3, b).

La probabilité de processus se déroulant avec la participation de
trois particules étant beaucoup plus faible que celle des processus
à deux particules, le coefficient d'absorption est beaucoup plus bas
dans le domaine des transitions indirectes que dans celui des transi-
tions directes. Lorsque la température baisse, les processus avec l'ab-
sorption d’un phonon deviennent plus rares et le coefficient d’absorp-
tion pour les transitions indirectes diminue.

Le bord d'absorption propre dans les semiconducteurs se déplace
un peu sous l'effet de la pression qui provoque une variation de la
constante de réseau et, avec elle, de la structure énergétique du semi-
conducteur. Lors de la compression triaxiale la variation de £, peut
être positive ou négative. Aussi, le bord d'absorption propre peut-il se
déplacer aussi bien vers la partie « ondes longues » que vers la partie
« ondes courtes » du spectre.

Le même effet détermine aussi la variation de la structure de
bande du semiconducteur dans le cas d’une variation de température
qui conduit au déplacement du bord d'absorption propre.

& 9.1] ABSORPTION DE LA LUMIÈRE 213

L'’absorption au voisinage du bord du domaine propre subit aussi
une variation sous l'effet d’un champ électrique extérieur. Ce phéno-
mène, qui a reçu le nom d'effet Franz-Keldych, s'explique par l’incli-
naison que les bandes d'énergie présentent dans un champ électrique
extérieur & (fig. 9.4) et par pénétration, par effet tunnel, des élec-
trons à la profondeur x; — x, depuis le point x, vers la droiteet à la
distance z,—z,; depuss le point x, vers la gauche. Comme le

Bande ce
condustion

excitoni ques

ER dit

See
DOOCELICSE

Bznde de
valence

Fig. 9.4. Effet Franz-Keldych. Fig. 9.5. Absorption excitonique de
la lumière.

montre la figure 9.4. l’électron situé au point x; peut passer de
l’état Æ, dans l’état Æ, en absorbant un quantum de lumière fo —
= E, — E,<E,.

Considérons l'influence du dopage du semiconducteur sur l’absorp-
tion propre. Tant que le niveau de dopage n’est pas trop élevé et
le semiconducteur reste non dégénéré, le dopage est pratiquement
sans effet sur le spectre d’absorption propre. Cela s'explique par le
fait que dans les semiconducteurs non dégénérés le degré d'occupation
par les électrons des états dans la bande de conduction est très faible
de sorte qu'ils ne contrarient pas les passages des électrons de la
bande de valence. D'un autre côté, dans les semiconducteurs non
dégénérés même de type p, le degré d'occupation des états dans la
bande de valence est voisin de l'unité et la probabilité de transitions
optiques à partir de ces états ne dépend pas du degré de dopage.

La situation est différente dans les semiconducteurs dégénérés.
Une faible dégénérescence conduit à une diminution du coefficient
d'absorption à des fréquences voisines du bord d'absorption propre.
Pour ce qui est de la dégénérescence forte, elle provoque le déplace-
ment du bord d'absorption vers des longueurs d'ondes plus courtes.
Cet effet porte le nom de déplacement de Burstein. I] se manifeste nette-
ment dans les semiconducteurs à faible densité des états près du

244 PHENOMENES OPTIQUES ET PLASMIQUES (CH. 9

niveau inférieur de la bande de conduction (ou près du sommet de la
bande de valence) dans lesquels une forte dégénérescence est obtenue
pour des niveaux de dopage relativement bas. C'est ainsi que dans
InSb le dopage avec des impuretés donatrices (concentration de
5-10** m-) a pour résultat le déplacement de la frontière ondes lon-
gues de l’absorption propre de 7,1 à 3,5 um. Mais, dans de nombreux
cas, le déplacement de Burstein est masqué par un autre effet dü
à un fort dopage — la variation de la densité d’états près des bords
des bandes d’énergie. Cette variation se produit par suite de l’étale-
ment des niveaux d’impureté qui se transforment en une bande
d’impureté qui se confond avec la bande de conduction ou avec la
bande de valence. \

En outre, au voisinage des atomes d’impureté le réseau cristallin
se trouve comprimé ou dilaté suivant le rapport entre les rayons des
atomes principaux et les atomes d’impureté. Comme la largeur de la
bande interdite Æ, varie avec la pression, ceci doit conduire à la
fluctuation de , le long du cristal et à une variation du spectre
d'absorption.

Enfin, un champ électrique régnant au voisinage des atomes ioni-
sés d’impureté doit conduire, en vertu de l'effet Franz-Keldych, au
déplacement du bord d’absorption dans la région des ondes longues.

Excitons. Dans le cas de l'absorption propre de la lumière, les
électrons de la bande de valence sont transférés dans la bande de
conduction et deviennent libres. Toutefois le processus peut se
dérouler d’une autre façon lorsque l’électron excité ne rompt pas sa
liaison avec le trou qui apparaît dans la bande de valence mais forme
avec lui un système lié unique. Un tel système a été étudié pour la pre-
mière fois par Y. Frenkel auquel il a donné le nom d'exciton. L'exci-
ton est semblable à l’atome d'hydrogène: dans les deux cas un
électron se déplace autour d’une charge positive unité et le spectre
énergétique est discret (fig. 9.5). Les niveaux d’énergie de l’exciton
se situent près du niveau inférieur de la bande de conduction.

Comme les excitons sont des systèmes électriquement neutres,
leur apparition dans le semiconducteur ne conduit pas à l’apparition
de porteurs de charge additionnels de sorte que l’absorption de la
lumière ne s'accompagne pas d’une augmentation de la conductivité
du semiconducteur. Mais lors des collisions avec les phonons, les ato-
mes d’impureté et d’autres défauts du réseau cristallin les excitons
se recombinent ou se désintègrent. Dans le premier cas l’électron exci-
té passe dans la bande de valence et l'énergie d’excitation est trans-
mise au réseau ou émise sous forme de quanta de lumière; dans le
second cas il y a formation d’une paire de porteurs — d’un électron
et d’un trou — ce qui a pour résultat une augmentation de la conduc-
tibilité électrique du semiconducteur.

Absorption de la lumière par des porteurs de charges libres. La
lumière peut provoquer des transitions des porteurs de charges libres

$ 9.1]

ABSORPTION DE LA LUMIBRE

215

d'un niveau à un autre de la bande (fig. 9.6, a). Etant donné pue dans
de telles transitions l'impulsion du porteur doit subir une variation

notable, elles ne peuvent se pro-
duire qu'avec la participation
d'une troisième particule.

Selon la théorie classique,
l'absorption de la lumière par des
porteurs libres se produit comme
suit : les porteurs de charges sont
accélérés dans le champ électri-
que de l’onde lumineuse et, en
se diffusant sur les défauts du
réseau cristallin, leur transmet-
tent leur énergie. Autrement dit
l'énergie de l’onde lumineuse se
transforme en chaleur par effet
Joule-Lenz. La formule classique
pour le coefficient d'absorption
de la lumière par les porteurs
libres se présente sous la forme
suivante :

aus == en2/(n@uçm,4neo), (9-11)
où c est la vitesse de la lumiere

dans le vide; zx l’indice de réfrac-
tion du semiconducteur; u, la
mobilité des porteurs de charges
en courant continu; €, la per-
mittivité du vide.

L'expérience confirme que &;;4
est proportionnel à la concentra-
tion x de porteurs libres tant que
Ja mobilité u, ne commence à
varier avec l'augmentation du
dopage; pour certains semicon-
ducteurs la dépendance &y;, — À
est valable.

Transitions entre sous-bandes.
La structure de la bande de con-
duction et de la bande de va-
lence d’un semiconducteur réel
est plus complexe que celle dé-
crite plus haut. Ces bandes sont

Fig. 9.6. Absorption de la lumière
par les porteurs de charges libres lors
des transitions à l'intérieur d'une
sous-bande (a): entre les sous-bandes
de la bande de conduction (b) et la
bande de valence (c) du silicium.

représentées par une superposition de plusieurs bandes (que l’on
appelle plus souvent sous-bandes) de sorte que pour chaque bande
il existe non pas une seule mais plusieurs courbes de dispersion

216 PHÉNOMÈNES OPTIQUES ET PLASMIQUES (CH. y

qui se croisent parfois. Les porteurs de charges libres — les élec-
trons dans un semiconducteur de type z et les trous dans un semi-
conducteur de type p — peuvent

mére passer entre ces sous-bandes en
Absorption absorbant la lumière comme le
PR pe montrent les figures 9.6, b et c.
Jinterieur ge Dans un tel cas, il apparaît dans
le spectre d'absorption des ban-

des supplémentaires qui se super-
posent au spectre (9.11). La for-
me et l'intensité de ces bandes
dépendent du degré de dopage
du semiconducteur. La figure 9.7

10°

v|u montre à titre d'exemple les spec-
10 re tres d'absorption pour le

"_E GaAs — n avec N,; = 1,3-101 et

Re 5,4.1018 cm

S 9 : cm”.

Ÿ à Absorption due aux impure-

el” tés. Dans les semiconducteurs
{ è dopés les électrons peuvent pas-

ser sous lJ’effet de la lumiere

des niveaux d’impureté dans la

bande de conduction (fig. 9.8. a)

| du et de la bande de valence aux

niveaux d'impureté situés dans

Fig. 9.7. Spectre d'absorption de la ]a bande interdite (fig. 9.8, b).

lumière par l'arséniure de gallium n. Une telle absorption de la lumière

est dite due aux impuretés. La

frontière de cette absorption est déplacée dans le domaine des ondes

longues d’autant plus fortement que l’énergie de la transition
correspondante est plus petite.

Ë E£
Eimp + + <- 2- + + ñ d
hy AY
—— qu ———}, TP sum some
a) 6)

Fig. 9.8. Absorption de la lumière due aux impuretés.

I] faut pourtant ne pas perdre de vue que si les atomes d’impureté
sont déjà ionisés, l’absorption due aux impuretés n'aura pas lieu.
Comme la température d’appauvrissement de l’impureté tombe
lorsque son énergie d’ionisation diminue, pour pouvoir observer

& 9.2] ÉMISSION D'UN RAYONNEMENT LUMINEUX 217

l'absorption ondes longues due aux impuretés, le semiconducteur
doit être refroidi à une température suffisamment basse.

C'est ainsi que le Spectre d'absorption due aux impuretés d’un germaniumr
dopé à l'or (l'énergie d'ionisation de l’impureté E; — 0,08 eV, la frontière d’ab-
sorption Âmaz Æ 9 um) s'observe à la température de l'azote liquide (77 K)
alors que pour un germanium dopé à l’antimoine (E; = 0,01 eV, max =
= {35 um) l'absorption due aux impuretés ne peut être ‘observée qu'à des tem-
pératures de l'hékum liquide (4 K).

Le coefficient d'absorption due aux impuretés &;mp pour à <
< Àmax dépend de À et est proportionnel à la concentration de l'impu-
reté N;mp. Aussi, l’absorption due aux impuretés peut-elle être com-
modément caractérisée par la section différentielle d'absorption 6;»p:

Oimp — Cimp (WVNimp- (9.12)

Cette section atteint sa valeur maximale près du bord de l’absorp-
tion due aux impuretés. Au point de maximum, Ojmp Æ 1071 à
10-55 cm° de sorte que &;mp Æ 1 à 10 cm”! pour N;mp = 10% cm.
Parfois on n'arrive pas à obtenir de grandes valeurs de &;,, du fait
des petites limites de solubilitée des impuretés dans les semiconduc-
teurs. Par exemple la limite de solubilité de l’or dans le germanium
est justement égale à 1016 cm$.

$ 9.2. Emission d’un rayonnement lumineux ÿ
par les. semiconducteurs |

La recombinaison des paires électron-trou dans les semiconduc-
teurs peut s'accompagner d’une émission de rayonnement lumineux
(voir $ 8.2). Les processus d'émission sont des inverses des processus
d'absorption et, à l’état d'équilibre thermique, le nombre de quanta
de lumière émis par le semiconducteur est exactement égal au nom-
bre de quanta qu'il absorbe. L'apparition dans le semiconducteur
de porteurs de charges hors d'équilibre, en excès, fait prédominer les
processus d’émission sur les processus d’absorption et le semicon-
ducteur commence à s'illuminer.

L'émission de la lumière peut se produire aussi bien lors de la
recombinaison bande à bande que lors de la première ou de la deu-
xième (ou de la première et de la seconde) étape de la recombinaison
par les pièges (flèches 2 et 3 de la figure 8.2). Toutefois, les transitions
radiatives sont le plus souvent celles bande à bande ou celles entre
un niveau donneur peu profond et la bande de valence ou entre la
bande de conduction et un niveau accepteur peu profond (fig. 9.9, a,
b et c respectivement). La probabilité de telles transitions est la
plus forte dans des matériaux à bandes directes tels que l’arséniure
de gallium, bien que la lueur de recombinaison peut s’observer aussi
dans le germanium et le silicium.

248 PHÉNOMÈNES OPTIQUES ET PLASMIQUES (CH. $

Comme il a été montré au $ 9.1, un électron libre et un troulibre
peuvent former un exciton. Si, après cela, l’électron et le trou se
recombinent dans l’exciton et il y a annihilation de celui-ci, un tel
processus s'accompagne en règle générale d’une émission d’un quantum
de lumière (fig. 9.9, d). Les excitons peuvent se déplacer librement
dans le cristal ou être liés à des défauts de toute nature de la struc-
ture cristalline. Ces défauts peuvent être représentés par les atomes
d'impureté dopeuse, c'est-à-dire les niveaux donneurs et accepteurs

£ ë)
AVAv, à
£v £
a)

Fig. 9.9. Schémas des transitions radiatives dans les semiconducteurs :

a — bande à bande : b — transition d’un niveau donneur peu profond dans la bande de valen-
ce: c — transition de la bande de conduction à un niveau accepteur ; d — annihilation d'un
exciton ; e — transition d'un donneur à un accepteur.

peu pro fonds, ainsi que par les atomes d’impureté neutre, par exem-
ple les atomes d'azote qui se substituent aux atomes de phosphore
dans le phosphure de gallium. L'énergie d’un exciton est plus faible
à l’état lié qu’à l’état libre de sorte que les excitons liés sont moins dé-
truits par l’agitation thermique et la recombinaison par les excitons
liés peut augmenter brusquement la part des actes de recombinai-
son se produisant avec émission de la lumière surtout dans les semi-
conducteurs à bandes non directes.

Enfin les transitions des électrons d’un niveau donneur à un
niveau accepteur peuvent elles aussi être radiatives (fig. 9.9, e).
Mais pour que de telles transitions soient possibles, le semiconduc-
teur doit être fortement dopé afin que les atomes donneurs et les
atomes accepteurs se situent souvent à une distance suffisamment
petite les uns des autres.

$ 9.3. Photoconductivité des semiconducteurs

Les effets d'absorption de la lumière dans les semiconducteurs
trouvent des applications pratiques pour la réalisation de modula-
teurs de flux lumineux, de photorécepteurs et de convertisseurs de
l'énergie lumineuse en énergie électrique.

Pour la modulation des flux lumineux on peut utiliser la varia-
tion du coefficient d'absorption près du bord de la bande propre en
fonction de la pression, du champ électrique extérieur et de la con-
‘centration de porteurs de charges libres ou la variation de l'absorp-
tion de la lumière par les porteurs libres en fonction de leur concen-
tration.

$ 9.3] PHOTOCONDUCTIVITE DES SEMICONDUCTEURS 219

L'absorption propre et l'absorption due aux impuretés provo-
quent l'apparition de porteurs de charges libres en excès dont la pré-
sence fait croître la conductivité du semiconducteur. Le processus de
libération interne des électrons sous l'action de la lumière porte le
nom d'effet photoélectrique interne. L’accroissement de conductivité
électrique acquise par le semiconducteur par suite de son irradiation
par la lumière est appelé photoconductivité. Quant à la conduction
principale, due à l'excitation
thermique des porteurs de charges
libres, elle est appelée conduction
d'obscurité. Les appareils per-
mettant d'enregistrer le rayon-
nement lumineux à l’aide du
phénomène de photoconduction
portent lenom de photorésistan-
ces ou de cellules photoconduc-
lives.

La figure 9.10 montre la cons-
titution d’une photorésistance et
le schéma de son branchement. Fig. 9.10. Schéma de constitution et
L'élément sensible de la photo- de branchement d'une photorésistance.
résistance est constitué par un
barreau ou une pellicule de semiconducteur monocristallin ou
polycristallin comportant deux contacts ohmiques. Il est relié à une
source de polarisation Ÿ, via une résistance de charge R,,. L'élément
sensible doit être suffisamment épais pour pouvoir absorber pratique-
ment toute la lumière W, (1 — r) ayant traversé la surface éclai-
rée (W, est la puissance de la lumière incidente; r le coefficient de
réflexion de la surface). Cette condition est facile à satisfaire dans le
cas de photorésistances intrinsèques et difficile à accomplir pour les
photorésistances extrinsèques. Si cette condition est réalisée, le
nombre de porteurs (ou de paires de porteurs dans le cas de l’absorp-
tion propre) produits par la lumière en unité de temps dans
l'élément sensible pour À << À,,+ est égal à

G=W, (A —7r) n/(fo), (9.1 3)

où n est le rendement quantique de l'effet photoélectrique interne,
égal au nombre de porteurs (de paires de porteurs) produit en moyen-
ne par chaque photon absorbé. Il peut être supérieur à 1, si l’ab-
sorption d’un photon de haute énergie fait naître deux (ou un plus
grand nombre) de paires électron-trou et inférieur à 1, si une partie
de photons est absorbée par des porteurs de charges libres.

Sous l’action de la tension V,, appliquée à la photorésistance,
les porteurs de charges créés par la lumière sont animés d’un mouve-
ment de dérive en faisant circuler dans le circuit un courant que

220 PHÉNOMENES OPTIQUES ET PLAS®MIQUES (CH. 9

l’on appelle courant photoélectrique T,,. Ce courant est facile à déter-
miner en partant des considérations suivantes. Pendant la durée de
sa vie t chacun des porteurs de charge traverse la résistance t/t,,
fois, où t?- est le temps de transit ou plus exactement le temps mis
par le porteur pour traverser la résistance par dérive *). Il est égal
à la longueur !/ de l’élément sensible de la résistance divisée par la
vitesse de dérive Uye,:

= Uvier = U(uË) = F/(uV), (9.14)

où u est la mobilité des porteurs. L’intensité de courant photoëélec-
trique 7,4, est égale au produit du nombre G de porteurs produits cha-
que seconde dans le semiconducteur sous l'effet de la lumière par
le rapport t/t,;,; et par la charge e de l’électron:

Tpn = eGt/t,, = eGtuVIE = eANuVI}, (9.15)

où AN = Gt est le nombre de porteurs en excès dans la photorésis-
tance. Si la lumière produit une paire de porteurs, au lieu de u il
convient d'écrire la somme des mobilités Un + Up

En portant dans (9.15) la valeur de G tirée de (9. 13), on obtient

Wo(1— V Wo (1— ÀuV
Ton = 2 RE = u D _—_—. (9.16)
Le rapport

Zn 1
ge = EE mu (9.17

caractérise la sensibilité de la photorésistance qui est pro-
portionnelle à la longueur d'onde de la lumière incidente (jus-
qu'à À max), à la tension appliquée Ÿ, à la durée de vie + des porteurs
et à leur mobilité uw et inversement proportionnelle au carré de la
longueur de l’élément sensible de la photorésistance.

La durée de vie + des porteurs détermine non seulement la sensi-
bilité mais aussi l’inertie de la photorésistance: plus longue est la
durée de vie t, plus grande est la sensibilité, mais plus grande aussi
est l’inertie de l’appareil. En effet, considérons par exemple Île
caractère de décroissance de la photoconductivité de la photorésistan-
ce après le débranchement de la source de lumière (fig. 9.11). Par
suite du processus de recombinaison la concentration des porteurs
en excès décroît suivant la loi [v. (8.10)]

An= Ange-tt-to)/r,

*) À proprement parler, SSL un porteur de charge sort de la résistance,
un autre porteur y entre par le euxième contact, mais cela ne change pas le-
fond de l'affaire.

$ 9.3] PHOTOCONDUCTIVITÉ DES SEMICONDUCTEURS 294

où t, est l’instant de débranchement de la lumière. La photoconduc-
tivité du semiconducteur décroît suivant une même loi (de e fois
durant le temps t; courbe BC de la figure 9.11):

{—{0o
O(t)=0pn(to)e * , (9.18)
où Oyn (éo) est la photoconductivité à l'instant de débranchement de
la lumière.

La formule (9.18) montre que plus grande est la durée de vie des
porteurs en excès, plus lente est la décroissance de la photoconducti-

Lumière Obscurite

Fig. 9.11. Courbe de croissance de la photoconductionlors de l'irradiation du
semiconducteur par la lumière et de décroissance de la photoconduction après
suppression de l'irradiation.

vité et donc plus grande est l’inertie du photorécepteur de rayonne-
ment.

Il est facile de montrer que la tangente menée en un point b
à la courbe de décroissance de la photoconduction ©: (t) coupe
sur l’axe des temps un tronçon numériquement égal à Tt — la durée
de vie des porteurs en excès. Cette circonstance est souvent utilisée
pour une détermination expérimentale de t.

La figure 9.11 montre aussi le caractère de croissance de la photo-
conductivité d’un semiconducteur après l'application d’une impul-
sion lumineuse (courbe OB) décrite par l’équation suivante:

Oph = Opno (1 —e”-t"/t), (9.19)

OÙ Op o est la photoconductivité stationnaire (en régime permanent)
dans les conditions d’'éclairement constant de la photorésistance.
Dans ce cas lui aussi, la tangente menée à la courbe 6,4 (t) à l'ori-
gine des coordonnées coupe sur la droite AB un tronçon numérique-
ment égal à tT.

I] convient d'indiquer que dans les photorésistances polycristal-
lines la sensibilité est souvent déterminée par des processus se dérou-
lant sur les frontières des grains monocristallins et non pas par des
processus dans le volume du semiconducteur; dans un tel casla
relation (9.17) n'est plus applicable.

222 PHÊÉNOMENES OPTIQUES ET PLASMIQUES (CH. 9

$ 9.4. Phénomènes acousto-électroniques

Interactions des électrons avec des vibrations acoustiques de fai-
bles fréquences du réseau. Examinons maintenant l'interaction entre
les électrons et les vibrations acoustiques de faibles fréquences

ÿ 7 r PEN
D'A'A'A'A'A"AN'ANE
. Br S* ee
0 = dr CSS
/ \ / \ / J\UX
\*/\ / \”/ N / \ / \*/ \ /
S# LA LY Lo

min c)
se Groupements d'éiectrons
PN m\ ln
0 'AY2"A"Y2"AY2"AYL

PAR APN ANNE 2
d)

Fig. 9.12. Interaction des ondes élastiques avec les électrons libres d’un cristal:

a — chaîne d'ions de métal chargés positivement ; b — déplacement des ions S et variation

de la distance relative entre les ions Ô lors de la propagation de l'onde élastique (l’bachure

verticale désigne les régions de compression maximale de la chaîne): c — oscillation du

potentiel V de champ et de l'énergie potentielle U ; d — oscillation de l'intensité de champ
électirque % : les flèches indiquent le sens du champ.

excitées dans le cristal. Le mécanisme de cette interaction peut
être différent suivant la nature du cristal.

Considérons à titre d'exemple le plus simple un cristal métallique
unidimensionnel — une chaîne d’ions chargés positivement plongée
dans un gaz électronique (fig. 9.12, a). Excitons dans ce cristal une
onde progressive longitudinale

s; = À cos 2x ({/T — x/à), (9.20)

où s. est le déplacement de l'ion se trouvant à la distance z de l'origi-
ne des coordonnées ; À la longueur d'onde; 7 la période ; À l’amplitude
de vibrations. Le déplacement des ions se produit le long del’axe
des x. La figure 9.12, b montre en traits pleins le déplacement sdes

& 9.4] PHENOMENES ACOUSTO-ELECTRONIQUES 29%

ions à un instant fixé é (pour simplifier nous posons t égal à zéro).
La courbe en traits interrompus indique la variation relative de la
distance entre les ions

2 ’
5—— A sin2n (++). (9.21}
La valeur négative maximale de ô est atteinte aux points x — À/4,
9 (4/4), ... En ces points la chaîne est serrée et la distance entre les
ions est inférieure à la distance à l’état d'équilibre. La valeur positive
maximale de 6 est atteinte aux points z = 3 (4/4), 7 (4/4), ... En
ces endroits, le réseau est étiré au maximum et la distance entre les
ions est plus grande qu'à l’état d'équilibre. La variation de la densité
de répartition des ions le long de la chaîne, lorsqu'on y excite une
onde longitudinale, provoque une augmentation de la densité de la
charge positive aux endroits d'’épaississement de l’onde et une
diminution de cette densité aux endroits de raréfaction. Ïl en résulte
l'apparition d’un champ électrique dont le potentiel positif est
maximal aux épaississements de lÎl’onde et minimal aux raréfac-
tions. Le caractère de variation du potentiel Ÿ le long de la chaîne
à un instant fixé est indiqué sur la figure 9.12, c par la courbe en
traits interrompus et la variation de l’énergie potentielle de l’electron
dans le champ de l’onde (U — —eV) est indiquée en traits pleins.
La figure 9.12, d représente la courbe d'intensité du champ électrique

de l’onde : 6 — —T (courbe en traits pleins). Cette intensité est

maximale aux endroits où les déplacements s sont minimaux et,
inversement, elle est minimale là où s est maximal: le sens de & est
indiqué par des flèches horizontales.

Ainsi, une onde sonore progressive se propageant dans un métal
fait naître une onde électrique animée de la même vitesse que l’onde
sonore. La mise sous écran de ce champ se fait par redistribution des
électrons libres: aux endroits de minimum d'énergie potentielle la
concentration des électrons augmente et aux endroits de maximum
elle diminue. Les électrons « s’écoulent » dans les puits de potentiel
en formant des amas électroniques. La propagation de l'onde fait
déplacer les puits de potentiel le long de la chaîne avec la vitesse
du son Con en entraînant les électrons qu’ils renferment. C'est la
raison pour laquelle on donne à cet effet le nom d'effet d'entraînement
des électrons par des phonons acoustiques de faibles fréquences.

Un phénomène analogue s’observe aussi lors de la propagation
des ondes acoustiques de faibles fréquences dans des cristaux tels
que le germanium, le silicium et autres, mais le mécanisme de son
apparition est différent. La compression et l’extension du réseau cris-
tallin font varier les distances entre les atomes, ce qui conduit
à une variation de la largeur de la bande interdite Æ,. Notamment,
pour le germanium et le silicium l’augmentation de la pression

224 PHENOMENES OPTIQUES ET PLASMIQUES [CH. 2

de compression extérieure p fait croître la largeur de la bande inter-
dite à peu près proportionnellement à la pression : AL, — Bp, où B est
un coefficient de proportionnalité appelé constante de potentiel de
déformation. Pour le germanium et le silicium il est relativement
faible et une variation appréciable de Æ, ne s’observe que dans le
cas des pressions relativement fortes.

Le passage d’une onde élastique longitudinale à travers le cristal
a pour effet de provoquer l'apparition d’endroits de compression où
la largeur de la bande interdite augmente un peu et d’endroits d’ex-

tension où Æ£, diminue légèrement par rapport à un cristal non

Fuits de potentiel pour
Les électrons

Puits de potentiel pour
les Érous

Fig. 9.13. Variation de la largeur de la Fig. 9.14. Effet acousto-électrique.
bande interdite d'un semiconducteur
sous l’action d’une onde élastique:
E,, — largeur de la bande interdite dans un
cristal non déformé; E e— largeur de la

bande interdite aux endroits de compression
du réseau cristallin.

déformé. Il en résulte que l'énergie au niveau inférieur de la bande
de conduction et au sommet de la bande de valence varie avec une
période égale à la longueur de l’onde sonore comme le montre sché-
matiquement la figure 9.13. Ainsi, il se forme dans l'espace des
puits de potentiel, périodiquement répartis, pour les électrons (et
les trous), ce qui conduit à une redistribution des électrons et à l’aug-
mentation de leur concentration aux endroits où se situent les puits
de potentiel. Lors de la propagation de l’onde élastique le long du
cristal les puits de potentiel se déplacent en entraïnant une partie
des électrons.

Une interaction particulièrement forte des électrons avec les
phonons de faibles fréquences se produit dans des cristaux semi-
conducteurs présentant des propriétés piézo-électriques (dans Cds,
‘CdSe, InSb et beaucoup d’autres). Comme la déformation élastique
des cristaux piézo-électriques provoque leur polarisation, la pro-
pagation d’une onde sonore longitudinale dans le cristal s'accom-
pagne d’une apparition d’une onde électrique qui se propage à la
vitesse du son et entraine les électrons.

$ 9.4] PHENOMENES ACOUSTO-ÉLECTRONIQUES 295

Effet acousto-électrique. L'’entraînement des électrons par les
ondes sonores donne lieu à un phénomène important qui a reçu le
nom d'effet acousto-électrique.

Excitons dans un cristal piézo-électrique de type 7 une onde
acoustique (fig. 9.14). En se propageant dans le cristal, cette onde
s'affaiblit progressivement, en cédant son énergie aux électrons
qu'elle entraîne (nous ne considérons pas l’amortissement de l'onde
par suite de son absorption par le réseau cristallin). En plus de l’éner-:
gie, l’onde transmet aux électrons son impulsion mécanique. Aussi

Vson

Fig. 9.15. Etablissement des relations pour la tension et le courant acousto-
électriques.

les électrons seront-ils soumis, dans le sens de propagation de l'onde,
à une certaine force F. Cette force fait déplacer les électrons de la
partie gauche du cristal dans la partie droite (fig. 9.14). Il en résulte
l'apparition d’un champ électrique qui conduit à la dérive des
électrons de droite à gauche. A l'état stationnaire, le circuit étant
ouvert, l'intensité de champ & doit être telle qu’à chaque section du
cristal le flux d'électrons entraîné par l’onde sonore soit compense
par le flux de dérive opposé.

Nous considérerons l’onde comme un flux de phonons d'énergie kw
et d’impulsion fiw/v,,n (& étant la fréquence cyclique des vibrations
des atomes dans l'onde). Isolons, par la pensée, dans le cristal,
dans le sens de propagation de l'onde, un cylindre dont la base a une
surface unité et la longueur est égale à v,., (fig. 9.15). Tous les pho-
nons contenus dans ce cylindre passeront pendant 1 s par la base S
et transporteront une énergie

W = nphonVson/i@ (9.22)
et une impulsion
P = Wilson (9.23)

OÙ Zphon est la concentration des phonons. Dans une couche de
cristal d'épaisseur dx est absorbée (fig. 9.15) chaque seconde une
énergie Wydzx, où y est le coefficient d'absorption de l'énergie de
l'onde par les électrons. Les électrons situés dans cette couche reçoi-
vent suivant la relation (9.23) une impulsion égale à yWdz/v,.,.
Suivant le second principe de la dynamique, la variation d’impulsion

15-726

296 PHÉNOMÈNES OPTIQUES ET PLASMIQUES (CH. 9
en unité de temps est égale à la force moyenne s’exerçant sur les
électrons de la part de l’onde sonore :

W9z = Fno dz.

Uson

D'après ce qui précède cette force doit être équilibrée par la
force —eén,dz qui agit sur les électrons de la couche dx de la part.
du champ électrique produit dans le cristal. Ainsi,

y — dr—efn, dz = 0. (9.24)

On en trouve pour € :

RSS LE LÀ (9.25)

EnQson OUson

où zu est la mobilité des électrons, © la conductivité électrique du

cristal. Entre les extrémités du cristal de longueur ZL il apparaît
une différence de potentiel
L

v=—\ car "WW 7, (9.26)

OUson
(L

Si les extrémités du cristal sont reliées l’une à l’autre, le circuit.
ainsi formé sera parcouru par un courant

I = VIR = —uyWSIv,on, (9.27)

où À — p+ est la résistance du cristal dont l'aire de la section
droite est égale à S. La densité de courant est

LL. (9.28)
Uson |

Ainsi, l'effet d'entrainement des électrons par l'onde sonore conduit
à l'apparition d'une différence de potentiel entre les extrémités d'un
cristal piézo-électrique ouvert et au passage d’un courant I dans le
circuit fermé du cristal. Ce phénomène a reçu le nom d'effet acousto-
électrique; les grandeurs V et 7 sont appelées respectivement tension
acousto-électrique et courant acousto-électrique.

Amplification d'ondes ultra-sonores. Nous avons étudié l’interac-
tion des électrons avec une onde élastique dans le cas où le champ
électrique extérieur dans le cristal est absent. Imaginons maintenant
qu'une onde acoustique se propage dans un cristal piézo-électrique
dans lequel on a créé un champ electrique extérieur qui provoque la
dérive des électrons à la vitesse v,.-, le sens de propagation de l'onde
et le sens de mouvement de dérive étant confondus. Dans ce cas lui
aussi, -Jes électrons interagissent avec l'onde élastique, mais le

8 9.4] PHÉNOMENES ACOUSTO-ÊLECTRONIQUES 2927
mme

résultat de cette interaction dépend essentiellement du rapport qui
existe entre la vitesse de dérive v4., et la vitesse de l'onde v,,,. La
fig. 9.16 montre la variation du coefficient d'absorption électronique
du son en fonction du rapport Vaer/Uson- POUr Var — 0 (le champ
extérieur est nul) le coefficient d'absorption a une certaine valeur %.
Lorsque la vitesse v,. augmente,
le coefficient d'absorption
s'accroît d'abord et, pour une
certaine valeur du rapport
Vder/Vson: il prend sa valeur ma-
ximale

Ymax = CO, (9.29)

où C est un coefficient de pro-
portionnalité dépendant des pa-
ramètres mécaniques et électri-
ques du matériau; «w la fréquen-
ce. Si la vitesse v,., croît enco- Ê
re, le coefficient y commence à

diminuer rapidement, s'’annule Fig. 9.16. Variation du coefficient
POUr Uyer/Uson — 1 et devient d'absorption électronique du son en

Vder/Yson

négatif QUand béer/£son > 1. option, du rapport de le vitesse de
Physiquement on peut en don- ST Qu son von.

ner l'interprétation suivante. Si
la vitesse de dérive v,., des électrons est égale à la vitesse de l’onde
sonore, les électrons n'interagissent pas avec l'onde parce qu'étant
réunis en groupements dans les puits de potentiel (fig. 9. 17, a), ils
se déplacent avec Jl’onde. Le coefficient d'absorption électronique
du son est dans ce cas nul. Pour vyer << Uson les électrons retardent
par rapport à l’onde sonore et donc par rapport au champ électrique
engendré par cette onde dans le cristal. Ce champ commence à tirer
(accélérer) les groupements d’électrons en transmettant aux électrons
l'énergie de l’onde sonore. L’onde s’amortit (fig. 9. 17, b), ce qui
correspond à une valeur positive du coefficient d'absorption électro-
nique du son. Quand vye, > Lson les électrons avancent sur l'onde
sonore de sorte que le champ électrique produit par l’onde tend à frei-
ner les groupements d'électrons, en leur prélevant une partie d'éner-
gie qu'il transmet à l’onde sonore. Le coefficient d'absorption élec-
tronique y aura dans ce cas une valeur négative, ce qui correspond
à l’effet d'amplification de l'onde sonore au détriment de l’énergie
des électrons en dérive ou plus exactement au détriment de l'énergie
de la source électrique qui entretient la dérive des électrons; l’ampli-
tude de l'onde sonore s’en trouve augmentée (fig. 9.17, c). Pour des
ondes de fréquences acoustiques cet effet est relativement faible. Il
augmente avec l'augmentation de la fréquence w [formule (9.29)]
et atteint des valeurs notables pour des ondes ultrasonores (v Æ 1

15*

298 PHENOMEÈNES OPTIQUES ET PLASMIQUES (CH. 9

à 10 MHz). C'est ainsi que Yme, Æ 18 cm”! pour le CdS à la fréquence
de l'onde v = 30 MHz ; lorsque cette onde se propage dans une plaque
de 0,5 cm de longueur son intensité devient e0:5:18 & 10% fois plus
grande. Comme le montre la figure 9.16 cette amplification sera
observée pour Uuer — 1,90son- Pour obtenir une telle vitesse de

Ver Won-absorption de l'ultrason

MN
/ s 2 \

l'ultrason

SE | Ver) Vos 27Plification de
15

Fig. 9.17. Interaction des électrons avec une onde sonore pour différents rapports
de la vitesse de dérive des électrons à la vitesse de propagation de l'onde (la
flèche représente la force qui agit sur les électrons de la part de l'onde).

dérive des électrons il faut appliquer au cristal de CdS un champ
extérieur d'intensité

æ__ Vder 1 ,OUson Le 1,5-4,3-105 cm/s S
é=— u uw 200 cm°/(V-s) & 8,2 KV/cm,

OÙ Lyon — 4,3°105 cm/s est la vitesse des ondes longitudinales dans
le CdS-et u — 200 cm°/(V -s) la mobilité des électrons dans le CdS.

€ 9.3] PHÉNOMENES ACOUSTO-ÉLECTRONIQUES 299

La figure 9.18 représente le schéma de principe d'une installation
expérimentale pour l'étude de l'absorption électronique et de l’ampli-
fication de J’ultrason. L’échantillon Ech comportant des électrodes
métalliques £,; et E, est serré entre deux convertisseurs électroméca-
niques C; et C, constitués par des plaquettes de quartz taillées
dans le sens piézo-actif et recouvertes en bas et en haut par des couches
métalliques. Le générateur G fournit des oscillations électriques de
fréquence égale à la fréquence des oscillations propres de la plaquet-
te C;. Le convertisseur C, les transforme en oscillations ultrasonores
(effet piézo-électrique inverse)
qui se propagent sous forme
d'ondes ultrasonores dans l’é-
chantillon ÆEch. Ces ondes sont
reçues par le convertisseur C;,
qui les convertit en oscillations
électriques enregistrées par l'os-
cillographe électronique OE. En-
tre les électrodes Æ, et ÆE, est
appliquée une lension produisant
dans l'échantillon un champ
d'entraînement “, qui provoque
la dérive des électrons dans le
sens de propagation de l'onde.
Pour éviter un échauffement

anormal de l'échantillon, Je Li o418. schéma de principe d'une
champ Co est produit par des jnétallation pour l’étude de l’absorp-
impulsions de tension de forme tion et l'amplification électroniques
rectangulaire et de courte durée. des ondes sonores.

En faisant varier l'intensité du

champ “, et donc la vitesse de dérive des électrons Uyer = UC,
on peut parcourir toute la courbe de variation du coefficient d'absorp-
tion électronique y en fonction du rapport Lyer/Uson:

Les expériences montrent que pour Uyer < Vson il Se produit
réellement une absorption électronique intense du son et l'amplitude
de signal enregistrée à la sortie par l’oscillographe peut être beau-
coup plus faible que l'amplitude des oscillations appliquées au con-
vertisseur C,. Au contraire, pour des vitesses de dérive Vyer > Lson
on observe l’amplification des ondes ultrasonores de sorte que le
signal de sortie peut être beaucoup plus intense que le signal injecté
dans le convertisseur C:.

Comme il a été indiqué plus haut, l'effet d'entraînement des
électrons par les ondes sonores a lieu aussi dans des semiconducteurs
non piézo-électriques. Aussi, dans de tels semiconducteurs peut-on
en principe obtenir l’amplification de l’ultrason. Toutefois, étant
donné que l'interaction des électrons avec l'onde sonore élastique
est beaucoup plus faible dans les semiconducteurs non piézo-électri-

230 PHEÉNOMÈNES OPTIQUES ET PLASMIQUES [CH. ©

ques que dans les semiconducteurs piézo-électriques, l'effet d'ampli-
fication dans les premiers est beaucoup moins intense et ne s’observe
qu’à des fréquences très élevées des ondes sonores (hyperson).
Ondes acoustiques de surface. C’est pour le cas des ondes acous-
tiques de surface (OAS) que les phénomènes qui viennent d'être consi-
dérés présentent un intérêt particulier et une importance pratique.
De telles ondes se concentrent directement près de la surface d'un
cristal piézo-électrique dans les limites de quelques longueurs d'onde
(pour des ondes de fréquence v = 300 MHz la profondeur de pénétra-
tion est dans le cas du quartz d'environ 30 um). Pour la production
de ces ondes on utilise des convertisseurs électromécaniques à tiges

Fig. 9.19. Schéma de principe d’une installation pour l' amplification des ondes
acoustiques de surface.

opposées (en forme de peigne) C, et C: représentés schématiquement
sur la figure 9.19. Ces convertisseurs sont des bandes métalliques
appliquées sur la surface du cristal piézo-électrique et représentant
une sorte de deux peignes qui s’emboîtent l’un dans l’autre. Ces
peignes sont attaqués, depuis un générateur d'oscillations électri-
ques G,;, par une tension alternative qui excite dans le cristal piezo-
électrique une onde acoustique de surface. La fréquence de la tension
alternative doit être telle que la longueur de l’onde excitée soit égale
à la période du peigne. La transformation des vibrations mécaniques
de l’onde sonore en oscillations électriques se fait par un même con-
vertisseur électromécanique C:.

Pour assurer l’amplification des ondes acoustiques de surface grà-
ce au mouvement de dérive des électrons, on porte sur la surface du
cristal piézo-électrique deux électrodes E; et ÆE, réalisées sous forme
de deux bandes métalliques parallèles auxquelles on applique une
tension impulsionnelle fournie par le générateur G.. Cette tension
produit un champ d’entraînement qui provoque la dérive des élec-
trons dans le sens de propagation de l’onde acoustique de surface.
Pour Lyer > Uson on observe l'effet d'amplification de ces ondes.

Les phénomènes acousto-électroniques utilisant des ondes acous-
tiques de surface ont permis de réaliser certains appareils et dispo-
sitifs. Une faible vitesse de propagation des OAS parrappor t à la vites-
se de la lumière (v,0n Æ 107 s) a permis de réaliser des lignes à retard

& 9.5] EFFET GUNN 231

(LR) de faible encombrement à ondes acoustiques de surface qui
trouvent des applications dans les systèmes de radar, la télévision,
les calculateurs numériques, etc. La fréquence de service d’une ligne
à retard se détermine par le pas des électrodes du convertisseur
électromécanique et son temps de retard par la distance entre les
convertisseurs d’entrée et de sortie, la bande passante par l'étendue
(le nombre de tiges) du convertisseur. Dans la gamme d'ultra-hautes
fréquences la longueur de l'onde acoustique de surface est de = 20 um.
Une ligne à retard de 1 cm de longueur utilisant les ondes acoustiques
de surface permet d'obtenir le même retard qu'un câble coaxial long
de 1 km. Chose importante, les pertes dans une ligne à retard à ondes
acoustiques de surface peuvent être compensées au détriment de
l'énergie des électrons en dérive.

Les lignes à retard dispersives, dont le temps de retard varie
linéairement avec la fréquence, ont permis de réaliser des filtres de
compression et d'expansion de signaux ayant un coefficient de com-
pression allant jusqu'à 104.

Une double conversion — signal électrique — onde sonore et
onde sonore — signal électrique — sert de base pour la réalisation
d'amplificateurs et d’oscillateurs y compris à fréquence accordable.

$ 9.5. Effet Gunn

Apparition d’une conductance différentielle négative dans les
semiconducteurs homogènes sous l'effet d'un champ intense. Dans
des champs électriques de forte intensité, la mobilité des porteurs de
charges commence à dépendre de l'intensité du champ appliqué:

— u ({). Il s'ensuit que tout en restant positive, la conductivité
statique du semiconducteur 6, — enu figurant dans la loi d'Ohm
(i = enu & — 696) peut varier notablement avec l'intensité du
champ. Suivant le caractère de cette variation, la conductance diffé-
rentielle du semiconducteur

di c du du
Ca = = nu + ené de = % (1 + # 45 | (9.30)
peut prendre une valeur aussi bien positive que négative.
Le premier cas se réalise lorsque l’augmentation de l'intensité
de champ € provoque une augmentation de la mobilité uv des porteurs

de telle sorte que € LS > 0, ou sa mr mais si faible que

bien que 8 de C0, la valeur absolue
on nn parenthèses dans (9.30) De son signe positif.

Le second cas se réalise lorsque la croissance de & entraîne une
diminution de la mobilité des porteurs de charges et cette diminu-
tion est si brusque que se trouve vérifiée non seulement la condition

232 PHÊNOMENES OPTIQUES ET PLASMIQUES (CH. 9

6 du : : 5
Tag <0 mais aussi la condition D

sion entre parenthèses dans (9.30) devient négative, ce qui conduit
à une valeur négative de Oj;;j.

Réalisation de la conductance différentielle négative sous l'effet
d’un champ intense dans l’arséniure de gallium. Le cas d'apparition
d’une conductance différentielle négative sous l'effet d'un champ
électrique de forte intensité que nous venons de considérer se réalise
facilement dans les cristaux d’arséniure de gallium. La figure 9.20

. | > 1. Alors l’expres-

Niveau de Fermi

Fig. 9.20. Diagramme énergétique de bande de conduction de l’arséniure de
gallium.

(partie droite) montre la structure énergétique de la bande de conduc-
tion de l’arséniure de gallium. Cette bande présente deux minimums:
le premier (7) se situe au milieu de la zone de Brillouin et le second (71)
à une distance de */, x/a du centre de la bande. Suivant l’axe des
énergies le second minimum se situe de — 0,35 eV plus haut que le
premier. La densité d'états N,, dans le minimum inférieur est d’en-
viron 1500 fois plus faible que dans le minimum supérieur W. (c'est-
à-dire que V,,/N,1 & 1500), la mobilité w des électrons dans le
minimum inférieur est d'environ 40 fois plus grande que dans le
minimum supérieur (u,/u, = 40).

En l’absence de champ électrique extérieur les électrons ayant
passé des niveaux donneurs dans la bande de conduction, sont en
équilibre thermodynamique avec le réseau du semiconducteur et ont
Ja même temérature 7, que le réseau. Ils peuvent occuper des niveaux
énergétiques aussi bien dans le minimum inférieur que dans le
minimum supérieur de cette bande. Leurs concentrations dans ces
minimums ont pour valeurs respectives

m=Nae"®TO et n= NV ell-035)MTO),

& 9.5] EFFET GUNN 233:

où u est la distance entre le niveau inférieur de la bande de conduction.
et le niveau de Fermi (v. fig. 9.20). Le rapport

= Nez 9-0,35/&T0) & 1500e-0:35/UTo).

ns
ni c1

Pour 7, = 300 K on a ÀT, — 0,026 eV et n,/n; = 2,5-1075.

Ainsi, bien que statistiquement il est plus avantageux pour les:
électrons de se trouver dans le minimum supérieur présentant une
plus grande densité d’états, néanmoins pour 7, — 300 K ils ne
peuvent pas l’atteindre parce que leur énergie n’est pas suffisante.
pour cela. Aussi, en pratique ils se situent presque tous (— 99,8 %)
dans le minimum inférieur.

La partie gauche de la figure 9.20 montre la courbe de distribu-
tion de Boltzmann des électrons de la bande de conduction suivant les
énergies à 7 — 300 K (courbe 1). Elle ne s'étend pratiquement pas.
dans le domaine des énergies correspondant au minimum supérieur.

Examinons maintenant l'influence qu'un champ électrique fort
peut avoir sur le caractère de distribution des électrons suivant les:
énergies. En provoquant un mouvement de dérive des électrons, le
champ électrique leur transmet de l'énergie. Par suite de la diffusion
des électrons, cette énergie se transforme en énergie de leur agitation
thermique désordonnée — le gaz électronique « s’échauffe ». Dans:
un.champ intense sa température T, peut dépasser notablement la
température T, du réseau cristallin. Il en résulte une augmentation
de l’énergie des électrons et la courbe de leur distribution suivant.
les énergies se déforme en s'étendant dans le domaine des plus hautes.
énergies (fig. 9.20, courbe 2). Cela conduit à ce que le nombre des:
électrons capables de passer du minimum inférieur au minimum
supérieur devient toujours plus grand. Sur la figure 9.20 la partie de
la courbe de distribution correspondant à l'occupation du minimum
supérieur est hachurée et les transitions elles-mêmes des électrons du
minimum 7 au minimum 71 sont indiquées par une flèche horizontale.

Un calcul élémentaire montre que pour l’arséniure de gallium

Tr (9.31):

et pour des champs à partir de & & 3:105 V/m le coefficient y > 1.
C'est pourquoi dans des champs d'intensité € > 3-10 V/m la tem-
pérature du gaz électronique commence à croître brutalement avec €
et atteint déjà une valeur de T, = 600 K pour € & 3,5-10° V/m.
A une telle température du gaz électronique le rapport n./n, & 1,75.
Cela signifie que pour € & 3,5:105 V/m la plus grande partie des.
électrons de la bande de conduction sont concentrés dans le minimum
supérieur et non inférieur. La mobilité des électrons étant beaucoup:
plus faible (de 40 fois) dans le minimum supérieur que dans le mini-

234 PHENOMENES OPTIQUES ET PLASMIQUES (CH. 9

mum inférieur, le passage d’un grand nombre d'électrons du mini-
mum inférieur au minimum supérieur doit s'accompagner d'une
diminution brusque de leur mobilité effective et donc d’une diminu-
tion de la densité de courant traversant le semiconducteur qui se
décrit dans ce cas par la formule suivante:

i = e (ru + Note )E. (9.32)

Sur la figure 9.21 la droite OD montre la dépendance i, (£&) tracée
ans l’hypothèse où tous les électrons de la bande de conduction se
trouvent au minimum inférieur (n, = n, n: — 0) et possèdent la
mobilité u,. (Cette droite est inclinée de l’angle &, sur l’axe des
.abscisses. Sur la même figure est tracée la droite OC représentative

Ë cr Éseui

Fig. 9.21. Caractéristique courant-tension en N d'un semiconducteur à résistance
ifferentielle négative produite sous l’action d'un champ électrique intense.

-de la dépendance ài, (6) dans l'hypothèse que tous les électrons se
situent au minimum supérieur (7, — 0, n, — n) et possèdent la
mobilité u,. Cette droite est inclinée sur l’axe des abscisses d'un
angle &;, << œ.

Voyons maintenant comment varie la densité de courant dans le
-semiconducteur au fur et à mesure que l'intensité de champ € aug-
mente. Tant que l'intensité 6 est insuffisante pour assurer un échauf-
fement notable des électrons, tous les électrons restent au mini-
mum inférieur et la dépendance ài (6) est décrite par la droite OD.
‘Toutefois à mesure que € augmente, un nombre toujours plus grand
d'électrons acquièrent l'énergie suffisante pour passer du minimum
inférieur au minimum supérieur. Comme cette transition s'accom-
pagne d’une chute de la mobilité des électrons, elle conduit à une
diminution de la densité de courant. C’est pourquoi à partir d’une
certaine intensité 6, la croissance du courant à avec la croissance
.de € commence à se ralentir pour s'arrêter complètement pour # —
= €er. Si l'intensité € augmente encore, le passage des électrons au
minimum supérieur se produit d’une façon si intense que le courant à

6 9.5] EFFET GUNN 235

non seulement ne reste pas constant mais décroiît avec l’augmenta-
tion de “ (tronçon BM). Ceci étant. la conductance différentielle du
semiconducteur est dans ce tronçon une grandeur négative: Ou; —

di bn : ; :
Er << 0. La décroissance du courant i avec la croissance de &

continue jusqu’à l'intensité 6,.,;:, pour laquelle la majorité absolue
des électrons passent au minimum supérieur. Après cela la dépendan-
<e à (£) reprend son caractère linéaire et l’angle d’inclinaison de la
droite i (€) sera égal à @.

La caractéristique courant-tension d'un tel type comportant
une partie à conductance différentielle négative est appelée caracté-

€ - e
| = &
(On
JE
0 X/ X, X ) € €
&) & Co 8)

Fig. 9.22. Formation d'un domaine électrostatique dans un semiconducteur
à l'endroit de fluctuations du champ électrique dont l'intensité moyenne
80 > Ecr-

ristique en N. Elle présente un grand intérêt pour la radio-électroni-
que vu que les systèmes présentant une telle caractéristique peu-
vent être utilisés pour l’amplification et la production d'oscillations
électromagnétiques ainsi qu'à d'autres fins.

Apparition de domaines électrostatiques. Considérons une proprié-
té commune propre à tous les semiconducteurs qui possèdent dans
des champs intenses une caractéristique courant-tension en N.

Supposons qu'un cristal homogène et suffisamment long est
parcouru par un courant fourni par une source d'alimentation pro-
duisant dans le semiconducteur un champ &, tel que 64, << € <<
< Fyeuit (ig. 9.24). Supposons aussi que ce champ est uniforme
de sorte que dans tous les points du cristal l'intensité du champ est
la même, comme il est indiqué sur la figure 9.22, a. Supposons ensuite
que dans un petit tronçon compris entre x, et z, du cristal le champ
a subi une augmentation d'une petite quantité ô4. Comme le montre
la caractéristique courant-tension (fig. 9.22, b), la densité de courant
dans la région x, < x << x, sera plus faible que dans les régions
z <zet x > zx. Îl en résulte que les électrons commencent à s’ac-
cumuler au voisinage de x, en y constituant une charge négative et
à se détacher des électrons se trouvant pour zx > zx. en laissant une

226 PHÉNOMÈNES OPTIQUES ET PLASMIQUES (CH. 9:
charge positive non compensée. Ainsi il se forme entre les points z,
et x, une couche de dipôle appauvrie en porteurs libres. Cette couche

est appelée domaine électrostatique. À l'intérieur du domaine il naît

M
|
|
|

lil
|

0 x, À 2 À

Fig. 9.23. Formation d'un domaine
dans un semiconducteur alimenté de-
puis un générateur de tension s’accom-
pagnant d'une diminution du champ en

un champ interne &;,1 qui peut
dépasser notablement le champ
moyen €, régnant dans le cris-
tal. Dans un échantillon, ali-
menté depuis un générateur de:
tension, la formation de domai-
ne s'accompagne d’une baisse du
champ moyen dans le reste du
cristal (fig. 9.23)

Déplacement de domaines et.
apparition d’oscillations de cou-
rant. Le processus de formation
de domaines décrit plus haut se
produit dans une collectivité
d'électrons qui se déplacent de
l'électrode portée à un potentiel

dehors du domaine. négatif (cathode) vers l'électrode

portée à un potentiel positif

(anode). C’est pourquoi le domaine se déplace comme un tout dans.

le sens de la cathode vers l’anode avec une vitesse v,.. égale pour:
l'arséniure de gallium à environ 105 m/s.

Le champ atteint son intensité critique tout d’abord dans des

endroits du cristal où la conductivité a sa plus grande valeur par suite-

b À 4 ts £

Fig: 9.24. Variation du courant sous forme de « picots » dans un semiconducteur
ors de la formation et de la désintégration d'un domaine électrostatique.

des particularités de croissance. En pratique, de tels endroits se si-
tuent toujours près des électrodes parce que ces régions du semiconduc-
teur sont les plus inhomogènes par suite de la soudure des contacts.

En prenant naissance près de la cathode, le domaine se déplace
vers l’anode où il se désintègre. La désintégration d'un domaine:

$ 9.5] EFFET GUNN 237

à l’anode s'accompagne d'une formation d'un autre domaine à la
cathode de sorte que le processus prend un caractère périodique de
fréquence

Vi Vs) L: (9.33)

où L est la longueur du cristal. Comme la concentration d'électrons
libres dans le domaine est réduite, l’apparition du domaine dans le
cristal s'accompagne d'une élévation de la résistance de l'échantillon
et d’une réduction de l'intensité du courant dans le circuit.

La figure 9.24 mbntre le caractère de variation du courant dans
le circuit de l'échantillon en fonction du temps. A l'instant t, de
création du domaine le circuit est parcouru par le courant J,. Au fur
et à mesure que le domaine se forme (intervalle 7) le courant diminue
pour atteindre sa valeur minimale 7,,;, à l'instant t, correspondant
à la fin du processus de formation du domaine. Dans l'intervalle 77
de durée t, — t, = L/v,,r le domaine se déplace de la cathode vers
l’anode et l'intensité de courant dans le circuit reste inchangée et
égale à Zn. À l'instant t, le domaine atteint l’anode et commence
à se désintégrer (intervalle 771). La désintégration s'achève vers l’ins-
tant t, et s'accompagne d’une croissance du courant de Z,;, jusqu'à
la valeur initiale Z,.

L'effet d'apparition des oscillations de courant dans le circuit
d'un semiconducteur lié au passage d'un domaine a été observé
expérimentalement pour la première fois dans l'arséniure de gallium
de type z par Gunn; il a reçu le nom d'effet Gunn. Les appareils
utilisant cet effet s'appellent oscillateurs à effet Gunn ou diodes Gunn.

L'effet Gunn a été découvert en 1963. En 1966 a été construit
un premier générateur d'ondes hyperfréquences industriel avec une
fréquence de travail de l'ordre de 3 GHz et une puissance de sortie .
de 100 W en régime d’'impulsions. Au point de vue de la construction,
les diodes à effet Gunn sont réalisées sous la forme d’une plaquette de
cristal homogène d'arséniure de gallium de type nr munie de deux
contacts non redresseurs. Comme il ressort de la formule (9.33) la
fréquence d'oscillations produites par une diode Gunn se détermine
par l'épaisseur de la plaquette. La technologie moderne de fabrication
de telles plaquettes permet de réaliser des diodes d'épaisseur égale
à quelques micromètres, ce qui correspond à la fréquence générée de
plusieurs dizaines de gigahertz. La puissance des diodes modernes
utilisant l'effet Gunn est de quelques centaines de milliwatts en
continu et de quelques centaines de watts en impulsions. La présence
d'hétérogénéités dans le cristal a pour résultat que les domaines
peuvent se former non seulement près de la cathode mais aussi dans
d’autres régions de la plaquette, ce qui explique pourquoi les diodes
Gunn et surtout celles qui utilisent des plaquettes relativement
épaisses (quelques centaines de micromètres) se caractérisent par
un niveau suffisamment élevé de bruits d'amplitude et de fréquence.

CHAPITRE 10

CONTACT MÉTAL-SEMICONDUCTEUR

Dans l’électronique des solides un rôle important est joué par des phénomènes qui
se produisent dans les contacts métal-métal, métal-semiconducteur, métal-diéliec-
trique, semiconducteur-semiconducteur, semiconducteur-diélectrique.

Les contacts métal-métal sont utilisés pour la formation de connexions entre les
éléments constitutifs des appareils et pour leur branchement sur les circuits exté-
rieurs. Les contacts métal-semiconducteur peuvent être ohmiques ou redresseurs
suivant leur caractère. Les contacts ohmiques sont largement utilisés dans les
diodes, les transistors et les éléments semiconducteurs passifs des circuits intégrés.
Les propriétés de redressement des contacts métal-semiconducteur sont utilisées pour
la réalisation de diodes et de transistors.

Les contacts métal-diélectrique et semiconducteur-diélectrique sont utilisés pour
la construction d’appareils à couche mince dont le fonctionnement est fondé sur
les courants limités par la charge d’espace (CLCE) et l’effet de champ.

Les contacts métal-semiconducteur et semiconducteur-semiconducteur servent
aussi de base pour la construction de générateurs thermo-électriques, d’installa-
tions frigorifiques et de nombreux dispositifs semiconducteurs (diodes, transis-
tors, etc.).

Le chapitre actuel se propose d'étudier les propriétés physiques des contacts méta-
métal, métal-semiconducteur, métal-diélectrique. Pour ce qui est des propriétés
du contact semiconducteur-semiconducteur utilisées pour la réalisation d’une
large classe d’appareils semiconducteurs elles seront examinées au cours des chapi-
tres qui suivent.

$ 10.1. Travail de sortie

Ax chapitre 4 il a été montré que lorsque les atomes se rapprochent.
et forment des cristaux, les barrières de potentiel pour les électrons,
qui séparent les atomes voisins, s’abaissent et se rétrécissent
(v. fig. 4.2, b). Quant à la barrière de potentiel près de la surface d’un
cristal (près de sa frontière extérieure), elle conserve pratiquement
la même hauteur que dans des atomes isolés (fig. 10.1, a). Tout se
passe donc comme si les électrons dans le cristal se trouvaient dans un
puits de potentiel dont la sortie exige d'effectuer un travail pour
surmonter la force qui s'exerce sur les électrons de la part du cristal.
Dans le cas des métaux, l'expression donnant cette force se détermine
à partir des considérations suivantes.

Un électron qui s’est échappé du métal et se trouve près de sa
surface à une distance zx (fig. 10.1, db) induit dans le métal une charge
+e. Cette charge induite agit sur l’électron sorti comme si elle
était concentrée sous la surface du métal à la profondeur x en un
point qui est symétrique de celui où se trouve l'électron. Cela expli-

& 10.1] TRAVAIL DE SORTIE 239

que pourquoi la charge induite +e est appelée image électrique de la
charge —e. Elle attire l'électron avec une force

F = —e/(61ezr!?), (10.1)

que l’on appelle force d'image électrique.
A une distance z, de la surface du cristal, dont la valeur est de
l'ordre de la distance interatomique ou encore plus faible, il est assez

Niveau zero du vide

(

=——7 Barrière près :
Cl any de la surface
T7 du cristal

1
li
l'
À
,
|
Ÿ

ac É
Rx

PS
À
è
Û
Q-

internes

Fig. 10.1. Sortie des électrons d'un métal:

a — barrière de potentiel pour les électrons près de la surface du cristal: b — image électri-
que d'une charge près de la surface d’un métal ; c — variation de l'énergie potentielle d’un
électron U (x) à mesure qu’il s'éloigne de la surface du métal.

difficile de déterminer les forces retenant un électron dans le cristal
de sorte que pour des distances zx zx, l'expression (10.1) devient
inapplicable. Mais, heureusement, pour la plupart des problèmes
ayant une importance pratique, il suffit de connaître seulement Ja
hauteur totale de la barrière comptée à partir du niveau infétieur
de la bande de conduction E+. qu'on appelle travail de sortie (ou
d'extraction) extérieur %.,1 ouencore affinité électronique (fig. 10.1, c);
la hauteur de la barrière comptée à partir du niveau de Fermi u qui
est appelée travail de sortie thermodynamique Xo (fig. 10.1, c) et
enfin le potentiel de la force d'image reflétée pour z > zx, qui peut.
être déterminé par intégration de l’expression (10.1).

Pour un semiconducteur ou un diélectrique (fig. 10.2), le travail
de sortie thermodynamique %, ne correspond pas au travail de sortie

‘240 CONTACT METAL-SEMICONDUCTEUR (CH: 10

d’un électron réel quelconque si-le niveau de Fermi se situe dans la
bande interdite et ne coïncide avec aucun niveau d impureté.

Le travail de sortie est fortement influencé par des couches d’ad-
sorption monomoléculaires. La figure 10.3, a montre conventionnelle-
ment une couche monoatomique
de césium déposée sur la surface
de tungstène. Le césium est un
métal alcalin. Son électron su-
perficiel de valence est lié au
noyau beaucoup plus faiblement
que les électrons de valence dans
le tungstène. Aussi, lors de
l'adsorption, les atomes de cé-
sium cèdent-ils leurs électrons de
valence au tungstène et se trans-
forment en ions chargés positi-
vement. Entre ces ions et leur
Fig. 410.2. Sortie des électrons d'un image électrique dans le tungs-

semiconducteur : tène prend naissance une force

‘Xe — travail de sortie thermodynamique; k | - os:
2 | — travail de sortie extérieur; x — tra- d'attraction qui maintient les

Xe Ed %
vall de sortie d’un électron de l'intérieur de iOns Sur la surface de tungstène.
la bande de valence. On peut en conclure que si l’on

porte sur la surface de tungstène
une couche monoatomique de césium, il se forme une double couche
d'électricité dont la face extérieure est chargée positivement. Le champ
de la double couche favorise la sortie de l’électron du tungstène si
bien qu'en présence de couche de césium le travail de sortie de

Niveau zéro

Tons oxygene

lons césium

Îcs lungstene

G) b)

Fig. 10.3. Formation d'une double couche d'électricité lors du dépôt d'une
couche de césium sur la surface d’un cristal (a) et lors de l'adsorption des
atomes d'oxygène sur la surface de tungstène (b).

l’électron du tungstène diminue de 4,52 à 1,36 eV. De même que le
césium, agissent aussi les couches monoatomiques des autres métaux
électropositifs — du baryum, du cérium, du thorium, etc.

La diminution du travail de sortie sous l’effet d'adsorption des
éléments électropositifs est largement utilisée en pratique pour la
fabrication de cathodes des tubes électroniques, de photocathodes, etc.

ÿ 10.2] EMISSION THERMOËLECTRONIQUE 241

Toute différente est l’action de l’oxygène, par exemple, adsorbé
par la surface d’un métal. La liaison des électrons de valence dans
l'atome d'oxygène est beaucoup plus forte que dans les métaux.
Aussi lors de l’adsorption, l’atome d'oxygène ne cède-t-il pas mais,
au contraire, reçoit un électron du métal en se transformant en un
ion chargé négativement. Il en résulte que la face extérieure de la
double couche d'électricité se trouve chargée négativement
(fig. 10.3, b) et le champ électrique freine donc la sortie des électrons
du métal de sorte que le travail de sortie augmente.

$ 10.2. Emission thermoélectronique

Courant d'émission ; formule de Richardson-Dushmann. La figu-
re 40.4 montre le diagramme des énergies du tungstène et la courbe
de distribution des électrons suivant les énergies à T — 0 K et à une
température élevée. Comme il est visible sur cette figure, lorsque

feel … :
Niveau zéro Niveau zer0
72
\
70 \
8
6
4
2
E

Fig. 10.4. Diagramme énergétique du tungstène (a) et courbes de répartition des
électrons en fonction de l’energie nr (E) à T = 0 K (courbe en traits pleins) et
à une haute température (courbe en traits interrompus) (b).

la température s'élève, la « queue » de la courbe de distribution
passe au-delà du niveau zéro vide, ce qui témoigne de l'apparition
d'un certain nombre d'électrons possédant une énergie cinétique qui
dépasse la hauteur de la barrière de potentiel. De tels électrons sont
capables de quitter le métal (« s’évaporer »). Aussi, un métal échauf-
fé émet-il des électrons. Ce phénomène a reçu le nom d'émission
thermoélectronique. Elle ne devient notable qu'à une haute tempé-
rature, lorsque le nombre d'électrons thermiquement excités, capa-
bles de quitter le métal, devient suffisamment grand.

En plaçant au voisinage d'un métal chauffé un conducteur et en
créant entre ce conducteur et le métal un champ capable de collec-
ter les électrons, on peut obtenir un courant thermoëélectronique.

16—726

249 CONTACT MEÊTAL-SEMICONDUCTEUR [CH. 10

Calculons la densité de ce courant en supposant que tous les électrons
émis reviennent, par le circuit extérieur, sur la surface de sorte que
l’électrode émettant les électrons reste dans son ensemble électrique-
ment neutre. À cet effet il faut examiner de nouveau la distribution
des électrons suivant les vitesses à l’intérieur du métal. Pour obtenir
le nombre d'électrons par unité de volume de métal dont les compo-
santes de la vitesse sont comprises dans les intervalles de v, à v, +
+ dv,, de v, à v, + du, et de v, à v, + du,, il convient de multi-
plier le nombre d'états de l’électron dans ces intervalles par le degré
de leur occupation. Comme il a
été montré au $ 5.2, les valeurs
permises du vecteur d'onde k
de l’électron sont distribuées
dans l’espace des k uniformément.
de sorte qu’à chaque valeur de k
correspond un volume de 8r*
(pour V = 1). Si nous utilisons
la relation m,v = kk, qui est
- approximativement vérifiée pour
Fig. 10.5. Calcul de la densité de les électrons de la bande de con-
courant thermoëélectrique. duction, nous verrons que les

| valeurs permises du vecteur vi-

tesse de l’électron sont uniformément distribuées dans l’espace.
des vitesses avec une densité m°,/(8n°%*) — m3/h. La densité d'états,
compte tenu du spin des électrons, a une valeur deux fois plus
grande 2m/h°. La probabilité d'occupation des états par les.
électrons ne dépend, suivant le $ 5.1, que de l'énergie des électrons:
fr-D = 1/{exp ÎCE — u})/(kT)] +1}. Alors, le nombre des électrons:
dans l'intervallé de‘composantes des vitesses du,dv,dv. sera égal à

2m° Uy du.
a nie ._ (10.2X
exp{(E—u}/(AT)] +1}

Séparons sur la surface de métal une unité de surface et, en
l'utilisant comme base, construisons un parallélépipède rectangle
d’arête latérale v. (fig. 10.5). Le nombre des électrons contenus dans
le parallélépipède, dont les composantes de la vitesse sont comprises
dans les limites indiquées plus haut, a pour valeur

2m3,v0x dox dy dv
dN=vin(v, vy, v:) dv, du, dv, = FRIC 0 (10.3)

(Us Uyr Uz) AU, du, du, =

Tous ces électrons atteignent en un intervalle de temps unité la sur-
face du métal. Les électrons qui peuvent quitter le métal sont seule-
ment ceux dont l'énergie cinétique dans le sens des x, égale à m, v/2,
sera non inférieure à la hauteur de la barrière 4 .,1, c’est-à-dire ceux
dont la vitesse dans lé sens de l’axe des z ne sera pas inférieure

à Do — V 2'Xext/Mn.

& 10.2] ÉMISSION THERMOËLECTRONIQUE 243

En intégrant (10.3) par rapport à v, et v, dans les limites de
—oo à —+o (les limites entre lesquelles peuvent théoriquement
varier v, et v.,) et par rapport à v, dans les limites de v,, à oo, on
obtient le nombre des électrons qui quittent chaque seconde une
surface unité d'un métal chauffé :

lUx du> duy dv,

| LS re-mremier

N=7 (10.4)

Le calcul de cette intégrale pour le cas généralement réalisé en pra-
tique, lorsque #, à ÀT, conduit au résultat suivant :

N=2 (2) T2exp (— sh). (10.5)

Si l’on multiplie N par la charge de l électron e, on obtient la densité
de courant :

i— AT°’exp (—4E) = AT?exp (—--) ’ | (10.6)

ou
A = rem, k?/hs. (10.7)

La relation (10.6) exprime une loi dite de Richardson-Dushmann,
dans laquelle À est appelé constante de Richardson. En prenant le
logarithme de la relation <ha on obtient

Le graphique de cette fonction est donné sur la figure 10.6. C’est une
droite dont l’inclinaison permet de déterminer le travail de sortie
thermodynamique #,. En extrapolant cette droite jusqu’à l'intersec-
tion avec l’axe d’ordonnées, on peut trouver la constante de Richard-
son À. Pour m, — m, la constante À doit être égale à 1.2 ;-
x 106 A/(m°.K°).

Ainsi qu'il ressort de la formule (10.6), la densité de courant
thermoélectronique se détermine par la température de la surface
émettrice et par le travail de sortie. Comme ces deux grandeurs
interviennent dans l’exposant de l’exponentielle, la dépendance du
courant en est très forte. C’est ainsi que si la température d'une ca-
thode en tungstène est portée de 1000 à 2500 K, la densité de courant
d'émission augmente d'environ 16 ordres; le recouvrement d’une
cathode en tungstène par une couche monoatomique de césium, qui
diminue le travail d'extraction de 4,52 à 1,36 eV, a pour effet de
provoquer une augmentation de la densité de courant d'environ
14 ordres de grandeur. C’est pourquoi de nos jours les cathodes en

16%

244 CONTACT M£TAL-SEMICONDUCTEUR (CH. 10

métaux purs ne sont pas pratiquement utilisées (sauf des cathodes
construites pour des cas spéciaux).

La relation (10.7) montre que la constante de Richardson doit
être indépendante de la nature du métal. Mais en réalité elle est
différente pour les divers métaux, ce qui est lié en partie au diffé-
rent degré de transparence de leurs barrières de potentiel aux
ondes électroniques qui se réfractent à la sortie des électrons du

In K A
Te + Ê
lnA

B
N

0 TT

Fig. 10.6. Variation de la densité du
courant de thermo-émission avec la
temperature.

Fig. 10.7. Sens du champ extérieur #
et de la force F agissant sur l’électron
pour une tension d'anode retardatrice

(a) et accélératrice (b).

métal dans le vide, mais se détermine essentiellement par les par-
ticularités de la fonction de densité d'états des métaux concrets au
voisinage du niveau zéro.

Si l’on crée entre l'émetteur (la cathode thermo-électronique
K ; fig. 10.7, a)et le collecteur (l’anode À) une différence de poten-
tiel V qui s'oppose au mouvement des électrons vers le collecteur,
ce dernier ne pourra être atteint que par des électrons qui ont quitté
l'émetteur avec une énergie cinétique non inférieure à —eV (V << 0).
Pour cela, leur énergie dans l’émetteur doit être non inférieure à
ext — 6V. En remplaçant dans l’expression (10.6) %esr par Xext —
— eV, on obtient la relation suivante pour le courant circulant dans
le circuit :

I = AST?exp ( EN nt om 8

_ (10.9)

eV
]= exp 7 »
où S est l’aire de la surface émettant les électrons; 7, le courant d’émis-
sion pour V — 0. En prenant le logarithme de cette expression,
on trouve

InZ? =In2, + eV/(RT). (10.10)
La figure 10.8, a montre la courbe de variation de In J en fonction de

V. Pour V << 0 c'est une droite qui coupe sur l’axe d'ordonnées
(V = 0)- un tronçon In 4.

& 10.2] EMISSION THERMOËLECTRONIQUE 245

Lorsque le collecteur est porté à un potentiel positif (fig. 10.7, b),
tous les électrons qui quittent l'émetteur atteignent le collecteur.
Ceci étant, le courant dans le circuit ne doit pas varier tout en res-
tant égal au courant de saturation 7, (courbe en traits interrompus
de la figure 10.8,a).

Il faut noter qu'une telle caractéristique courant-tension ne s’ob-
serve que dans le cas des valeurs relativement faibles des densités
de courant d'émission et des potentiels positifs élevés du collecteur
lorsqu’au voisinage de la surface émettrice il ne se forme pas une
charge d’espace tant soit peu considérable des électrons qui n’ont pas

Fig. 10.8. Variation du courant en fonction de la tension d'anode (a) et influence
d’un champ extérieur sur la hauteur et la forme de la barrière de potentiel à la
surface de séparation métal-vide (b, c).

eu le temps pour atteindre le collecteur. En régime de charge d'espace
la caractéristique courant-tension est déjà décrite par l'équation de
Child-Langmuir suivant laquelle Z — V®/:.

Effet Schottky. La conclusion que pour V=0 le courant J est
indépendant de V n’est pas tout à fait exacte. Un champ accéléra-
teur, régnant près de la surface émettrice et agissant sur l’électron
avec une force F — —eé (fig. 10.7, b), effectue sur un parcours zx
un travail Fx — —etzx et diminue par là même l’énergie potentielle
de l'électron d’une quantité égale à | Ug | = e€x. La figure 10.8, b
montre la variation en fonction de x de l’énergie potentielle d’un élec-
tron dans un champ extérieur Us (la droite en traits mixtes), dans

le champ de forces d'image électrique U;,, (la courbe en traits inter-
rompus) et de l'énergie potentielle résultante U de l’électron (la cour-
be en traits pleins). Comme il est visible sur la figure 10.8, b
le champ accélérateur, régnant près de la surface émettrice, abaisse
la barrière de potentiel de À x. Le calcul montre que pour des champs
pas trop élevées

AXx= Ve Æl(4ne,) — V&. (10.11)

L'’abaissement de la barrière de potentiel sous l’action d’un champ
extérieur est connu sous le nom d'effet Schottky. Il a pour ré-

246 CONTACT MÉÊTAL-SEMICONDUCTEUR (CH. 10

sultat que lorsque le potentiel positif du collecteur augmente, le
courant d'émission ne reste pas constant (7/,) mais accuse une petite
croissance (la courbe en traits pleins de la figure 10.8, a).

Emission froide d'électrons. Un champ accélérateur extérieur
provoque non seulement l’abaissement de la barrière de potentiel
mais aussi une diminution de son épaisseur d (fig. 10.8, c), ce qui
rend une telle barrière, lorsque l'intensité de champ est très élevée
(— 10° V/m), suffisamment transparente pour le passage des électrons
par effet tunnel et pour leur sortie du solide. Ce phénomène est appe-
lé émission électronique froide ou encore émission (électronique) par
champ électrique. La densité de courant dans l’émission électroni-
que par champ électrique croit brusquement avec l'augmentation de
l'intensité du champ accélérateur:

i = CE exp (—a/E), (10.12)

où Cet a sont des constantes caractéristiques de la barrière de poten-
tiel.

$ 10.3. Différence de potentiel de contact
Considérons les processus qui se déroulent lorsque se rapprochent

et se mettent en contact deux conducteurs électroniques, deux mé-
taux par exemple, dont les diagrammes des énergies sont montrés sur

7 2 Œ

SE SSSR

Fig. 10.9. Apparition d'une différence de potentiel de contact entre deux métaux.

Ja figure 10.9, a. Le gaz électronique de ces conducteurs se caractérise
par les potentiels chimiques u, et u. et par les travaux d'extraction
%1 et %2. Mettons ces conducteurs en contact, en les rapprochant l’un
de l’autre à une distance à laquelle un échange effectif d'électrons
devient possible. En examinant la figure 10.9, a qui montre comment
sont occupés par les électrons les niveaux des métaux à T =0K,
on voit que dans la bande de conduction du conducteur ? sont occu-
pés tous les états jusqu'au niveau de Fermi u., et qu’en regard de ces

& 10.7 DIFFÉRENCE DE POTENTIEL DE CONTACT 247

états se situent des niveaux occupés de la bande de conduction du con-
ducteur Z. Ceci étant, les électrons du conducteur 2 ne peuvent pas
passer dans le conducteur Z. À une température différente de OK,
les électrons du conducteur 2 thermiquement excités à des niveaux si-
tués plus haut que u, peuvent passer dans le conducteur 7, mais à des
températures ordinaires le nombre de tels électrons n’est pas éle-
vé de sorte que leur flux #., est faible.

I1 n’en est plus de même pour le conducteur Z. Sa bande de conduc-
tion est, elle aussi, remplie jusqu'au niveau de Fermi u,, mais son
travail d'extraction étant plus faible que celui du conducteur 2
(%1 << 42), en regard des états occupés de ce conducteur, situés plus
haut que le niveau de Fermi u,, sont placés les niveaux libres de la
bande de conduction du conducteur 2. Aussi, lorsque les conducteurs
sont mis en contact (même à 7 — OK), les électrons passent-ils des
niveaux occupés du conducteur Z aux niveaux libres du conducteur
2, en constituant un flux #,, qui est au début beaucoup plus intense
que le flux 7...

Considérons maintenant comment s'établit un équilibre entre les
conducteurs. Le conducteur 7, qui perd des électrons, se charge positi-
vement, le conducteur.?, qui acquiert des électrons en excès, se char-
ge négativement. L'apparition de ces charges a pour effet de provo-
quer un déplacement, l’un par rapport à l’autre, des niveaux énergé-
tiques des deux conducteurs : dans le conducteur Z, chargé positive-
ment, tous les niveaux s’abaissent et dans le conducteur ?, chargé né-
gativement, tous les niveaux montent par rapport à leurs positions
à l'état non chargé de ces conducteurs (fig. 10.9, b). Cela est facile à
comprendre en partant des considérations bien simples suivantes.
Pour faire passer un électron par exemple du niveau zéro ©, du mé-
tal 7 au niveau zéro O, du métal 2 soumis à un potentiel négatif V
par rapport au métal Z, il faut dépenser un travail numériquement
égal à eŸ. Ce travail se transforme en énergie potentielle de l’électron.
Aussi, l’énergie potentielle de l'électron situé au. niveau zéro d’un
conducteur chargé négativement est de AU = eV plus grande que
l'énergie potentielle d'un électron occupant le niveau zéro d’un con-
ducteur chargé positivement. Mais cela signifie que le niveau zéro
du conducteur ? se situe de AU = eV plus haut que le niveau zéro
du conducteur chargé positivement.

Un tel déplacement est subi par tous les niveaux énergétiques des
conducteurs Z et 2, y compris les niveaux de Fermi pu, et lu.

Dès que le niveau de Fermi du conducteur 7 (u,) en descente con-
tinue et le niveau de Fermi du conducteur 2 (u.) en montée continue
se trouvent à une même hauteur, la cause qui détermine
le passage privilégié des électrons du conducteur Z dans le conducteur
2 disparaît parce qu’en regard des niveaux occupés du conducteur Z
sont placés maintenant des niveaux occupés, avec le même degré,
du conducteur 2. Il s'établit entre les conducteurs un équilibre au-

248 CONTACT MÊTAL-SEMICONDUCTEUR (CH. 10

quel correspond une différence de potentiel d’équilibre entre eux
Ve= + (te ki), (10.13)

que l’on appelle différence de potentiel de contact. Comme le montre la
relation (10.13), V. se détermine par la différence des travaux d’extrac-
tion des électrons des conducteurs en contact. La valeur de V, peut
atteindre quelques volts. L'examen de la figure 10.9, b montre que
la différence de potentiel de contact crée pour les électrons passant
dans le conducteur dont le travail d’extractionest plus grand, une bar-
rière de potentiel haute de eŸ..

Le résultat obtenu est valable quel que soit le mode d'échange
d’électrons entre deux matériaux, y compris par l'émission thermo-
électronique dans le vide, à travers un circuit extérieur, etc.

La différence de potentiel de contact peut jouer un grand rôle
dans le fonctionnement des appareils électroniques à vide dont les
électrodes (la cathode, l’anode, les grilles et autres) sont faites, en rè-
gle générale, en métaux différents. La différence de potentiel de con-
tact qui prend naïssance entre de telles électrodes s’ajoute à la diffé-
rence de potentiel extérieure et influe directement sur la caractéris-
tique courant-tension des appareils. La variation de la différence de
potentiel de contact peut provoquer un fonctionnement instable de
ces appareils. Les phénomènes intervenant aux contacts sont égale-
ment à la base de fonctionnement de nombreux appareils à semiconduc-
teurs et d’autres appareils et dispositifs à corps solide.

Evaluons maintenant le nombre d'électrons passant d'un métal
dans un autre lorsqu'il se crée une différence de potentiel de contact
V.. Nous supposerons qu'entre les métaux mis en contact il subsiste
un jeu large de d et que les charges se concentrent dans des couches
étroites près des surfaces. Alors, la valeur de la charge Q sur chacune
des surfaces, nécessaire pour produire une différence de potentiel
V4 peut être déterminée au moyen de la formule valable pour un con-
densateur plan Q — CV, où C est la capacité du condensateur. Dans
le cas considéré C = e,S/d (ici S est l’aire des surfaces en contact,
€, la permittivité du vide). On en tire

Q = Se,V./d.

Comme la distance d entre les métaux ne peut pas être inférieure
au paramètre du réseau a æ 0,3 nm, la densité de charge maximale
sur les surfaces en contact, pour une différence de potentiel de contact
Ve. &1Â V, est égale à Q/S æ 3-10-* C/m*. Cela correspond à
æ 21077 électrons par 1 m°. 1 m° de couche monoatomique de métal
contient — 5-10!8 atomes. En supposant que chacun de ces atomes
cède au gaz électronique un électron de valence, on voit que la densi-
té superficielle de gaz électronique nr, æ 5-101% m-*. Ainsi pour créer
une différence de potentiel de contact il a fallu dans notre exemple

$ 10.4] CONTACT ENTRE UN METAL ET UN SEMICONDUCTEUR 249

faire passer seulement æ 4 % d'électrons contenus dans la couche
monoatomique près de la surface des métaux.

Une variation si petite de la concentration du gaz électronique
dans la couche de contact d’une part et une faible épaisseur de la bar-
rière de potentiel à la surface de séparation des métaux qui assure la
transparence de cette barrière pour le passage des électrons par effet
tunnel d'autre part, ne peuvent pas provoquer une variation tant
soit peu notable de la conductivité de cette couche par rapport à celle-
du métal en profondeur. Le courant électrique passe par le contact
de deux métaux avec la même facilité qu’à travers les métaux eux-
mêmes.

$ 10.4. Contact entre un métal et un semiconducteur

Contact de blocage. Considérons le contact entre un métal et un
semiconducteur. Soit un métal M ayant le travail d'extraction
Xom Mis en contact avec un semiconducteur électronique II ayant le-
travail d'extraction #4. (fig. 10.10). Pour Xsn > Yo. les électrons.

Fig. 10.10. Schéma d'un contact métal-semiconducteur.

du semiconducteur passeront dans le métal jusqu'à l'instant où les.
potentiels chimiques u,, et u, s’égalisent et un équilibre s’établit.
Entre le métal et le semiconducteur il apparaît une différence de po-
tentiel de contact V, qui est approximativement du même ordre de:
grandeur que dans le cas du contact de deux métaux (de l’ordre de
1 V). Pour créer une telle différence de potentiel il faut que le nombre.
d’électrons passant du semiconducteur dans le métal soit à peu près
le même que dans le cas du contact de deux métaux.

Si le paramètre du réseau du semiconducteur a Æ 0,5 nm (ger-
manium) et la concentration du gaz électronique nr & 10°! mr,
1 m° de sa surface contient dans la couche monoatomique nr, = 1014
électrons. Aussi le passage de An = 2-1077 électrons doit être lié à
la « mise à nu» de 10% couches atomiques du semiconducteur.

250 CONTACT. MEÊTAL-SEMICONDUCTEUR [CH. 10

Ainsi, dans le cas du contact entre des métaux et un semiconduc-
teur l’égalisation des potentiels chimiques se produit par le passage
sur la surface de contact du métal des électrons à partir de la couche
frontière du semiconducteur d'épaisseur considérable d (fig. 10.11)
æt toute la différence de potentiel de contact chute dans le semiconduc-
teur et non dans le jeu entre le semiconducteur et le métal. Les
atomes d’impureté ionisés, qui restent dans cette couche, constituent
une charge d’espace positive immobile. Comme cette couche ne con-
tient pratiquement pas d'électrons libres, on l'appelle couche
appauvrie et le contact métal-couche appauvrie de semiconducteur
qui a une grande résistance est
appelé contact de blocage.

Influence du champ de con-
tact sur les niveaux énergétiques
d’un semiconducteur. La diffé-
rence de potentiel de contact V};
qui prend naissance entre un
métal et un semiconducteur est
formée suivant toute l’épais-
Fig. 10.11. Répartition des charges seur d de la couche appauvrie
dans un contact de blocage métal-Se- (fig. 10.11). Si l'on prend pour

miconducteur. la constante de réseau a &0,5 nm
et pour le nombre de couches
de contact « dénudées » du semiconducteur — 10%, on obtient pour
l'épaisseur de cette couche d &0,5-10% nm = 5-10-7 m. Pour
V, = 1 V l'intensité du champ de contact &, = V,/d & 2-108 Vim.
‘C'est au moins de trois ordres de grandeur inférieur à l'intensité du
champ interne du cristal, qui détermine le spectre énergétique du se-
miconducteur. Cela signifie que le champ de contact ne peut pas avoir
une influence appréciable sur la structure de ce spectre (la largeur de
la bande interdite, l'énergie d'activation des impuretés, etc.). Son
action se réduit seulement à l’incurvation de tous les niveaux éner-
gétiques du semiconducteur. Expliquons ceci.

En l'absence de champ de contact, les niveaux énergétiques dans
le métal et dans le semiconducteur sont représentés par des droites
horizontales (v. fig. 10.10, a). On exprime ainsi le fait que l'énergie
d’un électron occupant un niveau donné, par exemple le niveau infé-
rieur de la bande de conduction, est la même dans tous les points du
semiconducteur. Elle ne dépend pas des coordonnées des électrons.
En présence de la différence de potentiel de contact, la situation est
différente : dans la couche où est concentré le champ de contact, l’élec-
tron est soumis à une force qui tend à le chasser de la couche. Pour
surmonter cette force il faut dépenser un travail qui se transforme en
énergie potentielle de l’électron. C’est pourquoi, au fur et à mesure
que l’électron se déplace à l’intérieur de la couche de charge d'espace,
son énergie potentielle (x) augmente pour atteindre sa valeur ma-

$ 10.4) CONTACT ENTRE UN METAL ET UN SEMICONDUCTEUR 251.

ximale w, = e| V, | sur la frontière du semiconducteur (v. fig.
10.10, b). Cela signifie que le champ de contact provoque une cour-
bure des bandes d'énergie du semiconducteur.

Pour déterminer la forme de la fonction œ (x) utilisons l’équation
de Poisson (8.51):

dV = p(z)
dz? £E€o

où € est la constante diélectrique du semiconducteur.

I] est raisonnable de passer du potentiel V (x) à l'énergie poten-
tielle de l’électron (x) — — eV (x) et d'écrire l’équation de Pois-
son pour @ (x):

d® _
dr? £€

p (x). (10.14)

Pour calculer la densité volumique p (x) de la charge nous suppose-
rons que dans la couche appauvrie tous les atomes donneurs W ; sont
ionisés et que tous les électrons sont passés dans le métal. Alors
? — eN;. En portant la valeur de u dans l'équation de Poisson, on
obtient
*P e“

Etant donné qu’à une distance z > d le champ de contact n'existe
pas dans le semiconducteur, les conditions aux limites pour cette
équation peuvent s’écrire sous la forme

p(d)=0; (5) 0. (10.16)

L'intégration de l'équation (10.15) avec les conditions aux limites
(10.16) conduit au résultat suivant:

p(z)= me (d— x}. (10.17)

La relation (10.17) montre que lorsque x augmente, le potentiel de
champ de contact dans le semiconducteur décroît suivant une loi
parabolique. Pour x = 0 on obtient @o = Xom — %Xos- En portant la
valeur de , dans (10.17), on trouve l’épaisseur d de la couche appau-
vrie :

d= y <m - eeoPo (10.18)

Na elno

OÙ Z2n0 est la concentration des électrons (des porteurs majoritaires)
dans le semiconducteur de type nr qui est égale à W4.

,_ Il résulte de (10.18) que l'épaisseur d de la couche appauvrie aug-
mente en même temps que la différence de potentiel de contact

252 OONTACT MÊTAL-SEMICONDUCTEUR (CH. 10

Po/e déterminée par la différence des travaux d'extraction et dimi-
nue lorsque la concentration des porteurs majoritaires augmente dans.
le semiconducteur. Les résultats de calcul de d au moyen de (10.18)

dans l’hypothèse que ®, = 1 V et £ — 10 sont indiqués dans le ta-
bleau 10.1.

Tableau 10.1

Nno’ M7° d, m
1024 3- 1078
10°2 3-107°
10290 3-10-5

Si le travail de sortie d’un semiconducteur électronique est plus
grand que le travail de sortie du métal, les électrons passent du mé-
tal dans le semiconducteur en constituant dans sa couche de contact

une charge d'espace négative.

F s A mesure que l’électron se dépla-

pee p. ce vers la surface du semiconduc-

Z teur, son énergie @ (x) n augmen-

te pas dans ce cas mais au con-

traire diminue de sorte que les:

bandes d'énergie s’incurvent dans

le sens opposé (fig. 10.12). La con-

centration des charges mobiles

. dans la couche de contact du

semiconducteur devient dans ce

Fig. 10.12. Diagramme énergétique CaS plus forte. C'est pourquoi

d'un contact non redresseur métal-se- une telle couche est dite enri-

miconducteur de type n. chie. Près de la surface frontière

entre un semiconducteur de type

p et un métal peuvent se former aussi bien des couches d’appauvris-
sement que des couches d’enrichissement en trous.

Redressement par un contact entre un semiconducteur et un métal.
Une propriété remarquable du contact de blocage est une très forte
variation de sa résistance en fonction du sens de la différence de po-
tentiel extérieure appliquée au contact. Cette variation est si forte
qu’elle conduit pratiquement à une conductibilité unidirectionnelle
(unipolaire) du contact : le contact conduit facilement le courant dans
le sens dit direct et beaucoup plus difficilement dans le sens opposé
(inverse). C'est là que réside l’effet redresseur d’un contact entre un
semiconducteur et un métal. Examinons-le de plus près.

La figure 10.13, a montre la structure de bande d’un contact.
entre un semiconducteur électronique et un métal à l’état d’équilibré.

z £

7 Er

$ 10.4] CONTACT ENTRE UN METAL ET UN SEMICONDUCTEUR 253

Pour les électrons passant du métal dans le semiconducteur la barriè-
re de potentiel est égale à la différence Xom — Lxr..; pour les élec-
trons passant du semiconducteur dans le métal elle est égale à
Po = el V4 |.A l'état d'équilibre, le flux d'électrons passant du mé-
tal dans le semiconducteur est égal au flux opposé d'électrons passant
du semiconducteur dans le métal de sorte que le courant résultant à
travers le contact est nul. Désignons par i, la densité de courant cor-
respondant aux densités d'équilibre des flux électroniques. Elle est

égale à + (e, ennoe %/ÀT, où (v, )est la vitesse moyenne de l’agi-
tation thermique des électrons dans le semiconducteur.
Appliquons au contact une différence de potentiel extérieure dans

le sens coïncidant avec la différence de potentiel de contact Y,,
en chargeant le semiconducteur positivement par rapport au métal

6) |
Fig. 10.13. Diagramme énergétique d'un contact redresseur métal-semiconduc-
teur à l'équilibre (a) et en polarisation inverse V;,,2 (b) et direct Vy;, (e) (les
flèches indiquent les flux d'électrons).

(fig. 10.13, b); un tel sens est dit inverse. Convenons de considérer
que le signe de la polarisation extérieure Ÿ appliquée dans le sens
inverse est négatif. Etant donné que la résistance du contact est gé-
néralement de plusieurs ordres de ;randeur supérieure à celle du reste
du circuit, pratiquement toute la différence de potentiel V appliquée
est concentrée sur le contact. Les niveaux d’énergie dans un semi-
conducteur chargé positivement sont déplacés de eV vers le bas par
rapport à leurs positions initiales. Le niveau de Fermi u, descendra
de la même distance. Sur la figure 10.13, b le niveau inférieur de la
bande de conduction £E. et le sommet de la bande de valence Æ, sont
construits compte tenu de cette nouvelle position du niveau de Fer-
mi. Comme il est visible sur la figure, la différence de potentiel ex-
térieure V appliquée dans le sens inverse provoque une augmenta-
tion de la barrière de potentiel pour les électrons passant du semicon-
ducteur dans le métal jusqu'à

p (0) = po — eV (pour V << 0). (10.19)

254 CONTACT ME£ETAL-SEMICONDUCTEUR (CH. 10:

Suivant (10.18) la couche appauvrie correspondant à une telle barriè-
re a l'épaisseur

d= et (pour V<O). (10.20)
Ainsi, un champ extérieur appliqué au contact dans le sens inverse:
élève la barrière de potentiel pour les électrons passant du semicon-
ducteur dans le métal et augmente l’épaisseur de la couche appauvrie.
La situation est différente dans le cas où le champ est appliqué
au contact dans le sens direct (fig. 10.13, c). Dans ce cas, dans le se-
miconducteur chargé négativement, tous les niveaux d’énergie, y
compris le niveau de Fermi u,, sont déplacés vers le haut de eŸ, ce
qui conduit à la réduction de eŸ de la barrière énergétique pour les
électrons passant du semiconducteur dans le métal. La barrière de-
vient égale à

@ (0) = po — eV (pour V > 0). (10.21}

Respectivement, l'épaisseur de la couche de charge d'espace tombe
jusqu’à
d= EE) (pour V > 0). (10.22

La variation de la hauteur de la barrière de potentiel sous l’ac-
tion d’une différence de potentiel extérieure trouble l’équilibre entre
les flux d'électrons passant par le contact. Si l'on applique au contact
une différence de potentiel extérieure Ÿ dans le sens inverse, la den-
sité de courant i,,, deviendra e‘!V{/@T) fois plus petite parce qu’en
vertu de la loi de Boltzmann le nombre d'électrons passant du semi-
conducteur dans le métal, capables de franchir une barrière de hau-
teur , + e | V |este IV IT) fois plus petit que le nombre d'électrons
capables de surmonter une barrière d'équilibre ,. C’est pourquoi
la densité de courant d’électrons passant du semiconducteur dans le
métal devient égale à

inm= ie VAT) (pour V < 0). (10.23)

Quant à la densité de courant opposé ik, elle reste égale à i, parce
que le champ extérieur est sans effet sur la hauteur de la barrière pour
les électrons passant du métal dans le semiconducteur : elle reste
toujours égale à la différence des travaux d'extraction YXom — Xext.s-

La densité résultante du courant circulant dans le sens inverse
est égale à

ii et VIAT— ji, (eV/ET)— 4) (pour V0). (10.24)

Ce courant est dirigé du semiconducteur vers le métal. Si la tension
inverse Ÿ augmente, l’exponentielle e°V/(*T) tend rapidement vers zé-

& 10.4] CONTACT ENTRE UN METAL ET UN SEMICONDUCTEUR 255:

ro et la densité de courant inverse vers une valeur limite égale à —à,.
La densité de courant ài, est appelée densité de courant de saturation
et 7, = Si, est dit courant de saturation (S étant l’aire de la section
droite du contact entre le métal et le semiconducteur).

Si la différence de potentiel extérieure V est appliquée dans le
sens direct (fig. 10.13, c), la barrière de potentiel pour les électrons
passant du semiconducteur dans le métal s’abaisse de eŸ de sorte que
la densité de courant i,, consti-
tué par ces électrons augmente
de e‘V/@T) fois par rapport à à, :

inm = ge V/ŒT) (pour V > 0).

Quant à la densité de courant i,,
elle est toujours égale à i,. Cela
signifie que la densité de cou-
rant passant dans le sens direct
(du métal dans le semiconducteur)
a pour valeur

= inm — mn = de (CV/RTI — 4) Fig. 10.14. EL PEU te AS
pour (V=>0). (10.25) sion d'une diode Schottky.

Ce courant augmente exponentiellement lorsque Ÿ augmente. En ré-
unissant (10.24) et (10.25), on obtient.

i= à, (eV/AT)— 4). (10.26)

Dans ce cas V >> 0 pour la DO/ANSAUOn directe et V << O0 pour la po-
larisation inverse.

La formule (10.26) est l'équation. de la caractéristique courant-ten-
sion (CCT) du contact redresseur entre un métal et un semiconducteur.
La forme d'une telle caractéristique est montrée sur la figure 10.14.
L'examen de cette figure montre que le contact entre un métal et un
semiconducteur possède réellement une propriété de redressement :
il laisse passer le courant dans le sens direct et le bloque presque to-
talement dans le sens inverse.

Le rapport de l'intensité de courant passant dans le sens direct à
l'intensité de courant circulant dans le sens inverse correspondant à
une même différence de potentiel est appelé coefficient de redresse-
ment. Pour des contacts redresseurs de bonne qualité ce coefficient
atteint des valeurs se chiffrant par des dizaines et même des centai-
nes de milliers.

‘La barrière de potentiel qui prend naissance au contact redresseur
semiconducteur-métal est souvent appelée barrière de Schottky et.
les diodes utilisant cette barrière portent le nom de diodes Schottky.

256 CONTACT MEÊTAL-SEMICONDUCTEUR (CH. 10

$ 10.5. Courants limités par la charge d’espace

Les contacts non redresseurs entre un métal et un semiconducteur
dont la formation s'accompagne d’une création dans la région de con-
tact du semiconducteur d’une couche enrichie en porteurs de courant
majoritaires n'’apportent aucune résistance additionnelle au passage
du courant et s'appellent contacts ohmiques. Les contacts ohmiques

Electrons dass
coucñes
_" d enrichéies

Pieges
rOYondS

doi guadrafique
sans piègeage

Lot quadratique
Sans piégeage

c) d)

Fig. 10.15. Courants limités par une charge d'espace:

-a — structure MDM ; b — diagramme énergétique d’une structure MDM à l'état d'équilibre;

c — courbe caractéristique courant-tension d’une structure MDM avec un diélectrique sans

pièges et avec un diélectrique avec des pièges peu profonds; d — caractéristique courant-
tension d’une structure MDM avec un diélectrique contenant des pièges profonds.

sont nécessaires pour l’établissement des connexions entre les ré-
gions semiconductrices des appareils et les circuits électriques exté-
rieurs. Dans la réalité, le passage à travers le contact du courant d'une
telle polarité, lorsque les porteurs majoritaires se dirigent du contact
vers le semiconducteur, a pour effet même une certaine diminution de
la résistance du semiconducteur du fait que les porteurs majoritaires
sont entraînés (injectés) de la région de contact dans la profondeur du
semiconducteur. Cet effet est particulièrement marqué dans les struc-
tures métal-diélectrique-métal (MDM) où le courant est souvent

$ 10.5] COURANTS LIMITES PAR LA CHARGE D'ESPACFE 257

transporté précisément par des porteurs injectés et non pas par des por-
teurs intrinsèques peu nombreux.

Considérons le cas où l’épaisseur d du diélectrique est beaucoup
plus grande que l'épaisseur L des couches enrichies qui apparaissent
près des contacts métalliques (fig. 10.15, a, b).

Diélectrique parfait. Commençons notre étude par l’examen d’un
« diélectrique parfait » ne contenant ni impuretés, ni centres capa-
bles de capter les électrons. La concentration des porteurs de charges
intrinsèques dans un tel diélectrique est infime. Aussi, une tension
extérieure V appliquée à une telle structure chute-t-elle pratique-
ment en totalité dans le diélectrique, à savoir dans celle de ses parties
où n'entrent pas les couches d'’enrichissement, et y produit un champ
électrique (en plus du champ intérieur près des contacts). N'ayant pas
de frontière nette, la couche enrichie du domaine cathodique se pro-
page à l’intérieur du diélectrique en constituant une charge d'espace
de densité variable ; les électrons de la couche enrichie pres de l’ano-
de passent dans le circuit extérieur. Le courant électrique qui en ré-
sulte est limité, de même que dans le cas d’une diode à vide, lorsque
les densités du courant d'émission sont grandes, par la charge d’espa-
ce des porteurs distribués dans le diélectrique. C’est pourquoi on
l'appelle courant limité par la charge d'espace (CLCE).

Evaluons l’ordre de grandeur du nombre d'électrons injectés de
cette façon dans la couche diélectrique. La charge Q de la couche dieé-
lectrique est liée à la différence de potentiel appliquée V par la rela-
tion

QG CY,; (10.27)

où C est la capacité du système. Si les charges additionnelles ne se
formaient que pres des frontières du film diélectrique, la capacité
serait égale à

C = ee) S/d, (10.28)

où S est la surface des contacts. D'un autre côté, si les électrons injec-
tés dans le film de diélectrique y étaient distribués uniformément,
il faudrait écrire dans (10.28) d/2 au lieu de d parce que la distance
moyenne entre les « plus » et les « moins » serait dans ce cas deux fois
plus petite. Alors

C = 2ee,S/d. (10.29)

On peut montrer que la distribution réelle des électrons dans le
diélectrique est intermédiaire entre les deux cas extrèmes considérés
et que les valeurs de la capacité sont comprises entre ee,S/d et
2ee)S/d. Pour évaluer l’ordre de grandeur de C on peut se servir de
n'importe laquelle de ces valeurs, par exemple (10.29). Alors

Q = 28e, SV/d. (10.30)
17-726

258 CONTACT MEÊTAL-SEMICONDUCTEUR (CH. 19

Cette charge est liée à la concentration nr des électrons dans le dielec-
trique par la relation

Q=eS \ n(zx)dz.

CR at LA

La concentration moyenne des électrons dans le diélectrique a
pour expression

d
n=+\ n (x) dr = Se 20 V (10.31}
0

et la conductance du diélectrique
G &0S/d = enu, Sld,

où © est la conductibilité moyenne preduite dans le diélectrique:
u, la mobilité des électrons dans le diélectrique. En y portant la va-

leur de nr donné par (10.31), on obtient

G &2ezu, SV/&. (10.32}
Le diélectrique sera parcouru par un courant
I = GV &2eeu, SV*'/&. (10.33)

En réalité, les électrons sont répartis suivant l’épaisseur du film iné-
galement : leur concentration près de la cathode est plus forte, mais
l'intensité de champ électrique y est plus faible. Cela assure une den-
sité de courant constante dans toute section du film.

Un calcul plus précis, fondé sur la résolution de l'équation de
Poisson et de l'équation de continuité de courant, donne au lieu de
(10.33) l'expression suivante:

I = /seeou, SV”/®. (10.34)

C'est une loi dite quadratique sans piégeage suivant laquelle Le cou-
rant limité par la charge d'espace est proportionnel au carré de la tension
appliquée à la structure MDM. La caractéristique courant-tension
d’une telle structure est montrée en coordonnées logarithmiques sur
la figure 10.15, c.

Diélectrique imparfait. Si avant l'application d’une tension de
polarisation extérieure le film contenait des porteurs de charges li-
bres de concentration n, (un diélectrique imparfait ou un semiconduc-
teur) le courant circulant à travers le film sera la somme du courant
transporté par ces porteurs et du courant de porteurs ayant passé
dans le film de la couche enrichie. Lorsque les polarisations sont fai-
bles, la concentration de ces derniers est faible par rapport à n, de
sorte que le courant résultant est proportionnel à la tension de pola-
risation appliquée. Dans le cas de fortes tensions de polarisation, lors-

& 10.5] COURANTS LIMITES PAR LA CHARGE D'ESPACE 259

que le nombre de porteurs injectés devient supérieur au nombre de
porteurs en équilibre, le courant devient une fonction quadratique
de la tension de polarisation (fig. 10.15, c). La tension V,,, pour la-
quelle il se produit le passage de la loi d'Ohm à la dépendance qua-
dratique de Z par rapport à V, est d'autant plus élevée que la concen-
tration initiale nr, de porteurs est plus forte.

Diélectrique à pièges. Dans la bande interdite du diélectrique il
existe souvent des niveaux localisés, créés par des atomes d’impureté
ou par des défauts du réseau, qui sont capables de capturer les élec-
trons injectés dans le film. Ces pièges peuvent se situer à une pro-
fondeur différente dans la bande interdite. Les pièges sont dits peu
profonds s’ils se situent si près de la bande de conduction que loin
du contact ils sont nettement beaucoup plus hauts que le niveau de
Fermi et faiblement occupés par les électrons (fig. 10.15, b). Entre
ces pièges et la bande de conduction il s'effectue constamment un
échange d'électrons. Si l’on désigne par 6 le rapport du temps de sé-
jour des électrons dans la bande de conduction au cours du-
quel ils peuvent participer à la formation du courant au temps total
de leur séjour dans le diélectrique, l’intensité du courant dans le dié-
lectrique en présence de pièges peut être déterminée en multipliant
(10.34) par 6:

I = °/6eeu, SV'/&. (10.35)

Comme 6 << 1, toutes choses étant égales par ailleurs, le courant
dans un diélectrique avec pièges sera moins intense que dans un dié-
lectrique sans pièges bien que toujours Z = V* (fig. 10.15, c).

Les pièges profonds sont complètement occupés près du contact
avec le métal, mais ils peuvent être en partie libres loin du contact
(fig. 10.15, b). Les électrons injectés dans le diélectrique, lorsqu'il
est soumis à une tension de polarisation extérieure, sont capturés
par de tels pièges et bien retenus. Ils passent très rarement dans la
bande de conduction. Aussi, tant que les porteurs injectés n'occupent
pas ces pièges, le courant dans le diélectrique se détermine principa-
lement par ses propres porteurs. Après une occupation totale des piè-
ges pour une certaine tension V,:. L. les porteurs injectés sont diri-
gés seulement dans la bande de conduction et le courant accuse une
brusque croissance. Lorsque la tension V,.:., est dépassée de façon
appréciable, la concentration de porteurs dans la bande de conduction
devient beaucoup plus forte que leur concentration dans les pièges
et la caractéristique courant-tension de la structure se décrit par une
loi quadratique sans piégeage (fig. 10. 15, d).

Injection double. Jusqu'ici nous n'avons examiné que l'injection
d'électrons dans un diélectrique, c’est-à-dire considéré que les deux
contacts étaient passants pour les électrons et bloquants pour les
trous ou les deux contacts étaient passants pour les trous et bloquants
pour les électrons.

17%

260 CONTACT M£ÊTAL-SEMICONDUCTEUR (CH. 10

Le mécanisme physique de passage du courant à travers le film
diélectrique change notablement lorsqu'un de ses contacts est pas-
sant pour les électrons et l’autre l’est pour les trous. Le diagramme
des énergies d’une telle structure est représenté sur la figure 10.16, a.
Une telle structure peut être réalisée en principe sil’on prend pour le
contact de droite un métal dont le travail d'extraction est inférieur
et pour le contact de gauche un métal dont le travail d'extraction est

4 D 17 sector MG? SE
d'électrons détferente elle
E ( négative
J
/2 a s— et
ZA
2à £
Z à | NN Z 0 lgv
UNZ
Jnjecéion
se trous a) 6)

Fig. 10.16. Double injection:

a — diagramme énergétique d'une structure MDM dans laquelle le contact de droite sert
à l'injection d'électrons et le contact de gauche à l'injection de trous; b — caractéristique
courant-tension d'une structure MDM dans le cas d’une double injection.

supérieur au travail d'extraction du diélectrique. Dans ce cas la ré-
gion de contact de droite sera enrichie en électrons et la partie de gau-
che le sera en trous.

La caractéristique courant-tension d’une telle structure est asy-
métrique. Si le contact de droite est relié au pôle « + » de la source
de tension de polarisation et le contact de gauche au pôle « — », la
résistance de la structure devient très grande. Au contraire, si le pô-
le « + » de la source est relié au contact de gauche et le pôle « — »
au contact de droite, les électrons et les trous des régions de contact
seront injectés dans la profondeur du film diélectrique en assurant
une conductibilité appréciable. De même que dans le cas de l’injec-
tion dans le diélectrique de porteurs de charge d’un même signe
(injection monopolaire), que nous avons examiné plus haut, la charge
des porteurs injectés est limitée par la valeur de CŸ, où Cest la capa-
cité de la structure et Ÿ la tension de polarisation appliquée à la struc-
ture. Mais il est à noter que les charges d'espace apparaissent main-
tenant dans le film du fait que les concentrations des électrons et des
trous injectés sont différentes. Aux concentrations elles-mêmes au-
cune limitation n'est imposée. C’est pourquoi dans le cas de l'injec-

$ 10.6] FORCE THERMO-ELECTROMOTRICE 261

tion double (bipolaire) le courant est plus intense, pour une mème
différence de potentiel, que dans l'injection monopolaire et, comme
le montre le calcul, il se détermine par la relation suivante:

I = 2eeçu*STtV*/dS = 1+VS/d', (10.6)

où + est la durée de vie des porteurs de charges.

Comme le montre (10.36), si la durée de vie des porteurs de char-
ges ne varie pas avec le niveau d'injection, le courant à travers le
film diélectrique est proportionnel à V* (courbe 2 de la figure 10.16,
b). Dans les cas où la durée de vie des porteurs de charges dépend es-
sentiellement du niveau de leur injection dans le film, la dépendan-
ce I — V cesse d’être valable. Dans ce cas, si la durée de vie + dimi-
nue lorsque la concentration #7 des porteurs injectés augmente. le
courant varie avec la tension plus lentement que V* (courbe > de la
figure 10.16, b) et, au contraire, si la durée t augmente avec |’ aug-
mentation de », le courant J croît plus vite que V*. Dans ce dernier
cas, si la durée de vie croît avec le courant suffisamment vite, la ca-
ractéristique courant-tension de la structure peut comporter une ré-
gion à résistance différentielle négative et la caractéristique courant-
tension elle-même prend la forme enS (courbe J de la figure 10.16. b).

$ 10.6. Force thermo-électromotrice

Les forces électromotrices de contact ne peuvent pas provoquer
l'apparition d’un courant électrique dans un circuit fermé si tous ses

7 / 7
Ont RER
V
, tt
Kyo à
2
Ke23
a)

Fig. 10.17. Explication de l'effet de f.é.m. thermoélectrique.

éléments sont portés à une seule et même température. En effet. con-
sidérons par exemple un circuit constitué de trois matériaux diffé-
rents (fig. 10.17, a). Pour fixer les idées, nous considérerons comme
positives les forces électromotrices qui doivent conduire à l'appari-
tion dans le circuit d'un courant dirigé dans le sens des aiguilles d’u-
ne montre. Désignons les travaux d'extraction thermodynamiques des

262 CONTACT MÉÊTAL-SEMICONDUCTEUR (CH. 10

matériaux considérés respectivement par Y%o1: Xoe ©t YXos- Alors
Vers = Xo1 — Lo;
EVees = YXos — os: (10.37)
EVesi — Xo3 — Xoi-

En faisant la somme des premiers et des seconds membres de (10.37),
on constate que la somme algébrique de toutes les f.é.m. de contact
est nulle. Cette conclusion n’est pas pourtant vraie si les contacts du
circuit sont portés à des températures différentes. En effet, faisons
varier la température du contact 7-2 par exemple. Comme les énergies
de Fermi et. avec elles, les travaux d'extraction thermodynamiques
dépendent de la température, la valeur de V,,. variera. Quant à tou-
tes les autres valeurs de V,, elles resteront inchangées. Par consé-
quent, la somme de V. cessera d’être nulle et il apparaîtra dans le
circuit une différence de potentiel résultante V;; "11 qu'on appelle
force thermo-électromotrice.

La cause d'apparition de force thermo-électromotrice tiest cons-
tuée non seulement par la variation des différences de potentiel de
contact avec la température mais aussi par l’apparition de flux de dif-
fusion et de thermodiffusion de porteurs de charges libres par suite de
la différence de température le long des conducteurs (v. 86.8). Pour
l'étude ultérieure, prenons un exemple bien simple de circuit cons-
titué par deux matériaux et ouvert à l’endroit de l’un des contacts
(fig. 10.17, b). Pour pouvoir mesurer la f.é.m. thermoélectrique, in-
tercalons dans la coupure de circuit un voltmètre présentant une for-
te résistance interne. C’est ainsi que nous excluons de l’examen des
effets supplémentaires liés au passage du courant dans un circuit pré-
sentant des gradients de température.

Comme le montre la théorie, dans un intervalle de température
relativement étroit, où la température T, d'un des contacts (du con-
tact 2-7 de la figure 10.17, b) diffère de la température T, de tous les
autres contacts, la f.é.m. thermoélectrique

Vré.mth. = (Gi — 2) (Te — Ti). (10.38)

Les coefficients a, et «. dépendent des paramètres des matériaux 7
et 2 respectivement. On les appelle f.é.m. thermoélectriques différen-
tielles.

Pour un semiconducteur de type r non dégénéré

an=—s(r+2—). (10.39)

Ici, r est l'exposant dans la formule exprimant le libre parcours
moyen À en fonction de l'énergie de l’électron E :

à Er. (10.40)

< 10.6) FORCE THERMO-ELECTROMOTRICE 263

L’exposant r dépend du mécanisme de la diffusion : dans la diffu-
sion par des vibrations thermiques acoustiques du réseau r — O0,
dans la diffusion par des ions d’impureté r = 2, etc.

Pour un semiconducteur de type p non dégénéré

ap= (r+2—4) | (10.41)

où L” est la distance entre le niveau de Fermi et le sommet de la ban-
de de valence. Pour un métal dont l'énergie dépend paraboliquement
du vecteur d'onde

ak kT

Evaluons &; et «hp. Pour des métaux typiques, le cuivre par exemple,
u = 7 eV; à T — 300 K &T = 0,025 eV. En portant cette valeur de T7 dans
(10.42) et en posant r = 0, on obtient a, Æ 1 uV/K, ce qui s'accorde de ma-
aière satisfaisante avec l'expérience.

Pour un semiconducteur de type n, par exemple pour le silicium n avec une
concentration d'impureté donatrice y, — 10° m*, à T — 300 K, on a u, =
= — 0,3 eV. En portant cette valeur dans (10.39), on trouve «, Æ 1,2 mV/K,
<e qui est approximativement de trois ordres de grandeur supérieur à la valeur
correspondante pour les métaux. Aussi, pour un circuit comprenant un semi-
conducteur et un métal, peut-on négliger la part de la f.é.m. thermoélectrique
due au métal et considérer que toute la f.é.m. thermoélectrique est due au semi-
conducteur.

Pour les semiconducteurs à conductibilité mixte, dans lesquels le
courant électrique est transporté à la fois par les électrons et les
trous, la f.é.m. thermoélectrique est donnée par la relation suivante :

n.p = (GnUnn + GpüpP})/(Nur + Pun). (10.43)
Pour des semiconducteurs intrinsèques r = p = n; et
Œy = (ann + Gpüp}/(Un + Up). (10.44)

Dans un semiconducteur intrinsèque u; Æ —E ,/2 et, si la largeur de
la bande interdite est de l’ordre de 1 eV, les termes (r + 2) figurant
dans les expressions (10.39) et (10.41) peuvent être négligés devant
u/(KT). On obtient alors

Eg Un—Uh
7 2eT Un +uüp

Puisque d'ordinaire u, > u,, dans un semiconducteur intrinsèque
la grandeur &; a une valeur négative. Dans un semiconducteur à dé-
faut d'électrons le passage à la conduction intrinsèque change le si-
gne positif de la f.é.m. thermoélectrique en signe négatif.

La figure 10.18 montre la variation de la f.é.m. thermoélectrique
d’un semiconducteur à défaut d'électrons en fonction de la tempéra-
ture. Dans le domaine des basses températures, où l'énergie de Fermi

26, CONTACT MÉTAL-SEMICONDUCTEUR [CH. 10

subit une variation relativement faible avec la température (v. fig.
5.9, b), —u'/(&T) varie approximativement en raison inverse de la
température T. C’est pourquoi la f.6.m. thermoélectrique spécifique
ap 1/T (partie AB de la courbe de la figure 10.18). Dans le domai-
ne de déplétion de l’impureté —p’/(kT) = In (N,//N,) = In N, —
— In N,. Comme NW, T%/?, dans ce domaine «&, croît légèrement
avec la température (partie BC de la courbe). Enfin, dans le domaine
de passage à la conduction intrinsèque u’ devient pratiquement une
grandeur constante égale à ui de sorte que &, diminue de nouveau
lorsque la température augmenteet la courbe devrait aller comme le
montre la partie CD de la figure 10.18. Pourtant du fait que dans ce
domaine la concentration des
électrons augmente et devient
pratiquement égale à celle des
trous, la f.é.m. thermoëélectrique
tombe brusquement, passe par
zéro et devient négative (partie
CE de la courbe).

Lorsque la température aug-
mente encore, le module de la
f.é.m. thermoélectrique diminue
suivant la formule (10.45) (la
courbe EF pour un semiconduc-
teur intrinsèque).

Fig. 10.18. Variation avec la tempé-

rature de la f.é.m. thermoélectrique La partie inférieure de la
des semiconducteurs de type p et de figure 10.18 montre la courbe de
type n. variation de la f.é.m. thermoélec-

trique «, d'un semiconducteur
de type r en fonction de la température. Dans le domaine de la
conductibilité intrinsèque cette courbe se confond avec la courbe
pour un semiconducteur de type p.

L'effet thermoélectrique a trouvé de nombreuses applications
pratiques y compris en radio-électronique. Il permet de convertir
l'énergie thermique directement en énergie électrique, ce qui est nti-
lisé dans les générateurs thermoélectriques. La théorie de tels généra-
teurs a été développée par le physicien soviétique A. Ioffé. Suivant.
cette théorie le rendement de conversion de l'énergie thermique en
énergie électrique se détermine par la quantité «?o/\, où À est le coef-
ficient de conductibilité thermique du semiconducteur ; © la conduc-
tivite électrique. .

On peut expliciter cela qualitativement en partant des considéra-
tions suivantes. Dans les générateurs thermoélectriques on cherche
à obtenir une différence de température aussi grande que possible
entre les extrémités chaude et froide du semiconducteur pour une dé-
pense aussi petite que possible de l'énergie thermique. A cet effet,
il est avantageux d'utiliser des semiconducteurs possédant une fai-

& 10.6] FORCE THERMO-ELECTROMOTRICE 265.

ble conductibilité thermique parce que la diminution de la transmis-
sion de chaleur de l'extrémité chaude à l'extrémité froide grâce à
J'allongement du semiconducteur a pour résultat une augmentation
de la résistance interne du générateur thermoëélectrique et une chute
du rendement. Pour cette même raison, il est avantageux que la con-
ductivité électrique du semiconducteur soit maximale. Vu que lors-
que le degré de dopage du semiconducteur augmente, & décroît, alors
que À et © croissent, il existe pour chaque semiconducteur un degré
de dopage optimal qui assure la valeur maximale du rapport &°o/À
et donc le rendement maximal.

Les premiers générateurs thermoélectriques ont été élaborés avant
la Grande Guerre Nationale et utilisé pendant la guerre pour l’ali-
mentation des appareils radio-électriques. En 1953 a été construit
le premier générateur thermoélectrique industriel ayant une puissan-
ce de 1 kW. De nos jours on élabore des générateurs pour une puissan-
ce de plusieurs centaines de kilowatts.

Au milieu des années 70, on a vu apparaître des générateurs uti-
lisant la chaleur dégagée lors de la désintégration radioactive des élé-
ments chimiques. Comme exemple d'un tel générateur, on peut indi-
quer l'installation « Bêta-1 » ayant une puissance de 150 à 200 W
utilisant l'isotope de cérium-144 radioactif. Elle est destinée à assu-
rer l'alimentation des appareils radio-électroniques des stations ra-
diométéorologiques automatiques, des satellites artificiels de la Ter-
re, etc. ."

En 1964, on a construit un réacteur-convertisseur atomique expé-
rimental « Romachka » de 500 W de puissance qui transforme l'éner-
gie thermique directement en énergie électrique.

Le rendement des générateurs thermoélectriques à semiconducteurs
atteint actuellement 15% et, à ce qu’il paraît, il dépassera 20 % dans
le plus proche avenir. |

L'effet thermoélectrique est également utilisé pour la détermina-
tion des températures (couples thermoélectriques) et pour d’autres
mesures qui peuvent être ramenées à la mesure de la température.
Dans les photorécepteurs thermiques (thermoéléments) la lumière
qui est absorbée échauffe une surface noircie de réception à laquelle
est reliée la soudure de couple thermoélectrique. D’après la valeur
de la f.é.m. thermoélectrique qui prend naissance, on peut détermi-
ner la puissance du flux lumineux. Dans les vacuomètres, on fait pas-
ser un courant électrique fixé dans un conducteur métallique au
milieu duquel est reliée la soudure d’un couple thermoélectrique. La
température de la soudure dépend de la conductibilité thermique du
gaz environnant. Or, cette dernière se détermine par la pression du
gaz. Aussi, en mesurant la valeur de la f.é.m. thermoélectrique qui
apparaît, peut-on déterminer la pression du gaz. Cette méthode per-

pe mesurer commodément les pressions dans la gamme de 1071
à a. |

266 CONTACT MEÉTAL-SEMICONDUCTEUR (CH. 10

Dans la technique des mesures de paramètres électrophysiques des
semiconducteurs, l’effet thermoélectrique est utilisé pour la détermi-
nation du type de conductibilité prédominante (d’après le signe de la
£.é.m. thermoélectrique) et de la largeur de la bande interdite [par
la formule (10.45)].

$S 10.7. Effet Peltier

L'effet Peltier consiste en ce que lorsqu'on fait passer un courant
électrique à travers un contact de deux matériaux différents, il se
produit, en plus du dégagement de la chaleur Joule, encore le dégage-
ment ou l’absorption de la chaleur dont la quantité Q- est proportion-
nelle à la charge /t ayant traverse le contact:

QP = + PIt. (10.46)

Le coefficient de proportionnalité P est appelé coefficient de Peltier.

Expliquons la nature de cet effet sur l'exemple d'un contact neu-
tre entre un semiconducteur et un métal. On appelle contact neutre
le contact de deux matériaux possédant le même travail d'extraction.

, Absorption
Dé Ee de AT

LME M en, —
ON © Int
Z 2 ///// 2

a)
Fig. 10.19. Explication de l'effet Peltier:

a — diagramme énergétique d'un circuit métal-semiconducteur-métal à contacts neutres en
quilibre ; b — idem lors du passage d’un courant.

Dans un tel contact il n'existe ni les couches d’enrichissement, ni
les couches de déplétion, et les bandes d'énergie ne sont pas incur-
vées. La Figure 10.19, a montre le diagramme des énergies d’une struc-
ture métal-semiconducteur-métal avec un contact neutre entre un mé-
tal et un semiconducteur de type n. A l’état d'équilibre, les niveaux
de Fermi du métal u,, et du semiconducteur pu, se situent à une même
hauteur et le niveau inférieur de la bande de conduction du semicon-
ducteur se situe plus haut que le niveau de Fermi du métal de — u,
de sorte que les électrons passant du métal dans le semiconducteur
ont à franchir une barrière de potentiel haute de — u..
Appliquons à une telle structure une différence de potentiel ex-
térieure, comme il est montré sur la figure 10.19, b. Sous l’action de
cette différence de potentiel, dans le semiconducteur où chute
pratiquement toute la tension appliquée, il se produit, dans le sens

$ 10.7) EFFET PELTIER 267

-du contact de gauche vers le contact de droite, une montée progressi-
ve d’une hauteureV du niveau de Fermi, du niveau inférieur de la ban-
.de de conduction et des autres niveaux d'énergie. Dans le système il
naît un courant dirigé de gauche à droite; le flux d'électrons (mon-
tré sur la figure 10.19, b par des flèches) est dirigé de droite à gauche.
L'examen de la figure 40.19, b montre que les électrons qui passent
dans le contact de gauche du semiconducteur dans le métal possèdent
dans le semiconducteur une énergie de —u, + (E, } plus grande que
dans le métal, où — u, est la hauteur de la barrière que franchissent
les électrons passant du semiconducteur dans le métal; (E, ) l’éner-
gie moyenne des électrons dans le semiconducteur participant à la
-création du courant. Elle n’est pas égale à l'énergie thermique moyen-
ne des électrons */.kT, comme il semblerait à première vue, parce
que le rôle relatif des électrons rapides dans la formation du courant
électrique est plus grand que celui des électrons lents. Pour un gaz
électronique non dégénéré le calcul montre que

(E,)=(r+2)AT, (10.47)

-où r est l’exposant dans la relation (10.40).
Ainsi, chaque électron passant dans le contact de gauche dusemi-
conducteur dans le métal transporte une énergie excédentaire

AE = —p, +(r+2)&T, (10.48)

-qui se dégage dans ce contact sous forme de chaleur supplémentaire
(chaleur de Joule). C'est cette chaleur qui représente la chaleur de
Peltier. Si l’on divise (10.48) par la charge de l'électron e, on obtient
le coefficient de Peltier

a = À (r+2+4) T'. (10.49)

Dans le contact de droite, les électrons passent du métal dans le
:semiconducteur en franchissant la barrière de potentiel haute de
— un. En outre, pour établir un équilibre entre ces électrons et le
_gaz électronique existant dans le semiconducteur, les électrons doi-
vent acquérir encore une énergie (£,); ils empruntent toute cette
énergie au réseau cristallin en le refroidissant au contact de droite.
Le phénomène de refroidissement du contact lorsqu'il est traversé
par un courant électrique est particulièrement important parce qu'il
permet de réaliser des installations frigorifiques: les réfrigérateurs mé-
nagers, les dispositifs pour le refroidissement de l’appareillage radio-
électronique de bord, les microréfrigérateurs pour usages biologiques,
les thermostats thermoélectriques variés, les platines du microsco-
pe avec réchauffement et refroidissement, etc. Ce qui est bien commo-
-de c’est la possibilité de transformer un réfrigérateur en réchauffeur
-et, inversement, un réchauffeur en réfrigérateur en changeant le sens
“du courant.

268 CONTACT MÉÊTAL-SEMICONDUCTEUR (CH. 10

11 est facile de voir que l’effet Peltier est l'inverse de l'effet de-
f.é.m. thermoélectrique (effet Seebeck). Dans le premier cas, le passage
d’un courant dans un circuit conduit à l'apparition aux contacts d'une
différence de température et dans le second cas la création d’une dif-
férence de température aux contacts a pour effet l'apparition dans le-
circuit d’une f.é.m. thermoélectrique et donc d'un courant électri-
que. La comparaison de (10.47) et (10.39) ainsi que l'étude thermody-
namique de ces phénomènes montre qu'entre le coefficient de Peltier

et la f.é.m. thermoélectrique spécifique il existe une relation simple
suivante :

P = aT. (10.50)

Les matériaux les plus efficaces pour la réalisation aussi bien des
réfrigérateurs thermoélectriques que des générateurs thermoélectri-
ques sont ceux dont la valeur de æ«°o/À est maximale. Pour le refroi-
dissement thermoélectrique il faut avoir un matériau présentant des.
valeurs élevées du coefficient de Peltier et de la conductivité élec-
trique. Cette dernière exigence tient à ce qu’en plus de la chaleur de
Peltier il y a dégagement de la chaleur de Joule et pour que l'effet
de réchauffement par la chaleur de Joule ne dépasse pas l'effet de re-
froidissement, il faut utiliser un matériau à bonne conductibilité élec-
trique. D'un autre côté, pour une même quantité de chaleur dégagée
par l'effet Peltier à l’un des contacts et absorbée à l’autre contact.
la différence de température entre les contacts sera d’autant plus.
grande que la transmission de chaleur de l'extrémité chaude du se-
miconducteur à l'extrémité froide sera plus faible, c’est-à-dire que le-
coefficient de conductibilité thermique est moins élevé.

CHAPITRE ff

DIODES À SEMICONDUCTEURS

Une des classes les plus larges d’appareils électroniques à solides est constituée
ar des diodes à semiconducteurs destinées à effectuer les transformations non
inéaires des signaux électriques (redressement, détection, modulation. généra-
tion, etc.), la conversion de l'énergie électrique en rayonnement (diodes electro-
luminescentes, lasers) et inversement. la conversion du rayonnement en énergie
électrique (convertisseurs photo-électriques, piles solaires) et beaucoup d’autres
fonctions. La majeure partie des diodes utilise les propriétés uniques du contact
entre deux semiconducteurs dopés de différents types. Un tel contact est appelé
Jonction électron-trou ou, plus couramment. jonction p-7. Le présent chapitre
‘est consacré à l’étude des propriétés de la jonction p-nr et des principes physiques de
fonctionnement de principaux types de diodes utilisant ces propriétés.

$ 11.1. Etat d'équilibre d’une jonction p-n

Préparation d’une jonction p-n. Il est pratiquement impossible
d'obtenir une jonction p-n par une mise en contact directe de deux
semiconducteurs parce que leurs surfaces, même nettoyées avec le
plus grand soin, contiennent une quantité énorme d’impuretés, d'en-
crassements et de défauts de toutes natures qui modifient radicale-
ment les propriétés des semiconducteurs. Aussi un progrès remarqua-
ble dans la mise en valeur de la jonction p-r n'a-t-il été réalisé que
lorsqu'on a appris à l'obtenir sous la forme d’une frontière intérieure
dans un semiconducteur monocristallin.

Considérons les méthodes les plus employées de nos jours pour la
préparation d'une jonction p-n.

Méthode de la diffusion. Une jonction p-n peut être obtenue par
la diffusion d’une impureté acceptrice dans un semiconducteur de ty-
pe r ou d’une impureté donatrice dans un semiconducteur de type p.
La diffusion de l’impureté s'effectue à des températures élevées
(1000 à 1300 °C) soit à partir d’un diffusant solide déposé sur la sur-
face d’une plaquette semiconductrice, soit à partir d’un gaz-porteur
contenant l’impureté de dopage requise, qu'on fait circuler sous for-
me de flux au-dessus des plaquettes. La figure 11.1, a représente sché-
matiquement la répartition d'une impureté acceptrice après sa dif-
fusion dans un semiconducteur de type nr (N , est la concentration des
donneurs dans la plaquette semiconductrice). Près de la surface de la
plaquette le type de conduction est déterminé par l’'impureté accep-
trice dont la concentration est ici W, > N,. À mesure qu’on s'éloi-

210 DIODES À SEMICONDUCTEURS (CH. 11

æne de la surface de la plaquette, la concentration N, diminue et,
a une certaine profondeur z,, elle devient égale à la concentration de-
l'impureté donatrice dans la plaquette. C’est dans ce plan que se for-
me une jonction p-r. En aval de cette jonction N, << N, et diminue-
rapidement à mesure qu'on s'éloigne de la jonction p-n. De telles
jonctions sont dites graduelles.

Méthode de l’épitaxie. Cette technique consiste à déposer sur un
support monocristallin, par exemple de silicium de type n, une cou-
che monocristalline de type p. Une jonction p-n se forme à la frontiè-

A.
LA NW (ri Ne Na
4G
Na Na
Î
|

0
Fig. 11.1. Répartition des impuretés Le des jonctions p-n diffusée (a) et épita-
xiale (b)

re entre le support et cette couche. Le dépôt lui-même de la couche
épitaxiale peut se faire à partir d’une phase gazeuse ou liquide.

Comme exemple d’épitaxie en phase gazeuse, on peut indiquer
le dépôt d’un film de silicium sur des supports en silicium à partir du
tétrachlorure de silicium SiCl,. A cet effet, dans un tube de quartz
contenant des plaquettes de silicium échauffées à une température
d'environ 1200 °C, on fait passer un courant d'hydrogène saturé en
vapeurs de SiCl,. En passant au-dessus des plaquettes de silicium, le
SiCI, se réduit jusqu'au silicium atomique (SiCl, + 2H, —+ 4HCI +

+ Si) qui se dépose sur les plaquettes sous la forme d'un film épita-
xial monocristallin de silicium. Pour le dopage des films avec une
impureté acceptrice, on ajoute au SiCl, du bromure de bore BBr,
et pour le dopage avec une impureté donatrice, on ajoute du chlorure
de phosphore PCI,.

Comme exemple d’épitaxie en phase liquide, on peut indiquer le
dépôt de couches épitaxiales de GaAs sur un substrat de GaAs à par-
tir d'une solution d'arséniure de gallium dans le gallium métallique
fondu. La quantité de GaAs dans la solution est réglée de telle sorte
qu'à une température supérieure à 7, la solution soit non saturée
et à une température inférieure à 7, sursaturée. On échauffe la solu-
tion jusqu’à la température 7, et on la dépose sur des plaquettes d’ar-
séniure de gallium portées à la même température. Après cela, la
température à l'intérieur du four est abaissée au-dessous de T7; de
sorte que des films monocristallins de GaAs commencent à croître

G 11.1] ÊTAT D'ÉQUILIBRE D'UNE JONCTION p-n 271

sur la surface du support à partir de la solution d’arséniure de gal-
lium. Pour le dopage de tels films on introduit dans la solution des
additifs de dopage convenables.

La figure 11.1, b montre une répartition idéalisée d'une impureté
acceptrice (de concentration V,) dans un film épitaxial déposé sur
un support dopé avec une impureté donatrice (de concentration NV).
Une telle répartition correspond à une jonction p-n dite abrupte.
En réalité, les fronts de la répartition des impuretés dopantes sont.
un peu flous par suite du processus de diffusion. Plus basse est la
température et plus court est le temps au cours duquel s'effectue l’épi-
taxie, plus abruptes sont les jonctions p-n obtenues.

Ces derniers temps. on développe la technique d’épitaxie dans un:
vide poussé (10-7 à 10-85 Pa) quand le support est bombardé par un
flux d’atomes de substance à déposer. Si l’on dépose un composé (par
exemple GaAs ou Ga,Al, As), chacun des constituants est envoyé:
sur le support depuis sa source distincte. Cette méthode, qui a reçu
le nom d’épitaxie par faisceau moléculaire, permet d'obtenir des films:
de composition contrôlable. de très petite épaisseur allant jusqu’à
quelques nanomètres.

Enfin, on emploie de plus en plus couramment la méthode de pré-
paration de jonctions p-n à l’aide du dopage par implantation d'ions,
qui consiste à envoyer sur un support semiconducteur de type donné:
de conduction un faisceau d'ions d’impureté de type de conduction
contraire. L'énergie des ions dans le faisceau se chiffre par des dizai-
nes et des centaines de milliers d'électrons-volts. Ces ions restent.
dans la couche superficielle du semiconducteur, mais à l’état élec-
triquement inactif il est vrai (en position intersticielle). Pour rendre
l'impureté implantée électriquement active (c'est-à-dire pour la faire
passer dans les nœuds du réseau cristallin), il faut procéder au recuit,
c'est-à-dire à l’échauffement des plaquettes pendant un certain
temps (habituellement durant quelques dizaines de minutes). Le
recuit permet non seulement d'activer l'impureté mais aussi de réta-
blir le réseau cristallin perturbé lors de l'implantation. Si le recuit
est effectué à une température pas trop élevée (pour le silicium, infé-
rieure à 1000 °C). la jonction p-r obtenue sera suffisamment abrupte.

Jonction p-n à l’état d'équilibre. Supposons que la frontière
intérieure entre deux régions du semiconducteur présentant des types-
de conduction contraires est constituée par le plan MM (fig. 11.2, a):
à gauche de ce plan se trouve un semiconducteur de type p (par exem-
ple le germanium p) avec la concentration des accepteurs W, et à
droite un semiconducteur de type n (le germanium n) avec la concen-
tration des donneurs W;. Admettons pour simplifier que NV, —
— N4 — 10% m$. La figure 11.2, b montre la variation de la con-
centration des atomes accepteurs et donneurs lors du déplacement sui-
vant l'axe des x perpendiculaire au plan AM. Au point O apparte-
nant à ce plan, la concentration des accepteurs N, s’annule soudai-

‘272 DIODES À SEMICONDUCTEURS (CH. 11

nement tandis que la concentration des donneurs varie brutalement
de zéro à Mi.

Pour la région » les porteurs majoritaires sont les électrons et pour
la région p, les trous. Les porteurs majoritaires sont produits presque

entièrement par ionisation des impuretés donatrices et acceptrices.

Niveau zero
M
2 / E
| joccocceer, À
a Niveaux de Fermi
Æp
£, 0009000900
æ CV'eV OV ONE Ve Ne toRe;e' Ne Ve £y
K Ÿ N
M
e)
Lis | fn ep
: je
Si MONA (P/E 4 #
& | [ooese x
ln .

Fig. 11.2. Jonction p-n en équilibre.

‘Si les températures ne sont pas trop basses, ces impuretés sont ioni-
sées pratiquement en totalité de sorte qu on peut considérer que la
concentration », , des électrons dans la région n est pratiquement éga-
le à la concentration des atomes donneurs V, (c'est-à-dire que n,, Æ
% Na) et la concentration p,, des trous dans la région p est égale à
la concentration des atomes accepteurs V, (c'est-à-dire que Ppo &
& Na).
En plus des porteurs majoritaires ces régions contiennent des
porteurs. minoritaires: la région n les trous (Pno) et la région p les
électrons (n,,). Leurs concentrations peuvent être calculées à l'aide

& 11.1] ÉTAT D'ÉQUILIBRE D'UNE JONCTION p-n 273

de la loi d'action de masse (5.36):
PnoPno — Ppopo — li; (11.1)

où 7; est la concentration des porteurs dans un semiconducteur in-
trinsèque. Pour r2»o = Ppo—= 10° m*et nr; — 101 m-° (dans le Ge)
on obtient Pro = Rpo — 1016 m-*.

On voit que la concentration des trous dans la région p est supé-
rieure de six ordres de grandeurs à leur concentration dans la région
n, de même la concentration des électrons dans la région 7 est de six
ordres de grandeur supérieure à leur concentration dans la région p.
Une telle différence entre les concentrations des porteurs de même
type dans les régions en contact du semiconducteur fait naître des
{lux de diffusion des électrons de la région nr dans la région p et des
trous de la région p dans la région n. Les électrons, ayant passé de la
région 7 dans la région p, se recombinent au voisinage de la surface de
séparation de ces régions avec les trous de la région p, de même que
les trous, ayant passé de la région p dans la région n, s’y recombinent
avec les électrons de cette région. Il en résulte que dans la couche ad-
jacente au contact de la région r il ne reste pratiquement pas d'élec-
trons libres et il s’y forme une charge d'espace positive immobile
de donneurs ionisés (fig. 11.2, a).

Dans la couche de contact de la région p il ne reste pratiquement
pas de trous et il s’y forme une charge d'espace négative. immobile,
d’accepteurs ionisés. La figure 11.2, c montre la répartition des por-
teurs de charges libres dans la région de la jonction p-r et la figure
11.2, d représente des charges d'espace immobiles produites dans cet-
te jonction (p étant la masse volumique de ces charges). Désignons
par d, et d, les épaisseurs des couches de la charge d'espace respec-
tivement dans la région p et dans la région n et par d l'épaisseur
totale de la couche de charge d'espace.

Les charges d'espace immobiles engendrent dans la jonction
p-n un champ électrique de contact, de différence de potentiel V:, qui
est localisé dans la région de la jonction et pratiquement ne s'exerce
pas hors de ses limites. C’est pourquoi, en dehors de cette couche, où
le champ électrique est nul, les porteurs de charges libres sont ani-
més, comme précédemment, d’un mouvement désordonnéet le nom-
bre de porteurs qui viennent tomber chaque seconde sur la couche
de charge d'espace dépend uniquement de leur concentration et de la
vitesse de l’agitation thermique.

Si un porteur minoritaire (un électron de la région p ou un trou de
la région nr) pénètre dans la couche de charges d'espace, le champ élec-
trique de contact l’« attrape » et le fait passer à travers cette couche.
Dans ce cas, la probabilité de recombinaison du porteur pendant le
temps de transit de la région de charge d'espace peut être souvent
(dans des jonctions p-n dites étroites) négligée. Alors, chaque porteur
minoritaire tombant sur la jonction p-r» la traverse. Par contre, les

18—726

274 DIODES À SEMICONDUCTEURS [GE ii

porteurs de courant majoritaires (les électrons de la région n et les
trous de la région p) ne peuvent traverser la couche de charges d’espa-
ce que si l’énergie cinétique de leur mouvement le long de l'axe des
x est suffisante pour surmonter la différence de potentiel de contact,
c'est-à-dire si cette énergie est plus grande que e | V. |. Aussi, dès
que les charges d'espace se forment près de la surface frontière MM,
les flux de porteurs majoritaires traversant cette frontière diminuent-
ils. Pourtant si ces flux dépassent encore les flux opposés de porteurs
minoritaires qui restent inchangés, la charge d'espace ira croissant.
Cette croissance continue tant que les flux décroissants de porteurs
majoritaires ne s’égalisent avec les flux de porteurs minoritaires.
C'est ainsi que s'établit un état d'équilibre dynamique de la jonction
p-n.
Ainsi, à l’état d'équilibre, la jonction p-n est traversée par des
flux égaux des électrons venant de la région »# dans la région p et
de la région p dans la région 7, ainsi que par des flux égaux des trous
venant de la région p dans la région r et de la région # dans la région
p. L'égalité de ces flux est assurée par l’existence d’une différence
de potentiel de contact déterminée V, qui réduit les flux de porteurs
majoritaires traversant la jonction jusqu’au niveau des flux de por-
teurs minoritaires. En se servant de la distribution de Maxwell des
particules suivant les vitesses, on peut montrer que le nombre de por-
teurs de courant libres venant frapper par unité de temps la couche
de charge d’espace est égal à 1/4 du produit de la concentration des
porteurs par la vitesse moyenne (v) de leur agitation thermique et par
la surface S de la jonction p-n. Par exemple, le nombre des électrons.
frappant la jonction par unité de temps du côté de la région p est égal
à 1/.npo (Un) S et le nombre des électrons attaquant la jonction du
côté de la région » vaut !/,n»o (tn ) S. Le champ de contact diminue
les flux des porteurs majoritaires surmontant la différence de poten-
tiel V, de exp [e | V. | /(4T)] fois de sorte que le flux des électrons
venant de la région n dans la région p du semiconducteur devient
égal à

1}, no (L,) Se‘! Ve! /RT) 1, P po (DNS: (11.2)
On en tire
Ange Vel UD LR, ; (11.3)
e[V,|=#4T ln = KT In (nnoP pol). (11.4)
P

La dernière expression a été obtenue à l’aide de la loi d'action de mas-
se (11.1). En égalant entre eux les flux opposés des trous traversant
la jonction p-n, on obtient

Ppoe ""e ENE ph5; (11.5)
e|V.|=&#T In = = KT 1n (nnol Ppo/rË). (11.6)

& 11.1] ÊTAT D'ÉQUILIBRE D'UNE JONCTION p-n 975

Le rapprochement entre les expressions (11.4) et (11.6) montre
que les flux opposés des électrons et des trous s’égalisent pour une
même différence de potentiel de contact V.. De (11.4) et (11.6) il
résulte aussi que la barrière de potentiel est d'autant plus haute que
la différence entre les concentrations des porteurs de même signe dans
les régions x et p est plus grande. Lorsqu'on met en contact deux
semiconducteurs intrinsèques (779 — Ppo = Ai), la barrière de po-
tentiel ne se forme pas. C’est pourquoi la jonction p-n disparaît lors-
que la température de conductibilité intrinsèque est atteinte.

La figure 11.2, e montre le diagramme de bandes d'énergie des
régions p et » d'un semiconducteur à l'instant où ces régions sont mis,
par la pensée, en contact. c’est-à-dire avant l'établissement de l'équi-
libre entre ces régions. Les niveaux énergétiques sont représentés par
des droites horizontales. Cela exprime le fait que l'énergie d'un élec-
tron occupant un niveau donné, par exemple le niveau inférieur de
la bande de conduction, est la même en tous les points du semiconduc-
teur. Après l'établissement de l'équilibre il se forme une jonction
p-n avec une barrière de potentiel pour les porteurs majoritaires qo -=
— e| V,]. Les électrons passant de la région nr dans la région p,
franchissant cette barrière, augmentent leur énergie potentielle de
Po —€e| V.]l. C'est pourquoi tous les niveaux énergétiques d'un
semiconducteur s’incurvent dans la région de la jonction p-r pour
remonter de q, comme l'indique la figure 11.2, f. Dans ce cas les
niveaux de Fermi u, et u, s’établissent à une même hauteur. En ef-
fet, pour un semiconducteur non dégénéré

nno= Nero bo = Née"P/ ET), (11.7)

où V. est la densité effective d'états près du niveau inférieur de la
bande de conduction ; u, et u, sont les niveaux de Fermi dans les ré-
gions r» et p respectivement. En portant (11.7) dans (11.4), on obtient

Po — Un — Hp. (11.5)
Pour déterminer la forme de la fonction q (x) qui caractérise la

variation de l’énergie potentielle d’un électron lorsqu'il passe de la
région » dans la région p (ou d'un trou passant de la région p dans la

région ») on peut se servir de l'équation de Poisson

ET) «1.

dans laquelle p (x) représente la densité volumique des charges créatri-
ces du champ. Nous supposerons que les niveaux donneurs et accep-
teurs sont complètement ionisés et que pratiquement tous les électrons
ont quitté lacouche d, et tous les trous ont quitté la couche d;.
Alors, dans la région nr, pour 0 << x << d,, la densité volumique des
charges p (x) = eN, = enh, et dans la région p, pour —d, < x <<,
18*

216 DIODES À SEMICONDUCTEURS (CH. 11

elle est égale à p (x) = —eN, — —ep,,. En portant ces valeurs
dans (11.9), on obtient

d°œ

Fe Sr (11.10)
d° e*
= de (pour z < O0). (11.11)

Vu qu'aux distances xz> d, et r<< —d, le champ électrique de
contact dans le semiconducteur est nul, les conditions aux limites
imposées à ces équations sont les suivantes :

P(r)lz=d, = 0, Q(r)le=-a, = Po: (11.12)
me _p, + .
az [ea à 7 al (11.13)

La résolution des équations (11.10) et (11.11) avec les conditions aux
limites (11.12) et (11.13) conduit aux résultats suivants:

q = es Naldn—zx})? (pour 0<r<d,); (11.14)

P— Po — = Nadp+z) (pour —d,<zx<0); (11.15)

2 Na+Na \1/2 2 no + Ppo\ !/?
dd + dp= (-Éte Abe) (Bret (14.46

dnldp = NalN a. (11.17)

Les équations (11.14) et (11.15) montrent que la hauteur de la bar-
rière de potentiel @ (x) est une fonction quadratique de la coordonnée
zx. Conformément à (11.16), la couche de charge d'espace est d'autant
plus épaisse que la concentration des porteurs majoritaires égale à la
concentration de l’impureté dopante est plus faible. La profondeur
de pénétration du champ de contact est plus grande dans la région
du semiconducteur qui est dopée plus faiblement. Pour N,<« N,
la couche se localise pratiquement en totalité dans la région n:

de dn=(<e) Fe (te) (11.18)

Na ; no

C'est ainsi que pour le germanium à Vy = 10“! m3, N, —
— 10% m-%, on obtient d, — 8-10-° m et d, — 8-10-7 m.

Le calcul de l'épaisseur de la couche de charge d'espace est effec-
tué pour une jonction p-n abrupte dans laquelle la concentration des
impuretés varie par saut (voir fig. 11.1, b et 11.2). Dans le cas des
jonctions diffusées, la concentration de l’impureté dans la jonction
varie graduellement (v. fig. 11.1, a et 11.3). En admettant que cette

$ 11.2] CAPACITÉ DE BARRIÈRE D'UNE JONCTION p-n 277

variation suit une loi linéaire, on obtient, à partir de la solution de
l'équation de Poisson, l’expression suivante pour l'épaisseur de la
couche de charge d'espace:

do = l2eeopo/(e°a)l!/5, (11.19)

où a est un coefficient de propor-
tionnalité figurant dans l’expres-
sion de la loi de variation li-
néaire de la concentration de
l'impureté non compensée M, —
— N, dans la jonction: W, —
— Ny=a(z— xo)(v. fig. 11.1,a).

$ 11.2. Capacité de barrière
d’une jonction p-7 pli)

A
L4

il
©
IL

La jonction p-n est l'élément
essentiel des appareils à semicon-
ducteurs les plus variés dont le
plus simple (d’après sa constitu-
tion) est la diode. Dans la diode
on relie aux régions #7 et p du
semiconducteur, à l'aide de con- | |
tacts ohmiques, des électrodes Fig- 11-3. Jonction p-r graduelle:
métalliques qui permettent le NP Res
passage d’un courant à travers Partition de densité de la charge d'espace.
l'appareil. La résistance d’un
contact ohmique de bonne qualité est linéaire et de petite valeur
par rapport à la résistance de la jonction p-n de la diode.

Examinons les phénomènes qui interviennent dans une diode
soumise à une différence de potentiel appliquée depuis une source de
polarisation extérieure. Si le pôle positif de la source est relié à la
région nr et le pôle négatif à la région p la polarisation est dite inver-
se (fig. 11.4).

Après la fermeture de la clé X, des charges affluent par le circuit
extérieur vers les contacts ohmiques de la diode et engendrent en
profondeur de la diode un champ électrique € ,,. Ce champ provo-
que une dérive des porteurs majoritaires dans des sens indiqués par
des flèches sur la figure 11.4, a. Ainsi, toute la masse des électrons
de la région n et des trous de la région p s’éloigne de la jonction p-n,
en mettant à nu de nouvelles couches de donneurs et d’accepteurs io-
nisés, c’est-à-dire en élargissant la région de charge d'espace jusqu’à
des dimensions d, + Ad (fig. 11.4, b).

Le passage des électrons et des trous vers les contacts ohmiques
se poursuit jusqu'à l’instant où ils compensent complètement les
charges produites par la source de f.é.m. extérieure. Après cela tou-

DIODES À SEMICONDUCTEURS (CH. 11

218

te la tension appliquée V chute dans la jonction p-n dont la résistan-
ce est supérieure de beaucoup d'ordres de grandeur à celle des régions

Contacts
ohmigues

Jonction p-n
en eguilibre

Fig. 11.4. Processus transitoires (a) et état stationnaire (b, c) d'une diode polari-
sée en sens inverse.

n et p. On convient de considérer la tension V en polarisation inver-
se comme négative et d’appeler la courbe caractéristique courant-

$ 11.2] CAPACITÉ DE BARRIERE D'UNE JONCTION p-n 279
oo

tension de la jonction p-n en cette polarisation courbe caractéristique
inverse.

Comme il est visible sur la figure 11.4, c, la hauteur de la barrière
de potentiel augmente en polarisation inverse de —eŸ.

Éext

€) Lors fre

Fig. 11.5. Processus transitoires (a) et état stationnaire (b, c) d'une diode pola-
risée en sens direct.

En polarisation directe (le pôle positif de la source de tension est
relié à la région p et le pôle négatif à la région r; fig. 11.5, a) le
champ électrique qui prend naissance à l’intérieur des régions n
et p provoque un afflux de porteurs majoritaires vers la région de char-

280 DIODES À SEMICONDUCTEURS (CH. 1f

ge d’espace de la jonction p-n. Ce processus continue tant que la dif-
férence de potentiel de contact ne tombe à la valeur de V, — V
dans la jonction p-n. Dans ces conditions les charges qui ont été ini-
tialement créées par la source de f.é.m. extérieure sur les contacts
ohmiques se trouvent transportées sur les frontières de la région de
charge d'espace et celle-ci se rétrécit jusqu’à d, — Ad. Comme le
montre la figure 11.5, c, la hauteur de la barrière de potentiel en po-
larisation directe diminue de eŸ.

Ainsi, quand on applique à la diode une différence de potentiel
extérieure, le circuit extérieur est parcouru, au premier instant, par
une impulsion de courant qui assure finalement une augmentation ou
une diminution des charges d'espace près des frontières de la jonc-
tion p-n. C’est pourquoi la jonction p-n se comporte comme une capa-
cité. Cette capacité est appelée capacité de barrière (ou de charge)
parce qu’elle est liée à une variation de la barrière de potentiel entre
les régions p et n. Elle a pour valeur

Ce (11.20)

où dQ est la variation de la charge de la jonction p-n; dV la variation
de la différence de potentiel agissant sur la jonction. L’examen des
figures 11.4, b et 11.5, b permet de conclure qu’une jonction p-n
plane est pareille à un condensateur plan. Aussi, la valeur de la ca-
pacité de barrière peut-elle être déterminée au moyen de la formule
donnant la capacité d’un condensateur plan:

C, = ee)S/d, (11.21)

où S est la surface de la jonction p-n7; e la permittivité relative du
semiconducteur; d l’épaisseur de la couche de charge d’espace jouant
le rôle de la distance entre les armatures du condensateur.

Üne différence par rapport à un condensateur ordinaire tient à
ce que d figurant dans l'expression (11.21) n’est pas une grandeur
constante mais varie suivant la polarisation extérieure :

Des (Dee) NatNe UE | 2e (geo not Pre (44.20
d= [ Le Be NoNa | =| e° NnoPpo | IMEe)

Ainsi, la capacité de barrière de la jonction p-n est non linéaire. Cela
signifie en particulier que |” expression (11.21) n’est applicable qu’à
de faibles signaux qui ne font pas varier de façon notable la valeur
de d. Un tel signal peut être superposé notamment à la polarisation
extérieure continue V. L'expression (11.22) prend une forme beau-
coup plus simple pour une jonction p-n asymétrique dont une des ré-
gions est dopée beaucoup plus fortement que l’autre. Soit par exem-
ple NV, > Ny, alors

dz vous ce (11.23)

& 11.3 COURANTS DIRECT ET INVERSE DANS UNE JONCTION p-n 281

En portant (11.23) dans (11.21), on obtient

Etoe Nu 1/2
CS Es | (11.24).
Cette expression est valable pour une jonction p-n abrupte dans la-
quelle les concentrations des impuretés donatrice et acceptrice va-
rient par saut.

Pour des jonctions p-n graduelles (diffusées) la capacité de barriè-
re a pour expression

: (eg) a 71/3
Cr=S [ 12 (po — eV)

(11.25),
$ 11.3. Courants direct et inverse dans une
Jonction p-n

Quand le processus de charge ou de décharge de la capacité de bar-
rière prend fin, le courant à travers la diode ne s’annule pas parce:
que la variation de la hauteur de la barrière de potentiel pour les.
porteurs majoritaires, lorsque la jonction p-r est soumise à une dif-
férence de potentiel extérieure, trouble l’égalité des flux de porteurs
opposés traversant la jonction et fait naître un courant dans cette
dernière. L’intensité de ce courant est facile à calculer dans le cas.
d'une polarisation inverse suffisamment forte (—V > 4kT/e =.
= 0,1 V) quand les flux de porteurs majoritaires à travers la jonc-
tion p-n pratiquement disparaissent et il n’existe que des flux de por-
teurs minoritaires qui n'ont à franchir aucune barriere.

Les porteurs minoritaires, par exemple les électrons dans la ré-
gion p, prennent naissance par suite de la génération thermique de:
paires électron-trou. Grâce à l’agitation thermique désordonnée, les.
porteurs minoritaires arrivent, pendant la durée de leur vie, à s’éloi-
ener du point où ils « sont nés » à une distance égale en moyenne à la

longueur de diffusion L = W Dr, où D est le coefficient de diffusion.
(En réalité le chemin parcouru par un porteur pendant sa durée de:
vie est supérieur de beaucoup d'ordres de grandeur à L.) Si la distan-
ce entre la frontière de la couche de charge d'espace et le point de géné-
ration d’un porteur est plus petite que la longueur de diffusion, la
probabilité pour que ce porteur pénètre, au moins une fois, dans la
couche de charge d’espace et soit entraîné par son champ est voisine:
de l’unité. De tels porteurs constituent un courant inverse de la jonc-
tion p-n. Bien entendu, une partie des porteurs peuvent dans ce cas
se recombiner sans atteindre la jonction p-7, mais en revanche une:
partie des porteurs nés à des distances supérieures à L peut atteindre:
cette jonction. Aussi, en calculant l’intensité d’un courant inverse:
peut-on considérer la génération de porteurs seulement dans une:
couche d'épaisseur L, mais estimer qu'ils atteignent tous la jonction

p-n.

282 DIODES À SEMICONDUCTEURS (CH. 1i

La vitesse de génération thermique g, (le nombre de porteurs pro-
duits par unité de temps et de volume) peut être déterminée en uti-
lisant son égalité à la vitesse de recombinaison R, à l'état d’équili-
bre thermique. Quant à cette dernière, elle est égale à la concentra-
tion des porteurs divisée par leur durée de vie:

Lo = Ro = Rpo/Th (dans la région p),
(11.26)
Lo = Pno/Th (dans la région n).

En multipliant ces grandeurs par les volumes des parties du semi-
‘conducteur qui apportent une contribution au courant inverse, c’est-
à-dire par SL, et SL, (S étant la surface de la jonction p-n), et par la
charge de l’électron e, on obtient le courant de porteurs minoritaires
à travers la jonction p-n:

R po
— TI, = —Ins—T73=e8 | _ L,+ Lp) —
s ñpo V Dr de Pno V Dh |
Va V;
Le signe moins signifie que le courant va de la région n à la région p
suivant la règle des signes adoptée plus haut.

Les porteurs minoritaires que le champ électrique fait passer à
travers la jonction p-r deviennent, dans des régions correspondantes,
porteurs majoritaires. La charge qui leur est liée se résorbe d’une ma-
nière pratiquement instantanée, comme il arrive toujours à la charge
de porteurs majoritaires, et disparaît parce que les porteurs s’en vont
ans le circuit extérieur. De (11.27) il résulte que si les polarisations
sont suffisamment fortes, le courant à travers la jonction ne dépend
pas de Ÿ, en gardant une valeur limite Z,. C’est pour cette raison que
T, est appelé courant de saturation. En cherchant à exprimer sa natu-
re physique, on lui donne parfois le nom de courant de thermogénéra-
Lion.

A l’état d'équilibre (pour V = 0) et pour une polarisation directe
{V >> 0) appliquée à la jonction p-n, il se forme dans le semi-conduc-
teur, sous l’effet de la chaleur, un même nombre de porteurs que ce-
lui produit dans le cas où la jonction est soumise à une polarisation
inverse. Avec la même probabilité ces porteurs peuvent atteindre la
jonction p-n et être entraînés par son champ. Cela explique pourquoi
Ja jonction p-n est toujours parcourue par le courant de thermogéné-
ration —/Z,. Dans les conditions d'équilibre ce courant est compensé
par le courant opposé de porteurs majoritaires +/, de sorte que
le courant résultant —Z7, + I, = (0.

Mais, comme le montre l'expression (11.2), les flux de porteurs
majoritaires dépendent de la hauteur de la barrière de potentiel .
Pour une barrière d'équilibre , le flux de porteurs majoritaires est

(11.27)

& 11.5] COURANTS DIRECT ET INVERSE DANS UNE JONCTION p-n 283

proportionnel à e-%/(4T): si la jonction est soumise à une polarisa-
tion directe Ÿ, la hauteur de la barrière diminue jusqu’à la valeur de
«Po — eV et le flux de porteurs majoritaires devient e°V/(ÀT) fois plus
intense. Le courant de porteurs majoritaires devient égal à Zu; =
— J,e‘V/@T), Le courant résultant a pour valeur

J= —1I,+ 1e VAT) 2 J, (eeVART) — 1). (11.28)

Il convient de souligner que le courant produit par les porteurs
majoritaires est beaucoup plus faible que leur flux multiplié par la
charge de l'électron (!/Sen:o (vr) et 1/Sepho (D)}) parce que la

A ——

Région p Region n

ë Éc
le A
E

Fig. 11.6. Flux d'électrons à travers une jonction p-# en équilibre.

contribution au courant direct n’est apportée que par ceux des por-
teurs majoritaires qui se recombinent, après avoir traversé la jonc-
tion p-n, dans des régions correspondantes, sans revenir dans la région
d’où ils sont partis. Or, la partie principale des porteurs arrive juste-
ment pendant la durée de leur vie à traverser de nouveau la frontiè-
re de la jonction p-r et, étant entraînés par son champ, reviennent
dans leurs régions (les électrons dans la région r» et les trous dans la ré-
gion D).

La figure 11.6 représente schématiquement les flux d'électrons à
travers une jonction p-n à l’état d'équilibre. De la région p s'écoule
un flux d'électrons Z qui sont nés dans cette région par suite de la
génération thermique et ont diffusé jusqu’à la région de charge d'es-
pace. Un même flux d'électrons 3 qui se recombinent dans la région
p vient à la rencontre du flux 7. En outre la jonction p-n est traver-
.sée par un flux d'électrons £ venant de la région nr et revenant ensui-
te dans cette région sous la forme du flux Z qui prend naissance du
fait qu'après avoir subi dans la région p une série de collisions, les

284 DIODES À SEMICONDUCTEURS ICH. 1f

électrons pénètrent par hasard dans le champ de charge d’espace qui
les repousse dans la région nr.

Comme il résulte de (11.28) la forme de la caractéristique cou-
rant-tension (CCT) d’une jonction p-n est la même que celle de la CCT
d’une barrière de Schottky (v. fig. 10.14) bien que les expressions.
pour le courant Z, sont dans ces cas nettement différentes.

L'expression que nous avons obtenue pour la caractéristique cou-
rant-tension d’une diode à semiconducteur est valable pour des pola-
risations directes pas trop fortes, quand la barrière de potentiel sub-
siste encore (eV << ,) et la résistance de la jonction p-n est beaucoup:
plus grande que celle des régions r et p de la diode adjacentes à la jonc-
tion. Lorsque la jonction p-n est polarisée en sens inverse, l’expres-
sion (11.28) est applicable pour des tensions inférieures à celles de-
claquage. En outre, pour établir les expressions (11.27) et (11.28)
nous avons négligé la génération thermique et la recombinaison des
porteurs à l'intérieur de la couche de charge d'espace elle-même en
la considérant comme étroite. Enfin, pour les applications pratiques
de l’expression (11.28) il convient d’avoir en vue que la température.
T qu'elle fait intervenir est celle de la jonction p-r et des régions ad-
jacentes qui peut différer fortement au cours du fonctionnement de:
la diode de la température ambiante.

Le courant de saturation Z, figurant dans les expressions (11.27)
et (11.28) dépend très fortement de T parce que la vitesse de généra-
tion thermique croît brutalement lorsque la température augmente.
En effet, suivant la loi d’action de masse
ni nt ni nr 2 —E./(hT)

Ppo Na ? Pro — Na HU °
Aussi, lorsque la température s'élève, le courant inverse croit bru-
talement et les propriétés redresseuses de la jonction p-n s'en trou-
vent compromises. Lorsque la température augmente, c’est aussi la
hauteur d'équilibre de la barrière de potentiel @,= 47 In (p»o/Pno) —
— KT In (n,57p0) qui diminue. À la température pour laquelle
Rao Ælipo & Ai la jonction disparaît totalement.

$ 11.4. Propriétés d’une jonction p-n7 lors du fonctionnement
en impulsions et en hautes fréquences

Propriétés en impulsions. Un domaine d'emploi bien large des.
diodes à semiconducteurs est représenté par des circuits impulsion-
nels utilisés en radio-électronique, dans la technique de calcul élec-
tronique et les dispositifs d’automatisme. Le paramètre principal
qui détermine l’applicabilité des diodes à cette fin est la rapidité
de fonctionnement (ou la rapidité de réponse) qui caractérise le temps.
mis par la jonction p-n pour passer de la polarisation directe à la po-
larisation inverse et inversement de la polarisation inverse à la pola-
risation directe.

$ 11.4, PRORRIÊTES D'UNE JONCTION p-n LORS DU FONCTIONNEMENT 285

Regardons quels sont les processus, se déroulant dans une jonc-
tion p-n, qui déterminent ce paramètre. La figure 11.7, a représente
schématiquement la répartition des porteurs majoritaires et minori-
taires dans les régions p et r d’un semiconducteur lorsque la jonction
p-n est en équilibre. Lorsqu'on applique à la diode une polarisation
directe V, la barrière de potentiel de la jonction s’abaisse de eV
et le flux de porteurs majoritai-
res à travers la jonction p-n Région p Re Région n
devient exp [eV/(&T)] fois plus 1 112 An0
intense, de sorte que les concen- —2?
trations des trous près de la
frontière 2 de la région nr et des
électrons près de la frontière 1
de la région p (fig. 11.7, b) crois-
sent jusqu'à

Pn (0) — Pno CXP [eV/(kT)];
np (0) = np0 exp leV/(kT)].

Les trous qui sont passés dans
la région »r et les électrons qui
sont passés dans la région p de-
viennent dans ces régions por-
teurs minoritaires.

Ainsi, tout se passe comme si
sous l’action de la polarisation
directe les porteurs minoritaires
étaient « injectés » à travers les
frontières de la jonction p-n
dans des régions correspondantes
du semiconducteur. Ce phénomè-

ne a reçu le nom d'injection de Fig. 11.7. Injection de porteurs de

porteurs minoritaires. charge minoritaires dans une jonction
Les trous injectés dans la p-n polarisée en sens direct.

région » attirent les électrons se

trouvant à l’intérieur de cette région de sorte que la concentration des
électrons près de la jonction p-r s'élève par rapport à la concentra-
tion à l’intérieur (fig. 11.7, b). La charge négative des électrons atti-
rés mel sous écran la charge positive des trous en excès. Une situation
analogue se présente aussi dans la région p: la charge positive des
trous attirés met sous écran la charge négative des électrons injectés.
C’est pourquoi les trous en excès et les électrons en excès, injectés res-
pectivement dans les régions n et p, n’y produisent pas de charges
d'espace non compensées dont le champ pourrait empêcher le mou-
vement des porteurs minoritaires vers l’intérieur du semiconducteur.
La pénétration de ces porteurs en profondeur du semiconducteur se
fait exclusivement par diffusion dont la vitesse est proportionnelle

286 DIODES À SEMICONDUCTEURS (CH. 11

au gradient de concentration des trous dp,/dz dans la région n et aw
gradient de concentration des électrons dn,/dx dans la région p.

La figure 11.8, a montre la variation avec le temps de la réparti-
tion des trous injectés dans la région n. A l'instant initial, après l’ap-
plication de la tension de polari-
sation directe (instant t, sur la.
figure 11.8, b), le gradient de:
concentration des trous près de
la frontière 2 est très grand (cou-
rbe 1 de la figure 11.8, a) parce
que les trous injectés dans la
région 7x se concentrent dans une
couche mince près de cette fron-
tière. C’est pourquoi le courant
direct de la diode est dans ce
cas bien intense: il n'est limité
pratiquement que par la résistan-
ce r de ses régions passives (pa-
lier Z de la figure 11.8, c). Mais
au fur et à mesure de la diffusion
des trous dans la région z et de
leur recombinaison le gradient
de concentration diminue (courbe
2 de la figure 11.8, a), ce qui con-
ditionne une diminution du cou-
rant direct lui aussi (fig. 11.8, c).
Pendant un temps approximati-
vement égal à la durée de vie t,
des trous excédentaires il s'établit
leur répartition stationnaire (in-
variable avec le temps) dans la
région r (courbe 3 de la figure
11.8, a) et le courant direct
atteint sa valeur normale.

: Des phénomènes analogues se

Fig. a pes des propriétés broduisent aussi dans la région p

nPOsCnneNes PURE JORCIOR RE | OS Sont injectés des électrons: les

processus transitoires et l’établis-

sement d’un courant direct stationnaire se réalisent ici pendant
un temps approximativement égal à T%,.

Si la diode est commutée d’une manière instantanée du sens di-
rect au sens inverse (instant {, sur la figure 11.8, b), le courant inver-
se sera au premier instant très élevé parce que la concentration des
porteurs minoritaires sur les surfaces frontières 2 et Z est forte (cour-
be Z de la figure 11.8, d); l'intensité de ce courant n'est en fait limi-
tée que par la résistance r des régions passives de la diode (palier ?

$ 11.4] PROPRIÊTES D'UNE JONCTION p-n LORS DU FONCTIONNEMENT 287.

de la figure 11.8, c). Avec le temps, les porteurs minoritaires excé-
dentaires concentrés près des frontières Z et 2 se résorbent progressi-
vement grâce à leur passage dans des régions correspondantes du se-
miconducteur d’une part et à leur recombinaison d'autre part. Le
gradient de concentration qui conditionne leur diffusion vers ces
frontières diminue (courbes 2, 3, 4 de la figure 11.8, d) et le courant
inverse diminue (fig. 11.8, c). Pendant un temps approximativement
égal à t, pour les trous et à t, pour les électrons, il s'établit une ré-
partition stationnaire des porteurs minoritaires près des frontières de:
la jonction p-n (courbe à de la figure 11.8, d) et le courant inverse
atteint sa valeur normale 7, (fig. 11.8, c).

Ainsi, en cas de la commutation de la diode elle devient le siège
des processus transitoires (accumulation des porteurs minoritaires
en polarisation directe et leur résorption en polarisation inverse) qui
limitent précisément sa rapidité de fonctionnement. Etant donné que
ces processus s’achèvent en général en un temps égal à la durée de
vie des porteurs minoritaires excédentaires t, c'est cette dernière
qui détermine la rapidité de fonctionnement des diodes impulsion-
nelles.

Capacité de diffusion d'une jonction p-n7. De ce qui précède on
peut conclure que par rapport à la commutation la diode se comporte
comme une résistance À produite par la région de charge d'espace et
shuntée par une capacité C;;, due à l’accumulation de la charge de
porteurs minoritaires lorsque la diode est polarisée en sens direct et à
la résorption de cette charge lorsque la diode est polarisée en sens in-
verse. Cette capacité porte le nom de capacité de diffusion de la jonc-
ion p-n. A l'application de la polarisation directe, le courant dans
la diode est à l'instant initial principalement un courant de charge de
Ja capacité Cy;; et son intensité peut être grande. Lorsque la diode
est commutée sur le sens inverse, le courant inverse représente à l’ins-
tant initial principalement un courant de décharge de la capacite
C'aiy et son intensité peut être elle aussi grande.

Comme le montre le calcul, pour un signal variable de faible
amplitude

Cas = 57 lUp+ 13) Tp+(/n+lns) Tnl (11.29).

où comme il résulte de (11.28), 7, + Te = Zh4 Xp leV/(&T)] et
1, + Ins = In, exp leV/(&T)] (ici, V est la polarisation continue
de la jonction p-n). Comme exp leV/(kT)] = O0 même pour des polari-
sations inverses peu importantes, la capacité de diffusion elle aussi
Caiy = 0. Lorsque la diode est polarisée en sens direct, 7, 51. et
1, 51, et donc

Ca & Sr Ut Lt): (11.30)

-288 DIODES À SEMICONDUCTEURS (CH. 11

Pour une jonction p-n fortement asymétrique avec Ne > Na (pp0 >
S no), les courants totaux 7 et Z, traversant la jonction sont pra-
tiquement égaux aux courants 7, et Z,, et de ce fait,
€

11 résulte des expressions (11.29) à (11.31) que pour réduire la ca-
pacité Cu: et donc améliorer la rapidité de fonctionnement des dio-
des, il est nécessaire de réduire
la durée de vie t des porteurs
minoritaires en excès, en dopant
les régions 7» et p avec une impu-
reté créatrice de centres de re-

NON NAN combinaison efficaces. Une telle
F a) impureté pour le germanium et
le silicium est notamment l'or:
le dopage avec de l’or permet de
réduire t à quelques nanosecon-

e des.
le) z Un autre procédé permettant

d'accroître la rapidité de fonction-
nement des diodes consiste à pro-
duire dans les régions adjacentes
6) à la charge d'espace de la jonc-

, | | . tion un champ électrique « incor-
Fig. 11.9. Diodes à champ électrique

« incorpore »:
a — schéma de la formation d’un champ
-« incorporé » par une répartition inégale de
l'impureté dopante dans la diode; b — ca-
ractère de rétablissement du courant inverse
de la diode par le champ « incorporé » 10rs
-de la commutation de la polarisation directe
sur la polarisation inverse.

poré » qui « presse » les porteurs
minoritaires vers la jonction p-n.
Un tel champ peut être engendré
en dopant les régions p et n de
telle sorte que la concentration
de l’impureté dopante non com-

pensée augmente à mesure qu'on
S’éloigne de la jonction p-n (v. fig. 11.1, a et 11.3. a). Dans ce cas,
la concentration des électrons dans la région nr (n,9 = Na) loin de
la jonction sera plus forte que près de la jonction elle-même. De ce
fait, les électrons diffuseront vers la jonction en y augmentant la
concentration et en la diminuant dans des régions éloignées de la
jonction. Le passage des électrons vers la jonction continuera tant
que le champ « incorporé » engendré &;h- (fig. 11.9, a) n’égalise
leurs flux opposés.

Un processus analogue se déroule aussi dans la région p avec les
trous, ce qui conduit à la formation d’un champ « incorporé »
Eine aussi dans cette région.

L'examen de la figure 11.9, a montre que les champs « incorpo-
rés » s'opposent à la diffusion libre des porteurs minoritaires, injec-
tés à travers la jonction p-n (des trous en profondeur de la région n

$ 11.4] PROPRIÊTES D'UNE JONCTION p-n LORS DU FONCTIONNEMENT 289

et des électrons en profondeur de la région p) en les repoussant vers
les frontières de la jonction p-n. De ce fait, la résorption des porteurs
minoritaires, lorsque la diode est commutée de la polarisation directe
à la polarisation inverse, se termine d’une façon très brusque (fig.
11.9, b). Cela permet d'utiliser le top de courant inverse pour la
formation d’impulsions à front très raide ( Æ 10-% s). De telles dio-
des ont reçu le nom de diodes à recouvrement (ou à récupération) brus-
que de la résistance inverse ou de diodes à accumulation de charges (DAC).

Enfin, on peut tout simplement se débarrasser de la capacité de
diffusion en utilisant par exemple un contact redresseur métal-se-
miconducteur de type 7. La caractéristique courant-tension d’un tel
contact est la même que celle d’une jonction p-n (v. $ 10.4), mais on
n’y fait pas recours à l’injection de porteurs minoritaires à travers la
jonction. L’application de la polarisation directe abaisse la hauteur
de la barrière de potentiel pour les électrons passant du semiconduc-
teur dans le métal (v. fig. 10.13, c) de sorte que le flux d'électrons
du semiconducteur dans le métal augmente brusquement et le contact
est parcouru par un courant direct. En polarisation inverse, le courant
de saturation est dü aux électrons passant du métal dans le semiconduc-
teur de type z (v. fig. 10.13, b). Dans les deux cas, les électrons en
excès, ayant traversé le contact, «se résorbent» d’une manière ins-
tantanée (en un temps de & 10-5s) parce que la charge qu’ils ont
apportée produit un champ qui regroupe, pratiquement en un instant,
les électrons du métal ou du semiconducteur de type n.

Les diodes à contact redresseur métal-semiconducteur sont ap-
pelées diodes Schottky. Dans ces diodes on arrive à réduire le temps de
commutation à 10-15. Ce temps se détermine par le temps de rechar-
ge de la capacité de barrière. En principe, on doit tenir compte de la
capacité de barrière aussi dans la commutation de la jonction p-n
mais lorsque la diode fonctionne en impulsions de courant direct, la
capacité de barrière est très inférieure à la capacité de diffusion.

Propriétés d’une jonction p-n en hautes fréquences. Considérons
maintenant le fonctionnement de la diode dans le cas où un signal
variable de faible amplitude est superposé à la tension de polarisa-
tion continue Ÿ. Dans ce cas, la diode peut être représentée par un sché-
ma équivalent simplifié suivant: en parallèle avec une résistance
active non linéaire À, de la joncton p-n sont branchées une capacité
de diffusion non linéaire Cy;, et une capacité de barrière C, ; en sé-
rie avec ce circuit est mise la résistance r des régions passives de la
diode (fig. 11.10). Pour mettre en évidence les particularités de fonc-
tionnement de la diode en hautes fréquences, analysons de plus près
ce schéma équivalent.

La résistance active que la jonction p-n offre à un faible signal
variable de basse fréquence se détermine par la relation

Ra = rar = : (11.32)

19—726

290 DIODES À SEMICONDUCTEURS (CH. 11

Par basse fréquence on entend ici une fréquence angulaire &w du signal
pour laquelle la période d'oscillations est très supérieure à la durée
de vie des porteurs injectés : 1/6 © t,. Dans ce cas, tous les processus
transitoires dans la jonction arrivent à se produire durant un temps
1/6 si bien que la capacité de diffusion se décrit par la relation
(11.31) et la capacité de barrière par la relation (11.24).

A mesure que la fréquence w s'élève, le temps {/w se trouve de
plus en plus insuffisant à l'achèvement des processus transitoires.
[Il] doit en résulter une diminu-
tion du nombre de porteurs
injectés pendant l’alternance
positive du signal et donc une
diminution de la capacité de
diffusion. En outre, les porteurs
injectés n'arrivent pas à diffu-
Fig. 11.10. Schéma équivalent d'une ser dans la profondeur des régions

diode. ‘ : :
passives de la diode à la longueur
de diffusion, en se concentrant,
avec un grand gradient, dans une couche mince près des frontières
de la jonction p-n, ce qui doit conduire à une augmentation du
courant direct, c’est-à-dire à une diminution de la résistance active
de la jonction p-n.

Pendant l’alternance négative du signal, du fait même de la for-
te concentration des porteurs minoritaires qui n’ont pas réussi à dif-
fuser dans la profondeur des régions passives et se sont localisés dans
une couche mince près des frontières de la jonction p-n, le courant in-
verse doit augmenter et donc la résistance active de la jonction polari-
sée en sens inverse doit diminuer.

Ainsi, l’élévation de la fréquence du signal appliqué à une jonc-
tion p-n doit conduire à une diminution de la résistance active À,
et de la capacité de diffusion C;;,. Comme le montre un calcul, pour
une jonction p-r asymétrique (NM, > Nu)

Cdis

AT V2 1
R, = | 1.3
REZ ZE ER Fee

V24T VI+({HFor)E
Pour les basses fréquences (w<& 1/t,) ces expressions se réduisent à
(11.32) et (11.31). Pour les hautes fréquences (w > 1/t,), les unités
figurant sous le radical des expressions (11.33) et (11. 734) peuvent
être négligées devant wt,. Alors, il vient

V2
Rae TES ee (11.35)
Cesar 2 (11.36)

V/2&T w

$ 11.4] PROPRIÊTES D'UNE JONCTION p-n LORS DU FONCTIONNEMENT 294

Les conductances correspondant à la résistance À, et à la capacité
Cais ont pour expressions

L e(l+ls)
PE TE V’urt,, (11.37)
OÙ js = SE V ot. (11.38)

On voit qu'elles sont égales l’une à l’autre: 1/R, = oCuis.
Comme 1+17, = 1,expleV/(&T)] et 1, = Lpho/tp =

= PraoV D tp tp it la résistance active d'une jonction p-n

en hautes fréquences ne dépend pas de la durée de vie des porteurs in-

jectés et diminue enraison inverse de Vw:
R; = AV 0. (11.39)

Le comportement de la réactance de la capacité de diffusion
Cais est analogue à celui de la résistance :

La figure 11.11 représente schématiquement la variation de R,
et de Cai; en fonction de la fréquence du signal ; la droite horizontale
indique la capacité de barrière de la jonction p-r dont la valeur est
indépendante de w. Comme il est visible sur cette figure, aux fréquen-
ces élevées la capacité de diffusion devient inférieure à la capacité de
barrière de sorte que la conductance due à la capacité de barrière
oC, dépasse la conductance due à la capacité de diffusion et la con-
ductance de la jonction p-r égale à cette dernière.

La diminution de la résistance de la jonction p-n7 aux fréquences
élevées a pour résultat qu’une partie de plus en plus grande de la
tension appliquée à la diode chute non pas dans la jonction mais dans
la résistance des régions passives de la diode. Aux fréquences pour
lesquelles la résistance de la jonction p-n devient beaucoup plus pe-
tite que r, le courant de la diode polarisée, aussi bien en sens direct
qu’en sens inverse, se détermine par r et non par la résistance de Ia
jonction, ce qui signifie que la diode perd ses propriétés redresseu-
ses. Pour fréquence limite (w,;,) de fonctionnement de la diode on
prend une fréquence pour laquelle la résistance équivalente de la
jonction p-n (entre les points Z et 2, v. fig. 11.10) devient égale à la
résistance r des régions passives. Vu qu'aux hautes fréquences la ré-
sistance équivalente de la jonction p-n se détermine par la capacité
de barrière 1/(wC;), pour le calcul de la fréquence limite w;;m il
faut comparer r à la réactance de la capacité de barrière C, et évaluer
Ojim à Partir de la relation

r = 1/(orimCb)- (11.41)
CELL

292 DIODES À SEMICONDUCTEURS (CH. 11

De (11.41) il ressort que pour élever la fréquence limite de fonc-
tionnement de la diode il faut réduire le produit rC;. La résistance
r peut être réduite en améliorant la qualité des contacts ohmiques
des régions r» et p et en réduisant l'épaisseur de ces régions. Il semble-
rait ensuite que la fréquence w,;, pourrait être élevée aussi par dimi-
nution de la surface S dela jonction p-r vu que cela entraîne une di-
minution de la capacité C,. Mais ce procédé ne permet d'élever la
fréquence w/;, que dans le cas des diodes à pointe. En effet, pour des

2
j

Fig. 11.11. Variations de la résistance, Fig. 11.12. Schéma [d'une diode à

de la capacité de diffusion et de la pointe :
capacité de barrière d'une jonction 1 contact métallique; 2 — jonction
p-n en fonction de la fréquence. p-n; 3 — semiconducteur.

jonctions planes C, — S et r — 1/S si bien que rC, ne dépend pas de
S. Il n’en est plus de même pour des diodes à pointe dont r —

— p/{(na) — 1/V°S, où p est la résistivité du semiconducteur; a
le rayon d’un contact semi-sphérique ; S — 2xa° la surface de la jonc-
tion (fig. 11.12). CommeC, — S,on a Cyr VS et o1im 1/VS.
Aussi, en diminuant S$S, peut-on donc élever la fréquence limite
Oiim-

La réduction de la résistivité p des régions passives de la diode per-
met elle aussi d’élever w;n- En effet, pour une jonction p-n asymé-
trique, dont la région nr est à forte résistivité, on a r — 1/n,, et C, —
= Ad = V'nno [v. (11.24)] de sorte que rC, = 1/Vn,0— V'p, où
p est la résistivité de la région nr. Mais il faut ne pas perdre de vue
que lorsque le degré de dopage augmente, la tension de claquage d’une
jonction p-r diminue et que finalement on obtient d’abord une diode
inverse (dont la fréquence de fonctionnement limite est la plus éle-
vée) et puis, avec un dopage encore plus fort, une diode tunnel qui
est inapte à servir de détecteur (v. plus loin).

$ 11.5. Claquage d’une jonction p-n

La figure 11.13 montre comment varie le courant inverse d’une
jonction p-r lorsque la tension inverse augmente. Pour une valeur
déterminée de V;,, — V1. on constate que le courant inverse croît
brutalement. Ce phénomène a reçu le nom de claquage de la jonction

& 11.5] CLAQUAGE D’UNE JONCTION p-n 293

et la tension V., à laquelle il se produit est appelée tension de claquage.

Suivant le caractère des processus physiques qui conditionnent
une croissance brusque du courant inverse, on distingue quatre ty-
pes principaux de claquage: par effet tunnel, par avalanche, thermi-
que et superficiel.

Claquage thermique. Lorsqu'une jonction p-n est parcourue par
un courant inverse, il s’y dégage une chaleur et sa température s'élè-
ve. L'élévation de la température se détermine par la qualité du dis-
positif d'extraction de la chaleur caractérisée par une résistance
thermique Rs. Cette résistance est égale à l’accroissement de tempé-
rature AT de la jonction par une puissance unité W dégagée dans la
jonction: AT — RW. L'augmentation de la température provoque
une augmentation du courant
inverse ce qui, à son tour, fait
croître de nouveau la température v,,/vz !
et le courant inverse et ainsi de
suite. Pour une puissance W de-
terminée, dont la valeur est
d'autant plus grande que la résis-
tance thermique Ro de l'appa-
reil est plus faible, le courant
inverse commence à croitre en
avalanche et il se produit un
claquage thermique de la jonction
p-n. Dans le cas d’un claquage me
thermique la caractéristique cou- , thermiques . Sa Gifet chanel
rant-tension peut comporter une 3 — par avalanche.
partie à résistance différentielle
négative quand la croissance du courant s'accompagne d’une diminu-
tion de la tension agissant sur la diode (courbe 7 de la figure 11.13).

Claquage par avalanche. Dans des jonctions p-n suffisamment
larges, soumises à des tensions inverses élevées, les porteurs minori-
taires peuvent acquérir dans le champ de Ia jonction une énergie ci-
nétique si forte qu'ils deviennent capables de provoquer une ionisa-
tion par choc du semiconducteur. Ce processus est représenté sché-
matiquement sur la figure 11.14. L'ionisation par choc peut être pro-
duite aussi bien par les électrons (fig. 11.14, a) que par les trous (fig.
11.14, b). Dans les deux cas, l’électron 7 perd de l’énergie tout en res-
tant dans sa bande d'énergie. Il transfère cette énergie à un électron
2 de la bande de valence en le faisant passer dans la bande de conduc-
tion et en créant ainsi une nouvelle paire électron-trou. Dans ce cas
le courant inverse peut accuser une croissance par avalanche qui con-
duit à un claquage par avalanche de la jonction.

Supposons que par exemple un électron de la région p de la diode
pénètre dans la région de charge d'espace de la jonction p-r polari-
sée en sens inverse (flèche 7 de la figure 11.15). Si cette polarisation

Fig. 11.13. Claquage d'une jonction

294 DIODES À SEMICONDUCTEURS (CH. 11

est suffisamment forte, cet électron fait naître, avant de quitter la
jonction, une nouvelle paire électron-trou et ensuite passe avec l’élec-
tron nouvellement créé de la jonction p-n dans la région n. Le trou
qui apparaît dans ces conditions se déplace dans le champ de la jonc-
tion p-n vers la région p de la diode (flèche 2 de la figure 11.15).

Région n Région n
| £
c

£v Régionp
Éc
Ev
Région de
d'espace

Fig. 11.14. Ionisation par choc dans une jonction p-n produite par un électron (a)
et un trou (b).

A vant de quitter la région de charge d'espace ce trou peut former en-
core une paire électron-trou; l'électron de cette paire se déplacera
vers la région n (flèche 3) et ainsi de suite. Ainsi, au lieu d'un seul
électron entrant dans la jonction p-n il en sort beaucoup d'électrons

2 ae
| = Paire électron-
2 reu formée par
Paire électron- l'electron 1
trou formée |

par le trou 2 Cave
| d'espace

pe)
Fig. 11.15. Schéma du développement d’un claquage par avalanche.

et de trous — le courant inverse croît brutalement. Dans la région de
claquage, la variation du courant inverse, avec l'augmentation de la
tension inverse, est très forte (courbe 3 de la figure 11.13). Cet
effet est utilisé pour la stabilisation de tension. Les diodes destinées
à servir en un tel régime sont appelées stabilitrons. On les fabrique
en silicium parce que les diodes à silicium possèdent une branche as-
sez abrupte de la caractéristique courant-tension dans la région de
claquage et peuvent fonctionner, sans subir de claquage thermique,
dans une large gamme de courants de service.

& 11.5] CLAQUAGE D'UNE JONCTION p-n 295

Les calculs montrent que la tension de claquage par avalanche dé-
pend du degré de dopage des régions p et n de la diode et qu'elle di-
minue lorsque la concentration de l’impureté dopante augmente.
Dans des diodes à forte concentration de l’impureté pour lesquelles
le claquage se manifeste pour des tensions inférieures à 4-8 V (pour
les diodes au silicium) c’est un claquage d'un autre type, à savoir le
<claquage par effet tunnel, qui se produit avant le claquage par ava-
lanche (pour des tensions moindres).

Claquage par effet tunnel. Lorsque la tension de polarisation
inverse appliquée à une jonction p-n est suffisamment élevée, les

ET x
8)

Fig. 11.16. Transitions tunnel dans une diode polarisée faiblement (a) ct forte-
ment (b) en sens inverse.

niveaux d'énergie occupés de la bande de valence de la région p du
semiconducteur se situent en face des niveaux non occupés de la ban-
de de conduction de la région n (fig. 11.16, a). Dans ce cas, il peut y
avoir une transition tunnel directe des électrons de la bande de va-
lence de la région p dans la bande de conduction de la région n.
Ces électrons franchissent, par effet tunnel, une barrière de potentiel
d'épaisseur x, — x, et de hauteur variant de £, aux points x, à 0
au point z,. Si V;,, augmente, l'épaisseur de La barrière diminue
{fig. 11.16, a) et l'intensité € de son champ s'accroît. Il convient de
souligner qu'il s’agit non pas de la largeur de la région de charge d’es-
pace (elle s'accroît lorsque la polarisation inverse augmente) mais
de la barrière que les électrons franchissent par effet tunnel. Si la
jonction p-n7 est suffisamment mince, le champ € atteint, même
pour une valeur relativement peu élevée de la tension inverse V;,.,
une valeur pour laquelle on constate un passage intense des électrons
à travers la jonction p-n par effet tunnel et le claquage de la jonc-
tion. Dans le cas du germanium cela se produit pour €,.,= 3-107 V/m
et dans le cas du silicium pour &.,.1 & 108 V/m. On dit que cest un
claquage par effet tunnel. La courbe caractéristique courant-tension
inverse correspondant à ce type de claquage est montrée sur la figure
11.13 (courbe 2).

296 DIODES À SEMICONDUCTEURS [ICH. 11

Proposons-nous de déterminer les facteurs dont dépend la tension
de claquage par effet tunnel. L intensité de champ dans une jonction
p-n abrupte peut être calculée à partir de (11.14) et (11.15), en déri-
vant @ par rapport à x:

7-1 (11.42)

Il n’est pas difficile de s'assurer que le champ € atteint sa valeur
maximale sur la surface frontière entre les régions p et n où il devient
égal à

eNa d eNa

Elo à EE

É max = — d,. (11.43)
En admettant, pour simplifier, que la jonction p-n est asymétrique et
que la région n est faiblement dopée, en portant d, = d de (11.23)

dans (11.43) et en élevant au carré le premier et le second membre de
(11.43), on obtient

Cmax = 2 (Po + EVinr)/(EEON à). (11.44)

Ici, au lieu de —V est écrite la grandeur positive V:,,. En égalant
Emax à Cet, On trouve la tension de claquage par effet tunnel:

Var = (oeeoN a — Po)/e. (11.45)
Comme il résulte de (11.45), la tension de claquage par effet tun-

nel diminue linéairement lorsque la concentration de l'impureté NW;
dans la région faiblement dopée

Z de la diode s'accroît. Pour une
certaine concentration le tunne-

0 ling d'électrons peut commencer
V même pour V;,, —0. La courbe

caractéristique courant-tension

d’une telle diode est représentée

sur la figure 11.17. C’est une dio-

Fig. 11.17. Caractéristique courant-ten- de dite inversée. Elle possède une

sion d'une diode inversée. caractéristique courant-tension

très fortement non linéaire pour

des tensions voisines de zéro et est généralement utilisée pour la

détection de signaux faibles de haute fréquence.

En augmentant encore le degré de dopage, on obtient des diodes
dites tunnel (ou diodes d’'Esaki du nom de leur inventeur).

Claquage superficiel. La charge localisée sur la surface du

semiconducteur à l'endroit de sortie de la jonction p-r peut provoquer

une forte variation de l’intensité du champ dans la jonction et de la

largeur de la jonction. Dans ce cas, c’est le claquage de la région ad-

jacente à la surface de la jonction p-n qui peut être le plus probable.

& 11.6] DIODES TUNNEL 297

$ 11.6. Diodes tunnel

Les diodes tunnel (elles ont été créées en 1958) sont fabriquées
avec des semiconducteurs fortement dopés se trouvant à l'état dégéné-
ré. Dans de tels semiconducteurs, les niveaux de Fermi ne se situent
pas dans la bande interdite : le niveau de Fermi de la région p est
descendu dans la bande de valence et celui de la région nr est monté
dans la bande de conduction. Le diagramme énergétique d’une jonc-
tion tunnel en équilibre est montré sur la figure 11.18, a.

7
1 =, ?
0 2
/ |

6) c)

e) r

Fig. 11.148. Explication de la caractéristique courant-tension d'une diode tunnel.

Comme il est visible sur la figure 11.18. a. il y a recouvrement
des bandes : la bande de conduction de la région nr recouvre partielle-
ment la bande de valence de Îa région p.

Le dopage fort de ces régions a pour effet une faible épaisseur de la
jonction p-n et une intensité élevée de son champ. Cela rend possible
le passage des électrons par effet tunnel de la région p dans la région
n (transitions 1) et de la région n dans la région p (transitions 2).
Le flux Z constitue un courant tunnel inverse et le flux 2 un courant
tunnel direct. En l'absence de champ extérieur, ces courants sont.
égaux de sorte que le courant résultant à travers la jonction est nul.

L'application d’une polarisation inverse à la jonction p-n a pour
effet d'augmenter le recouvrement des bandes (fig. 11.18, b) de sorte
qu'en face des états occupés de la bande de valence de la région p
se trouvent situés des états libres de la bande de conduction de la ré-
gion nr. Ceci étant, le nombre des électrons passant de gauche à droite,
est plus grand que celui des électrons passant de droite à gauche, de

098 DIODES À SEMICONDUCTEURS (CH. 11

sorte que dans la jonction il apparaît un courant tunnel inverse dont
la valeur augmente en même temps que la polarisation inverse.

Lorsque la jonction est polarisée en sens direct, en face des états
occupés du niveau inférieur de la bande de conduction de la région n
se trouvent situés des états libres du sommet de la bande de valence
de la région p de sorte qu'un courant tunnel direct prend naissance
dans la jonction (fig. 11.18, c). Ce courant augmente lorsque la pola-
risation directe augmenteet atteint sa valeur maximale pour une pola-
risation pour laquelle le niveau inférieur de la bande de conduction
de la région nr se situe au même niveau que le niveau de Fermi de la
région p. Si la polarisation directe augmente encore, le nombre d'états
occupés de la région n situés en face des états libres de la région p
diminue, ce qui provoque une diminution du nombre de passages des
électrons de droite à gauche et, comme conséquence, une diminution
du courant direct. Le courant tunnel direct tombe à zéro pour une
polarisation telle que le niveau inférieur de la bande de conduction
de la région n se situe à une même hauteur avec le sommet de la ban-
de de valence de la région p (fig. 11.18, d). Mais pour cette tension il
se produit déjà l'injection de porteurs de charge minoritaires, comme
dans une diode classique, et un courant de diffusion prend naissance
dont l'intensité croît exponentiellement lorsque la polarisation di-
recte augmente (fig. 11.18, e).

L'examen de la figure 11.18, e montre que la propriété essentiel-
le de la caractéristique courant-tension d’une diode tunnel est de pré-
senter une partie descendante où La résistance différentielle est néga-
tive. Cette propriété des diodes tunnel permet de les utiliser pour la
production d'oscillations électromagnétiques ainsi qu’en qualité de
commutateurs, de mélangeurs, etc. L'accumulation et la résorption
des porteurs minoritaires n’existant pratiquement pas dans la région
des courants tunnel, les diodes tunnel se caractérisent par des répon-
ses fréquentielles et une rapidité de fonctionnement meilleures que
celles des diodes classiques.

$ 11.7. Diodes à avalanche

Le phénomène de claquage par avalanche d'une jonction p-n
est à la base du fonctionnement des diodes à avalanches (diodes
IMPATT) utilisées comme oscillateurs très haute fréquence. Pour réa-
liser un tel oscillateur il faut avoir un élément à résistance différentielle
négative, c'est-à-dire un élément dans lequel l'augmentation de la
tension conduit à une diminution du courant et inversement. La dio-
de tunnel que nous avons examinée plus haut fournit un exemple de
tel élément. Pourtant ce sont les diodes à avalanche qui ont trouvé
le plus d’applications. Bien que la caractéristique courant-tension
stationnaire de la diode à avalanche (v. courbe 3 de la figure 11.13)
ne présente pas de partie à pente négative, en courant alternatif de

& 11.7] DIODES À AVALANCHE 299

fréquence déterminée la variation de la tension appliquée à la diode
se trouve en opposition de phase avec la variation du courant, si
bien que pour un tel signal la diode devient élément à résistance néga-
tive.

Montrons comment cela se produit. Îl convient de remarquer
avant tout que le champ électrique dans une jonction p-n étant inho-
mogène et maximal près de la surface de séparation des régions p

a D
[71 | |
| Ps S
RS

P n

Region de claguage Kégion de
Gr avalance” d ÉTÉNSE La

Fig. 11.19. Régions de claquage et de Fig. 11.20. Explication du principe de
‘transit lors du claquage par avalan- fonctionnement d'une diode à avalan-
che d'une jonction p-n. che à temps de transit (diode IMPATT).

et n, c'est précisément là que les électrons et les trous sont « échauf-
fés » assez fortement pour provoquer l'ionisation par choc et donc
c'est là que se développe un claquage. Quant à la partie restante de
la région de charge d'espace, les porteurs de courant la traversent
.sans subir d’ionisation. Ces deux régions — la région de claquage
par avalanche et la région de transit — de la jonction p-n sont repré-
.sentées sur la figure 11.19 qui est une variante plus précise de la fi-
gure 11.15.

Considérons les processus transitoires qui se déroulent dans la dio-
- de lorsqu’à sa polarisation continue inverse, légèrement inférieure à
la tension de claquage V,,, est superposée une impulsion telle que la
tension agissant sur la diode devient supérieure à la tension de cla-
-quage (fig. 11.20, a). Dans ce cas, le courant à travers la diode sera

300 DIODES A SEMICONDUCTEURS (CH. 11

limité par la résistance série de la diode et la résistance du circuit.
extérieur. Au front avant de l'impulsion considérée le courant s’éta-
blit pendant le temps de développement de l’avalanche dans la région
de claquage (c’est-à-dire dans la partie centrale de la jonction p-n)
et le temps de charge de la capacité de barrière de la jonction p-n.
Après la fin de l’impulsion le courant décroît pendant le temps de dé-
charge de la capacité de barrière et, ce qui est l’essentiel, pendant le:
temps de transit des porteurs de charge, nés dans la région de claqua-
ge, dans la région de transit. Le « centre de gravité » de l'impulsion
de courant se trouve, somme toute, décalé par rapport à l'impulsion
de tension (fig. 11.20, b), c'est-à-dire que l’impulsion de courant est
retardée sur l’impulsion de tension. Si au lieu du signal impulsionnel,
on superpose maintenant à la polarisation continue un signal sinu-
soïdal (fig. 11.20, c), un déphasage se produira entre le premier har-
monique de courant et la tension de valeur supérieure à x/2 si la fré-
quence du signal est suffisamment élevée. Cela est déjà suffisant pour
que la puissance du courant alternatif de fréquence considérée ne.
soit pas absorbée dans la diode mais se dégage (la quantité ZV cos 9,
où œp est le déphasage entre le courant et la tension, devient négati-
ve). La génération d'oscillations de très haute fréquence pour le cla-
quage par avalanche des appareils au germanium a été réalisée pour:
la première fois en U.R.S.S. en 1959.

Actuellement les diodes à avalanche à temps de transit sont fa-
briquées principalement au silicium et à l'arséniure de gallium. Elles:
possèdent le plus souvent une structure plus complexe que celle d’une
jonction p-n abrupte simple. Elle comporte une région allongée de:
transit en semiconducteur faiblement dopé, qui adhère à une région
de claquage étroite constituée de couches p et n plus fortement do-
pées. L'industrie soviétique fabrique des générateurs à diodes à ava-
lanche à temps de transit qui assurent une puissance de sortie près
de 1 W dans la gamme de 3 cm de longueur d'onde. Le rendement de:
conversion de la puissance de courant continu en puissance à très.
haute fréquence atteint 60 %.

$ 11.8. Phénomènes photo-électriques dans une
jonction p-n

Effet photovoltaïque. Lorsqu'une jonction p-n ou ses régions.
adjacentes sont soumises à un rayonnement lumineux capable de
provoquer la création de paires électron-trou (v. chap. 9) cette jonc-
Lion est parcourue par un courant dit photo-électrique ou photocou-
rant primaire. Cet effet porte le nom d'effet photovoltaïque. Examinons:
sa nature physique.

La figure 11.21, a montre une diode dont la région p est éclairée.
par un flux lumineux de puissance W, qui provoque la génération de-
paires électron-trou. Le nombre G de telles paires qui sont créées.

& 11.5] PHENOMENES PHOTO-ELECTRIQUES DANS UNE JONCTION p-n 301

-chaque seconde dans le semiconducteur est déterminé par l'expression
(9.13). Suivant le rapport qui existe entre la profondeur de pénétra-
tion de la lumière dans le semiconducteur 1/a&, la distance w à la cou-
che de charge d'espace de la jonction p-n et l'épaisseur d de cette cou-
che, la lumière est absorbée essentiellement dans la région éclairée
de la diode, dans la couche de charge d'espace ou derrière cette cou-
<he. Supposons. pour fixer les idées, que la lumière est absorbée dans

Fig. 11.21. Photorécepteur à jonction p-n:
a — structure et schéma de branchement : b — diagramme énergétique d'une cellule photo-
voltaïque; c — caractéristiques OR pour différents niveaux d’éclairement
2 > Wi).

une couche étroite près de la surface à partir de laquelle les porteurs
de charge diffusent ensemble en profondeur du semiconducteur. Si
la jonction p-n se situe à une profondeur w << L, où L est la longueur
de diffusion, une partie considérable des porteurs atteindra la ré-
gion de charge d'espace de la jonction. Les électrons arrivés vers la
jonction p-r sont sollicités par le champ de contact €. dirigé de la
région x vers la région p, qui les fait passer dans la région nr qu'ils
chargent négativement (fig. 11.21,b). Le photocourant primaire qu'ils
conditionnent a pour valeur

Ton = efG, (11.46)

302 DIODES À SEMICONDUCTEURS (CH. 11

où B est un coefficient de réunion égal à la part relative des porteurs
hors d'équilibre qui atteignent la jonction p-n sans se recombiner.
Les trous arrivant vers la jonction p-n sont incapables de franchir la
barrière de potentiel œ, et restent donc dans la région p en la char-
geant positivement. Il en résulte la formation sur la jonction d'une
polarisation directe V,, qui réduit la barrière de potentiel à une va-
leur m — eV, et fait apparaître un courant direct. Si le circuit ex-
térieur est ouvert, la tension V,, croîtra tant que le courant direct

à travers la jonction p-n 1, OM Fe 1) n’égalise pas le photocou-
rant /hn- La différence de potentiel V,, qui prend naissance dans
ce cas est appelée force photo-électromotrice (fig. 11.21, b).

Ainsi, à l’état stationnaire, une jonction p-r ouverte est parcourue
par un courant direct de porteurs majoritaires 1, exp [eV,,/(kT)]
et, à sa rencontre, par un courant inverse —JZ, et un photocourant
—T ,1. Le courant total à travers la jonction p-n est nul:

1e "rl T I, =0,

11.47
Lpn= 14 (eV Pr ED 4), }

En partant de cette relation il est facile de déterminer la force pho-
to-électromotrice

I
Von = ( F ss 1). (11.48)

Lorsque la jonction p-n est branchée sur une résistance de charge
R,r, une partie des porteurs excités par la lumière et transportés
à travers la jonction p-r revient tandis qu'une autre partie cons-
titue un courant —/ passant par le circuit extérieur. Dans ce cas la
relation (11.47) doit être récrite sous la forme suivante:

4 RT
1e ral ZT I = —I,
eV

(11.49)

n'en -a)er

Cette relation permet de déterminer la force photo-électromotrice

Toh — 1
Von 1 (EE + 1). (11.50)

Si la jonction p-n est mise en court-circuit, pratiquement tous les
porteurs de charge produits par la lumière cheminent dans le circuit
extérieur de sorte que V,, Æ 0 et comme il résulte de (11.49), le
courant dans le circuit est égal à 7,4.

Lorsqu'une jonction p-n éclairée est attaquée par une tension de
polarisation extérieure Ÿ, elle est parcourue par un courant d’obscuri-

& 11.8] PHÉNOMENES PHOTO-ÊLECTRIQUES DANS UNE JONCTION p-n 303
—_—_—_——

té Z, lexp LeV/(kT)] — 1] comme une diode ordinaire soumise à une
polarisation et par le photocourant primaire —/,, dont la valeur
dépend de la puissance W, du flux lumineux. Le courant total à tra-
vers la jonction a pour valeur

II, (eV/RT)—14)— Ip. (41.51)

Les caractéristiques courant-tension d'une jonction p-n éclairée sont
montrées sur la figure 11.21, c. On les obtient en déplaçant les carac-
téristiques d’une diode non éclairée vers le bas de Z,, suivant l'axe
des courants.

La répartition de la tension V, de la source de polarisation entre
la résistance de charge R., et la diode peut être déterminée soit en
portant dans l'expression (11.51), au lieu de V, la quantité Vo, —

— IR,, et en résolvant numériquement l'équation ainsi obtenue par
rapport à /, soit graphiquement à l’aide de la droite de charge AB
(fig. 11.21, c).

Le phénomène de variation de l'intensité de courant dans le cir-
cuit extérieur ou de la tension entre les bornes de la résistance de.
charge R., lorsque la jonction p-n est éclairée avec un flux lumineux,.
est utilisé pour l'enregistrement et la mesure de la puissance de ce
flux. Les appareils utilisant ce principe jouent le rôle des photoré-
cepteurs.

Si une diode est soumise à une polarisation négative qui le reste.
aussi lorsque la diode est éclairée, on dit qu’elle fonctionne en ré-
gime de photodiode. Si un photorécepteur est utilisé sans polarisation
extérieure, on dit qu’il fonctionne en régime de photocellule. Certai-
nes jonctions p-r ne peuvent pas fonctionner pour une polarisation
inverse quelque peu importante de sorte qu'on ne les utilise que com-
me photocellules (cellules au sélénium, jonctions semiconductrices à
bande interdite étroite et autres).

Cellules photovoltaïques (ou cellules à couche d'arrêt, ou photo-
piles). La création d’une force photo-électromotrice dans une.
jonction p-n éclairée et le passage d’un courant électrique dans le
circuit extérieur permettent d'assurer à l’aide de cellules photo-élec-
triques une conversion directe de l’énergie lumineuse en énergie élec-
trique. Un tel principe est à la base de fonctionnement des piles so-
laires utilisées pour l'alimentation des équipements radio-électriques:
à bord des avions et des vaisseaux spatiaux, ainsi que dans des instal-
lations productrices d'énergie au sol. La puissance qu’on peut préle-
ver à une cellule photo-électrique a pour valeur

W — IV ne

Elle dépend de la résistance de charge R., et atteint sa valeur maxi-
male pour une certaine valeur de cette résistance. Le rapport de cette:
puissance à la puissance du rayonnement incident donne le rende-.

304 DIODES À SEMICONDUCTEURS [CH. 11

ment de conversion. La valeur de ce rendement dépend du degré de re-
couvrement de la région de sensibilité spectrale de la cellule photo-
électrique et du spectre de lumière solaire, de la résistance interne
de la cellule photo-électrique et de certains autres facteurs. La carac-
téristique lumière-courant d'une cellule photo-électrique expri-
mant la variation de l'intensité de courant dans le circuit en fonction
de la puissance du flux lumineux incident est dans le cas général
non linéaire.

Actuellement les matériaux semiconducteurs principaux que l'in-
dustrie utilise pour la fabrication de piles solaires sont le silicium et
l’arséniure de gallium. Les calculs montrent que le rendement limi-
te (théorique) des convertisseurs au silicium doit être de — 20 %
et en pratique on a réalisé un rendement de — 19 %. Pour un emploi
dans les installations à terre il est bien entendu nécessaire de réduire
fortement le coût des piles solaires. C’est pourquoi, ces derniers temps
de nombreux travaux sont consacrés à la réalisation de piles à semi-
conducteurs amorphes déposés par pulvérisation sur des bandes d’a-
<ier, des verres à vitres, etc.

En plus de l’utilisation des cellules photo-électriques comme con-
vertisseurs de l’énergie solaire en énergie électrique, on les utilise
aussi comme capteurs sensibles réagissant à la variation de l’intensi-
té du flux lumineux. A cette fin on utilise très largement des cellu-
les au germanium, à oxyde de cuivre, au sélénium, au sulfure d’ar-
gent, au sulfure de thallium et autres. Leur sensibilité intégrale est
d'environ 2 à 3 ordres de grandeur supérieure à celle des cellules
photo-émissives. Pour améliorer cette sensibilité les cellules sont
réalisées de telle sorte que le nombre de porteurs de charge créés
par l’éclairement et atteignant la jonction p-n soit aussi grand que
possible. A cet effet, la base w de la cellule (fig. 11.21, a) est rendue
aussi mince que possible et le matériau semiconducteur choisi doit
avoir une longueur de diffusion ZL des porteurs aussi grande que possi-
ble de façon à satisfaire à la relation w< L.

Les cellules photovoltaïques ont un inconvénient sérieux de pré-
senter une inertie relativement grande. Cela limite l'emploi de tel-
les cellules en qualité de capteurs de flux lumineux modulés à haute
fréquence.

Photodiodes. Lorsqu'un photorécepteur fonctionne en régime de
diode, on lui applique une polarisation inverse V. Dans ce cas, si la
diode est éclairée, sa courbe caractéristique inverse descend de 7,;
comme l'indique la figure 11.21, c et dans la résistance de charge
Ren il apparaît un signal AV = 7 ,Ren qui est enregistré. A la dif-
férence d’une cellule photo-électrique, la photodiode possède une
caractéristique courant-lumière linéaire et, en règle générale, présen-
te des propriétés fréquentielles plus élevées. La rapidité de fonctionne-
ment des photodiodes modernes atteint — 107? s.

$S 11.9] DIODES LUMINESCENTES 305

$ 11.9. Diodes luminescentes

Le passage d'un courant direct fait croître brusquement la eon-
centration des porteurs minoritaires près des frontières de la jonction
p-n qui devient nettement supérieure à la concentration d'équilibre.
Aux porteurs minoritaires injectés s'ajoutent des porteurs majoritai-
res dont la concentration près des frontières de la jonction devient-
elle aussi supérieure à la concentration d'équilibre. En diffusant vers
les régions profondes du semiconducteur, les porteurs hors d’équili-
bre se recombinent en pénétrant en moyenne à une distance égale à
la longueur de diffusion à partir de la couche de charge d'espace de
la jonction p-n. Si une partie considérable des actes de recombinaison
s'effectuent avec émission de la lumière, des conditions se réalisent
pour la sortie de la lumière vers l'extérieur et donc la diode à semi-
conducteur peut être utilisée comme source de rayonnement IJumi-
neux. Une telle diode est appelée diode luminescente ou diode émettrice
de lumière.

L'efficacité d'une diode luminescente se détermine avant tout
par son rendement quantique interne 1,1: qui est égal au rapport du
nombre de quanta émis lors de la recombinaison au nombre de porteurs
minoritaires injectés. Si la recombinaison était uniquement radia-
tive, on aurait n;,: — 1. Or, une recombinaison radiative s’accompa-
gne toujours d’une recombinaison non radiative. C'est pourquoi,
dans le cas général, n,,: << 1 et le rendement quantique se détermine
par la relation suivante:

P} 1
MR PE Pre TE PnolPr ee
où P, et P,, sont respectivement les probabilités de recombinai-
sons radiative et non radiative rapportées à l'unité de temps.

La relation (11.52) montre que pour obtenir une efficacité interne
maximale d’une diode luminescente, il faut augmenter autant que
possible le rapport de la probabilité de recombinaison radiative à celle
de recombinaison non radiative. La probabilité de recombinaison
non radiative peut être diminuée en purifiant le semiconducteur des
centres de recombinaison profonds. Cette opération est très difficile
à réaliser parce que la section efficace de capture des porteurs par
certains centres d’impureté, par exemple par le cuivre, est grande et
le degré exigé de purification de telles impuretés est très élevé. Aus-
si, la qualité des diodes luminescentes dépend-elle pour une large part
de la pureté des matériaux de départ et de la perfection technologique
de la fabrication des diodes.

Un autre problème sérieux que pose la réalisation des diodes lu-
minescentes est la sortie du rayonnement vers l'extérieur. Le fait

est que l'indice de réfraction étant élevé (n = 3,5), les semiconduc-
20—726

306 DIODES A SEMICONDUCTEURS [(CH. 1f

teurs ont un très petit angle de réflexion intérieure totale (6, ;.:):
O,.,.:= arcsin (1/n). (41.53)

C'est ainsi que dans le GaAs l’angle 6,.;: & 17°. C'est seulement.
= 2 % de rayonnement émis qui tombe sur la surface plane du se-
miconducteur sous des angles inférieures à O,:;: et peut sortir à
l'extérieur en ne subissant qu’une réflexion partielle sur la surface-
frontière entre le semiconducteur et l'air. Le reste du rayonnement.
est réfléchi en totalité sur la surface à l’intérieur du semiconducteur.
Si les coefficients d'absorption pour le rayonnement de recombinai-
son sont grands, la lumière réfléchie sur la surface sera absorbée dans:
le matériau de la diode. Si ces
DEL PhR coefficients sont petits, on peut.
« sauver » une partie du rayon-
nement non sorti à l'extérieur en
assurant sa réflexion sur les
surfaces intérieures de la diode
et en la dirigeant encore une fois
sur la surface extérieure sous des.
Fig. 11.22. Schéma d'une paire "Ales inférieures à Or...
optronique : En radiotechnique, une cellu-
DEL — diode émettrice de lumière: Je photoluminescente associée à
PDR/"'PROCOrECERTEUr: un photorécepteur (paire optroni-
que) peut servir de transformateur
assurant un « découplage » électrique des circuits (fig. 11.22). La
rapidité de fonctionnement des diodes luminescentes atteint
= 4079 s. Les photorécepteurs peuvent assurer des constantes de
temps de la photoréponse’ayant elles aussi ces petites valeurs de sor-
te qu’un tel transformateur présente des caractéristiques de frèquen-
ce exceptionnelles. En utilisant une réaction galvanique ou opti-
que et la non-linéarité des caractéristiques des photorécepteurs et
des diodes luminescentes, on peut réaliser à l’aide des optrons des
éléments logiques variés.

La puissance moyenne émise en continu par une diode luminescen-
te n’est pas élevée — de l’ordre de quelques milliwatts. Son augmen-
tation par l'élévation du courant direct est impossible à réaliser à cau-
se d’un échauffement anormal de la jonction p-n qui provoque une
brusque réduction du rendement quantique interne. Néanmoins les
puissances même de si petites valeurs permettent d'utiliser les diodes
luminescentes pour la réalisation des liaisons optiques directionnelles-
dans les limites de la visibilité directe. Comme les dimensions de la
région luminescente de la diode sont petites, le rayonnement peut.
être facilement réalisé sous forme de faisceau faiblement divergent.
C'est aussi l’utilisation des diodes luminescentes comme source de
rayonnement dans des lignes de télécommunications à fibre optique:
qui semble vouée à un avenir prometteur.

Sortie

Entrée SL

& 11.10) LASERS À SEMICONDUCTEURS 307

Les diodes luminescentes sont aussi employées comme indicateurs
lumineux de faible encombrement. Dans ce cas, un des paramètres
principaux de la diode luminescente est sa brillance telle qu'elle est
perçue par l'œil de l’homme. En utilisant pour la réalisation d’une
diode luminescente des semiconducteurs à différente largeur de la
bande interdite, on peut obtenir différentes couleurs de la luminescen-
ce de la diode.

$ 11.10. Lasers à semiconducteurs

Emission stimulée (induite). Dans les lasers qui sont des appareils
servant à la génération d'un rayonnement lumineux monochroma-
tique étroitement guidé on utilise le phénomène d'émission stimulée
de la lumière. Ce phénomène consiste en passage d'un électron du

Fig. 11.23. Schéma de l’émission stimulée (a) et d'absorption (b) de la lumière.

niveau énergétique supérieur Æ, (fig. 11.23, a) à un niveau inférieur
libre £, sous l’action d'une onde lumineuse de fréquence

v= (Er —E,)h. (11.54)

L'énergie £, —E, qui s'en trouve libérée est transférée à l’onde lu-
mineuse qui a provoquée la transition, en augmentant son amplitude.
Il se produit une amplification de la lumière.

L'émission stimulée est l'inverse du processus d'absorption de la
lumière quand un électron passe du niveau inférieur E, au niveau
supérieur libre £, en absorbant l'énergie de l’onde lumineuse (fig.
11.23, b).

Si, dans un milieu, les électrons occupent les états tant supérieurs
qu'inférieurs, l’amplification de la lumière l’emportera sur son ab-
sorption si la population des niveaux supérieurs est plus élevée que
celle des niveaux inférieurs (inversion de population). Dans le cas
contraire, il y aura absorption de la lumière. Dans les conditions
d'équilibre thermique, les populations des états d'énergie inférieurs
sont toujours plus élevées que celles des états d'énergie supérieurs de
sorte que la lumière est toujours absorbée par de tels systèmes. Pour
obtenir une inversion de population, il faut faire sortir le système de

20*

308 DIODES À SEMICONDUCTEURS (CH. 11

l'équilibre thermique. Le milieu dans lequel on a réalisé l’inversion
de population des niveaux est dit actif.

Dans les lasers, l’onde lumineuse effectue de multiples parcours à
travers le milieu actif en se réfléchissant sur les miroirs (fig. 11.24).
Si l’énergie perdue par l’onde lumineuse par suite de sa réflexion sur
un miroir est inférieure à l'énergie qu'elle acquiert en passant par le
milieu actif, l'intensité de l’onde augmentera en permanence. Ïl
se produit une augmentation en avalanche de l'intensité de l’onde lu-
mineuse : on dit que le laser entre en oscillation. Vu qu'à chaque ré-
flexion une partie de la lumière passe à travers le miroir, l'intensité
de la lumière sortant du laser à l'extérieur augmente en même temps

Miroir Miroir
Milieu actif

Axe optique

Fig. 11.24. Schéma d’un parcours multiple de la lumière dans le milieu actif
d'un laser.

que l'intensité de l'onde lumineuse dans le milieu actif. Pourtant,
l'augmentation de l’amplitude de l'onde lumineuse provoque une
augmentation de la cadence des transitions stimulées des électrons
du niveau supérieur au niveau inférieur et donc conduit à une dimi-
nution de l’inversion de population et à une diminution de l'amplifica-
tion de la lumière par un parcours du milieu actif de sorte que finale-
ment il s'établit une amplitude stationnaire de l'onde lumineuse pour
laquelle l’amplification de la lumière pendant un seul parcours du
milieu actif est égale aux pertes.

Lasers à semiconducteurs. Les lasers à semiconducteurs utilisant
le phénomène d'émission stimulée qui provient de la recombinaison
radiative des électrons et des trous ont une grande importance pour
la résolution de nombreux problèmes qui se posent devant la radio-
électronique et la technique de calcul électronique. Les plus employés
en pratique sont des lasers à injection à l’arséniure de gallium dans
lesquels l'inversion de population est obtenue par injection de por-
teurs minoritaires à travers une jonction p-n dans des régions dégéné-
rées du semiconducteur. On utilise aussi l’arséniure d'indium, le
phosphure d’indium, l’antimoniure d'indium ainsi que certaines so-
lutions solides, par exemple InGaAsP, AlGaAsP, etc.

La figure 41.25, a montre une jonction p-n en équilibre entre deux
régions dégénérées d’un semiconducteur. Le niveau de Fermi dans la
région p (u) est situé plus bas que le sommet de la bande de valence
E,.. Une telle position du niveau de Fermi témoigne que les états au

& 11.10] LASERS À SEMICONDUCTEURS

309

voisinage du sommet de la bande de valence de la région p sont, avec
une probabilité voisine de 1, libres (occupés par des trous). Si l'on
applique à une telle jonction p-n une polarisation directe V qui ré-
duit brusquement la barrière de potentiel, il apparaîtra dans cette
jonction une région À à inversion
de population des bandes : au-des-
sus des niveaux pratiquement
libres de la bande de valence se
situent les niveaux occupés de
la bande de conduction (fig.
11.25, b). Dans ces conditions,
les quanta, nés de façon spon-
tanée par suite de la recombi-
naison des paires électron-trou,
provoquent une émission stimu-
LP lée d’un rayonnement.

raileles
: Fes Pere)
LS z

(a 71
£, €
DD:

) Emission

Fig. 11.25. Diagramme énergetique
d’une diode laser à l’état d'équilibre
(a) et en fonctionnement (b) (u, et

Fig. 11.26. Schéma de constitution
d'un laser à injection à semiconduc-
teur.

Up — quasi-niveaux de Fermi pour
les électrons et les trous).

C'est sur ce principe qu'est fondé le fonctionnement des lasers à
semiconducteurs dont le schéma de constitution est représenté sur
la figure 11.26. Un cristal comportant une jonction p-n a la forme
d’un parallélépipède ou d'une pyramide irrégulière : deux faces oppo-
sées sont rendues rigoureusement parallèles l’une à l’autre et per-
pendiculaires au plan de la jonction p-n; elles jouent le rôle d'un ré-
sonateur optique obligeant l'émission stimulée qui a pris naissance
dans le plan de la jonction de le traverser beaucoup de fois. Les
deux autres faces peuvent être orientées sous un angle par rapport à
la base et restent grossièrement usinées de sorte qu'elles ne peuvent
pas jouer le rôle d’un résonateur optique. Le rayonnement cohérent
sort par une des faces du résonateur optique.

Le coefficient de réflexion de la lumière sur les faces du cristal
est de 0,3 à 0,35. En outre, l’onde lumineuse qui se propage le long

‘310 DIODES À SEMICONDUCTEURS (CH. 11

de la jonction p-n passe non seulement par la région active mais éga-
lement par des régions passives de la diode. C’est pourquoi, pour ren-
dre possible l'oscillation du laser, il est nécessaire de réaliser une
inversion de population des bandes telle que l’amplification de la
lumière dans le milieu actif dépasse toutes les pertes liées au passage
à travers la diode et à la faible réflexion sur les faces-miroirs.

Le courant Z,.,;11 pour lequel cette condition est satisfaite et le
laser entre en oscillation est appelé courant de seuil. Tant que le cou-
rant n’a pas atteint sa valeur de seuil, le laser fonctionne comme une
diode luminescente ordinaire et effectue une émission spontanée
dont la densité est la mème dans toutes les directions (dans un angle

solide de 4x stéradians). Les

rayons qui ne sont pas tombés

sur les faces réflectrices du cristal

y sont totalement absorbés. En

2 outre, les rayons tombant sur

ces faces sous un angle 6 >> 17°

subissent une réflexion interne

7 totale et finalement sont eux
/ : a ..

aussi absorbés dans le cristal.

0 lseuit 7 Pour toutes ces raisons il ne sort

de Ja diode luminescente que

Wom

Fig. 11.27. Variation de la puissance

émise par une diode laser en fonction
du courant:

spontanée ;
stimulée.

1 — émission 2 — émission

près de 2 % de tout le ravonne-
ment qui y est produit par suite
d'une recombinaison radiative.

Après le passage au régime

d'oscillation, tout le rayonnement
est concentré pratiquement dans le plan de la jonction p-n en se pro-
pageant perpendiculairement aux faces réflectrices. En outre, pour
T1 Lseuit la probabilité de transitions optiques stimulées augmente,
ce qui fait croître le rapport des probabilités de la recombinaison ra-
diative et de la recombinaison non radiative. Tout cela conduit à une
croissance brusque de la puissance émise WA et à une cassure de la
courbe de variation de We:m en fonction du courant 7 pour 1 —
— L'euit (fig. 11.27).

Un inconvénient sérieux des lasers à semiconducteurs est que
Jeurs paramètres dépendent fortement de la température. Lorsque la
température augmente par suite de l’échauffement de la diode parcou-
rue par un courant direct important, la largeur de la bande interdite
varie, ce qui conduit à une modification de la composition spectrale
du rayonnement et au déplacement de son maximum vers des lon-
gueurs d'onde plus grandes. Mais ce qui compte principalement c'est
la croissance du courant de seuil Z,.,1, avec la température parce
qu'à un courant d'injection inchangé et donc à une concentration in-
variable des porteurs injectés près de la jonction p-r leur répartition
en fonction de l'énergie devient plus floue — il se produit une aug-

$ 1110] . LASERS À SEMICONDUCTEURS 311

mentation de l'intervalle d’énergie (de l’ordre de ÆT) dans les limi-
tes duquel les porteurs de charges libres sont répartis dans les bandes
d'énergie. Comme le coefficient d’amplification de la lumière dépend
du degré de remplissage par les électrons et par les trous des états dans
la bande de conduction et la bande de valence respectivement, les
coefficients d'amplifications diminuent. lorsque la température aug-
mente pour un même niveau d'injection. Cela signifie que pour obte-
nir une valeur de seuil du coefficient d'amplification aux températu-
res élevées, il est nécessaire d'assurer un courant de seuil Zu
bien intense. Aussi le problème de l'évacuation de la chaleur dégagée
dans la jonction p-n a-t-il pour les lasers à semiconducteur une im-
portance primordiale.

Applications de l'émission cohérente. Un haut degré de mono-
<hromatisme et une faible divergence de l’émission lumineuse cohé-
rente déterminent les domaines de son emploi pratique. L'émission
de haute cohérence temporelle peut être utilisée pour la transmission
de l'information à des fréquences optiques, pour la résolution des
problèmes liés à l’interférence optique (mesure des distances, des vi-
tesses linéaire et angulaire, des déformations de surfaces, etc.) et corn-
me standard de fréquence. Une haute directivité de l'émission spa-
tialement cohérente détermine toute une série d'avantages sur une
émission non cohérente: une petitesse de pertes d'énergie, liées à la
divergence du faisceau, une haute résolution angulaire permettant
de diriger le rayon exactement sur un petit objet et de réduire consi-
térablement les: parasites, la possibilité de filtrage spatial des si-
gnaux. Cela signifie que l’émission lumineuse hautement directionnel-
le peut être utilisée de façon efficace pour la transmission de l'infor-
mation à de grandes distances, pour la détection optique des objets
éloignés (surtout pour distinguer un objet parmi d'autres cibles),
pour la mesure des angles et des distances suivant un principe sur le-
quel est fondé le fonctionnement des géodimètres utilisés dans les
systèmes de guidage par faisceau, pour la transmission de l'énergie
lumineuse à de grandes distances, pour la concentration de l'énergie
dans un faisceau lumineux (coupe optique, soudage optique), etc.

Les lasers à semiconducteurs à couplage optique peuvent être
utilisés pour la réalisation des éléments logiques optiques à haute ra-
pidité de fonctionnement. Actuellement on a réalisé pratiquement
des éléments logiques à lasers à semiconducteurs dont la rapidité de
fonctionnement est de 10-45. Sur la base de ces éléments on peut fa-
briquer des dispositifs pour les calculateurs électroniques possédant
une très haute rapidité de fonctionnement, un découplage maximal
entre l’entrée et la sortie ainsi qu'une haute immunité contre les
brouillages.

CHAPITRE 12

PRINCIPES PHYSIQUES DE FONCTIONNEMENT
DES TRANSISTORS

L'élément principal et le plus important de l'électronique des semiconducteurs
est le transistor qui est un appareil à état solide destiné à l’amplification de signaux
électriques, à la conversion de l'énergie d’une source d'alimentation en énergie
des oscillations électromagnétiques (production d’oscillations), à une commuta-
tion rapide et à la réalisation de nombreuses autres fonctions importantes. De
nos jours, les transistors constituent les composants les plus importants des calcu-
latrices à grande vitesse, pratiquement de tous les matériels de télécommunication
et des appareils électroniques domestiques. Des transistors bipolaires ont été
inventés en 1947. En 1948 on a réalisé un transistor à pointes. En 1949 Bardeen
a publié un ouvrage consacré aux transistors à jonctions. En 1952 on a proposé
un AA rep effet de champ à jonction p-r et puis un transistor à effet de champ
a grille isolée.

Dans ce chapitre vont être étudiés les principes physiques de fonctionnement de
divers types de transistors bipolaires et à effet de champ.

$ 12.1. Principe de fonctionnement d’un transistor
bipolaire |

Un transistor bipolaire est constitué par deux jonctions p-n
écartées d’une petite distance. Un tel transistor peut être, par sa
structure, soit du type p-n-p, soit du type n-p-n. Considérons
par exemple un transistor du type n-p-n (fig. 12.1, a). Son diagramme
énergétique pour le cas où il est à l’état d'équilibre, c’est-à-dire
non soumis à aucune tension extérieure, est représenté sur la figure
12.1, b. La région centrale du transistor est appelée base (B) et les
deux régions latérales sont appelées émetteur (E) et collecteur (C).

Examinons le régime de fonctionnement d'un transistor dans un
montage dit à base commune (fig. 12.2, a). La jonction émettrice est
polarisée en sens direct et la jonction collectrice en sens inverse. Les
électrons de la région émettrice sont injectés à travers la barrière de
potentiel abaissée de la jonction émettrice (flèches 7” des figures
12.2, a et b) dans la région de base du transistor. Pour compenser la
charge des électrons injectés, un nombre nécessaire de trous arrive
vers ces électrons par le contact ohmique de base. De même que dans
une diode ordinaire (v. $ 11.2), la polarisation extérieure V,; chute
pratiquement en totalité dans la région de charge d'espace de la jonc-
tion émetteur-base et la tension V.: le fait dans la jonction base-col-
lecteur et dans la résistance extérieure À,,. Ainsi, le champ électri-

& 12.1] PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT D'UN TRANSISTOR BIPOLAIRE 313

que dans la base n’existe pas et les électrons, injectés dans la base à
travers la jonction émettrice, diffusent vers la jonction collectrice.
Leur concentration près de la jonction émettrice est exp leV:/(kT)]
fois plus grande que la concentration d’équilibre tandis que près de
la frontière da la jonction p-n collectrice, polarisée en sens inverse,
elle est pratiquement nulle. Si l’épaisseur w de la région de base est
très inférieure à la longueur
de diffusion des électrons dans
la base, les électrons attei-
gnent la jonction collectrice
pratiquement sans se recom-
biner dans la base.

\ ;
\Jonction p-n
cotlectrice

Jonction p-n
émettrice

DE.

ë b) b)
Fig. 12.1. Structure d'un transistor Fig. 12.2. Fonctionnement d'un tran-
n-p-n (a) et son diagramme énergéti- sistor monté en base commune (a) et
que (b). son diagramme énergétique en état de
régime (b)

Quand les électrons pénètrent, par suite de l'agitation thermi-
que désordonnée, dans la région de charge d'espace de la jonction
collectrice, ils sont entraïnés par le champ de cette jonction qui les
fait passer dans la région collectrice du transistor (flèches Z de la fi-
gure 12.2). Ainsi, le courant électronique de la jonction émettrice
The du transistor passe non par la sortie de base mais à travers le col-
lecteur et ensuite par la résistance de charge R,,. Quant au courant
passant par la sortie de base, il est beaucoup moins intense que le
courant d’émetteur, parce que le courant de base ne sert qu’à compen-
ser la perte de trous qui se recombinent avec une petite partie des
électrons diffusant à travers la base. L'utilisation d’un transistor

414 PRINCIPES PHYSIQUES DE FONCTIONNEMENT DES TRANSISTORS [CH. 12

dans le montage à base commune permet d'obtenir une amplifica-
tion de la tension dans le circuit de sortie du transistor (dans la ré-
sistance de charge R.,) par rapport à la tension V,,: agissant dans
son circuit d'entrée. En effet, une tension variable de faible valeur
V.,1 appliquée au circuit de la jonction émettrice polarisée en sens
direct fait varier considérablement son courant (le courant de la
jonction p-n polarisée en sens direct varie de e fois lorsque la polari-
sation varie de 47/e = 25 mV). En parcourant la résistance de char-
ge R.,, ce courant y développe, si la valeur ohmique de la résistan-
ce est suffisamment forte, une tension beaucoup plus grande que
V ent. Par voie de conséquence, la puissance de courant alternatif dé-
gagée dans la charge augmente elle aussi par rapport à la puissance
consommée à l'entrée du transistor. Dans ces conditions, pour que
la jonction collectrice reste polarisée en sens inverse malgré le pas-
sage du courant dans la résistance de charge, il faut que la tension
Ÿ. de la source de polarisation soit suffisamment forte.

$ 12.2. Paramètres et caractéristiques de sortie
d’un transistor

Paramètres d’un transistor. La caractéristique la plus importante
d’un transistor est son gain en courant «& défini par le rapport de la
variation du courant de collecteur à la variation du courant d'émet-
teur qui l’a provoquée, à tension constante appliquée à la jonction
p-n collectrice (c'est-à-dire à R,, = 0 sur la figure 12.2, a):

a = (O1.181é)v.. (12.1)

Le coefficient & est appelé paramètre externe d'un transistor.
Il se détermine par trois paramètres internes: l'efficacité de l'émetteur
+, le coefficient de transfert B, l'efficacité du collecteur a*.

Le courant d’émetteur vaut la somme d’une composante électro-
nique (/::) et d’une composante de trous (7,4). Dans un transistor
du type n#-p-n l'effet amplificateur n’est obtenu que grâce à la com-
posante électronique du courant d'émetteur. L'efficacité y de l’émet-
teur est égale au rapport de la variation de la composante électroni-
que du courant d’émetteur à la variation du courant total d’émetteur
Zs:

y = (07 nélOTe)v. (12.2)

Suivant (11.27) et (11.28) on a

Tpé = See 22 L, {exp [eVe/(kT)] — 1}

= See L, exp {eVa/(&T)], (12.3)

où Ss ést la surface de la jonction émettrice.

-$ 12:2] PARAMÊTRES ET CARACTERISTIQUES DE SORTIE 315

En faisant usage de la relation L = Y D, on peut mettre l’expres-
:sion (12.3) aussi sous la forme suivante:

1, = SeD, 7e Te exp LeVa/(AT)]. (12.4)

La composante électronique du courant d'émetteur se détermine
par une formule autre que (12.3). Le fait est .que si les trous injectés
.-de la base dans l'émetteur se répartissent à partir de la jonction à
une profondeur L;, les électrons injectés de l’émetteur dans la base
ne s’y propagent qu’à une distance w << L, (où w est l'épaisseur de
Ja région de base). Vu que les électrons se déplacent dans la base seu-
lement par diffusion, la valeur de la composante électronique du

courant d’émetteur se détermine par le gradient de concentration des
électrons

The = Se ’ (12.5)

où l’axe des x est dirigé de l'émetteur vers le collecteur.

Proposons-nous de calculer le gradient de concentration des élec-
trons dans la base. Près de la jonction émettrice leur concentration
a pour valeur

eŸ;
n (0) = 7,0 Xp 7 , (12.6)

et près de la jonction collectrice nr (w) = 0. Par conséquent, il vient

_ n(0)—n(w) _ "po eV
A PR ce ou ET : (12.7)

En portant (12.7) dans (12.5), on obtient

n eV
1,:=S:D, —— exp TR. (12.8)
En tenant compte que Je = Îne + The et en combinant (12.2),

(12.4) et (12.8). on obtient pour l'efficacité de l’émetteur l'expression
:- suivante :

_Pno Dr w \-1

v=(1 EST npo Dr Lp | ° ere)
: Si l’on exprime les coefficients de diffusion en fonction des mobili-
tés à l’aide de la relation d’Einstein (8.42) et les concentrations des
porteurs minoritaires en fonction des concentrations des porteurs
majoritaires au moyen de la loi de l’action de masse (5.36), on peut
-récrire l’expression (12.9) sous une forme plus commode pour les ap-

316 PRINCIPES PHYSIQUES DE FONCTIONNEMENT DES TRANSISTORS [CH 12

plications pratiques :

— Op w \-1 Cp vw

y= (1 Er 7) DA ur F7 (12.10)
Pour rendre l'efficacité de l’émetteur plus proche de l'unité il
faut, comme le montre l’expression (12.10), doper l'émetteur beaucoup:
plus fortement que la base (0, © o,) et rendre la base suffisamment
mince (w< L,). Cette dernière exigence est aussi nécessaire pour aug-
menter le coefficient de transfert $ égal à la partie des électrons qui

sont injectés de l’émetteur et ont atteint la jonction collectrice:

B = (07 hc/01 ne)v. (12.11)

Ce coefficient est inférieur à l’unité parce que certains des électrons
cheminant vers le collecteur se recombinent. Plus étroite est la base
par rapport à la longueur de diffusion des électrons, plus voisin de
l'unité est le coefficient B. Les calculs montrent que pour une base.
étroite (w< L,)

Bæet—+ (7). (12.12).

L'efficacité du collecteur définie par
a — (OT OT ne) ; (12.13)

peut dépasser l'unité si dans la jonction p-n collectrice il se produit .
une ionisation par choc. Quant au régime habituel, quand V,<«
€ Vu, la valeur de «& est pratiquement égale à l’unite.

Des expressions (12.1), (12.2), (12.11) et (12.13) il résulte que:

a = VPa*. (12.14)

En y portant les valeurs de y et B données par (12.10) et (12.12), en
posant «* — 1 et en rejetant les termes du deuxième ordre de petites-
se, on obtient |

_ Op w 1 w \2

Comme le montre la relation (12.15), dans le montage à base com-
mune le courant n’est pas amplifié (&œ << 1).

Les caractéristiques de sortie d’un transistor (fig. 12.3) traduisent
la variation du courant de collecteur en fonction de la tension collec-
teur-base. Pour leur construction on considère d’habitude que la
polarisation inverse et le courant inverse de la jonction collectrice -
sont positifs. Ces caractéristiques présentent une certaine pente posi-
tive due à ce que le gain &« augmente avec V.. Le fait est que l’aug-
mentation de la polarisation inverse provoque un élargissement de la.

12.2] PARAMÈÊTRES ET CARACTERISTIQUES DE SORTIE 317

région de charge d'espace de la jonction p-n collectrice et un rétré-
cissement de la base w du transistor. C’est ce qui conduit, suivant
(12.15), à une croissance de «&.

Le coefficient « dépend aussi du courant d'émetteur. Cette dépen-
dance est représentée schématiquement sur la figure 12.4. De faibles
<ourants d’émetteur correspondent à de petites tensions sur la jonc-
tion p-n émettrice quand une partie du courant direct est due non
pas à l’injection des porteurs à travers la jonction mais à leur recom-
binaison dans la couche de charge d’espace de la jonction p-n. Vu

Le
lea
Le3
| u à le2
V'S œ
SÈ
SD A)
ec
on L=0

0 FA

Fig. 12.3. Caractéristiques de sortie Fig. 12.4. Variation du gain en cou-
d'un transistor monté en base com- rant & d'un transistor en fonction du
mune. courant d'émetteur.

que l'effet transistor n'est assuré que par des porteurs injectés dans
la base, la recombinaison des porteurs dans la jonction p-7 conduit
à une réduction de l'efficacité y de l'émetteur et du gain en courant
©.

Vers les porteurs minoritaires injectés arrivent, par le circuit de
base, des porteurs majoritaires pour compenser la charge d'espace in-
jectée. Dans le cas des courants d’émetteur intenses, le nombre de
porteurs minoritaires (d'électrons dans un transistor n-p-n) injectés
dans la base est si grand que la concentration des porteurs majoritai-
res près de l'émetteur aug ente notablement. Il en résulte une crois-
sance du courant d'injection des porteurs majoritaires de la base
dans l'émetteur, c'est-à-dire une diminution de l’efficacite y de
l'émetteur.

Lorsque le circuit de collecteur comporte une résistance de char-
ge R.», la tension agissant sur la jonction collectrice varie avec le
courant de collecteur. Ces variations peuvent être déterminées à
l’aide de la droite de charge (ligne en traits interrompus de la figure
12.3). Si le nombre de porteurs injectés dans la base est si grand que

318 FRINCIPES PHYSIQUES DE FONCTIONNEMENT DES TRANSISTORS (CH. 12

la chute de tension Z_.R,, développée dans la charge dépasse la ten—
sion de la source de polarisation V,,,:, la jonction p-n collectrice se-
ra polarisée en sens direct. On dit dans ce cas que le transistor fonc-
tionne dans la région de saturation. Bien qu'en ce régime, dans.
la jonction p-n collectrice il existe toujours un champ et donc les por-
teurs minoritaires injectés de l'émetteur dans la base sont poussés-
par ce champ vers le collecteur, un flux opposé de porteurs chemine-
maintenant à travers la barrière de faible hauteur de la jonction p-n.

Je
153
ls
Zss
150
0 C

Fig. 12.5. Schéma de branchement (a) et caractéristiques de sortie (b) d'un tran-
sistor monté en émetteur commun.

Comme il est visible sur la figure 12.3, l'augmentation du courant
d’émetteur laisse pratiquement inchangée la tension de collecteur.

Montage à émetteur commun. Bien souvent le transistor est monté
comme l'indique la figure 12.5, a. Dans ce montage, il fonctionne en
amplificateur de courant. Le courant d'entrée est ici le courant de
base 7, et non pas celui d’émetteur. Les variations des courants de
base, d’émetteur et de collecteur sont liées entre elles par la relation

dl, = di, — dis. (12.16)

D'un autre côté,
dZ, = ad. (12.17)

En combinant (12.16) avec (12.17), on obtient

de=-— d/,= Body, (12.18)

où B, désigne le gain en courant dans le montage à émetteur commun.
Comme dans le transistor &« & 1, ce gain B, S 1. Par exemple, dans
un transistor de bonne qualité & — 0,995. Alors, suivant (12.18)
B, = 200.

6 12.3] PROCESSUS TRANSITOIRES DANS LES TRANSISTORS 31%

Expliquons la nature physique de l’amplification du courant
dans le montage à émetteur commun. Supposons qu’une certaine
quantité AW d'électrons est injectée dans la base à travers une jonc-
tion émettrice polarisée en sens direct. Pour compenser leur charge,
une quantité AP — AN de trous est arrivée dans la base. Comme les
électrons injectés par l’émetteur participent à l’agitation thermique
désordonnée, ils atteignent Ja
jonction p-n collectrice et sont Re Diagramme
attirés par son champ. Leur pla- £—— Ge LS
ce est occupée par de nouveaux
électrons en provenant de l’émet-
teur et ainsi de suite. Ce pro-
cessus continue tant que les trous
AP introduits dans la base ne se
recombinent pas avec les élec-
trons qui diffusent à travers la —-—/#
base depuis l'émetteur. Chaque
trou passant par le contact de
base fait traverser les jonctions Fig. 12.6. Diagramme énergétique
émettrice et collectrice à un d'un transistor n-p-n à base « percée ».
nombre d'électrons autant de
fois plus grand que la durée de vie des électrons dans la base est.
plus grande que la durée de leur dérive à travers la base.

Les caractéristiques de sortie d’un transistor monté en émetteur
commun sont représentées sur la figure 12.5, b. Leur pente est net-
tement plus grande que dans le montage à base commune parce:
qu’une petite augmentation de «&, lorsque V,. augmente par suite du
rétrécissement de la base, a pour effet, suivant (12.18), une croissan-
ce beaucoup plus grande de B,.

Un claquage de la jonction p-7 collectrice peut se produire de la
méme façon que dans une diode ordinaire. En outre, une croissance:
brutale du courant de collecteur peut être provoquée par le « perce-
ment de la base » du transistor quand les couches de la charge d’espa-
ce des jonctions p-n collectrice et émettrice se rejoignent. Dans ce
cas, si la tension de collecteur s'accroît encore, la barrière de poten-
tiel de la jonction émettrice s'abaisse comme l’indique la figure 12.6
et donc le courant venant de l'émetteur dans le collecteur s’accroit.

$ 12.3. Processus transitoires dans les transistors.
Transistors à dérive

Examinonsles processus transitoires dans les transistors sur l'exem-
ple d’un transistor n-p-n monté en base commune (fig. 12.7, a).
Faisons passer par la jonction émettrice une impulsion de courant de
forme rectangulaire (fig. 12.7, b). L’impulsion du courant de collec-
teur n'’atteint sa valeur stationnaire, déterminée par les caractéris-

320 PRINCIPES PHYSIQUES DE FONCTIONNEMENT DES TRANSISTORS [CH. 12

tiques de sortie du transistor, qu’au bout d’un certain temps qui est
celui du processus transitoire (fig. 12.7, c). De mème, après la fin
de l’impulsion du courant d'émetteur le courant de collecteur ne
diminue pas instantanément mais progressivement. La durée des
processus transitoires se détermine par le temps de recharge des capa-
cités de barrière des jonctions p-n émettrice et collectrice ainsi que
par le temps de diffusion des porteurs injectés à travers la base.

L'augmentation du courant d’émetteur doit s'accompagner de
l'augmentation de la polarisation directe de la jonction p-r émettri-
ce et donc de la diminution de la largeur de la région de sa charge

Durée des
processus
transitoires

Fig. 12.7. Représentation schématique des processus transitoires dans un transis-
tor (a); impulsion du courant d’émetteur AJ, (b); impulsion du courant de
collecteur AZ, (c).

d'espace. Comme il a été montré au $ 11.2, le rétrécissement de la
région de charge d'espace de la jonction p-n se produit par suite du
déplacement vers cette jonction des électrons de la région nr et des
trous de la région p (flèches Z et Z’ de la figure 12.7, a). Ainsi, au dé-
but de l’impulsion, le courant d’émetteur est dépensé non pour l’in-
jection des électrons à travers la jonction p-n, ce qui doit provoquer
l'apparition d’un courant de collecteur, mais pour la compensation
de la charge d'espace des impuretés près des frontières de la jonction,
c'est-à-dire pour la charge de la capacité de barrière de la jonction
p-n émettrice. Le temps de charge de cette capacité est égal à
RsérieCh.es Où Ce est la capacité de barrière de la jonction p-n
émettrice et R;:1i. la résistance des régions d’émetteur et de base du
transistor, de leurs contacts et la résistance extérieure du circuit
d'émetteur. La résistance série propre d’un transistor est souvent dé-
terminée par la résistance de sa région de base parce que pour arri-
ver vers la jonction p-r émettrice pour charger sa capacité de barriè-

$ 12.3] PROCESSUS TRANSITOIRES DANS LES TRANSISTORS 321

re les porteurs de courant venant du contact de base ont à traverser
une région de base étroite (courant Z., de la figure 12.7, a).

Au fur et à mesure que la hauteur de la barrière de potentiel de la
jonction p-n émettrice diminue, les électrons de la région émettrice
commencent à être injectés dans la base et diffuser vers lecollecteur
(flèche 3). Comme le processus de diffusion est conditionné par une
agitation thermique désordonnée des porteurs, certains parmi eux
arrivent à atteindre le collecteur très vite tandis que d’autres met-
tent plus de temps pour cela. C’est pourquoi, si le courant d’émet-
teur était devenu d'emblée un courant d'injection. le courant de collec-
teur croîtrait progressivement pendant un temps égal au temps carac-
téristique de diffusion de la masse moyenne des porteurs à travers
la région de base. Evaluons le temps de diffusion en partant de ce que
pendant la durée de vie + les porteurs minoritaires diffusent en moyen-
ne à une distance égale à la longueur de diffusion ZL qui est liée à
T par la relation

L = V Dr.

Il en résulte que les électrons diffusent à une profondeur w durant le
temps

tai = Ww/Dx. (12.19)

Comme w< L,. on a tas & T.

Lorsque les électrons atteignent la jonction collectrice, ils subis-
sent l’action de son champ qui les pousse dans la région collectrice.
Cela ne signifie pourtant pas que le circuit de collecteur sera tout de
suite parcouru par un courant correspondant AZ... Le fait est que
l’augmentation du courant de collecteur de AZ. doit provoquer une
augmentation de R,.,A1. de la chute de tension aux bornes de la char-
ge. De cette même quantité doit diminuer la polarisation inverse de
la jonction p-n collectrice, c’est-à-dire que la couche de sa charge
d'espace doit se rétrécir. Ce rétrécissement se produit du fait que les
électrons transférés à travers la jonction collectrice ne s’en vont pas
dans le circuit extérieur mais restent près de la jonction p-n en rédui-
sant sa charge d’espace du côté de la région n de collecteur (flèche 2
de la figure 12.7, a). Du côté de la base, la charge d'espace diminue à
cause des trous arrivant à travers le contact de base depuis le circuit
d’émetteur (flèche 2” de la figure 12.7, a). La variation de la charge
sur la jonction collectrice doit finalement prendre la valeur suivante:

AQ ju Cy.cAVen — Cy.cRenATe. (12.20)

Comme cette variation est due au courant AJ,, elle se produira pen-
dant le temps

charge Su AQ/AT = Ch.cReh- (12.21)

Ici, C:.. est la capacité de barrière de la jonction p-n collectrice.
21—726

322 PRINCIPES PHYSIQUES DE FONCTIONNEMENT DES TRANSISTORS (CH. 12

Après la fin de l’impulsion du courant d’émetteur le courant dans
le circuit de collecteur est entretenu grâce à la décharge, à travers ce
circuit, des capacités de barrière des jonctions émettrice et collectri-
ce ainsi que grâce à l’arrivée vers le collecteur des porteurs injectés.

pendant la durée d'action de

Nimes l'impulsion.
La durée des processus transi-
toires se détermine par le plus
2

grand des temps considérés. Sou-
vent, c’est le temps de diffusion
| Ne des porteurs à travers la base
| Re ; (12.19). Pour réduire ce temps,
Ne ‘at il faut que la base soit aussi

x mince que possible. En plus de

| QG) l'épaisseur w de la base la rela-
tion (12.19) fait intervenir encore
le coefficient de diffusion des
porteurs de courant minoritaires.
dans la base — des électrons dans
un transistor n-p-n et des trous
o dans un transistor p-n-p. Le co-
efficient de diffusion des électrons.
étant plus grand que celui des.
trous (de deux fois pour le ger-
manium et le silicium et de 20
fois pour le GaAs), les transistors.
n-p-n ont, toutes choses étant
égales par ailleurs, des temps de:
commutation plus petits que les.

(0)
NT

Jctèons p-n
c)

Fig. 12.8. Structure d'un transistor
drift :
a — répartition de l’impureté dopante
(x — distance à la surface; Na; — concen-
tration initiale des donneurs ; Nde» Na —con-
centrations respectives des donneurs ct des
accepteurs ayant diffusé depuis la surface);
b — répartition de l’impureté non compen-
sée ; c — répartition de la charge et champ
« incorporé » (le sens du champ est indiqué
par des flèches).

dopante

inégalement répartie dans

transistors p-n-p.

Les temps de commutation
sont aussi réduits de façon subs-
tantielle dans des transistors dits
à dérive ou drift dont la base
possède un « champ incorporé »
qui accélère le déplacement des.
porteurs minoritaires de l’émet-
teur vers le collecteur. De même
que dans des diodes impulsion-
nelles (v. $ 11.4), un tel champ
est engendré par une impureté:-
la base du transistor. Les

régions d’émetteur et de base d’un transistor à dérive sont créées
par la diffusion des impuretés donatrice et acceptrice dans une pla-
quette de type » (transistor n-p-n), comme l'indique la figure 12.8, a.
La figure 12.8, b représente la répartition de l’impureté non compen-

& 12.3] PROCESSUS TRANSITOIRES DANS LES TRANSISTORS 323
D

sée dans la structure d’un transistor à dérive. La diffusion des trous
dans la base depuis des régions à concentration augmentée en accep-
teurs non compensés produit des charges d'espace représentées sur la
figure 12.8, c. I1 est facile de voir que de telles charges engendrent
un champ « incorporé » dans la base qui freine les électrons injectés
de l'émetteur dans une petite région adjacente à l'émetteur, mais ac-
célère leur mouvement vers le collecteur dans la partie principale de
la région de base.

Comme caractéristique quantitative des propriétés fréquentielles
d’un transistor, on prend une fréquence limite d'amplification en

(S 7/5
Cait.e

Che Che

Fig. 12.9. Schéma équivalent d'un transistor.

courant v,, qu’on appelle fréquence de coupure alpha, pour laquelle
le carré du module du gain en courant est deux fois plus faible que
le carré du gain en courant | æ,|® en basse fréquence:
| &æ |*/ | col? — 0,5. Les calculs montrent que

Vi — V 3/Cntais), (12.22)

où tai, est donné par l'expression (12.19).

La technologie planar de diffusion utilisée par la fabrication des
transistors dans laquelle les processus de diffusion sont effectués
d’un seul côté de la plaquette, permet de réaliser des structures avec
de très petites épaisseurs, connues avec précision, de la région de ba-
se. C’est pourquoi, dans les transistors drifts pour hautes fréquences
modernes le temps de transit des porteurs dans la base est si petit que
ce sont les temps de recharge des capacités de barrière des jonctions
p-n émettrice et collectrice qui déterminent la durée des processus
transitoires.

Le schéma équivalent le plus simple d’un transistor est repré-
senté sur la figure 12.9. Le processus d’accumulation des porteurs
dans la base du transistor, qui détermine le temps t;;; de leur diffu-
sion à travers la base, est simulé par la capacité de diffusion de la
jonction émettrice Cuis.. Le fait que les porteurs minoritaires dans
la base ayant atteint la jonction collectrice sont sollicités par son
champ et transférés dans le collecteur est reflété par le branchement

21*

324 PRINCIPES PHYSIQUES DE FONCTIONNEMENT DES TRANSISTORS [CH. 12

d'un générateur de courant «7, en parallèle avec la jonction p-n
collectrice. Les résistances des jonctions p-r émettrice et collectrice
sont représentées par R,_n.e et Rp-n.c respectivement et la résistance

de la région de base par R;, les

L L capacités de barrière des jonc-
sr tions p-r par les condensateurs
Che et Cie

Les éléments constitutifs du
circuit équivalent d’un transistor
ne sont pas linéaires ; les résistan-
Fig. 12.10. Représentation d'un tran- ces et les réactances varient avec

sistor par un quadri pôle. les tensions auxquelles elles sont
soumises et les courants qui les

parcourent. Aussi, un tel schéma n'est-il commode que pour des si-
gnaux de faible valeur, lorsque les courants et les tensions sont liés
par des relations linéaires. Dans de tels cas un transistor peut être
considéré de façon formelle comme un quadripôle linéaire (fig. 12.10).
Il existe plusieurs systèmes de paramètres d’un quadripôle qui
lient entre elles les valeurs de faibles tensions et courants variables

à l’entrée (, et 1.) et la tension et le courant à la sortie (V, et 1).
Les plus employés sont les paramètres hybrides h:

{ Vi= hu, mi rs hyoVe,

Pour déterminer le paramètre k,, il faut mesurer la tension varia-
ble et le courant variable à l'entrée de transistor, pour une tension va-

riable V, — 0 à sa sortie. Cette condition est facile à accomplir en
court-circuitant la sortie par un condensateur de capacité suffisam-
ment grande. Pour déterminer la valeur de h,, il convient d’appli-

quer un signal variable ÿ, aux bornes de sortie du quadripôle et de me-

surer la tension V, entre ses bornes d'entrée, en utilisant à cet effet
un voltmètre présentant une résistance interne suffisamment grande

pour qu'on puisse considérer que 1, — 0. Le paramètre h,, constitue
ainsi le coefficient de réaction en tension. Enfin, he, = /2,/1, pour
V, = 0 et ho = Ta/V, pour I, = 0.

Outre les paramètres À on emploie aussi les paramètres z et y:

V, = Zil + Ziolo

(12.23)

Ve = 2o1l1 + 2oole 5

Le. À Lt

1 = Yi1Vs + YioVo,

& 12.4] PHOTOTRANSISTORS 325

Les relations entre les divers systèmes de paramètres sont faciles

à établir. C'est ainsi qu'en exprimant ÿ, figurant dans (12.23)
moyennant Ï, et 1: e

Va == (Ru — eu ) 1,+ 7, (12.26)

et en comparant l’expression ainsi obtenue avec la première équation
de (12.24), on trouve

hiohoy . _

h =
Zu = hyy — 2 me : (12.27)

Il convient de signaler que les paramètres d’un quadripôle dépen-
dent du montage du transistor — à base commune ou à émetteur com-
mun. Le lien entre les paramètres de ces deux montages peut étre
facilement établi si l’on tient compte que

L+ +10 9 98
Vu Ve — Ve

Dans les expressions (12.28) les courants sont comptés positive-
ment lorsqu'ils entrent dans la région de base. Pour le montage à ba-
se commune, /, = 1,4, V, — Vos 1. = L., V, — Vas: pour le

montage à émetteur commun = = 1: 2 = —V,,, 12 =,

V, = ÿ. e+ Ainsi, pour passer par exemple des pararaètres k du mon-
tage : à base commune aux paramètres À du montage à émetteur com-

mun il faut exprimer I. en fonction de L; et 1. et PV. en fonction de

Ve, en utilisant à cet effet les relations (12.28), introduire les gran-
deurs obtenues dans (12.23) et mettre cette dernière sous la forme

. Ve = k;;Ie SU RE Vos
1. — haie + Res

où hf. désignent les paramètres À du montage à émetteur commun.

(12.29)

$ 12.4. Phototransistors

Un transistor peut être utilisé comme photorécepteur à amplifica-
lion interne du courant photoélectrique primaire. Un phototransistor
est un transistor ordinaire dont la région de base peut être éclairée
(fig. 12.11, a). La figure 12.11, b montre le montage le plus répandu
d'un transistor à émetteur commun et à base libre (souvent les photo-
transistors n’ont pas du tout de sortie de base). En l’absence de flux
lumineux W,, le transistor est parcouru par up courant d’obscurité.

326 FRINCIPES PHYSIQUES DE FONCTIONNEMENT DES TRANSISTORS [CH. 12

Lorsque la région de base d'un phototransistor du type n-p-n par
exemple est soumise à l’éclairement avec une énergie de quanta
hkv > E,, dans la base il y a création de paires électron-trou. En dif-
fusant dans la région de base, ces paires atteignent la jonction collec-
trice où elles sont annulées par le champ de cette jonction. Les élec-
trons sont poussés vers la région de collecteur en produisant un
photocourant dit primaire tandis que les trous restent dans la base où
ils forment une charge d’espace positive. La présence de cette charge

Fig. 12.11. Constitution (a) et schéma de branchement (b) d'un phototransistor.

a pour effet de réduire la hauteur de la barrière de potentiel de la jonc-
tion p-r émettrice de sorte que les électrons sont injectés dans la ba-
se où ils compensent de nouveau la charge due aux trous. Etant ani-
més d’une agitation thermique désordonnée, c'est-à-dire en diffusant
dans la base, les électrons « tombent » dans la région de collecteur,
de nouveaux électrons en provenance de l’émetteur viennent occuper
leurs places et ainsi de suite tant que les trous excédentaires produits
dans la base par la lumière ne se recombinent avec les électrons. Ain-
si, pendant la durée de vie plusieurs électrons, par chaque trou, pas-
seront par la jonction collectrice — il y a amplification du photocou-
rant primaire.

Le courant de collecteur Z. est la somme du courant de génération
thermique Z,., du photocourant primaire Z,, et du courant d’élec-
trons «7, injectés à travers la jonction émettrice. En même temps,
dans le montage à base ouverte 7, = 7, — I. Ainsi,

I=Ie+l1pn+al. (12.30)
1 = (Le + IpnW(A — a). (12.31)

Les courants 7,./(1 — @) et Z,,/(1 — æ) sont respectivement le cou-
rant d’obscurité et le photocourant primaire amplifié 1/(1 — «) fois.
Si & = 0,995, 1/(1 — œ&) — 200. Ainsi, la sensibilité d’un phototran-
sistor peut être très supérieure à celle d’une photodiode dont le si-
gnal est égal tout simplement à 7,,. Il est toutefois à noter que ce
gain en sensibilité s'accompagne d’une perte en rapidité de fonctionne-
ment. En effet, le temps de photoréponse d’un phototransistor se dé-
termine par la durée de vie t des porteurs hors d’équilibre dans sa

D'où

$ 12.5] TRANSISTORS À EFFET DE CHAMP 327

région de base alors que dans une photodiode il se détermine par le
temps de diffusion des porteurs de la région, où ils sont générés par
la lumière, jusqu’à la jonction p-n7 qui est beaucoup plus faible que
+ ou seulement par le temps de leur transit dans la région de charge
d'espace de la jonction p-n si la photogénération se produit principa-
lement dans la jonction p-n elle-même.

$ 12.5. Transistors à effet de champ

Ces dernières années une grande place dans l’électronique a été
occupée par des appareils utilisant des phénomènes qui interviennent
dans la couche de surface d’un semiconducteur. L'élément fondamen-
tal de tels appareils est constitué par une structure métal-diélectri-
que-semiconducteur (MDS) (fig. 12.12). Souvent le diélectrique est
constitué par une couche d'oxyde, par exemple de SiO,. De telles

Fig. 12.12. Schéma d'une structure MOS.

structures portent le nom de structures MOS. L'électrode métallique
est déposée sur le diélectrique le plus souvent par évaporation sous
vide. Cette électrode est appelée grille (gate dans la littérature an-
glaise et américaine).

Si l’on applique à la grille une certaine tension de polarisation
par rapport au semiconducteur, il apparaît, près de la surface du se-
miconducteur, une région de charge d'espace de signe contraire à ce-
lui de la charge de la grille. Dans cette région la concentration des
porteurs de courant peut différer de façon substantielle de leur con-
centration à l’intérieur du semiconducteur.

La charge de la région de surface du semiconducteur a pour effet
de provoquer l’apparition d'une différence de potentiel entre cette
région et les régions profondes du semiconducteur et donc une cour-
bure des bandes d'énergie. Si la charge de la grille est négative, les
bandes d'énergie s’incurvent vers le haut parce que le déplacement
d'un électron des régions profondes vers la surface augmente son éner-
gie potentielle (fig. 12.13). Si la grille est chargée positivement, les
bandes d'énergie s’incurvent vers le bas.

La figure 12.13 montre la structure de bande d’un semiconduc-
teur de type »# pour le cas où la grille est chargée négativement et indi-

328 PRINCIPES PHYSIQUES DE FONCTIONNEMENT DES TRANSISTORS (CH. 12
—————————————————pZ

que les désignations des grandeurs principales caractérisant la sur-
face : 1, — différence de potentiel entre la surface et les régions pro-
fondes du semiconducteur; m: — —eÿ, — courbure des bandes
d'énergie près de la surface ; £; — milieu de la bande interdite. Com-
me il est visible sur la figure 12.13, la distance entre le niveau infé-
rieur de la bande de conduction et le niveau de Fermi ( — u) est

Ve LS
NIV
£ = NS e
RKKKKKKK |
ype n |lype \
P Charge ce
fN?p A AP |la gril le

Couches de charge
d'espace L

Surface de semiconducteur

Fig. 12.13. Courbure des bandes près de la surface d'un semiconducteur de
type n lorsque la grille est chargée négativement. |

en volume du semiconducteur plus petite que la distance entre le
niveau de Fermi et le sommet de la bande de valence ( — nu’). C'est
pourquoi la concentration d’équilibre des électrons »#, est plus forte
que celle des trous: r, > p,. comme il se doit pour un semiconducteur
de type 7. Dans la couche de surface de la charge d’espace il se pro-
duit une courbure des bandes d'énergie et la distance entre leniveau
inférieur de la bande de conduction et le niveau de Fermi augmente
de façon continue à mesure que l’on s'approche de la surface alors
que la distance entre le niveau de Fermi et le sommet de la bande de
valence diminue de façon continue. Dans une section telle que À A
ces distances s'égalisent ( — 14 — —ux) et le semiconducteur de-
vient intrinsèque : 2—=p—n;. À droite de la section AA on alpu|>
> | u' |, de sorte que p > n et le semiconducteur devient de type
p. Près de la surface il se forme dans ce cas une jonction p-n superfi-
cielle.

La courbure des bandes d'énergie près de la surface est souvent ex-

& 12.5] TRANSISTORS À EFFET DE CHAMP 3291

primée en unités de ÀT et notée Y.. Alors
Y, = ep/(ET) = — ps/(XT). (12.32}

Lors de la formation de la région de surface d’un semiconducteur
trois cas importants peuvent se présenter: l’appauvrissement, l’in-

Couche. Couche.
appauvrie cppauvrie

5 200.9,0:0:0:0:0.07 sreete
SR ODOOOOOCOSNSESSSSIOS see

7 7, 74 Z /

EN
NS

Fe #
7 = OO ‘
£mmm———e—” Fm — à
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rs AO OSO CPS ss ARR SRI OO
OOCN 0:0:9,2,9.0:0.06,0,0 0 0,0: . SOOO0QO COOOCOOCCKOCOES
ROIS RDC TITETRS CISCO RS OS OGQNS
2 ; DOC DOOOSOO CORDON
Couche d'inversion ONE NOTE COTON T
OST SR SOS OSEO SOS OSO SOS TR
? AD 0000 000 0 0 0 9 0 © 7,
y LA Q
ri 157 + Couche d'inversion
vp ve ‘
Æ So Z 2
°c CL LD LD LD CD Cu LL
Ér D D CD CD CRD CD CD

Couche Couche
cnrichie enrichie
Sericoncucteur n Serniccrnducéeur p

Fig. 12.14. Formation d'une couche superficielle de charge d'espace au-dessous de
la grille dans les semiconducteurs des types n et p.

version et l'enrichissement de cette région par les porteurs de charges.
Ces cas sont représentés pour des semiconducteurs des types nr et p
sur la figure 12.14.

Une région appauvrie apparaît dans le cas où le signe de la charge
de grille est le même que celui des porteurs de courant majoritaires

330 FRINCIPES PHYSIQUES DE FONCTIONNEMENT DES TRANSISTORS [CH. 12

{fig. 12.14, a, d). La courbure des bandes d'énergie provoquée par
une telle charge conduit à l’augmentation de la distance séparant le
niveau de Fermi du niveau inférieur de la bande de conduction dans
un semiconducteur de type » et le niveau de Fermi du sommet de la
bande de valence dans un semiconducteur de type p. L'augmentation
de cette distance s'accompagne de l’appauvrissement de la région de
surface en porteurs majoritaires : la charge de la grille chasse les por-
teurs majoritaires de la région de surface.

Pour une forte densité de charge de la grille dont le signe est le
même que celui de la charge des porteurs majoritaires, à mesure que
l’on s'approche de la surface, la distance entre le niveau de Fermi et
le sommet de la bande de valence dans un semiconducteur de type n
devient inférieure à la distance séparant le niveau de Fermi du niveau
inférieur de la bande de conduction. Il en résulte que la concentration
des porteurs minoritaires (des trous) près de la surface du semiconduc-
teur devient supérieure à la concentration des porteurs majoritaires
et le type de conductibilité de cette région change bien que les élec-
trons et les trous y soient peu nombreux presque comme dans un se-
miconducteur intrinsèque. Mais près de la surface elle-même, les
porteurs minoritaires peuvent être aussi nombreux et même plus nom-
breux que les porteurs majoritaires dans la masse du semiconduc-
teur. De telles couches superficielles, bons conducteurs, dont le ty-
pe de conductibilité est inverse de celui en profondeur, sont appelées
couches d’inversion (elles sont montrées sur la figure 12.14, b, e). A
la couche d’inversion est adjacente une couche de déplétion.

Si le signe de la charge de la grille est contraire au signe de la
charge des porteurs majoritaires dans le semiconducteur, les porteurs
majoritaires sont attirés sous l'effet de cette charge vers la surface,
ce qui enrichit la couche superficielle en porteurs majoritaires. De
telles couches sont dites enrichies (elles sont montrées sur la figure
12.14, c, f).

Dans le cas d'un faible enrichissement ou appauvrissement de
la région superficielle d’un semiconducteur sa dimension se déter-
mine par la longueur dite de Debye:

KT
1 = V ET, (12.33)

où & est la permittivité du semiconducteur ; n, la concentration des
porteurs de courant majoritaires dans le semiconducteur. Sur la lon-
gueur L de la couche l'intensité de champ électrique, le potentiel
et la variation de la concentration des porteurs de courant par rap-
port aux régions profondes du semiconducteur tombent de e fois par
rapport à leurs valeurs de surface.

Dans le cas d’un appauvrissement fort, l'épaisseur de la couche
appauvrie peut être calculée à l’aide de la formule pour la couche de
déplétion dans la barrière de Schottky (10.18) en y remplaçant q

& 12.5] TRANSISTORS À EFFET DE CHAMP 331

par w.. C'est le calcul de la structure de la couche superficielle à ré-
gion d’inversion qui est un des plus complexes.

Dans l'électronique des circuits intégrés on emploie couramment
les structures MOS pour la réalisation des transistors et, à leur base,
de divers microcircuits intégrés. La figure 12.15 représente schéma-
tiquement la structure d'un transistor MOS à grille isolée. Ce tran-
-sistor est constitué par un cristal de silicium (de type nr par exemple)

Fig. 12.15. Explication du fonctionnement d'un transistor MOS:

<a — structure d'un transistor MOS ;: b — formation d'un canal entre la source ct le drain,
-C — pincement du canal en cas d’augmentation de la tension entre la source et le drain:
d — recouvrement du canal.

près de Ja surface duquel sont formées, par diffusion (ou par implanta-
tion ionique) à travers des fenêtres pratiquées dans la couche d’oxy-
de, des régions p comme l'indique la figure 12.15, a. Une de ces ré-
gions est appelée source et l’autre drain. En haut. ces régions portent
-des contacts ohmiques. L'intervalle entre les régions est recouvert
-d'un film métallique isolé de la surface du cristal par une couche
. d'oxyde. Comme il a déjà été dit, cette électrode du transistor porte
le nom de grille. À la surface frontière entre les régions p et r il se
forme deux jonctions p-n : de source et de drain qui sont couvertes de
hachures sur la figure 12.15, a.

La figure 12.15, b montre le schéma de branchement du transis-
tor dans le circuit: le pôle positif de la source de tension V, est
-relié à la source et le pôle négatif au drain, le pôle négatif de la sour-

Ci]
332 PRINCIPES PHYSIQUES DE FONCTIONNEMENT DES TRANSISTORS [CH. 12:

ce de tension V, est relié à la grille. Pour simplifier l'exposé, suppo-
sons que la différence de potentiel de contact, la charge dans l'oxy-
de et les états de surface (v. plus loin) n'existent pas. Alors, en l’ab-
sence de la tension sur la grille, les propriétés de la région superficiel-
le ne diffèrent en rien des propriétés des régions profondes du semi-
conducteur. La résistance entre le drain et la source est très grande:
parce que la jonction p-n de drain est polarisée en sens inverse. L’ap-
plication à la grille d'une tension de polarisation négative conduit
d’abord à la formation, au-dessous de la grille, d’une région appauvrie:
et ensuite, pour une certaine tension dite de seuil Vi seuit à la
formation d’une région d’'inversion qui relie entre elles les régions
p de source et de drain par un canal conducteur. Lorsque les tensions.
agissant sur la grille deviennent supérieures à la valeur de seuil
Ve seuir le canal s’élargit et la résistance drain-source diminue. La
structure que nous considérons est donc une résistance contrôlable.

Pourtant la résistance du canal ne se détermine par la tension de
grille que pour de petites tensions de drain. Lorsque V, augmente,
les porteurs s’en vont du canal dans la région de drain, la couche:
appauvrie près de la jonction p-n7 de drain s’élargit et le canal se
rétrécit (fig. 12.15. c). La variation du courant 7, en fonction de la
tension de drain V, devient non linéaire.

Lorsque le canal se rétrécit, le nombre de porteurs de courant li-
bres au-dessous de la grille diminue à mesure que l’on s'approche du
drain. Pour que le courant dans le canal soit le même dans toute sec-
tion, le champ électrique le long du canal doit être dans ce cas non
uniforme, son intensité doit augmenter à mesure que l’on s'approche:
du drain. En outre, l’apparition du gradient de concentration des
porteurs de courant libres le long du canal a pour effet de provoquer
l'apparition d’une composante de diffusion de la densité de courant.

Pour une certaine tension de drain V ,, le canal est pincé près du
drain et pour une polarisation encore plus grande le canal se rétrécit
vers la source (fig. 12.15, d). Toutefois, l'étranglement du canal ne-
fait pas disparaître le courant de drain parce que dans la couche ap-
pauvrie qui coupe le canal. le champ électrique tire les trous le long
de la surface. Lorsque les porteurs de courant pénètrent par diffusion
du canal dans cette région, ils sont entraînés par le champ qui les
pousse vers le drain. Ainsi à mesure que la tension agissant sur le
drain augmente, le mécanisme de déplacement uniquement par dérive
des porteurs de courant le long du canal est remplacé par le méca-
nisme de déplacement par dérive et diffusion.

Le mécanisme de passage du courant dans un transistor MOS
dans le cas du canal pincé présente certains traits communs avec le-
passage du courant à travers une jonction p-n polarisée en sens inver-
se. Rappelons que dans une jonction p-n les porteurs de courant.
minoritaires pénètrent par diffusion dans la région de charge d'espa-
ce où ils sont sollicités par le champ de cette jonction.

*$ 12.5] * _ TRANSISTORS À EFFET DE CHAMP à 333

Comme le montrent la théorie et l'expérience, après le pincement
du canal le courant de drain 7, atteint pratiquement sa valeur de
saturation (fig. 12.16). La valeur du courant de saturation dépend de
la tension de grille V, : plus élevée est cette tension, plus large est le
<anal et plus fort est le courant de saturation (sur la figure | V,: | >

>1Vel>1Val). C'est un effet typiquement transistor —
en agissant sur la tension de grille (tension dans le circuit d'entrée),
on peut commander le courant de drain (courant dans le circuit de
sortie). Une particularité caractéristique d'un transistor MOS est
que son entrée peut être constituée par un condensateur représenté
par la grille métallique isolée du

semiconducteur. Les courants de TJ, 63
fuite de grille dans les transis-

tors MOS typiques sont de l’ordre

de 10-15 À et peuvent être réduits

jusqu’à 10717 A. Le transistor que

nous considérons utilise l'effet de 2
champ, ce qui explique l’appel-

lation de transistors à effet de |

champ. À la différence des tran- 9,
sistors du type p-n-p où ñ-p-n : g0
dans lesquels les porteurs de a
courant minoritaires sont injectés Fig. 12.16. Caractéristiques courant-
dans la région de base, dans les tension d'un transistor MOS.
transistors à effet de champ le

courant n’est transporté que par les porteurs majoritaires. C'est la
raison pour laquelle de tels transistors sont dits encore unipo-
Jaires.

À la surface de séparation semiconducteur-diélectrique, dans la
bande interdite du semiconducteur il existe des états énergétiques
appelés états de surface ou plus exactement états de surface de sépara-
tion (fig. 12.17). Les fonctions d'onde des électrons dans ces états
sont localisées près de la surface de séparation dans des régions de
l’ordre de la constante du réseau cristallin. La cause de l'appari-
tion de ces états est l’imperfection de la surface de séparation semi-
conducteur-diélectrique (oxyde). Les surfaces de séparation réelles
comportent toujours un certain nombre de liaisons coupées et la stæ-
chiométrie de la composition de la couche d'oxyde diélectrique est
troublée. La densité et le caractère des états de la surface de sépara-
tion dépendent, pour une large part. de la technologie utilisée pour
la réalisation de la couche diélectrique.

L'existence des états de surface à la limite de séparation semi-
conducteur-diélectrique a une influence négative sur les paramètres
d'un transistor MOS parce qu'une partie de la charge induite au-des-
sous de la grille dans le semiconducteur est capturée par ces états.
Un succès dans la réalisation des transistors du type considéré a

334 PRINCIPES PIIYSIQUES DE FONCTIONNEMENT DES TRANSISTORS (CH. 12

été obtenu après la mise au point de la technologie permettant de dé-
poser sur la surface de silicium des films de SiO, avec une faible den-
sité des états de la surface de séparation Si-SiO,..

Dans le dioxyde de silicium lui-même il existe toujours une char-
ge « incorporée » positive dont l’origine n’est pas encore claire. La
valeur de cette charge dépend de la technologie de fabrication de
l'oxyde et est souvent si grande que si le substrat utilisé est le sili-
cium p, une couche d’'inversion se forme près de sa surface même pour
une polarisation nulle de la grille. De tels transistors sont dits
transistors MOS à canal dopé. Leur canal subsiste même si la grille

Couche
d'oxyde

Etats de
surface

de l'oxyde
Fig. 12.17. Etats de surface.

est soumise à une certaine tension de polarisation négative. A la dif-
férence de ces derniers, dans les transistors réalisés sur un substrat
n ou sur un substrat p fortement dopé où la formation d'une couche
d'inversion exige une charge trop grande de l’oxyde, le canal ne se
forme que si la grille est attaquée par une tension V, supérieure à une
certaine valeur de seuil V,.s.,i. Le signe de cette polarisation de la
grille doit être négatif pour les transistors à substrat » et positif
pour les transistors à substrat p. |

Dans la catégorie des transistors unipolaires on range aussi des
transistors à jonction p-n de commande dont la structure est repré-
sentée schématiquement sur la figure 12.18, a. Dans de tels transis-
tors le canal conducteur représente une région étroite dans le semi-
conducteur de départ non occupée par la couche appauvrie de la jonc-
tion p-n. On peut contrôler la largeur de cette région en polarisant
la jonction p-» en sens inverse. Cette polarisation fait varier la ré-
sistance initiale drain-source. Si, la tension sur la jonction p-n étant
constante, on augmente la polarisation appliquée entre le drain et la
source, le canal se rétrécit vers le drain et le courant de drain croît
avec la tension plus lentement que dans le cas des polarisations fai-
bles. Au pincement du canal (fig. 12.18, b) le courant de drain atteint
sa valeur de saturation. Aussi bien le mécanisme du passage du cou-
rant par le canal d’un tel transistor, que ses caractéristiques de sor-
tie sont assez proches des caractéristiques correspondantes d'un tran-
sistor MOS.

$ 12.5] TRANSISTORS À EFFET DE CHAMP 335

La réactance d'entrée des transistors à effet de champ aux basses
fréquences est purement capacitive. La capacité d'entrée C,., est.

Fig. 12.18. Explication du principe de fonctionnement d'un transistor MOS:
à canal, à jonction p-r de commande:

a — polarisation nulle du drain; b — recouvrement du canal en cas d'augmentation de-
la polarisation du drain.

constituée par la grille et par la partie non recouverte du canal du
côté de la source. Vu que pour la charge de cette capacité le courant.
doit passer par la partie non

pincée du canal de résistance 7 Vs

Re, la constante de temps propre

du transistor est égale à C,..R..

Toutefois, ce temps est très petit È
de sorte que dans les circuits 5
intégrés équipant par exemple TS,
des ordinateurs digitaux la durée Se
des processus transitoires est VS

déterminée non par ce temps
mais par des capacités parasites
du montage et par des capacités
d'entrée des autres transistors b
branchés sur la sortie du transis-
tor considéré. Ceci étant, lors Fig. 12.19. Caractéristiques de cla-
de la réalisation de tels circuits quage d'un transistor MOS classique.
on cherche à diminuer autant
que possible la capacité d'entrée grâce à la réduction de la longueur
du canal et à une coïncidence rigoureuse des frontières de la grille
avec les frontières de la source et du drain.

Dans le cas des fortes tensions sur le drain d'un transistor MOS,
la région de charge d'espace peut se propager depuis la région de
drain si fortement que le canal disparaît totalement. Dans un tel cas,

S
a *
ir Laë

a
r

ESS
dr

336 FHRINCIPES PHYSIQUES DE FCNCTIONNEMENT DES TRANSISTORS (CH. 12

les porteurs de la région de source fortement dopée se précipiteront
sur le drain exactement de même qu'en cas de « percement » de la
base d’un transistor bipolaire (v. $ 12.2 et fig. 12.6).

Si la tension sur le drain est suffisamment grande, il peut se pro-
duire aussi un claquage ordinaire de la jonction p-n de drain polari-
.sée en sens inverse. Les caractéristiques de sortie d’un transistor
MOS présentant des parties de claquage sont montrées sur la figure
12.19.

$ 12.6. Appareils à caractéristique
courant-tension en S

Diodes à base longue. Dans les dispositifs d'automatisme et la
‘technique de calcul électronique une place importante est accordée
aux appareils à caractéristique courant-tension en S (fig. 12.20).

Si les tensions de polarisation
I Yu et la résistance de charge
(elle détermine la pente des droi-
tes de la figure 12.20) sont re-
glées à des valeurs convenables,
le circuit utilisant un tel appa-
reil possède deux états stables
(Z et 3 sur la figure 12.20; on
peut montrer que l'état 2 n'est
pas stable). Dans l'état Z, la
partie principale de la tension de
polarisation chute dans la diode
et le circuit est parcouru par un
courant faible Z,, dans l’état 3,
Fig. 12.20. Caractéristique courant- la partie principale de la pola-
tension en S. risation chute dans la charge et
le circuit est parcouru par un
‘courant fort 7... Le passage de la diode S de l’état à haute résistance
‘(2) à l’état à résistance faible (3) se produit lorsque la tension de
polarisation devient égale à la tension de commutation V,,, comme
l'indique la flèche de la figure 12.20.

Ainsi, l'appareil à caractéristique courant-tension en S est un
commutateur électronique.

Les appareils les plus simples qui peuvent avoir une caractéris-
tique courant-tension en S sont des diodes à base longue (l'épaisseur de
Ja région à forte résistance dépasse dans de telles diodes la longueur
‘de diffusion des porteurs minoritaires dans cette région). Les por-
teurs minoritaires injectés à travers une jonction p-n polarisée en sens
‘direct diminuent la résistance des régions p et n de la diode, ce qui
favorise une redistribution de la tension appliquée à la diode au pro-
‘fit de la- jonction p-n. L'augmentation de la tension agissant sur la
jonction p-n conduit à l’augmentation du courant d'injection et donc

$ 12.6] APPAREILS À CARACTÉRISTIQUE COURANT-TENSION EN S 337.

à une diminution encore plus grande de la résistance série et ainsi de
suite. L'analyse montre pourtant qu'une partie à résistance” différen-
tielle négative apparaît sur la caractéristique courant-tension de la
diode dans le cas où la conductance de la région de base de la diode
croît non pas proportionnellement au courant d'injection, mais plus
brusquement.

I] existe plusieurs mécanismes qui peuvent conduire à une crois-
sance plus forte que linéaire de la conductance en fonction du
courant d'injection. Un d'eux est l’augmentation de la durée de vie

Fig. 12.21. Caractéristique courant-tension d'un dynistor.

des porteurs hors d'équilibre avec l’augmentation de leur concentra-
tion lors de la recombinaison par le niveau des pièges (v. $ 8.2).
Une augmentation supplémentaire de la conductibilité de la région
de base s'obtient aussi lorsqu'elle absorbe le rayonnement bande à
bande émis lors de la recombinaison des porteurs hors d'équilibre
dans les matériaux semiconducteurs à bandes droites du type deïl’ar-
séniure de gallium.

Les plus employés parmi les éléments à caractéristique courant-
tension en S sont toutefois des structures semiconductrices multicou-
ches — les diodes à trijonction (diodes à quatre régions) et les thyristors.

Diodes à trijonction. La caractéristique courant-tension d'une
diode à jonction p-n-p-n (appelée encore thyristor non commandé
ou dynistor) est représentée par la fig. 12.21 et sa structure par la
fig. 12.22, a. L'appareil comporte trois jonctions p-». Les jonctions
latérales sont dites émettrices et la jonction centrale est collectrice.
Les régions médianes de la structure, appelées bases, sont dopées as-
sez faiblement. Les régions latérales (émettrices) ont une concentration
d'impuretés plus forte. Pour la polarisation en sens direct le pôle po-
sitif de la source de tension est relié à la région p, latérale et le pôle
négatif à la région n.,. Dans ce cas, les jonctions p;,-n, et p.-n, se trouvent

1/2 22-726

338 PRINCIPES PHYSIQUES DE FONCTIONNEMENT DES TRANSISTORS [CH. 12

montées en sens direct et la jonction centrale n,-p, en sens inverse
(fig. 12.22, b). La résistance de la jonction n#,-p, polarisée en sens
inverse étant grande, toute la tension appliquée à l'appareil chute
pratiquement dans cette jonction
et la polarisation directe des
jonctions p,-n, et p.-n, est peu
élevée. Par conséquent, le cou-
rant traversant l'appareil est lui
aussi peu intense. Déterminons sa
valeur. Cela peut se faire le plus
commodément en considérant le
courant 7, à travers la jonction
NMi-Pe-

Comme cette jonction est po-
larisée en sens inverse, les por-
teurs de courant majoritaires ne
peuvent pas franchir sa haute
barrière de potentiel et le courant
est transporté à travers la jonction
par des porteurs minoritaires.
Les porteurs de courant minori-
taires sont produits par suite de
la génération thermique d'une

TN NS UE part et sont injectés dans les

Lj) ne IL régions #7, et p, à travers les

Pr It M A 4 fe jonctions p,-n, et p.-n, (ces jonc-
Le tions sont polarisées en sens

| direct) d’autre part. Une partie

INT le A considérable des porteurs minori-
taires injectés atteignent la jonc-

tion collectrice du fait que les
régions n, et p, sont réalisées
plus minces que les longueurs de
diffusion des porteurs minoritai-

Fig. 12.22. Répartition des cha :
d'espace et des concentrations ‘de res L, et L, respectivement.

es : . . :
porteurs minoritaires dans les bases Ainsi, le courant de jonction
d'un thyristor à l'état d'équilibre (a), Collectrice Z,est la somme du cou-

au repos (b) et en marche de régime (c). rant de thermogénération J,,, du

courant de trous Z., et du courant
d'électrons /,, injectés à travers les jonctions émettrices et ayant
atteint le collecteur. Les deux derniers courants peuvent être deter-
minés en partant des considérations suivantes. Le courant de trous
injectés à travers la jonction p,-n7, constitue une partie du courant
total Z, passant par cette jonction. Il est égal à y,/,, où y, est le
coefficient d'injection de la jonction émettrice. Le courant d'électrons
traversant la jonction p.-n, est égal à y./,, où Z. est le courant total

& 12.6] APPAREILS À CARACTÉRISTIQUE COURANT-TENSION EN S 339

de la jonction p,-n, et y, le coefficient d'injection de cette jonction.
Le courant de trous Z., qui ont été injectés à travers la jonction
P1-n, et ont atteint le collecteur sans se recombiner est égal à f,y,/;.
Ici, B, est le coefficient de transfert des trous à travers la région n..
D'une manière analogue, le courant d’électrons Z., qui ont atteint,
en passant par la région p,, la jonction collectrice est égal à B:y:7:,
où B, est le coefficient de transfert des électrons à travers cette région.
Ainsi, il vient

Lep = Bivili, (12.34)
Len = PaVelo. (12.35)

Le courant de collecteur total a pour valeur
Le = Les + Lep + Len = Les + BiVili + PaYel. (12.36)

Un dynistor est dans un état stable lorsque les courants totaux
à travers toutes les trois jonctions p-r sont égaux l’un à l'autre:

== T. (12.37)
Dans ce cas
LD = Les + (BiY1 + BaYe) L. (12.38)

En résolvant cette équation par rapport à Z, on obtient

RER NOR
: 1 — (B1Ya + Bee) (42.39)
Le dynistor est réalisé de telle sorte qu’à l'état bloqué le paramètre
(B;Y1 + B:Y2) soit inférieur à l’unité. Cependant à mesure que la
tension sur le dynistor et donc sur la jonction collectrice augmente,
les coefficients de transfert B, et B, s’accroissent parce que la région
de charge d'espace de cette jonction s'élargit (fig. 12.22, b) et les
distances que doivent parcourir les porteurs minoritaires injectés
à travers les jonctions émettrices diminuent. La croissance de , et B,
conduit, comme il s'ensuit de la relation (12.39), à une augmenta-
tion du courant / à travers le dynistor. En outre, le courant dans le
dynistor peut s'’accroître par suite d’une ionisation par choc dans la
jonction collectrice qui intervient dans le cas de fortes polarisations
négatives. (La formule (12.36) ne tient pas compte de cet effet.)
La croissance du courant Z s'accompagne aussi de la croissance des
coefficients d'injection y, et V2 (v. $ 12.2). Ainsi, le paramètre
(B;Y1 + B:Y2) augmente en même temps que la tension appliquée au
dynistor. Pour une certaine valeur de la tension appliquée au dynistor
ce paramètre doit devenir égal à l’unite et alors le courant passant
par l’appareil doit, suivant (12.39), tendre vers l'infini.
Or, même avant cet instant, le régime de fonctionnement du
dynistor devient instable et le processus de sa commutation commen-
ce. En effet, quand (B,y, + B:y2)—> 1, la somme des courants d'’élec-

22*

340 FRINCIPES PHYSIQUES DE FONCTIONNEMENT DES TRANSISTORS [CH. 12

trons et de trous rassemblés par la jonction collectrice commence
à dépasser le courant /; passant par les jonctions émettrices :

Le = Les + (Bi + Bove) Le > Le. (12.40)

En d’autres termes, le nombre de trous transférés maintenant par la
jonction collectrice dans la région p, est supérieur à celui qui est
nécessaire pour la recombinaison avec des électrons injectés dans
cette région et un nombre excédentaire d'électrons est transféré dans
la région #..

Cela signifie que des porteurs de signes contraires, les électrons
et les trous non compensées, commencent à s’accumuler près de la
jonction n,-p,. Les trous en excès arrivant vers la frontière entre la
région de charge d'espace de la jonction collectrice et la région p, et
les électrons en excès de l’autre côté de la jonction n,-p, réduisent la
région de charge d'espace de cette jonction. Dans ces conditions, la
hauteur de la barrière de potentiel de la jonction collectrice
diminue de façon continue et donc la chute de tension inverse dans
cette jonction diminue tandis que la polarisation directe des jonctions
émettrices augmente. Si la diminution de B due à la diminution de la
tension sur la jonction »,-p, n’est pas compensée par l’augmentation
de y par suite de la croissance de la polarisation directe des jonctions
emettrices, le paramètre (B,Y, -- B.y.) diminue et l’appareil reprend
son-état stationnaire. Cet état correspond pourtant à un courant fort
pour une chute de tension dans la structure diminuée par suite de la
diminution de la polarisation inverse de la jonction collectrice.
(Une certaine croissance de la polarisation directe des jonctions
émettrices n’a pas d'effet.)

Si le courant s'accroît encore, il se produit dans les régions de
base du dynistor une accumulation complémentaire des porteurs
majoritaires dont la charge n'est pas compensée par la charge des
porteurs minoritaires et donc la tension de polarisation inverse de la
jonction collectrice diminue encore. C’est ainsi que sur la courbe
caractéristique courant-tension du dynistor il apparaît une partie
à résistance négative. À une certaine étape (souvent même lorsque la
caractéristique n’a pas encore atteint sa partie à résistance négative),
Je processus d’accumulation des porteurs majoritaires dans les bases
de l’appareil commence à se développer d’une façon incontrôlable
parce que le paramètre (f,y + B.y.) reste tout le temps voisin de
l'unité ou même la dépasse. Le processus transitoire continue tant
que la hauteur de la barrière de potentiel de la jonction collectrice
ne devienne proche de sa valeur d'équilibre et ensuite inférieure à cette
dernière. (Autrement dit, cette jonction se trouvera polarisée en sens
direct.) Dans ce cas, la jonction collectrice n’est plus en mesure de
retenir les trous dans la région p., et les électrons dans la région n,
de sorte que ces porteurs commencent à remplir les régions n, et pa
respectivement.

€ 12.6] APPAREILS À CARACTERISTIQUE COURANT-TENSION EN S 341

Finalement, au lieu de la répartition des porteurs minoritaires
représentée pour l'état bloqué du dynistor (sur la fig. 12.22, b), il
apparaît dans ces régions une répartition caractéristique de son état
conducteur (fig. 12.22, c). Dans cet état toutes les trois jonctions p-»
du dynistor sont polarisées en sens direct. Les régions 7, et p. se
trouvent fortement « inondées » par des porteurs de charge minoritai-
res, Ce qui provoque une diminution des coefficients d'injection y
des jonctions émettrices. Le courant à travers les régions n, et p,
est transporté maintenant non seulement par diffusion des porteurs
minoritaires dans ces régions mais aussi par dérive des porteurs
majoritaires et minoritaires dont
les concentrations dans ces re-
gions ne diffèrent que peu.

L'état conducteur du dynistor
est stable parce que le paramètre
{B:Y1 -+ By) est maintenant in-
férieur à l'unité: les coeffi-
<ients y sont diminués et l’action
séparatrice de la jonction collec-
trice est devenue moins efficace.
La résistance de l’ensemble du
dynistor à l’état conducteur est
faible (courbe 2 de la figure 12.21)
et pour éviter le passage des
courants trop intenses à travers Fig. 12.23. Mise en et hors circuit
l'appareil, il faut monter en d'un dynistor.
série avec lui une résistance de
limitation de courant. Le courant du dynistor à l’état conducteur
se détermine par la tension de la source de polarisation et la résis-
tance du circuit comme l'indique la figure 12.23. Si l'on diminue
le courant traversant un dynistor conducteur, le nombre de porteurs
minoritaires injectés à travers les émetteurs diminuera lui aussi.
Lorsque pour un certain courant /,, leur nombre deviendra insuf-
fisant pour maintenir la polarisation directe de la jonction col-
lectrice, la résistance de cette jonction augmente et elle sera de
nouveau polarisée en sens inverse. Dans ce cas la tension de polari-
sation appliquée au dynistor est redistribuée : seule une petite partie
de cette tension chutera dans les jonctions émettrices et l'appareil
passera à l’état bloqué.

Les processus de bloquage et de débloquage du dynistor sont
non stationnaires. Ils se développent en avalanche de façon non
contrôlée. C’est pourquoi la caractéristique courant-tension du dynis-
tor se compose de deux parties (7 et 2 sur les figures 12.21 et 12.23)
<orrespondant à ses états stationnaires, stables. Pour ce qui est des
<ourants et des tensions du dynistor lors de sa commutation, ils
dépendent de la résistance du circuit, de la tension de la source de
polarisation, des capacités et des inductances du circuit.

342 FRINCIPES PHYSIQUES DE FONCTIONNEMENT DES TRANSISTORS [CH. 12

Dans le cas de la polarisation inverse (le pôle négatif de la source
étant relié à la région p,), le courant du dynistor est déterminé par la
résistance des jonctions émettrices. Il est faible jusqu’à la tension
de claquage de ces jonctions (courbe 3 de la figure 12.21).

Les dynistors sont employés en radiotechnique et en automatique.
comme éléments de commutation. C’est un relais électronique parti-
culier qui fonctionne lorsque la tension appliquée atteint la valeur
de branchement V,..

La tension de branchement du thyristor peut être commandée.
à l’aide d'une troisième sortie, supplémentaire — de l’électrode de
commande (borne « Com » sur la figure 12.24, a). La polarité de la

LL]

tension de polarisation appliquée à l’électrode de commande doit.

lez ? er? &=0

a) 6)

Fig. 12.24. Constitution (a) et caractéristiques courant-tension (b) d'un thyris--
tor commandé.

être telle que le courant d'injection de la jonction p-n émettrice la
plus proche augmente et donc le courant du thyristor tout entier:
augmente lui aussi. La figure 12.24, b montre une famille de caracté-
ristiques courant-tension d’un thyristor-triode pour différents cou-
rants Zcom à travers l’électrode de commande.

Le courant à travers un thyristor bloqué peut être augmenté et
le thyristor peut être rendu conducteur si l’on éclaire ses régions de:
base. Un tel appareil est appelé photothyristor.

Ces dernières années, dans l'électronique intégrée on utilise
comme éléments de commutation des films minces (près de 1um) de
semiconducteurs vitrifiés, par exemple FessAss30Si10G@10. Leur con-
ductivité électrique aux températures ordinaires est de 10-° à
10-8 ohm-!.cm-! et à l’état conducteur elle est de plusieurs ordres
de grandeur plus élevée. Une des explications d’un tel effet est la
formation par fusion des canaux entre les électrodes et une modi-
fication de leur structure cristalline qui conduit à la formation de
« ponts » conducteurs dans le verre. Cependant il n'existe pas jus-
qu’à présent de théorie complète de ce phénomène, bien que dans le-
monde entier on attache une grande importance à de tels commuta-
teurs.

$ 12.7] DISPOSITIFS À SEMICONDUCTEURS 343

$ 12.7. Dispositifs à semiconducteurs comme éléments
des circuits intégrés

Les matières concernant l'électronique intégrée sont étudiées
dans des cours spéciaux. Mais il nous a semblé raisonnable de
donner dans ce cours d'introduction à l'électronique des solides des
renseignements élémentaires sur les circuits intégrés et l’utilisation
des dispositifs à semiconducteurs comme éléments de ces circuits.

Le développement de la science et de la technique a exigé d'éla-
borer des appareils radiotechniques complexes, hautement efficaces
et fiables, contenant des centaines de milliers et parfois même des
dizaines de millions d'éléments réunis en un circuit commun unique.
La recherche des voies permettant de résoudre ce problème a conduit
à la mise au point des éléments et organes électroniques miniaturisés
sur la base du corps solide et à la microminiaturisation des appareilla-
ges radioélectroniques qui a donné naissance à une nouvelle branche
de l'électronique — la microélectronique dont l'objet principal est
précisément la réalisation des circuits et dispositifs électroniques
à haute fiabilité, microminiatures, économiques et à bas prix de revient.
Pour résoudre ce problème, on utilise non seulement les méthodes
d'une simple réduction des dimensions des composants radio-électri-
ques distincts avec la conservation des procédés traditionnels d’assem-
blage d'organes fonctionnels correspondants à partir de ces com-
posants, mais également des principes qualitativement nouveaux de
construction et de fabrication des circuits électroniques formant
un tout lorsque les éléments actifs, les éléments passifs et les éléments
de connexion sont formés dans des microvolumes d'un cristal semi-
conducteur ou sur sa surface oxydée, au cours d’un processus techno-
logique unique. Le circuit électronique ainsi réalisé, destiné à l’exé-
cution d’une fonction déterminée, est appelé circuit intégré (CI).
Ses éléments constitutifs (transistors, diodes, condensateurs, résis-
tances, etc.) n’ont pas de sorties extérieures et ne peuvent pas être
considérés comme des articles indépendants. Le circuit dans son
ensemble comporte un nombre nécessaire de plots de soudure servant
à sa connexion avec les sorties du boïtier qui le protège contreles
dégradations mécaniques et l'influence de l’environnement. Les
£léments du circuit sont reliés entre eux soit à l’intérieur du cristal,
au moyen de couches semiconductrices spécialement réalisées à cet
effet, soit à l’aide de pistes métalliques portées sur la surface oxydée
du cristal d'ordinaire par les méthodes d’évaporation sous vide.

Suivant leur destination fonctionnelle les circuits intégrés se
divisent en circuits logiques (numériques) et circuits linéaires (analogi-
ques). Les circuits intégrés logiques fonctionnent en régime de commu-
tation et sont employés dans les calculateurs électroniques, les
systèmes d’automatisme et dans les dispositifs de traitement discret
de l'information. Les circuits intégrés linéaires fonctionnent en

344 PRINCIPES PHYSIQUES DE FONCTIONNEMENT DES TRANSISTORS [CH. 12

régimes linéaires des amplificateurs et des oscillateurs ou effectuent
des transformations non linéaires des signaux d'entrée dans les mon-
tages mélangeurs, détecteurs, etc. De nombreux schémas des ampli-
ficateurs et des convertisseurs sont à base d’amplificateur opération-
nel.

Du point de vue de l’intégration des circuits, c’est-à-dire de la
réunion d’un grand nombre d'éléments, on convient de caractériser
les circuits intégrés par les paramètres suivants: la densité de compo-
sants et le degré ou le niveau d'intégration.

La densité de composants se détermine par le nombre d'éléments
par unité de volume (1 cm“) du CI. Il est naturel que la croissance de
la densité de composants est liée à la réduction de dimensions des
éléments de CI. Cela est particulièrement important pour les circuits
numériques équipant les calculateurs électroniques parce que la
diminution des dimensions des éléments de CI augmente leur rapidité
de fonctionnement et diminue la puissance dissipée. Dans les monta-
ges amplificateurs, la diminution de la longueur des connexions
entre les éléments a pour effet de réduire les inductances parasites
des sorties et la faible dimension des éléments diminue les capacités
parasites, ce qui permet d'élever la fréquence de travail pour de
petites puissances dissipées.

Le degré d'intégration se détermine par le nombre d'éléments
contenus dans le CI. On a adopté la gradation suivante des CI d’après
le degré d'intégration (tableau 12.1).

Tableau 12.1

Degré d'intégration NOR PeIREnte Appellation du circuit
Premier Jusqu'à 10 CI à rl niveau d'intégration
$

Deuxième De 10 à 100 CI à moyenne échelle (MSI) **)

Troisième De 100 à 1000 CI à grande échelle (LSI) ***)

Quatrième Plus de 1000 CI à très haut niveau d’intégration
(VLSI) #%°)

Cinquième Plus de 10 000

+) De l'anglais single scale inte£ration.
#**) De l'anglais medium scale integration.
***) De l'anglais large scale integration.
#s**) De l'anglais very large scale integration.

L'augmentation du degré d'intégration des CI permet d'amélio-
rer la qualité et la fiabilité du matériel radio-électronique et d’abais-
ser son prix de revient. L'amélioration de la fiabilité est obtenue
grâce à une forte diminution du nombre de connexions extérieures
qui soit des endroits les plus vulnérables et les moins sûrs des cir-

& 12.7] DISPOSITIFS À SEMICONDUCTEURS 345

cuits. La baisse du prix de revient est due à une diminution impor-
tante du nombre de boîtiers dans lesquels étaient rendus étanches les
composants discrets des circuits ordinaires, à la diminution du
nombre d'opérations d'assemblage et des connexions internes ainsi
qu’à l'utilisation de la méthode complexe de fabrication de divers
éléments du circuit au cours d’un cycle technologique unique.

Suivant le procédé de fabrication et la structure obtenue on
distingue des circuits intégrés monolithiques et les circuits intégrés
hybrides.

Les CI monolithiques sont réalisés dans une plaquette de semicon-
ducteur monocristallin (le plus souvent, de silicium) par les métho-
des d'implantation locale des impuretés convenables pour créer des
éléments actifs (transistors et diodes) et passifs (résistances, conden-
sateurs), pour les isoler l’un de l’autre et pour obtenir des connexions
entre les éléments. La dimension d’un cristal de CI distinct, qu'on
appelle pastille intégrée, peut varier de quelques dixièmes de milli-
mètre à quelques millimètres, alors que les dimensions des éléments
constitutifs de CI sont généralement comprises entre quelques microns
et quelques dizaines de microns et, dans certains circuits, elles
sont réduites à quelques dixièmes de micron.

Dans les CZ hybrides les éléments passifs sont fabriqués sur un
support diélectrique par les méthodes de la technologie à couches tan-
dis que les éléments actifs — les diodes, les transistors et les CI
monolithiques sans boîtier sont fixés sur le support et connectés aux
éléments passifs et entre eux-mêmes. Dans les circuits hybrides à cou-
ches épaisses les éléments passifs et les connexions sont obtenus en
déposant sur les supports, à travers des pochoirs, des pâtes spéciales,
conductrices, résistives et isolantes et en les soumettant à la cuisson.
Dans les circuits hybrides à couches minces, les films correspondants
sont déposés par évaporation sous vide, par pulvérisation cathodique
ou par une autre méthode quelconque. La réunion des éléments
actifs en un circuit se fait par soudage, par thermocompression et
par d'autres procédés.

Notions sur la technologie planar. Les CI monolithiques sont
fabriqués d'ordinaire selon une technologie dite planar qui comporte
les opérations principales suivantes:

1. L'ozydation de la surface de la plaquette de silicium qui est
effectuée dans des fours spéciaux en atmosphère d'oxygène sec ou
humide à des températures de 900 à 1200 °C. Il en résulte la forma-
tion, sur la surface desilicium, d’un film de dioxyde de silicium SiO,
qui présente des propriétés importantes au point de vue de son utili-
sation pour la fabrication des CI. Premièrement, le film de SiO, est
un parfait diélectrique et de ce fait peut être utilisé pour l'isolement
de la métallisation portée sur la surface de l’oxyde, des éléments de
CI formés dans la masse ou sur la surface du cristal. Deuxièmement,
ce film est pratiquement imperméable à de nombreuses impuretés

23-726

346 PRINCIPES PHYSIQUES DE FONCTIONNEMENT DES TKHANSISTORS [CH. 12

dopantes utilisées pour la réalisation des CI. Le SiO, peut donc être
utilisé comme masque pour la protection des régions nécessaires du
cristal contre la pénétration des impuretés de dopage lors de l’exécu-
tion du processus de diffusion. Suivant la température à laquelle
sera implantée l’impureté, sa nature et la durée du processus de
diffusion, l'épaisseur du film de SiO, varie de 100 à 1000 nm.

2. Pour obtenir le « dessin » d’un CI futur, c'est-à-dire pour
obtenir les représentations des éléments actifs et passifs du circuit,
des plots de soudure, des pistes de connexion, etc., on a recours à la
photolithographie qui rappelle dans une certaine mesure le processus
de photographie ordinaire. Sur la surface oxydée de la plaquette de
silicium on dépose une couche mince (épaisse de quelques centaines
de nanomètres) d’un vernis spécial appelé photorésist, sensible à la
lumière ultraviolette. Après le séchage du photorésist on lui applique
fortement, dans une installation spéciale, un cliché photographique
en verre qui porte l’image négative du dessin à transporter sur la
plaquette de silicium. À travers ce cliché les parties non couvertes
du photorésist sont éclairées par la lumière ultraviolette et éliminées
ensuile à l’aide d’un décapant spécial, en découvrant dans des
« fenêtres » ainsi formées une couche d'oxyde. Au moyen d’un autre
décapant qui dissout le film d'oxydemaisn'agit pas sur le photorésist,
on élimine dans les fenêtres ouvertes le film d’oxyde et on met.
à nu la surface du silicium. Après l’enlèvement du photorésist res-
tant, le dessin qui était réalisé sur le cliché photographique est trans-
porté sur le film d’oxyde sous la forme de fenêtres ouvertes et de
régions fermées (masquées) par des îlots de couche d'oxyde.

3. A travers les fenêtres ouvertes, on effectue une diffusion loca-
lisée des impuretés dopantes pour conférer aux couches de silicium
situées sous ces fenêtres des propriétés électrophysiques désirées
(conductibilité de type voulu, concentration de porteurs et autres).

Isolement des éléments des circuits intégrés. Comme tous les
éléments d’un circuit intégré monolithique sont réalisés sur une
même plaquette — le substrat, ils doivent être bien isolés les uns
des autres pour prévenir une influence parasite de l’un sur l’autre.
Cet isolement s'obtient soit à l’aide de jonctions p-n polarisées en
inverse, soit à l’aide de couches diélectriques.

La figure 12.25 montre le schéma de la formation des îlots de
silicium nr isolés à l’aide de jonctions p-r de séparation.

Le matériau de départ est une plaquette de silicium p portant
une couche nr épitaxiale. A leur surface frontière il se forme une jonc-
tion p-n. Pour obtenir des îlots de silicium r distincts, isolés l’un de
l’autre, la surface de la couche épitaxiale est oxydée et on y ouvre,
par le procédé de photolithographie décrit plus haut, des fenêtres
comme l'indique la figure 12.25, a. A travers ces fenêtres, on effectue
la diffusion d'une impureté acceptrice (par exemple du bore) sur
toute l'épaisseur de la couche épitaxiale. Après l'élimination du

$ 12.7 DISPOSITIFS À SEMICONDUCTEURS 347

film d'oxyde de masquage ïil reste dans la plaquette des ïlots de
film épitaxial de silicium n séparés du silicium p par la jonction p-nr
isolante (fig. 12.25, b). C’est dans de tels îlots qu’on forme des élé-
ments distincts du circuit intégré.

La figure 12.26 illustre la
technologie de l'isolement diélec-
trique des éléments d'un circuit
intégré à réaliser. Sur la surface
de silicium 7 on forme une cou-
che d'oxyde (fig. 12.26, a), on
y ouvre, par les méthodes de Ia
photolithographie, des fenêtres à
travers lesquelles on effectue un si
décapage profond (fig. 12.26, b). ‘02
Après une deuxième oxydation
(fig. 12.26, c) on dépose une cou-
che de silicium polycristallin
épaisse de 100 à 200 um (fig.
42.26, d). Le silicium monocris-

RAA ASE
. . Veste

aa ed
e CRE v e,
tease

Sin (couche épitaxiale)

Tlots

_
A ‘FR
e à
exe DO
LME DS

Zà-Si0,

Si potycristeliin

Fig. 12.25. Schéma de la formation des Fig. 12.26. Schéma de la formation

lots isolés de silicium de type n à des îlots de silicium de type n isolés

l'aide de jonctions p-n de séparation. l’un de l’autre par des couches diélec-
triques (SiO,).

tallin est ensuite éliminé jusqu'à la couche d'oxyde. Il se forme
finalement des îlots de silicium n isolés les uns des autres par des
couches diélectriques de SiO..

Eléments actifs et passifs des circuits intégrés monolithiques.
Le transistor bipolaire est l'élément actif le plus répandu des circuits
intégrés monolithiques. On utilise le plus souvent les transistors

2 3*

348 FRINCIPES PHYSIQUES DE FONCTIONNEMENT DES TRANSISTORS [CH. 12

de type n-p-n dont la mobilité des porteurs minoritaires (des électrons)
dans la base est plus élevée que dans les transistors de type p-n-p.

Examinons sommairement le schéma de la formation d’un tel
transistor sur l'exemple des circuits intégrés au silicium à isole-
ment par jonctions p-n (fig. 12.27).

Le matériau de départ est une plaquette de silicium p à résistivité
de l’ordre de 10 ohms-cm. La plaquette est oxydée et. aux endroits où
seront créés les collecteurs, on ouvre par la méthode de la photolitho-
graphie, des fenêtres à travers lesquelles on effectue l'implantation

Contacts ohmigues Base de +
en Gtuminium Sc LP APTE Contact de

collecteur

Collecteur de
type n (couche
épitaxtale)

Susstreit p

Canaux d'isolement

Fig. 12.27. Structure d'un transistor bipolaire d'un circuit intégré au silicium
à isolement par jonction p-n.

d’une impureté donatrice (généralement de l’arsenic) pour la forma-
tion des couches enterrées n*. Ces couches sont destinées à réduire la
résistance du collecteur.

Après l'introduction de l’impureté donatrice et la formation des
couches enterrées n° le film d'oxyde est éliminé par décapage et sur
la surface propre du silicium p (substrat) on dépose une couche épita-
xiale x qui remplira le rôle de la région collectrice pour tous les tran-
sistors à former sur la plaquette.

Ensuite, on oxyde la couche épitaxiale et on y ouvre par la mé-
thode de la photolithographie des fenêtres à travers lesquelles on
forme par diffusion localisée de l’impureté acceptrice des canaux
d'isolement. L'impureté doit diffuser dans toute la profondeur de la
couche épitaxiale jusqu’à la surface du substrat. Il en résulte que
toutes les régions x sont séparées l’une de l’autre et du substrat par
des jonctions p-n d'isolement.

Le stade suivant du processus de fabrication est la formation
des régions p de base. À cet effet, le film d'oxyde dépose antérieure-
ment est éliminé et la plaquette est oxydee de nouveau. Dans le film
d'oxyde obtenu on ouvre des fenêtres pour les régions de base à tra-
vers lesquelles on effectue une diffusion localisée de l’impureté accep-
trice. Pour obtenir la résistance désirée de ces régions, il est nécessai-

& 12.7] DISPOSITIFS À SEMICONDUCTEURS 349

re de contrôler avec soin et précision la concentration en surface de
l’impureté introduite et la profondeur de sa pénétration.

Après la formation des régions de base la couche d'oxyde est
éliminée et la plaquette est oxydée de nouveau. Dans la couche
d'oxyde nouvellement obtenue on ouvre, par la méthode de la photo-
lithographie, des fenêtres pour les régions émettrices et les contacts
de collecteur. À travers ces fenêtres on introduit l’impureté donatrice
pour la formation des régions n7* des émetteurs et des contacts du
collecteur.

Le stade final de fabrication d’un transistor est la création des
plots de soudure. À cet effet. la couche d'oxyde est éliminée et toute
la plaquette est oxydée de nouveau. Dans la couche d'oxyde obtenue
on ouvre, par la méthode de la photolithographie, des fenêtres pour
les contacts du transistor. Ordinairement, en employant l’évaporation
sous vide de l'aluminium, on forme des contacts et des plots de
soudure vers les régions d’émetteurs, de bases et de collecteurs du
transistor. Pour éliminer la métallisation en aluminium aux surfaces
de la plaquette où cette métallisation n’est pas nécessaire, on effectue
encore une photolithographie.

Diodes des CI. Elles présentent d’ordinaire une structure de
transistor permettant de faire varier les modes de leur branche-
ment suivant les exigences imposées aux paramètres (rapidité de
fonctionnement, tension de claquage, intensité de courant direct, etc.).

Résistances diffusées. Dans les CI monolithiques ce sont générale-
ment les régions de base qu’on utilise comme résistances. Un incon-
vénient de telles résistances est une gamme limitée des valeurs ohmi-
ques possibles et l’impossibilité de satisfaire à des tolérances sévères
sur ces valeurs, les fortes valeurs des coefficients de température
de résistance, la possibilité de formation d’éléments parasites, une
limitation imposée à la tension appliquée.

Condensateurs diffusés. Ce sont les capacités des jonctions p-n
des structures transistors (d’émetteur ou de collecteur) qu'on utilise
comme condensateurs dans les CI monolithiques. Le facteur de
qualité (l’inverse de la tangente de pertes diélectriques) de tels
condensateurs est en règle générale beaucoup plus faible que celui des
condensateurs discrets à film diélectrique.

CI MOS. Ils sont réalisés sur la base de transistors à effet de
champ (v. fig. 12.15) à grille isolée. Les transistors sont utilisés
comme éléments actifs et comme résistances de charge, ce qui assure
de belles qualités technologiques de fabrication de tels CI. Dans les
CI MOS de même type de conductibilité du canal l'isolement des
éléments l’un de l’autre n'est pas exigé parce que leurs jonctions p-n
sont toujours polarisées en inverse. Les dimensions des transistors
à effet de champ sont inférieures d’un ordre de grandeur environ à cel-
les des transistors bipolaires. Cela permet d'obtenir une densité de
composants plus élevée. C'est pourquoi les structures MOS sont large-

350 FRINCIPES PHYSIQUES DE FONCTIONNEMENT DES TRANSISTORS [CH. 12

ment employées dans la construction des circuits de très grande
intégration (VLSI).

Les circuits intégrés, aussi bien à transistors bipolaires qu'à
transistors MOS, sont fabriqués suivant la technologie planar simul-
tanément en un grand nombre d'exemplaires. Sur une même plaquette
de 100 mm de diamètre et plus on forme à la fois jusqu’à quelques
milliers de CI. Après leur réalisation au cours d’un cycle technologi-
que unique les CI contenus dans la plaquette sont séparés les uns
des autres en cristaux distincts (que l’on appelle aussi chip, pastille
ou puce) dont chacun représente un CI distinct. Après la vérification
de leur bon fonctionnement et la mise au rebut des pièces défectueuses
les CI sont mis en boîtier.

CT hybrides. Comme nous l’avons vu, les éléments passifs des CI
monolithiques ont certains inconvénients sérieux qu'on peut affai-
blir dans une mesure importante si l’on utilise pour leur fabrication
une technologie à couches épaisses ou minces.

Résistances à films. Elles sont usinées sous forme de bandes de
configuration donnée par la méthode de l’évaporation sous vide des
métaux purs (chrome, tantale et autres), des alliages métalliques
(nichrome et autres) et des matériaux meétallocéramiques (cermets).
Les couches épaisses sont réalisées par la méthode de sérigraphie.
Les résistances à couches épaisses présentent par rapport aux résis-
tances diffusées toute une série d'avantages substantiels: une faible
valeur du coefficient de température de résistance, une large gamme
de valeurs nominales et la possibilité de réglage précis à la valeur
nominale, l'absence d'éléments parasites, une haute stabilité avec
Je temps.

Condensateurs à couches. Ils sont fabriqués en déposant sur le
substrat une couche métallique mince, puis une couche diélectrique
mince et ensuite de nouveau une couche métallique mince. Pour
augmenter la capacité, on utilise souvent des structures multicouches
avec montage en parallèle des condensateurs ainsi obtenus. Par leurs
paramètres, les condensateurs à couches sont en règle générale supé-
rieurs de façon notable aux condensateurs diffusés.

Technologie combinée. Les paramètres nettement plus hauts des
éléments passifs obtenus par les méthodes de la technologie à couches
ont obligé de passer dans certains cas à la fabrication des CI par la
technologie combinée dans laquelle les éléments actifs de CI sont
formés dans la masse du cristal semiconducteur et les éléments passifs
sur la surface du cristal (protégé le plus souvent par un film d'oxyde)
par les méthodes de la technologie à couches. La technologie combi-
née est utilisée particulièrement souvent pour la fabrication des CI
analogiques dans lesquels les paramètres doivent faire face à des
exigences sévères.

Technologie hybride. Le développement parallèle de la technolo-
gie à couches et de la technologie à semiconducteurs a conduit au

$ 12.7] DISPOSITIFS À SEMICONDUCTEURS 351

développement d'une technologie hybride et à la création d'une large
classe de circuits intégrés hybrides (CIH). Les avantages principaux
que ces circuits présentent par rapport aux circuits monolithiques
sont les suivants:

a) la possibilité de réaliser une large classe de CI numériques et
analogiques pour un cycle relativement court de leur élaboration;

b) le caractère universel de la méthode de conception et de cons-
truction des microcircuits assurant la possibilité d'utiliser des
composants actifs qui diffèrent par la destination fonctionnelle et
l'exécution constructive (CI sans boîtier, transistors MOS, arrange-
ments de diodes et de transistors et autres);

c) la possibilité d'obtenir des éléments passifs à couches d'une
large nomenclature avec des tolérances sévères ;

d) une haute efficacité économique de fabrication de petits lots
de circuits;

e) un pourcentage relativement haut de sortie des circuits inté-
grés bons grâce à la possibilité de rejet des éléments défectueux avant
le montage.

Pour toutes ces raisons, les circuits intégrés hybrides trouvent de
nombreuses applications dans la construction des appareillages mi-
croélectroniques.

ANNEXES

1. Constantes physiques

Constante | Notation |
Constante de Boltzmann k
Constante de Planck h
k

Permittivitée du vide €o
Perméabilité du vide lo
Vitesse de la lumière dans

le vide c
Charge de l’électron e
Masse de l’électron Me
Magnéton de Bohr LB
Magnéton nucléaire Unuc

Valeur

38-1073 J/K = 8,63-10° eV/K
,63-10734 J.s
055-1034 J.s
85-10712 F/m
.26-107S H/m

4
6
1
8
1
3-108 m/s
1
9
9
5

D 1

1
,6-140719 C
|
2
0

4.
7.40-24 A:m2
5.

2. Propriétés du germanium et du silicium

Grandeur physique Germanium Silicium

Numéro atomique 32 14
Masse molaire, g 72,59 28,08
Température de fusion, °C 936 1420
Constante du réseau cristallin, nm 0,565 0,543
Concentration des atomes, cm”* 4,4. 1022 5-1022
Masse volumique à 300K, g/cm° 5,327 2,329
Largeur de Ja bande interdite à 300K, eV 0,67 1,1
Mobilité des électrons dans un semiconduc-

teur intrinsèque à 300K, cm2/(V:s) 3800 1350
Idem pour les trous 1800 480
Coefficient de diffusion des électrons dans

un semiconducteur intrinsèque à 300K,

cm?/s 93 35
Idem pour les trous 44 12,5
Masse effective de la densité des états dans

la bande de conduction 0,55me 1,im.
Idem dans la bande de valence 0,39m. 0,59m.
Concentration des porteurs intrinsèques

à 300K, cm3 2,4-1013 1,5-1010
Résistivité d'un semiconducteur intrinsèque

à 300K, ohm-cm 50 2,5-10°
Permittivité relative 16 12
Indice de réfraction 4 3,9

BIBLIOGRAPHIE

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Smith R. Semiconductors, Cambridge, 1959.

INDEX

Absorption de la lumière

— —, coefficient d 209

due aux impuretés 216

— — par des porteurs de charges
libres 214

— — propre 21

— —, section différentielle 217

Action de masse, loi d’ 115

Aimantation 157

— spontanée 168

Anisotropie cristallographique magné-
tique 171

Antiferromagnétisme 172

Appauvrissement, région d' 329

Approximation harmonique 48

— monoélectronique 74

Atome disloqué 33

— en position interstitielle 97

Axe de difficile aimantation 172

— de facile aimantation 172

Bande de conduction 87

— d'énergie 76

— d'impureté 116

— interdite 87

— —, largeur optique 88, 212

— de valence 87

nt it théorie de
139

Barkhausen, effet 178

Bloch, théorème de 77

Bohr, magnéton de 163

Boltzmann, équation cinétique de 128
—, répartition de 106

SORS DMEe de répartition suivant

Bragg-Wulff, loi de 15, 20
Bravais, réseau de 7

Brillouin, fonction de 165

—, théorie du paramagnétisme de 164
—, zone de 49, 78

Burgers, contour de 38

—, vecteur de 37, 38, 40

Burstein, déplacement de 213

Capacité de barrière 280

— de diffusion 287

Capture, section efficace de 197
Caractéristique courant-tension d'une
diode inversée 296

— — Schottky 255

— tunnel 297

d'un dynistor 337

d’une jonction p-n 284
d’une photodiode 301

en S 336

de la structure MDM 258,

261

— — d'un thyristor commandé 342
Es d'un transistor bipolaire 316,
— — — — MOS 333, 336

Centres de couleur ou de colora-

tion 35
en) massique du gaz électronique:
1

— — du réseau cristallin 61

Champ critique dans un supraconduc-
teur 14

— de départ 179

Child-Langmuir, équation de 245

Circuit intégré 343

— — hybride 345, 350

— — linéaire 343

— — logique 343

— — monolithique 345

— — MOS 349

Cisaillement, formation de 41

Claquage d'une jonction collectrice-
319

— — p-n 292
— — — par avalanche 295
— — — par effet tunnel 296
— — thermique 293
Coefficient de conductibilité thermi-

PA He champ de 189
Concentration d'équilibre de défauts.
dans le cristal

354

INDEX

Concentration de phonons 61

— de porteurs de charges dans les
semiconducteurs extrinsèques 11,
112

— — — — intrinsèques 107

‘Condensateur à couches 350

— diffusé 349

Conditions aux limites périodiques 50

‘Conductance différentielle négative
231

-Conductibilité d'une impureté 35

— intrinsèque, température de passa-
ge à la 114

— des semiconducteurs 135

‘Conduction d’obscurite 219

Conductivité électrique des diélectri-
ques 86

— — des métaux 86, 129, 136

Constantes d’anisotropie magnétique
172

‘Contact de bloquage 250

— de deux métaux 246

— entre un métal et un semiconduc-
teur 249

— neutre 266

— ohmique 256

‘Continuité, équation de 201

Cooper, paires de 140

Couche appauvrie 250

— enrichie 252, 330

Courant direct d'une diode Schottky
255

— limité par la charge d'espace
257

— de saturation 255, 284

— de suil d’une diode laser 310

— ü' travers la jonction p-n 282

Courbe de dispersion 49

d'un électron dans le cristal
78, 80

— — — libre 80

— — pour les vibrations du réseau
cristallin 52

‘Cristal 7

— ionique 24

— métallique 28

— méthode de la détermination de la
structure du 20

— moléculaire 29

— parfait 75

Curie, constante de 159

—, loi de 159

—, point ferromagnétique de 160

—, température antiferromagnétique
de 172

Curie-Weiss, loi de 161

‘Cycle d’hystérésis 160

‘Cyclotron, fréquence 98

Debye, longueur de 330
—, température caractéristique de
61

—, théorie de la chaleur massique du
réseau cristallin 60

Défauts d'assemblage 45

— bidimensionnels 44

— de Frenkel 32. 33

— linéaires 36

— de Schottky 33

— tridimensionnels 46

— du type soustraction 46

Déformation des cristaux 41

Densité de composants 344

— de courant critique dans un su-
praconducteur 143

— de répartition des modes suivant
les fréquences 55

Déplétion de l’impureté, température
de 112

Diamagnétisme 161

— des supraconducteurs 139

ST de potentiel de contact
246

Diffraction, conditions de 18

— dans un cristal 16

Diffusion, coefficient effectif de 203

— conjointe des porteurs de char-
ges hors d'équilibre 202

— des électrons sur les atomes d'impu-
reté 126

— — sur les vibrations thermiques
du cristal 126

— localisée des impuretés dopantes
346

—, longueur de 205

— phonon-phonon 68

Dilatation thermique 63

—, coefficient de température de
66

Diode à accumulation de charges 289

à avalanche 298

à base longue 336

luminescente 305

FR quantique interue
0

— semiconductrice 277
— trijonction 337

— tunnel 297

Dislocations, axe ou ligne de 38
— coins 36

—, densité de 41

—, modèle de galets de 43

— partielles

— totales 38

— vis 38

Dispersion, relation de 49
Distance réticulaire 15

INDEX

359

Domaines électrostatiques 235

— magnétiques 168, 175

— — cylindriques 187

—, paroi de 176

—, processus de déplacement des fron-
tières des 177

Donneurs 95

Dulong et Petit, loi de 59

Durée de vie 193

Dynistor 337

Ecoulement plastique des cristaux,
mécanisme de dislocation 43

Effet acousto-électrique 225

— photo-électrique interne 219

— photovoltaïque 300

— piézo-électrique 229

— thermomagnetique 155

Efficacité du collecteur 314

— de l'émetteur 314

Einstein, relation d’ 203

—, théorie de la chaleur massique du
réseau cristallin 59

Electrons mis en commun 27, 76

Emission froide d'électrons 246

— stimulée de la lumière 307

— thermoélectronique 241

Energie d'échange 27, 170

— d'interaction des atomes 24

— de la liaison métallique 29

— d'un phonon 58, 61

— de répulsion suivant Born 24

— des vibrations normales 57

Enrichissement, région d’ 329

Entraînement des électrons par des
phonons 223

Epitaxie 270

Etat stationnaire 72

Ettingshausen, effet 154

Ewald, sphère d’ 18

Exciton 214

Faraday, effet 190

Fente énergétique 140

Fermi, niveau de 91, 107, 112

—, quasi-impulsion de 193

—, surface de 92

Fermi-Dirac, fonction de 102
Ferrimagnétisme 173
Ferromagnétisme 159, 168

Film magnétique mince 183
Fluctuations 101

Fonction de densité des états 103
— — de répartition des modes 55
— d'onde 72

— de répartition 102

— — pour les fermions 102

— —, temps de relaxation de la 128

Fonction statistique complète 101

Force thermo-électromotrice 262

Franz-Keldych, effet 213

Frenkel, défauts de 32

Fréquence limite d'amplification en
courant 323

— — d'une diode 291

Frontières des grains 45

Gain en courant d'un transistor 314
Gaz He de porteurs de charges
19

— non dégénéré de porteurs de charges

— de phonons 68

Générateur thermoëélectrique 264
Gruncisen, formule de 67

Gunn, diode de 237

—, effet 237

Hall, constante de 149

—, effet 148 à 154
Hall-Schockley-Read, formule de 199
Hooke, loi de 42

Hystérésis magnétique 160, 179

Identité, période d' 14

Image électrique 239

— —, forme d’ 239

Impureté 34

— acceptrice 97

— en position interstitielle 34

— — substitutionnelle 34

Indices de la direction 12

— de Miller 14

— de nœuds 12

— des plans 12

Injection de porteurs 256, 285

— — double 259

— monopolaire 260

Installation thermoëélectrique frigori-
fique 267

Intégrale d'échange 28

Intégration, niveau d’ 344

Interaction de dispersion 29

— d'échange 169

— des électrons avec les vibrations
du réseau 222

— d'induction 31

— d'orientation 30

Inversion, région d' 329

Isolement diélectrique 347

Jonction p-r 269
— — à l’état d'équilibre 271
— —, méthodes de préparation d'une

269
Josephson, effet 146, 147

356

Kottrel, nuages de 40

Landau, niveau de 99

Landé, facteur de 164

Larmor, fréquence de 161

Laser 307

— à semiconducteurs 308
Liaison hétéropolaire 24

— jonique 24, 25

— métallique 29

— de Van der Waals 29
Lumière, amplification de la 307

Madelung, constante de 25

Maille élémentaire 8

Masque 346

Masse effective de l’électron 83

Matthiessen, règle de 137

Maxwell, fonction de 123

—, temps de relaxation de 207

Meissner-Ochsenfeld, effet 139

Mémoire à domaine magnétique 189

— à film magnétique 187

— à noyau en ferrite 181

Microélectronique 343

Microminiaturisation 343

Miller, indices de 14

Mobilité des porteurs de charges 129,
1

Montage à base commune 312
— à emetteur commun 318

Néel, température de 172

Niveau accepteur 97

— donneur 93, 95

— de Fermi 91, 107, 112

— d'impureté 93

— de Landau 99

— localisé 97

Nœud d'un réseau cristallin 8

Nombre de coordination 25

— Na dans une bande d'énergie
5

— quantique magnétique 164

— — orbital 163

— — principal 73, 164
Non-dégénérescence, condition de 106

Ondes acoustiques de surface 230
— électriques dans le cristal 48, 222
— ultra-sonores, amplification d' 226
Optron 306

Paires de. Cooper 140
— d'électrons 140
Paramagnétisme des diélectriques 163

INDEX

Paramagnétisme du gaz électronique
165

Paramètres hk, z et y des transistors
324

— d'une maille élémentaire 8
Paraprocessus 178

Pastille 350

See 7 AU de de 28, 85. 119, 146,

Peltier, coefficient de 266

—, effet 266

Perméabilité magnétique 158

Phonon 58

Photocellule 303

Photoconductivitée 219

Photorésist 346

Photorésistance 219

Photothyristor 342

Phototransistor 325

Piège 196, 259

Planar, technologie 345

Poisson, équation de 206

Polarisation de l'onde 54

Population, inversion de 307

FORSUS de charges, génération de
1

— — en non-équilibre 191

PRRRE se déformation. constante:

Précession 161

Principe de Pauli 28, 85, 119, 146

Profondeur de pénétration du champ
magnétique dans un supracon-
ducteur 144

Quasi-impulsion de l'électron 82
— du phonon 70
Queue de la densité des états 116

Rapidité de fonctionnement d'une dio-
de 284

Recombinaison bande à bande 194

—, coefficient de 194

— linéaire 195

—, lueur de 217

— de porteurs de charges 191, 195%

— quadratique 195

Rectangularité du cycle d'hystéresis,
facteur de 181

Redressemet, coefficient de 255

Remplissage des bandes en électrons 85

Rendement quantique de l'effet pho-
to-électrique interne 219

Répartition des électrons suivant les

vitesses 123

Réseau à base 11

— de Bravais 7

— cristallin 7

INDEX 357

Réseau réciproque 18

Résistance différentielle négative 298
— diffusée 349

— à films 350

— théorique 41

Résistivité rémanente 137
Résonance cyclotronique 162

— magnétique électronique 166

— — nucléaire 167

— paramagnétique électronique 166
Réunion, coefficient de 302
Richardson, constante de 243
Richardson-Dushman. formule de 243
Rotation cohérente des spins 186
—, processus de 178

Saturation magnétique 159

Schéma équivalent d'une diode 290

— — d'un transistor 323

Schottky, barrière de 255

—, diode de 289

—., effet 245

Schrôdinger, équation de 72

Semiconducteur amorphe 97

— compensé 117

— intrinsèque 88

— du type nr 95

— — p 97

— vitrifié 342

Solution interstitielle 34

— substitutionnelle 34

Spectre de fréquences de vibrations
du réseau cristallin 55

Spin de l'électron 163

Statistique, loi 100

Structure en mozaique 44

Supraconducteur de deuxième espè-
ce 144

Supraconductivité 138

—, nature de la 139

Susceptibilité magnétique 157

Syngonic 10

Technologie combinée 350
— hybride 350
— planar 345

pen caractéristique de De-

ye 61

— critique de supraconduction 138

Théorie de la chaleur massique du
réseau cristallin, classique 58

de Debye 60

— — — — — d'Einstein 59

— quantique de Ja conductibilité
thermique 69

Thyristor 337, 342

Transfert des porteurs à travers la
base. coefficient de 314

Transistor 312

— bipolaire 312. 347

— à dérive 322

— à effet de champ 327

— à jonction p-n de
334

commande

— MOS à canal dopé 334
— unipolaire 333
Transition directe 211

— entre sous-bandes 215
— indirecte 212
Translation, période de 8
—, vecteur de 8

Travail de sortie 239
Trou 90

—, masse effective du 91
Tunnel, cffet 76

Umklapprozesse 70

Vacance double 34

— triple 34

Van der Waals, liaison de 29
Vecteur de diffusion 18

— de réseau réciproque 18
Vibrations acoustiques 51
— normales des atomes 54

— optiques 51

— de point zéro 58

— thermiques des atomes 47
Vitesse de dérive 128

— de groupe de l'électron 80

TABLE DES MATIÈRES

AVANI=DEIOPOS. SES SMMS ES NN RSR sr a detre
Chapitre premier. STRUCTURE DES CRISTAUX . .......
8 1.1. Réseau cristallin .................. ..
& 1.2. Désignation des nœuds, des directions et des plans dans le cristal.

Indices. de Miller. - 2... Le su du x veus
8 14.3. Diffraction dans les cristaux. Réseau réciproque . . . . . .
8 1.4. Méthodes expérimentales de détermination de la structure des

CHISEAUX 0 D 4 m0 Les US RS ES Dé ne De
8 1.5. Classification des cristaux suivant les types de liaison . . . . .
Chapitre 2. IMPERFECTIONS DANS LES CRISTAUX ......
$ 2.1 Défauts ponctuels ................ . . ..
8 2.2. Défauts linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 2.3. Mécanisme de dislocation de la déformation plastique des cris-

EE
8 2.4. Défauts bidimensionnels .................
Chapitre 3. VIBRATIONS THERMIQUES DES ATOMES DE CRISTAL
$ 3.1. Vibrations et ondes dans un réseau unidimensionnel constitué

d'atomes identiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
$ 3.2. Vibrations optiques . . . . . . . . - . . . . . . . . . .
8 3.3. Vibrations d’un réseau cristallin tridimensionnel . . . . . ..
8 3.4. Energie des vibrations normales. Phonons . . . . . . . . . .
8 3.5. Chaleur massique des solides ...............
8 3.6. Dilatation thermique des solides ..............
8 3.7. Conductibilité thermique de réseau des solides . . . . . . . .

[@)
=
ce

pitre 4. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES BANDES DES SOLIDES
. Niveaux d'énergie électroniques dans un atome isolé . . . . .
. Mise en commun des électrons dans le cristal . . . . . . . .
. Fonction d'onde de l'électron dans le cristal. Zones de Brillouin

. Mouvement de translation des électrons dans le cristal
. Mouvement de l'électron dans le cristal sous l'action d'une force
extérieure. | 2 5 2 4 HAS à a Les 2 D LUS it à
. Remplissage des bandes en électrons et division des corps en
métaux, diélectriques et semiconducteurs . . . . . . . . . .
. Semiconducteurs intrinsèques. Notions sur les trous
. Surfaces de Fermi des métaux ..............
. Niveaux localisés dans la bande interdite . . . . . . . . .
. Quantification de l'énergie de l’électron dans un champ magné-
tique. Niveaux de Landau ................

En Lo to me

EE EE Æ CSST

+ *
© © O0 =1

TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 5. STATISTIQUE DES ÉLECTRONS ET DES TROUS DANS
LES SEMICONDUCTEURS ..................
. Fonction de répartition dans la statistique de Fermi-Dirac . . .
2. Fonction de densité des états ...............
. Concentrations d'électrons et de trous dans un semiconducteur
. Position du niveau de Fermi et concentration de porteurs de

charges libres dans les semiconducteurs intrinsèques . . . . .
. Statistique des électrons dans des semiconducteurs extrinsèques
. Statistique des électrons dans les métaux . . . . . . . . . .
. Chaleur massique du gaz électronique dans les métaux et les semi-

CONQUCIEUTS. LS Lui ne do MOSS SU er Site ru Le

un un un un un un un
En En En En er en en
1 ot CD (0 =»

hapitre 6. PHÉNOMÈNES CINÉTIQUES ............
. Répartition des électrons suivant leurs vitesses . . . . . . . .
. Dérive des porteurs de charges libres dans un champ électrique
-3. Mobilité des porteurs de charges libres. Variation de la mobilité

avec la température ................. ..
. Conductibilité électrique des semiconducteurs . . . . . . . .
. Conductibilité électrique des métaux ...........
. Phénomène de supraconductivité . . . . . . . . . . . . .
. Effets galvanomagnétiques ................
. Effets thermomagnétiques ................

an an On An AN con on
pepe mo
DIU CN =T,

[@)
co

itre 7. PROPRIÉTÉS MAGNÉTIQUES DES SOLIDES :
. Classification des solides suivant leurs propriétés magnétiques
. Nature du diamagnétisme. Résonance cyclotronique Ne
Nature du paramagnetisme .............. ..
. Nature du ferromagnétisme ............... ..
. Structure en domaines des ferromagneétiques . . . . . . . .
. Applications pratiques du ferromagnétisme . . . . . . . . .

hapitre 8. PORTEURS DE CHARGES HORS D'ÉQUILIBRE DANS
ES SEMICONDUCTEURS _..................
1. Porteurs de charges en équilibre et hors d'équilibre. Quasi-ni-

veaux de Fermi”) ......................
.2. Durée de vie D RE dr dr de te das à
.3. Equation de continuité . ........... .....
.4. Diffusion conjointe des porteurs hors d'équilibre . . . . . . .

Q
à

apitre 9. PHÉNOMÈNES OPTIQUES ET PLASMIQUES DANS

LES SEMICONDUCTEURS ..................
8 9.1. Absorption de la lumière .................
8 9.2. Emission d'un rayonnement lumineux par les semiconducteurs
8 9.3. Photoconductivité des semiconducteurs _ . . . . . . . . . .
$ 9.4. Phénomènes acousto-électroniques . . . . . . . . . . . . .
89:04 -BTI6L ŒUNNS | LS TS D Se nd LE Hi as tie on Rod
Chapitre 10. CONTACT MÉTAL-SEMICONDUCTEUR . ......
8 40.1. Travail de sortie . . . . .
8 10.2. Emission thermoëélectronique ...............
& 10.3. Différence de potentiel de contact . . . . . . . . . . . . .
8 10.4. Contact entre un métal et un semiconducteur . . . . . . . .
$ 10.5. Courants limités par la charge d'espace . . . . . . . . . .
8 10.6. Force thermo-électromotrice ...............
10:77; Etlel Peltiér | Lis us EL dass au der x

"360 TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 11. DIODES À SEMICONDUCTEURS ..........
$ 11.1. Etat d'équilibre.d'une jonction p-n . . . . . . . . . . . .

11.2. Capacité de barrière d’une jonction pn ..........

11.3. Courants direct et inverse dans une jonction p-n ......

11.4. Propriétés d’une jonction p-n lors du fonctionnement en impul-
sions et en hautes fréquences . . . . . . . . . . . . . . .
11.5. Claquage d'une jonction pn ...............
11.6. Diôdes tunnel. 44% 4 4 de ue de nus à get +
. Diodes à avalanche ...................
11.8. Phénomènes photo-électriques dans une jonction p-n ae
11.9. Diodes luminescentes . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PNA enunun
ES
FN
«|

Chapitre 12. PRINCIPES PHYSIQUES DE FONCTIONNEMENT DES
TRANSISTORS" Es NUE Liane 2 Sie ed en Ed
$ 12.1. Principe de fonctionnement d'un transistor bipolaire . . . .

$ 12.2. Paramètres et caractéristiques de sortie d'un transistor
$ 12.3. Processus transitoires dans les transistors. Transistors à dérive
$ 12.4. Phototransistors . . . . . . . . . . . . . . . . . + . . . .
$ 12.5. Transistors à effet de champ ..............
8 12.6. Appareils à caractéristique courant-tension en S . . . . . .
$ 12.7. Dispositifs à semiconducteurs comme éléments des circuits inté-
grés RE
AANEXES, —“GH'ÉTMANN S RUE Leus CNRS N R mR tst t a
Bibhographie. Hé SSSR SENS SES ess

de Re RS Dire LÉ D nrD be

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